벡터 가치 한-바나흐 이론

수학에서, 특히 기능 분석과 힐버트 공간 이론에서 벡터 가치 한-바나흐 이론은 선형 함수(실수 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는 복잡한 숫자 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 선형 오페까지의 한-바나흐 이론의 일반화다.위상학적 벡터 공간(TV)에서 평가된 래이터.

정의들

X와 Y 전체는 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 필드$$ 위에 위상학적 벡터 공간(TV)이 될 것이며, L(X; Y)은 X에서 Y까지 모든 연속 선형 지도의 벡터 공간을 나타낼 것이다. 여기서 X와 Y가 정규 공간인 경우 표준 연산자 표준으로 L(X; Y)을 부여한다.

확장

M이 TVS X의 벡터 서브공간인 경우, 모든 연속 선형지도 f : M → Y가 X의 전체로 연속적인 선형연장을 갖는 경우 Y는 M에서 X까지의 확장특성을 가진다.X와 Y가 정규화된 공간인 경우, 이 연속적인 선형 확장이 f와 동일한 규격을 갖도록 선택할 수 있다면 Y는 M에서 X까지의 메트릭 확장 속성을 가지고 있다고 말한다.

TVS Y는 X의 모든 벡터 서브공간 M에 대해 Y가 M에서 X까지의 확장특성을 갖는 경우 X의 모든 하위공간으로부터 X까지의 확장특성을 가진다.X와 Y가 정규화된 공간인 경우, X의 모든 벡터 하위 공간 M에 대해 Y가 M에서 X까지의 메트릭 확장 속성을 갖는 경우 Y는 X의 모든 하위 공간(X)에서 메트릭 확장 속성을 가진다.

TVS Y는 모든 로컬 볼록 공간 X와 X의 모든 벡터 하위 공간 M에 대해, Y는 M에서 X까지의 확장 특성을 갖는 경우 확장 특성을 가진다^[1].

모든 Banach 공간 X와 X의 모든 벡터 하위 공간 M에 대해 Y가 M에서 X까지의 메트릭 확장 속성을 갖는 경우 Banach 공간 Y는 메트릭 확장 속성을^[1] 가진다.

1시 30분

If M is a vector subspace of normed space X over the field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ then a normed space Y has the immediate 1-extension property from M to X if for every x ∉ M, every continuous linear map f : M → Y has a continuous linear extension ${\displaystyle F:$F = F와 같은$$ $M\oplus(\mathb {K}$ x$)\to$ Y$}.$ 우리는 모든 Banach 공간 X와 X의 모든 벡터 하위 공간 M에 대해 Y가 M에서 X로 즉시 1 확장 속성을 가지고 있다면 Y가 즉시 1 확장 속성을 가지고 있다고 말한다.

주입 공간

국소 볼록한 위상 벡터 공간 Y는 위상 벡터 서브공간으로 Y를 포함하는 모든 국소 볼록한 공간 Z에 대해 Z에서 Y까지의 연속 투영이 존재하는 경우 주입된다^[1].

Banach 공간 Y는 표준 벡터 하위공간으로 Y를 포함하는 모든 Banach 공간 Z에 대해 (Y의 규범은 Z의 규범에 대한 일반적인 제한과 동일하다) Z에서 Y까지의 연속 투영이 있는 경우 1 삽입 공간 또는^[1] P 공간이다₁.

특성.

TVS Y가 확장 속성을 가지려면 완전해야 한다${\displaystyle (\mathrm{ID맵}}$1 : ${\displaystyle Y}$→ Y {\$displaystyle \mathbf {1}:$Y에서 Y까지의 Y\to $Y},$ 즉 지도 Z → Y).^[1]

존재

만약 f : M → Y가 X의 벡터 서브공간 M에서 완전한 Hausdorff 공간 Y로 이어지는 연속 선형 지도라면, 항상 M에서 X의 M의 폐쇄까지 f의 고유한 연속 선형 확장이 존재한다.^[1][2]따라서 폐쇄 벡터 서브스페이스에서 완전한 하우스도르프 공간까지의 지도만 고려하면 된다.^[1]

결과.

확장 특성이 있는 국소 볼록한 공간은 주입식이다.^[1]Y가 주입식 Banach 공간인 경우, 모든 Banach 공간 X에 대해 X의 벡터 하위 공간에서 Y로 이어지는 모든 연속 선형 연산자는 X의 전체로 연속적인 선형 확장을 가진다.^[1]

1953년에 알렉산더 그로텐디크는 확장 특성을 가진 바나흐 공간은 유한한 차원이거나 아니면 분리할 수 없다는 것을 보여주었다.^[1]

예

기본 필드의 제품

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) K ${\$$K}}$ 위에 있는 벡터 공간이라고$$ 가정해 보십시오$.$ $여기$서 K$$${\$ {$R}$ $또는$ C$${\$displaysty \mathb {C}$} 중 $하나$이고 T ${\displaystytype$T}을(으)을$$(으)로 설정하십시오.Let ${\displaystyle Y:=\mathbb {K} ^{T},}$ which is the product of ${\displaystyle \mathbb {K} }$ taken ${\displaystyle \mathbb {K} }$ times, or equivalently, the set of all ${\displaystyle \mathbb {K} }$-valued functions on T. Give ${\displaystyle Y}$ its usual product topolog오우스도르프 지역 볼록한 TV로 만드는 거지그런 $다음{\displaystyle }$ Y$${\$displaystyle Y}$^[1]에 확장 속성이 있음나는^∞

임의의 $세트{\displaystyle }$ T ,${\displaystyle T,}$ Lp$$ 공간 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}T}$) ${\displaystyle \ell ^{\infit$}($T)}$에는 확장 속성과 메트릭 확장 속성이 모두$$ 있다.

참고 항목

• 한-바나흐 정리 – 경계 선형함수의 확장에 관한 정리
• 연속선연장
• 연속 선형 연산자

인용구

참조

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.