정량화

양자장 이론
파인만 도표
역사
배경 장 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성 일반상대성 게이지 이론
대칭 양자역학의 대칭 C대칭 P-대칭 T-대칭 공간 번역 대칭 시간 변환 대칭 회전 대칭 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자연대칭파단 양-밀스 이론 노에더 전하 위상 전하
도구들 변칙 교차 유효장 이론 기대값 파데예프-포포프 유령 파인만 도표 격자 게이지 이론 LSZ 환원식 파티션 함수 전파자 수량화 정규화 리노말화 진공 상태 윅의 정리 와이트먼 공리
방정식 디라크 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드위트 방정식 바그만-위그너 방정식
표준 모델 양자전기역학 전기와크 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전 이론 위상 양자장 이론 끈 이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자 중력
과학자들 앤더슨 안셀름 아티야 바그만 베치 벨라빈 벤더 베테 비요르켄 블뤼어 보골류보프 브로스키 브라우트 캘런 캐스웰 콜먼 콘스 드위트 디락 다이슨 잉글러트 파데예프 파딘 페르미 파인만 피에르즈 포크 프리츠슈 프롤리히 털로 덮인 글래쇼 글림 겔판트 겔만 골드스톤 그리보프 징그럽다 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 힉스 하겐 't 후프트' 일리오풀로스 잇직슨 이바넨코 재피 조나라시니오 조던 조스트 켈렌 카슬러 켄달 키블 클레바노프 콘체비치 쿠라예프 양고기 란다우 리 리 레만 르페이지 리파토프 낮음 뤼데르 마이아니 메이저나나 몰다세나 미그달 밀스 뮐러 나이마르크 남부 네베우 니시지마 오메 오펜하이머 오스터왈더 파리시 파울리 폴리티저 폴리아코프 포메란추크 포포프 프로카 루엘 살람 슈바르츠 슈윙거 시걸 세이베르크 스카이르메 스토라 슈테켈베르크 수다르산 시만지크 서링 토모나가 튜틴 벨트만 비라소로 병동 와인버그 바이스코프 갠젤 웨스 웨테리히 바일 윅 와이트먼 위그너 윌체크 윌슨 비튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 짐머만 진 저스틴 주버 주미노
v t

물리학에서 정량화는 고전 이론의 대칭과 같은 형식 구조를 가능한 한 최대한 보존하려고 시도하면서 고전 이론을 정량화하는 절차다.null

역사적으로 이것은 꽤 베르너 하이젠베르크의 양자역학 획득의 길은 아니었으나, 폴 디라크는 1926년 박사학위 논문인 정량화를 위한 고전적 유추의 방법론을 통해 이를 소개했고,^[1] 고전 문헌에 상세히 기술했다.^[2]표준적인 단어는 고전역학에 대한 해밀턴식 접근법에서 생겨났는데, 이 접근법에서 시스템의 역학이 표준적인 양적화에서 부분적으로만 보존되는 구조인 표준적인 포아송 괄호를 통해 생성된다.null

이 방법은 폴 디랙이 양자 전기역학을 구축함에 있어서 양자장 이론의 맥락에서 더욱 사용되었다.장 이론의 맥락에서, 단일 입자의 반분류적 첫 번째 정량화와 대조적으로, 장의 두 번째 정량화라고도 한다.null

역사

그것이 처음 개발되었을 때 양자물리학은 입자의 운동량을 정량화하는 것만을 다루었고, 전자장 고전적인 것으로서 양자역학이라는 명칭을 남겼다.^[3]null

이후 전자기장도 정량화되었고, 심지어 입자 자체도 정량화된 장을 통해 대표하게 되어 전반적으로 양자전기역학(QED)과 양자장 이론이 발전하게 되었다.^[4]따라서 관습에 의해 입자 양자역학의 원래 형태는 1차 양자화라고 하는 반면, 양자장 이론은 2차 양자화 언어로 공식화된다.null

첫 양자화

단일 입자 시스템

다음 설명회는 디라크의 양자역학에 관한 논문에 기초한다.^[2]입자의 고전역학에는 좌표(x)와 모멘트(p)라고 하는 동적 변수가 있다.이것들은 고전적인 시스템의 상태를 명시한다.고전역학의 표준 구조(일명 공감 구조)는 {x,p} = 1과 같이 이러한 변수를 둘러싸는 포아송 괄호로 구성되어 있다.이러한 괄호를 보존하는 변수의 모든 변환은 고전역학에서 표준 변환으로 허용된다.운동 자체가 그런 규범적 변혁이다.null

이와는 대조적으로 양자역학에서는 입자의 모든 유의미한 특징들이 양자 상태라고 불리는$$상태 ${\displaystyle \psi }$ψ ${\displaystyle \psi \rangele }$에 포함되어 있다.관측 가능성은 그러한 양자 상태의 힐버트 공간에 작용하는 운영자에 의해 표현된다.null

고유분자 중 하나에 작용하는 연산자의 고유값은 입자에 대한 측정값을 나타내며, 따라서 표현된다.예를 들어, 에너지는 해밀턴 연산자 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이$($가) 상태$$${\displaystyle n_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \psi _{n}\rangele$}에 의해$$ 판독된다.

${\displaystyle \stackrel{}{}{}_{}\stackrel{}{^}}$ ^ ^ ${\displaystyle n_{}=}$ = E ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \psi {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\H} \psi _{n}\rangele =E_{n} \psi _{n$

여기서 E는_n 이 ${\displaystyle {\psi n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \psi _{n}\rangele }$ 고유 상태에 관련된 특성 에너지다.null

모든 상태는 에너지 고유성의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 예를 들어,

$=$= $=$ = ${\displaystyle 0{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle n_{}}$ \ n$$ \$displaystyle \psi \rangele$=\$sum \n$=0}^{n=0}{n}^{n$=}}\fty \a_{n}$ \$regl },$,

여기서_n 는 상수 계수다.null

고전역학에서와 같이 모든 동적 연산자는 $각각{\displaystyle \stackrel{}{}}$ X ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$과(와${\displaystyle \stackrel{}{)}}$ $P{\displaystyle \stackrel{}{}}$^ {\$displaystyle {\hat$ {P$}$의 위치 및 모멘텀 기능으로 나타낼 수 있다$.$이 표현과 보다 일반적인 파형 기능 표현 사이의 연결은 위치 $연산자{\displaystyle }$ $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$$displaystyle$ ${\x$}의 입자를 나타내는$$ 위치 연산자 X ^ ${\displaystyle$ {\$x$$}}$에 의해 제공되며, 힐버트 공간의 요소 x$$$$ ${\displaysty$ x\$rangele}$에 의해 표시된다$.$$그리고{\displaystyle \stackrel{}{}}$ X ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle x}$^${\displaystyle }$= x ${\displaystyle x}$ ^ x ^ ^${\displaystyle }$^ = ${\displaystyle x}$ x ⟩ ${\hat}$ x$\rangele$= x$x\rangele$ 그러면 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $\psi$ ($x)=\langle$x$$\psi $\rangle$ $\}.$

마찬가지로 모멘텀 연산자 $P{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ {$P}$의 고유상태 p $^$ ${\displaystyle$ {\$p$은$(는)$모멘텀 표현을 다음과 $같이{\displaystyle }$ 지정한다$.$

이들 연산자 사이의 중심 관계는 위의 고전 역학의 포아송 대괄호인 표준적 정류관계의 양자 아날로그다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle X\stackrel{}{}^,}$ ${\displaystyle P\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle X\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ P ${\displaystyle ^}$ - ${\displaystyle P\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle ^}$ = ${\displaystyle i}$ ${\hat{X},{\hat{P}}={\hat{P}}}={\$hat{P$}-{\$hat ${{P}}-{\$hat{\hat {$X}=i\hbar$

이 관계는 불확실성 원리를 Δx Δp Δp form/2 형식으로 인코딩(그리고 공식적으로 유도)한다.따라서 이 대수적 구조는 고전역학의 정론적 구조의 양자 아날로그로 간주될 수 있다.null

다입자 시스템

N-입자 시스템, 즉 N개의 동일한 입자(질량, 전하, 스핀과 같은 동일한 양자수로 특징지어지는 입자)를 포함하는 시스템으로 전환할 때는 단일입자 상태 함수 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$ $){\displaystyle \psi (\mathbf {r}$)를 N-입자 상태 함수 $\psi {\displaystyle }$( r ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$)로$$ 확장할 필요가 있다.${\displaystyle .}$. , ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2$}, $...,\mathb$ {$r} _{N$ 고전역학과 양자역학의 근본적인 차이점은 동일한 입자의 분리가 불가능하다는 개념에 관한 것이다.따라서 양자물리학에서는 오직 두 종류의 입자만이 가능하다. 소위 보손과 페르미온이라고 불리는 규칙:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N}$$)}($백본),

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N}$$)}}($페르미온).null

여기서 상태 함수의 두$$ 좌표$({\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$를 교환했다.일반적인 파형 함수는 Slater 결정 인자와 동일한 입자 이론을 사용하여 얻는다.이를 바탕으로 다양한 다분자 문제를 해결할 수 있다.null

문제 및 제한 사항

고전 및 양자 대괄호

디랙의 책에는^[2] 포아송 대괄호를 교신자에 의해 대체하는 그의 인기 있는 규칙이 자세히 설명되어 있다.

이 제안은 고전적$$ 위상 $공간$의$$함수 f {\$displaystyle$q}을(를) 양자$$ 힐버트 ${\displaystyle {공간}_{}}$의 연산자 Q$$f {\$displaystyle Q_{$f$$}에 매핑하는 "양자화 맵" $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$을(를) 구해야 한다고 해석할 수도 있다.

${\displaystyle Q_{{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}}}[Q_{f},Q_{g}]}$

이제 모든 $기능{\displaystyle }$ f$[\displaystyle f}$와 g$[\displaystyle g}$에 대해 정확히 위의 식별을 만족시키는 합리적인 정량화 지도가 없다는 것이 알려져 있다$.$

그로네월드의 정리

위와 같은 불가능성 주장에 대한 구체적인 버전 중 하나는 그로네월드의 정리(네덜란드 이론 물리학자 힐브란트 J. 그로네월드 이후)인데, 단순성을 위한 자유도가 1도인 시스템을 기술하고 있다.지도 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에 대한 다음과 같은 "접지 규칙"을 받아들이자$.$ $먼저{\displaystyle }$,$$Q {\$displaystyle$ Q$}$은 상수 함수 1을 ID 연산자에게 전송해야$$ 한다.$둘째{\displaystyle }$, $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과($와{\displaystyle }$) p {\$displaystyle p}$을(를) 통상적인 위치와 모멘텀 $연산자{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle X$$}$과 $P{\displaystyle }$ ${\displaystystyle Q}$에 대해 "polyno$"$를 취하여야 한다$$$$$.$$X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X}$ 및$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$의 mial" 즉, $X$ {\$displaystyle X$$\}$과$$P {\$displaystyle$ P}의 유한 선형 결합을 원하는 순서로 취할 수 있다.가장 간단한 형태로, 그로네월드의 정리는 위의 지상 규칙과 또한 괄호 조건을 만족시키는 지도가 없다고 말한다.

${\displaystyle Q_{{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}}}[Q_{f},Q_{g}]}$

모든 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g}$에 대해$.$

사실, 그러한 지도는 우리가 4급 다항식에 도달할 때 이미 존재하지 않는다.도 4의 두 다항식의 포아송 브래킷에는 도 6이 있으므로, 도 4의 다항식 맵을 요구하는 것은 정확히 이치에 맞지 않는다는 점에 유의한다.그러나 $우리$는 f ${\displaystyle f}$과 g$${\$displaystyle g}$이(가) 3도일 때 브래킷 조건이 유지되도록 요구할 수 있다.그로네월드의 정리는^[5] 다음과 같이 진술할 수 있다.

정리:만족하는 4도 이하의 다항식(다항식)에 대한 정량화 $지도{\displaystyle }$ Q ${\displaystyle$ Q$}($위의 지상 규칙에 따름)가 없다.

${\displaystyle \quad Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}}}}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 3보다 작거나 같은 학위를 가질$$ 때마다(이 경우$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$} ${\displaystyle$\{$f,g\}$은(는) 4보다 작거나 같은 학위를 가지고$$ 있다는 점에 유의하십시오.)

그 증거는 다음과 같이 윤곽이 잡힐 수 있다.^[6][7]$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 2보다 작거나 같으며 $g{\displaystyle }${\$displaystyle$ g$$$}$이(가) 2보다 작거나 같을 때마다 브래킷 조건을 만족하는 3보다 작거나 같은 다항식에 대한 정량화 지도를 먼저 찾으려고 노력한다고 가정합시다.그리고 바로 그러한 지도가 하나 있는데, 그것은 Weyl 정량화다.현재 불가능한 결과는 두 가지 다른 방식으로 3도 다항식의 포아송 대괄호와 동일한 4도 다항식을 작성함으로써 얻어진다.구체적으로, 우리는

${\displaystyle x^{2}p^{2}={\frac {1}{1}{9}\{x^{3}\}}={\frac{1}{3}\}}}={\frac{1}{x^{2}p,celf^{2}\}}}}}}}.$

한편, 3급 다항식들에 대한 정량화 지도가 있으려면, 위 모든 입방 다항식들에 대한 정량화가 반드시 Weyl 정량화여야 한다는 것을 우리는 이미 알아보았다.null

그 논쟁은 다음과 같은 짐승 같은 힘에 의해 계산되어 완성된다.

${\displaystyle {\frac {1}{9}[Q(x^{3}), Q(p^{3}]}}$

와 일치하지 않다

$1$ ${\displaystyle 3}$[ Q${\displaystyle }$( x ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {\frac {1}{$1}{$3}}[Q(x^{2}p),$ Q$(xp^{2}}]}}}}$.

$따라서$ $x$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $p$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)의 값에는 두 가지 호환되지 않는 $요구사항$이 있다$.$

정량화에 대한 공리

Q가 고전적 위상공간에서 함수 f에 작용하는 정량화 지도를 나타낸다면, 일반적으로 다음과 같은 성질을 바람직한 것으로 간주한다.^[8]

1. ${\displaystyle Q_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Q_{x}\psi$=x$$$\psi }$ 및 Q ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle x_{\mathrm{}}}$ψ x ${\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi~}($기본 위치/mementum 연산자)
2. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ⟼}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ $displaystyle f\longmapsto Q_{f}~}$는 선형 지도 입니다.
3. ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle Q_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Q_{}}${ f${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\}}_{}}$ $displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{f,g\}}~}($포아송 괄호)
4. ${\displaystyle Q_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\circ }_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$= ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle Q_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) $displaystyle Q_{g\circ f}=g(Q_{f}~})($von Neuman rule).

그러나, 이 네 가지 속성은 상호 모순될 뿐만 아니라, 세 가지 속성도 서로 모순된다!^[9]밝혀진 바와 같이, 이러한 속성들 중 유일하게 자기 일관성이 없고 비독점적인 해결책으로 이어지는 것은 2&3이며, 아마도 1&3 또는 1&4일 것이다.속성 1과 2를 수용하면 3이 참이라는 약한 조건과 함께 한계 ħ→0(모얄 브래킷 참조)에서 무증상적으로만 변형이 정량화되며, 대부분의 물리학에서 사용되는 표준 이론에서와 같이 일부 관련 없는 정보가 제공되어야 한다.특성 1과 2와 3을 수용하지만 위의 예에서 입방체 같은 용어를 제외하도록 계량 가능한 관측 가능성의 공간을 제한하는 것은 기하 정량화에 해당한다.null

제2정량화:장 이론

양자역학은 입자의 수가 고정된 비상대적 시스템을 기술하는 데는 성공했지만, 예를 들어 광자의 집합으로 간주되는 전자기장과 같이 입자가 생성되거나 파괴될 수 있는 시스템을 기술하기 위해서는 새로운 프레임워크가 필요했다.특수상대성이 단일 입자 양자역학과 일관성이 없다는 사실이 결국 실현되어 이제 모든 입자가 양자장에 의해 상대론적으로 기술된다.null

전자기장과 같은 분야에 정량화 절차를 적용하면 고전적 장 변수는 양자 연산자가 된다.따라서 장의 진폭을 구성하는 정상 모드는 단순 오실레이터로, 각 오실레이터는 모호성 없이 위의 표준 최초 정량화로 정량화된다.결과 퀀텀은 개별 입자나 배설물로 식별된다.예를 들어 전자기장의 퀀텀은 광자로 식별된다.1차 정량화와 달리, 기존의 2차 정량화는 오실레이터의 구성 요소 세트가 모호하지 않게 정량화되기 때문에, 사실상 펑터(functor)가 완전히 명확하지 않다.null

역사적으로 하나의 입자의 고전적 이론을 정량화하면 파동 기능이 생겨났다.한 장의 고전적인 운동 방정식은 일반적으로 그 퀀텀 중 하나의 파동 기능에 대한 (양) 방정식과 형태가 동일하다.예를 들어 클라인-고든 방정식은 자유 스칼라장에 대한 운동의 고전적 방정식이지만 스칼라 입자파 함수에 대한 양자 방정식이기도 하다.이는 한 분야를 정량화하는 것이 이미 정량화된 이론을 정량화하는 것과 비슷해 보여 초기 문헌에서 두 번째 정량화라는 공상적인 용어로 이어졌다는 것을 의미했는데, 이는 비록 세세한 현대 해석은 다르지만 여전히 필드 정량화를 기술하는 데 사용되고 있다.null

상대론적 영역에 대한 표준적 정량화의 한 가지 단점은 시간 의존성을 결정하기 위해 해밀턴계에 의존함으로써 상대론적 불변성이 더 이상 나타나지 않는다는 것이다.따라서 상대주의적 불협화음이 사라지지 않는지 확인할 필요가 있다.대안적으로 파인만 적분 접근법은 상대론적 분야를 정량화하는 데 사용할 수 있으며, 명백하게 불변한다.응축 물질 물리학에 사용되는 것과 같은 비-상대론적 장 이론의 경우 로렌츠 불변성은 문제가 되지 않는다.null

현장 연산자

양자역학적으로 필드의 변수(예: 주어진 지점에서 필드의 진폭)는 힐버트 공간의 연산자에 의해 표현된다.일반적으로 모든 관측가능성은 힐버트 공간의 연산자로 구성되며, 연산자의 시간 진화는 해밀턴의 지배를 받는 것으로, 양성 연산자여야 한다.해밀턴인에 의해 전멸된$$ ${\displaystyle 상태\mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle ⟩}${\$displaystyle 0\rangele}$을(를) 진공 상태로 식별해야 하며, 이는 다른 모든 주를 건설하는 기초가 된다.비 상호작용(자유)장 이론에서 진공은 보통 0개의 입자를 포함하는 상태로 식별된다.입자와 상호작용하는 이론에서 진공 양극화로 인해 진공 식별이 더 미묘하다. 이는 양자장 이론의 물리적 진공 상태가 결코 실제로 비어 있지 않음을 암시한다.자세한 내용은 양자역학 진공 및 양자역학 진동에 대한 기사를 참조하십시오.정량화의 세부사항은 정량화되는 분야, 자유인지 상호 작용인지에 따라 달라진다.null

실제 스칼라장

스칼라장 이론은 정량화 절차의 좋은 예를 제공한다.^[10]고전적으로 스칼라 장은 무한대의 오실레이터 정상 모드의 집합이다.1+1차원 공간 시간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \mathb {R} \times S_{$1}를 고려하면 충분하며, 공간$$ 방향이 원주 2㎛의 원으로 압축되어 모멘텀을 이산형으로 만든다.null

고전적인 라그랑지안 밀도는 (정량화할 변위 동적 변수가 아닌) x로 라벨을 표시한 결합 고조파 오실레이터의 무한성을 설명하며, 고전적 장 field으로 표시된다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),}$

여기서 V(수치)는 잠재적 용어로서 종종 3도 이상의 다항식 또는 단항으로 간주된다.작용 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \varphi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle L\mathcal{}}$ (${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle \int }$ L ${\displaystyle (\varphi ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ) = ∫ ${\displaystyle L}$ (ϕ, ∂ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$ $(\phi )=\\\mathcal$ {$L}(\phi )dxt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )t$

액션 L을 사용하여 레전드르 변환을 통해 얻은 표준적인 운동량은 ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle t_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \pi$=\$partial _{t}\phi$}이고, 고전적인 해밀턴의 운동량은 $\pi {\displaystyle }$ = ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ t ∂ _ _ _ _ _ \ \ _ _$$\ \ \ \ \ \ \

${\displaystyle H(\phi ,\pi )=\intdx\왼쪽[{\frac {1}{2}}:\pi ^{1}{2}}(\partial _{x}\pi )^{2}+{1}{2}}:00m^{2}}:00m^{{2}+V(\pi 오른쪽).}$

표준 정량화는 변수 and과 π을 시간 t= 0에 표준 정류 관계를 갖는 연산자로 취급한다.

${\displaystyle [\phi (x),\pi (y)]=0,\\[\pi (x),\pi (y)=0,\\\pi (y)]=i\hbar \reason (x-y)}$

φ과 π으로 구성된 연산자는 해밀턴인에 의해 생성된 시간 진화를 통해 다른 시간에 공식적으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{O}(t)=e^{itH}{\mathcal{O}e^{-itH}.}$

그러나 φ과 π은 더 이상 통근하지 않기 때문에 이 표현은 양자 수준에서 모호하다.문제는 Hilbert 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$$${O$}$에 관련 $연산자{\displaystyle \mathcal{}}$O {\displaystyle {\$mathcal$ {O}을(를) 구성하고$$, $연산자{\displaystyle \mathcal{}}$O {\$displayst$}에게 이러한 진화를 제공하는 방식으로 이 Hilbert 공간에 양자 연산자로 양성 연산자 H를 구성하는 것이다.$Yle {\mathcal{O}}$은(는) 앞의 방정식에서 주어진 대로$$, H ${\$은(는) 0 고유값을 갖는 진공 상태 ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele }$을(를$$) 포함하고 있음을 나타내기 위해.실제로 이 공사는 현장 이론이 상호 작용하기 어려운 문제로서, 건설적인 양자장 이론의 방법을 통해 몇 가지 간단한 사례에서만 완전히 해결되었다.스칼라장 이론에 관한 기사에서 특정 V(φ)에 대해 설명한 파인만 적분을 사용하여 이러한 이슈의 많은 부분을 회피할 수 있다.null

자유 필드의 경우 V(() = 0으로 정량화 절차는 비교적 간단하다.푸리에가 밭을 변형하는 것이 편리하여, 그렇게 할 수 있다.

${\displaystyle \pi_{k}=\int \pi(x)e^{-ikx}dx,\\pi_{k}=\int \pi(x)e^{-ikx}dx.}$

현지의 현실은 다음과 같은 것을 암시한다.

${\displaystyle {\varphi }_{}}$- ${\displaystyle k_{}}$= $ϕ$ ${\displaystyle k_{}^{}}$†,${\displaystyle {}_{}^{}\pi {}_{}}$- ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$† ${\$ \$pi_${-$k}=\pi \{k$}^{k}^{k}^{\$pi$

고전적인 해밀턴ian은 다음과 같이 푸리에 모드로 확장될 수 있다.

${\displaystyle H={\frac {1}{1}2}}\sum _{k=-\infit }^{\pi _{k}\pi _{k}^{k}^{k}^{k}\pi _{k}\pi _{k}\pi _{k}^{k}}\doger }}}}}}}}오른쪽}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle \sqrt{{k\mathrm{}}^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$+ m ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$}$}}}}$.

따라서 이 해밀턴안은 고전적인 정상 모드 발진기 흥분제 φ의_k 무한 합으로 인식될 수 있으며, 각 합은 표준 방식으로 정량화되므로 자유 양자 해밀턴은 동일하게 보인다.표준 정류 관계를 준수하는 운영자가 된 φs_k, others = [π_kk^†, =] = [π_k^†_k, i] = iħ, 다른 모든 것은 소멸한다.따라서 이러한 모든 오실레이터의 집단 힐버트 공간은 이러한 모드에서 생성된 생성 및 소멸 연산자를 사용하여 구성된다.

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),}$

즉, [a, a_kk^†] = 모든 k에 대해 1이며, 다른 모든 정류자는 사라진다.null

진공은 0⟩{0\rangle\displaystyle}모든 10월.에 의해 전멸에 및 H{\displaystyle{{H\mathcal}}}은 힐베르트 공간 ak† 0⟩{0\rangle\displaystyle}에 창조 사업자의 무한한 컬렉션의 조합을 적용하여 건설된다. 이것은 힐베르트 공간 포크 공간이라고 불린다 찍은 사진이다..각 k에 대해 이 구조는 양자 고조파 발진기와 동일하다.양자장은 양자 오실레이터의 무한 배열이다.양자 해밀턴은 그 다음 에 해당한다.

${\displaystyle H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k}}$,

여기서 N은_k 모멘텀 k가 있는 상태의 입자 수를 나타내는 숫자 연산자로 해석될 수 있다.null

이 해밀턴어는 각 고조파 오실레이터의 0점 에너지 Ω_k/2의 뺄셈에 의해 이전 표현과 다르다.이는 H가 위의 지수연산을 통해 연산자의 시간진화에 영향을 주지 않고 진공상태를 소멸시켜야 한다는 조건을 만족시킨다.이러한 영점 에너지의 뺄셈은 해밀턴의 팽창에서 모든 생성 연산자가 전멸 연산자의 왼쪽에 나타나도록 요구하는 것과 같기 때문에 애매함을 명령하는 양자 연산자의 분해능으로 간주할 수 있다.이 절차는 Wick 순서 또는 정상 순서라고 알려져 있다.null

기타 필드

다른 모든 분야는 이 절차를 일반화하여 정량화할 수 있다.벡터 또는 텐서 장은 단순히 더 많은 구성요소를 가지며, 각각의 독립적인 구성요소에 대해 독립적 생성 및 파괴 연산자를 도입해야 한다.만약 어떤 필드가 내부 대칭을 가지고 있다면, 이 대칭과 관련된 필드의 각 구성요소에 대해서도 생성 및 파괴 연산자를 도입해야 한다.게이지 대칭이 있는 경우 필드의 독립적 요소 수를 주의 깊게 분석하여 등가 구성을 과대계수하지 않도록 하고, 필요한 경우 게이지 픽싱을 적용할 수 있다.null

교화 관계는 어떤 주의 입주 번호가 무제한인 보손의 정량화에만 유용한 것으로 나타났다.파울리 배제 원칙을 만족시키는 페르미온을 정량화하기 위해서는 반 커머티커가 필요하다.이는 {A,B} = AB+BA에 의해 정의된다.null

페르미온을 계량할 때, 창조·멸종 연산자 θ_k^†, θ에서_k 필드를 확장하여 만족시킨다.

$\displaystyle \{\theta_{k},\theta_{l}^{\l}}\\{k},\\\\\\theta_{k}^{l}}=0}\\\\\\\\\tea _{l}^{l}}}}}}}=0}}}}\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\}$

θ에_k 의해 소멸된 진공 0>>에 주를 건설하고, fock 공간은 창조 사업자의 모든 생산물을_k^† 0>에 적용하여 건설한다.파울리의 배제 원칙이 충족된 것은 반협정 관계 때문에 (${\displaystyle }$(${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 0{}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (\theta _{k}^{\dager }}^{2} 0\rangele =0$이기 때문이다.null

응축수

위의 스칼라장 구성에서는 potential = 0으로 전위를 최소화한 것으로 가정하여 해밀턴을 최소화한 진공이 〈φ〉= 0〉을 만족시켜 필드의 진공 기대치(VEV)가 0임을 알 수 있다.자발적 대칭 파괴를 수반하는 경우, 값 = = v에 대한 전위가 최소화되기 때문에 0이 아닌 VEV를 가질 수 있다. 예를 들어, V(φ) = g⁴ > - 2m³², g > 0 및²² m > 0이면 최소 에너지가 v = ±m/㎥g에서 발견된다.이러한 vacua 중 하나에서 v의 값은 필드 φ의 응축수로 간주할 수 있다.그 다음 시프트 장 ((x,t)-v에 대해 표준 정량화를 수행할 수 있으며, 시프트 장 φ(x,t)-v를 정량화하여 시프트 장에 대한 입자 상태를 정의한다.이 구조는 입자물리학의 표준 모델에서 힉스 메커니즘에 활용된다.null

수학적 정량화

변형 정량화

고전적 이론은 각 슬라이스에서의 상태를 공통적인 다지관 위에 해밀턴 기능에 의해 생성된 동시적 다지관에 의해 생성된 시간 진화에 의해 기술되는 시간적 진화에 의해 설명되는 공간과 같은 스페이스의 모태를 사용하여 기술된다."작동자"의 양자대수는 위상공간 공식에서 표현된 정류자[A, B]의 ħ에 대한 테일러 팽창의 주어가 iħ{A, B} . (여기서, 곱슬 가새들은 포아송 괄호를 나타낸다.)와 같은 공통공간에서 매끄러운 함수의 대수형이다.전대 용어는 모두 모얄 브래킷으로 인코딩되며, 포아송 브래킷의 적절한 양자 변형이다.)일반적으로 관련된 수량(관찰대상)에 대해, 그리고 그러한 괄호들의 주장을 제공하는 경우, ħ-변형은 매우 독특하다. 즉, 양산은 "예술"이며, 물리적 맥락에 의해 지정된다.(두 개의 서로 다른 양자 시스템은 두 개의 다른 불평등, 동일한 고전적 한계인 deform → 0의 변형을 나타낼 수 있다.

이제, 사람들은 이 양자대수의 단일적 표현을 찾는다.그러한 단일적 표현에 관해서, 고전적 이론의 동일체형성은 이제 (금속체) 단일체적 변형으로 변형될 것이다.특히 고전 해밀턴주의에서 생성된 시간 진화는 해당 양자 해밀턴주의자가 생성하는 단일변형으로 변형한다.null

추가 일반화는 고전 이론에 대한 공통적인 공간 대신 푸아송 다지관을 고려하고 해당 포아송 대수학 또는 포아송 슈퍼맨홀드의 ħ-변형을 수행하는 것이다.null

기하 정량화

위에서 설명한 변형 정량화 이론과 대조적으로 기하 정량화는 실제 힐버트 공간과 그 위에 연산자를 건설하려고 한다.동정적 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 시작하여$,$ 먼저 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 위에 있는 적절한 선다발의 사각 통합 섹션의 공간으로 구성된 사전 수량 힐버트 공간을 구성한다$.$ 이 공간에서는 모든 고전적 관측 자료를 사전 수량 힐버트 공간의 운영자에게 매핑할 수 있다.포아송 대괄호와 정확히 일치한다.$그러나{\displaystyle }$ 힐버트 이전의 공간은 M ${\displaystyle M}$의 정량화를 설명하기에는 너무 크다$.$

그런 다음 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$차원$$ 위상 공간에서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수를$$ 선택하는 방식으로 진행한다.그러면 양자 힐버트 공간은 $다른{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle$ n$}$ 방향에서$$ 공변량적으로 일정하다는 점에서 $n{\displaystyle }${\$displaystyle n}$개$$ 변수에만 의존하는 섹션의 공간이 된다.만약 선택된 변수가 진짜라면, 우리는 전통적인 슈뢰딩거 힐버트 공간과 같은 것을 얻는다.선택한 변수가 복잡하면 우리는 Segal-Bargmann 공간과 같은 것을 얻는다.null

참고 항목

• 통신원리
• 생성 및 소멸 연산자
• 디락 브라켓
• 모얄 브라켓
• 위상공간 공식화(양자역학)
• 기하 정량화

참조

과거 참조

• 실반 S. 슈베버: QED와 그것을 만든 사람들, 프린스턴 유니브.프레스, 1994, ISBN 0-691-03327-7

일반 기술 참조 자료

• 알렉산더 알트랜드, 벤 시몬스: 응축 물질 분야 이론, 케임브리지 유니브.프레스, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3
• 제임스 D.비요르켄, 시드니 D.드레엘: 상대론적 양자역학, 뉴욕, 맥그로힐, 1964년
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
• M.E. Peskin과 H.D.에 의한 양자장 이론의 소개.슈뢰더, ISBN 0-201-50397-2
• 프란츠 슈와블:Advanced Quantum Mechanics, Berlin 등, Springer, 2009 ISBN 978-3-540-85061-8

외부 링크

• "상대적 정량화"란 무엇인가?
• 양자장 이론의 교육학 보좌관 이 사이트에서 챕터 1과 2의 링크를 클릭하면 두 번째 양자화에 대한 광범위하고 간단한 소개를 찾을 수 있다.제1장 1.5.2절을 참조하라.2.7장 및 2장의 요약본을 참조하십시오.