정제(범주론)

수학의 범주 이론과 관련 분야에서 정교화는 지역적으로 볼록한 공간의 신생아화나 포화처럼 "내부 농축"의 운영을 일반화하는 구조다.이중구조는 봉투라고 불린다.

정의

XK{K\displaystyle}의 개체{X\displaystyle} K{K\displaystyle}는 범주,,, K{K\displaystyle}에 Γ{\displaystyle \Gamma}과 morphisms의Φ{\displaystyle \Phi}두 수업 시간. X{X\displaystyle}의 클래스 Γ에 치밀한 점{\displaysty의 definition[1].르$\Gamma }$ 등급 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$을(를) 사용하여$$ 두 단계로 구성됨$$.

• A morphism ${\displaystyle \sigma :X'\to X}$ in ${\displaystyle K}$ is called an enrichment of the object ${\displaystyle X}$ in the class of morphisms ${\displaystyle \Gamma }$ by means of the class of morphisms ${\displaystyle \Phi }$, if ${\displaystyle \sigma \in \Gamma }$, and for임의의 형태론${\displaystyle }\phi {\displaystyle }$ :${\displaystyle B}$ → X ${\displaystyle \varphi$:$class{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$ 등급의$$ $B\to$ X$}$에는 고유한 형태론${\displaystyle {}^{}}\phi {\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 $B\to$ X$'}($예$$: $\phi {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {}^{}}$ \$$ {\$displaystyle \varphi =\sigma \circl \varphi$ $\text{'}\}).$

• An enrichment ${\displaystyle \rho :E\to X}$ of the object ${\displaystyle X}$ in the class of morphisms ${\displaystyle \Gamma }$ by means of the class of morphisms ${\displaystyle \Phi }$ is called a refinement of ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle \Gamma }$ by means of ${\display$$style \Phi }$, if for any other enrichment ${\displaystyle \sigma :X'\to X}$ (of ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle \Gamma }$ by means of ${\displaystyle \Phi }$) there is a unique morphism ${\displaystyle \upsilon :$$E\to X'}$ in ${\displaystyle K}$ such that ${\displaystyle \rho =\sigma \circ \upsilon }$. The object ${\displaystyle E}$ is also called a refinement of ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle \Gamma }$ by means of ${\displaystyle \Phi }$.

공지사항:

${\displaystyle \rho =\filename {ref} _{\Phi }^{\Gamma }X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{\파이 }^{\감마 }X.}$

$case{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$의 $지정$된 등급의 $개체{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$에 속하는 모든 형태론의 클래스인$$ 특별한 경우(및 용어): $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\$$Gamma}$을(으)로 대체하는 것이$$ 편리하다.

${\displaystyle \rho =\filename {ref} _{\Phi }^{L}X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{\Phi }^{L}X.}$

마찬가지로, $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$이(가) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 지정된 등급의 $개체{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$M}에 속하는 모든 형태론의 클래스인 경우, 다음과$$ 같은 표기(및 용어)에서$$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\Phi}$을($으)$로 대체하는 것이 편리하다.

${\displaystyle \rho =\operatorname {ref} _{M}^{\M}X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{M}^{\Gamma }X.}$

예를 들어 $객체{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ M$}$의 클래스를 통해 객체 L ${\displaystyle L}$의 클래스에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 정교화에 대해 말할 수 있다$.$

${\displaystyle \rho =\operatorname {ref} _{M}^{L}X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{M}^{L}X.}$

예

1. 그 bornologification[2][3]X}}X{X\displaystyle}의 범주 loopcontrolsystem{\displaystyle \operatorname{현장 제어소}에 지역적으로 볼록 공간의 하위 범주 규범의 방법으로 X{X\displaystyle}은 치밀한 점}가 볼록 공간의{\displaystyle \operatorname{N{\displaystyle X_{\operatorname{ 태어난} 태어난orm}}$$ 표준 공간: $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{born}}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{Ref}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Norm}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{LCS}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\operatorname {born} }=\operatorname {Ref} _{\operatorname {Norm}^{\operatorname {LCS} }X}$
2. 그 saturation[4][3]X(}그 범주 loopcontrolsystem{\displaystyle \operatorname{현장 제어소}에 지역적으로 볼록 공간의 하위 범주인지 아니면 Smi{\displaystyle \operatorname{Smi}의 스미스 공간의 수단}에 의해 X{X\displaystyle}은 치밀한 점}는 pseudocomplete[5]지역적으로 볼록 공간{\displaystyle X^{\blacktriangle}. X▴${\displaystyle X^{\blacktriangle }=\operatorname {Ref} _{\operatorname {Smi}}^{\operatorname {LCS}}X}$

참고 항목

• 봉투

메모들

참조

• Kriegl, A.; Michor, P.W. (1997). The convenient setting of global analysis. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0780-3.

• Akbarov, S.S. (2003). "Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra". Journal of Mathematical Sciences. 113 (2): 179–349. doi:10.1023/A:1020929201133. S2CID 115297067.

• Akbarov, S.S. (2016). "Envelopes and refinements in categories, with applications to functional analysis". Dissertationes Mathematicae. 513: 1–188. arXiv:1110.2013. doi:10.4064/dm702-12-2015. S2CID 118895911.