투영 공간

그래픽 관점에서 평면의 평행(수평) 선은 소실점(수평)에서 교차합니다.

수학에서 투영 공간의 개념은 평행선이 무한대에서 만나는 것처럼 보이는 원근법의 시각 효과에서 유래했다.따라서 투영공간은 평행선의 각 방향의 무한대에 1개의 점이 존재하도록 유클리드 공간 또는 보다 일반적으로 무한대에 점을 갖는 아핀 공간의 연장이라고 볼 수 있다.

투영 공간의 이러한 정의는 등방성이 아니며, 두 가지 다른 종류의 점을 가지고 있다는 단점이 있는데, 이는 증명에서 별도로 고려되어야 한다.따라서 일반적으로 다른 정의를 선호한다.정의에는 두 가지 클래스가 있습니다.합성 기하학에서 점 및 선은 투영 기하학의 공리를 따르는 입사 관계인 "점이 선 위에 있다" 또는 "선이 점을 통과한다"에 의해 관련되는 원시 실체이다.그러한 일련의 공리에 대해 정의된 투영 공간은 다음 정의에서 비롯된 것과 동등하다는 것이 입증되었습니다. 이는 현대 교과서에서 더 자주 볼 수 있습니다.

선형 대수를 사용하여, $차원$ n의 투영 공간은 $차원$ n + $1$ 의 벡터 $공간$ V에 있는 벡터 선의 집합(즉, 차원 1의 벡터 부분 공간)으로 정의된다. 동등하게, 그것은 "같은 벡터 선상에 있는" V \ { $0}$ 의 몫 집합이다.벡터선이 2개의 대척점에서 $V$ 의 단위구와 교차하므로 투영공간을 대척점이 식별되는 구로서 동등하게 정의할 수 있다.치수 1의 투영 공간은 투영 선이며, 치수 2의 투영 공간은 투영 평면이다.

투영 공간은 기하학에서 보다 간단한 진술과 간단한 증명을 가능하게 하기 위해 널리 사용됩니다.예를 들어, 아핀 지오메트리의 경우 평면의 두 선이 최대 한 점에서 교차하는 반면 투영 지오메트리의 경우 두 선이 정확히 한 점에서 교차합니다.또한, 무한대의 선과의 교차만으로 구별할 수 있는 원뿔 섹션의 클래스는 단 하나뿐입니다. 즉, 하이퍼볼라용 2개의 교차점, 무한대의 선과 접하는 포물선용 1개의 교차점, 그리고 타원형의 실제 교차점은 없습니다.

위상학에서, 특히 다양체 이론에서, 투영 공간은 방향성이 없는 다양체의 전형적인 예로서 기본적인 역할을 한다.

동기

투영 평면 및 중심 투영

위에서 개략적으로 설명한 바와 같이, "두 개의 코프라너 선이 정확히 한 점에서 교차하며, 선이 평행하면 이 점이 무한대에 있다"와 같은 문구를 공식화하기 위해 투영 공간이 도입되었다.이러한 진술은 원근법에 대한 연구에 의해 제시되며, 이는 평면에 대한 3차원 공간의 중심 투영으로 간주될 수 있다(핀홀 카메라 모델 참조).보다 정확하게는 카메라의 입구 동공 또는 관찰자의 눈이 투사 중심이며, 투사 평면상에 화상을 형성한다.

수학적으로 투영 중심은 공간의 $점$ O(그림에서 축의 교차점)이다. 투영 평면(그림에서 파란색으로 표시된 P)은₂ O를 $통과$ 하지 않는 평면이며, 직교 좌표를 고려할 때 종종 $방정식$ z = $1$ 의 평면으로 선택된다.그런 다음 중앙 투영에서 $점$ P를 $투영$ 평면이 있는 선 OP의 교차점에 매핑합니다. $이러한$ 교차는 점 P가 O를 $통과$ 하고 $P$ 와₂ 평행한 평면(그림에서 녹색으로 표시된 P)에₁ 속하지 않는 경우에만 존재합니다.

따라서 O를 $통과$ 하는 선은 P에 $포함$ 되지₁ 않은 선과 $P$ 에₂ $포함$ 된₁ 선, P에 포함된 선, $P$ 에₂ 포함된 선, P의 평행선 방향과 1:1로 대응되는 두 개의 분리된 서브셋으로 분할됩니다.이는 투영 평면의 점(명확성을 위해 투영 점이라고 함)을 O를 $통과$ 하는 선으로 정의하는 것을 제안합니다. 이 평면의 투영 선은 O를 $통과$ 하는 평면에 포함된 모든 투영 점(선)으로 구성됩니다.O를 $통과$ 하는 두 평면의 교점은 O를 $통과$ 하는 선이므로 두 개의 서로 다른 투영 선의 교점은 단일 투영 점으로 구성됩니다. $평면 1$ P는 $P$ 의₂ 무한대 선이라고 하는 투영 선을 정의합니다.따라서 P의 $각 2$ 점과 대응하는 투영점을 특정함으로써 투영면이 무한대에서의 P와 (투영)선의 $분리결합$ 이라고₂ 할 수 있다.

$특이점$ O를 갖는 아핀 공간은 그 관련 벡터 공간과 동일할 수 있기 때문에(아핀 공간 ine 벡터 공간 참조), 앞의 구성은 일반적으로 벡터 공간으로부터 시작되어 투영화라고 한다.또, 임의의 정의 치수의 벡터 공간으로부터 개시하는 것으로 시공할 수 있다.

$따라서$ 차원 n의 투영공간은 $차원 n$ + 1의 벡터공간에서 벡터선의 집합(차원 1의 벡터 부분공간)으로 정의될 수 있다.또한 투영공간은 이 벡터선 집합과 자연스럽게 대응하고 있는 집합의 요소로서 정의될 수도 있다.

이 집합은 "한 벡터는 0이 아닌 스칼라에 의해 다른 벡터의 곱"으로 정의된 벡터 사이의 동등성 관계 하에서 동등성 클래스의 집합일 수 있습니다.즉, 영 벡터가 제거된 벡터 선의 집합으로서 투영 공간을 정의하는 것입니다.

세 번째 등가 정의는 $치수$ n의 구( $치수$ n $+1$ 의 공간 내)에서 $치수$ n의 투영 공간을 대척점 쌍의 집합으로 정의하는 것이다.

정의.

$필드$ K 위의 벡터 $공간$ V가 주어졌을 때, 투영 $공간$ P $(V)$ 는 x = $µy$ 인 $K$ 의 0이 아닌 원소 $θ$ 가 존재하는 경우 x ~ $y$ 로 정의되는 등가관계에서 V \ { $0}$ 의 등가 등급 집합이다. $만약$ V가 위상 벡터 공간이라면, 몫 $공간$ P $(V)$ 는 몫 위상을 가진 위상 공간이다.K가 실수의 $\mathbb {R}$ R $(\$ 또는 $\mathbb {R}$ 복소수의 $\mathbb {C}$ C(\ $displaystyle \mathbb {C})$ 인 $\mathbb {C}$ $경우$ 이다. $만약$ V가 유한 차원이라면, P( $V)$ 의 치수는 $V$ 에서 1을 뺀 치수이다.

V = $K$ 인ⁿ⁺¹ $일반적$ 인 경우, 투영 $공간$ P $(V)$ 는 P $(K)$ 로 $표시$ 된다_n(단, 이 표기는 지수와 혼동될 수 있음에도 불구하고 $KP n$ $또는$ P $($ K)로ⁿ 표시된다.공간 $P n (K)$ 는 종종 K 위의 $차원$ n의 투영 공간 또는 투영 n-공간으로 불린다. $왜냐하면$ 차원 $n$ 의 모든 투영 공간이 그것과 동형이기 때문이다( $차원$ n + 1의 $모든$ K 벡터 공간이 $K$ 와ⁿ⁺¹ 동형이기 때문이다).

투영 $공간$ P $(V)$ 의 요소는 일반적으로 점이라고 불립니다.V의 $기준$ 이 선택되고 특히 V = $K$ 인ⁿ⁺¹ $경우$ P 지점의 투영 좌표는 해당 동등성 등급의 요소를 기준으로 하는 좌표가 된다.이러한 좌표는 일반적으로 [ $x 0 : ...$ : $x n]$ 로 표시되며, 일반 좌표와 구별하기 위해 사용되는 콜론과 대괄호는 0이 아닌 상수로 곱셈까지 정의되는 등가 클래스임을 강조합니다.즉, [ $x 0$ : $...$ : $x n]$ 가 점의 투영 좌표인 경우, [ $xx 0$ : $...$ : $xx n]$ 도 $K$ 의 0이 아닌 $non$ 에 대해 동일한 점의 투영 좌표이다.또한 위의 정의는 적어도 $하나$ 의₀좌표가 $0$ 이_n 아닌 경우에만 [x : ... : x $]$ 가 점의 투영 좌표임을 의미합니다 $.$

K가 실수장 또는 복소수장일 $경우$ 투영공간은 각각 실투영공간 또는 복소투영공간이라고 한다.n이 1 또는 2일 $경우$ $치수$ n의 투영공간을 각각 투영선 또는 투영평면이라고 한다.복잡한 투영선은 리만 구라고도 불린다.

이러한 모든 정의는 K가 분할 고리인 $경우$ 로 자연스럽게 확장됩니다. 예를 들어 사분위 투영 공간을 참조하십시오.P $(K)$ ^[1]에는_n PG $(n,$ $K)$ 표기가 $사용$ 되는 경우가 있습니다.K가 q개의 요소를 $가진$ 유한장일 $경우$ $P($ K)는_n 종종 $PG (n$ ,q)로 표기된다(PG(3,[2]2) 참조).

토폴로지

투영공간은 유한차원 실벡터공간의 위상에 대한 몫위상을 부여받은 위상공간이다.

$S$ 를 표준 벡터 $공간$ V에서 단위 구라고 하고, 함수를 고려하자.

\displaystyle \pi :S\to \mathbf {P}(V)}

S의

점

을 통과하는 벡터 선에 매핑합니다.이 함수는 연속적이며 투영적입니다.P

(V)

의 모든 점의 역상은 두 개의 대척점으로 구성됩니다.구는 콤팩트한 공간이기 때문에 다음과 같이 됩니다.

(유한 차원) 투영 공간은 콤팩트합니다.

S의 $모든$ $점$ P에 대해 $P$ 의 근방에 대한 $θ$ 의 제한은 그 화상에 대한 동형성이며, 단, 근방이 한 쌍의 대척점을 포함하지 않을 정도로 작다.이것은 투영된 공간이 다양체라는 것을 보여준다.다음과 같이 간단한 지도책을 제공할 수 있습니다.

V에 $대한$ 기준이 선택되자마자, 모든 벡터는 그 기준으로 그 좌표로 식별될 수 있고, P $(V)$ 의 모든 점은 동질 좌표로 식별될 수 있다.i = $0, ...,$ $n$ 의 $경우$ 집합

\displaystyle U_{i}=\{x_{0}:\cdots:x_{n},x_{i}\neq 0\}

P

(V)

의 오픈 서브셋입니다.

\displaystyle \mathbf {P} (V)=\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}}

P

(V)

의 모든 점에는 0이 아닌 좌표가 하나 이상 있기 때문입니다.

$각 i$ U에는 차트가 관련지어져 있는데, 이것은 동형사상입니다.

{displaystyle}\mathbb_{i}_{displaystyle}\mathbb_{varphi}R^{n}&\to U_{i}\(y_{0},\dots),{\widehat {y_{i}},\dots y_{n}}&\mapsto [y_{0:\cdots:y_{i-1:1:y_i+1},\cdots:y_{n}} 정렬됨

그렇게 해서

\displaystyle \varphi _{i}{-1}\left([x_{0:\cdots x_{n}\right)=\left\frac {x_{i}}},\flac {x_{i}},\widehat {x_{i}},\frac {x},{x}{n}},{n}},{n}}},{n}}},{n}}},\fright},\frak,\frac {x},\fright},{

여기서 hats는 해당 항이 결측되었음을 의미합니다.

실투영 라인의 다지관 구조

이러한 차트는 아틀라스를 형성하며, 전이 맵이 분석 함수이기 때문에 투영 공간은 분석 다양체이다.

예를 들어, 투영 $선인$ n = $1$ 의 경우, 각각 실제 선의 복사본으로 식별할 수 있는 U는 두 $개뿐$ 입니다_i.두 선에서 두 차트의 교차점은 0이 아닌 실수의 집합이며, 전이 맵은 다음과 같습니다.

x\map to {frac {1} {x}

쌍방향으로이미지는 투영선을 대척점이 식별되는 원으로 나타내며 투영선에 대한 실제 선의 두 동형상을 나타냅니다.대척점이 식별되면 각 선의 이미지가 개방된 반원으로 표현되며, 이 반원은 단일 점을 제거한 투영선으로 식별할 수 있습니다.

CW 복합 구조

실투영공간은 $상투영 n -1$ S $\to P ($ R)를ⁿ⁻¹ 부착맵으로 하여 n셀을 부착함으로써 P $(R)$ 로부터^{n − 1} P $(R)$ 를 얻을 수 있으므로 $단순$ 한ⁿ CW복소구조를 가진다.

대수기하학

원래 대수기하학은 다변량 다항식 집합의 공통 0에 대한 연구였다.대수적 변종이라고 불리는 이러한 공통 0은 아핀 공간에 속합니다.곧, 실제 계수의 경우 정확한 결과를 얻기 위해 모든 복소수 0을 고려해야 한다는 것이 밝혀졌다.예를 들어, 대수의 기본 정리는 $n차수$ 의 일변량 제곱 없는 다항식이 $정확히$ n개의 복소근을 갖는다고 주장한다.다변량의 경우 복소수 0에 대한 고려도 필요하지만 충분하지는 않습니다. 무한대에서의 0도 고려해야 합니다.예를 들어, Bézout의 정리는 투영 평면에서 복잡한 점을 고려할 때, 그리고 그 ^[3]다수로 점을 셀 때, 각각의 $도수$ $d$ 와 e의 두 평면 대수 곡선의 교점은 $정확히$ de 점으로 구성된다고 주장한다.또 다른 예는 복잡한 투영 평면에서의 특이점으로부터 평면 대수 곡선의 속(속)을 계산할 수 있는 속-도 공식이다.

따라서 투영 다양성은 투영 공간의 점 집합이며, 그 균질 좌표는 균질 ^[4]다항식 집합의 공통 0입니다.

정의 다항식을 균질화하고, 균질화 변수에 대해 포화시킴으로써 무한대의 하이퍼플레인에 포함되는 성분을 제거하는 것으로 이루어진 무한대의 점을 더함으로써 아핀 품종을 독특한 방법으로 투영 품종으로 완성할 수 있다.

사영 공간과 사영 다양성의 중요한 특성은 대수적 다양성의 형태론 하에서 사영 다양성의 이미지가 자리스키 위상(즉, 대수적 집합)에 대해 닫혀 있다는 것이다.이것은 실제와 복잡한 투영 공간의 콤팩트함에 대한 모든 지면 필드에 대한 일반화입니다.

투영 공간은 그 자체로 투영 다양성이며, 0 다항식의 0 집합이다.

스킴 이론

$20세기$ 후반 알렉산더 그로텐디크에 의해 도입된 스킴 이론은 $\mathbb {R} ^{n}.$ 아핀 스킴이라고 불리는 작은 조각들을 함께 붙임으로써 스킴이라고 $불리는$ 대수적 다양성의 $\mathbb {R} ^{n}.$ 를 정의할 수 있게 한다 $.$ $\mathbb {R} ^{n}.$ Proj 시공은 투영 공간, 그리고 보다 일반적으로 아핀 스킴을 결합함으로써 투영하는 다양한 스킴의 시공이다.투영공간의 경우, 이러한 아핀 스킴을 위해 투영공간의 상기 설명의 차트(아핀스페이스)와 관련된 아핀 스킴을 다지체로 취할 수 있다.

합성 기하학

합성기하학에서 투영공간 S는 다음 공리를 ^[5]만족시키는 P(선의 집합)의 부분 집합 L과 함께 집합 P(점 집합)로서 공리적으로 정의될 수 있다.

각각 다른 두 점 p와 q는 정확히 한 줄에 있습니다.
베블렌의 공리:^[6]a, b, c, d가 다른 점이고 ab와 cd를 통과하는 선이 만나면 ac와 bd를 통과하는 선도 마찬가지입니다.
어떤 선에도 최소 3개의 점이 있습니다.

마지막 공리는 2점 선과 함께 투영 공간의 분리된 결합으로 쓰여질 수 있는 축소 가능한 경우를 제거합니다.보다 추상적으로 정의하면 점의 집합 P, 선들의 집합 L 및 어떤 점이 어떤 선 위에 놓여 있는지를 나타내는 입사 관계 I로 이루어진 입사 구조 $(P,$ $L,$ $I)$ 로 정의할 수 있다.

이러한 공리에 의해 정의된 구조는 위에 주어진 벡터 공간 구조에서 얻은 구조보다 더 일반적이다.(투영) 치수가 최소 3인 경우 베블렌에 의해-젊은 정리, 차이가 없다.단, 차원 2의 경우 벡터 공간(또는 나눗셈 링 위의 모듈)에서 구성할 수 없는 이러한 공리를 만족시키는 예가 있습니다.이 예들은 데사르게의 정리를 만족시키지 못하고 비 데사르게스 평면으로 알려져 있다.차원 1에서는 적어도 3개의 요소를 가진 집합이 공리를 충족하기 때문에 ^[7]공리적으로 정의된 투영선에 대해 추가 구조를 가정하는 것이 일반적이다.

투영 공간을 정의하는 공리를 추가 또는 수정하여 저차원의 번거로운 경우를 방지할 수 있습니다.콕서터(1969, 페이지 231)는 바흐만 ^[8]때문에 그러한 연장을 제공한다.치수가 최소 2가 되도록 위의 라인당 3점 공리를 다음과 같이 바꿉니다.

4개의 점이 있는데, 그 중 3개는 공선이다.

비데사르게스 평면을 피하려면 파푸스의 정리를 ^[9]공리로 포함시킨다.

육각형의 꼭지점 6개가 2개의 선 위에 번갈아 놓여 있는 경우, 반대쪽 쌍의 교차점 3개가 공선이다.

그리고 벡터 공간이 특성조차 가지지 않는 장에 걸쳐 정의되도록 하기 위해 Fano의 ^[10]공리를 포함한다.

완전한 사각형의 세 개의 대각선은 절대 공선적이지 않다.

투영공간의 부분공간은 부분집합 X이며, 따라서 X의 두 점을 포함하는 모든 선은 X의 부분집합이다(즉, X에 완전히 포함된다).전체 공간과 빈 공간은 항상 하위 공간입니다.

공간의 기하학적 치수는 다음과 같은 형태의 엄밀하게 상승하는 하위 공간의 사슬이 있는 최대 수인 경우 n이라고 한다.

\displaystyle \varnothing = X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.}

이러한 체인의 부분 $X_{i}$ $($ 표시 스타일 X_{ $i$ $})$ 는 $X_{i}$ (기하학적) 차원 i $(표시 스타일$ $i$ $i$ 라고 $합니다$ .차원 0의 부분 공간은 점, 차원 1의 부분 공간은 선이라고 합니다.전체 공간에 $치수$ n ${displaystyle$ n $}$ 이 $n$ 있는 경우 ${displaystyle n-1}$ 의 $n-1$ 모든 하위 공간을 하이퍼 플레인이라고 합니다.

분류

치수 0(줄 없음):공간은 단일점입니다.
치수 1(정확히 1줄):모든 점은 고유한 선 위에 있습니다.
치수 2: 최소 2개의 라인이 있으며 임의의 2개의 라인이 일치합니다.n = $2$ 에 $대한$ 투영 공간은 투영 평면과 같다.이것들은 모두 PG( $d,$ $K)$ 와 동형인 것은 아니기 때문에 분류하기가 훨씬 어렵다.데사르게 평면(PG $(2,$ $K)$ 과 동형인 평면)은 데사르게의 정리를 만족시키고 분할 고리 위에 투영된 평면이지만, 데사르게가 아닌 평면들이 많다.
치수 3 이상: 교차하지 않는 선 두 개가 있습니다.Veblen & Young(1965)은 Veblen을 증명했습니다. $차원$ n ≤ $3$ 의 모든 투영 공간은 분할 고리 K 위의 n차원 투영 공간인 PG( $n,$ $K)$ 와 동일하다는 영 정리.

유한 투영 공간 및 평면

파노 비행기

유한 투영 공간은 P가 유한한 점 집합인 투영 공간이다.모든 유한 투영 공간에서 각 선은 동일한 수의 점을 포함하며 공간의 순서는 이 공통 수보다 1 적은 값으로 정의됩니다.최소 3차원의 유한한 투영공간에 대하여, 웨더번의 정리는 투영공간의 정의되는 분할고리가 유한장 GF(q)이어야 한다는 것을 의미하며, 그 순서(즉, 요소의 수)는 q(소수)이다.이러한 유한 필드에 대해 정의된 유한 투영 공간은 선상에 q + 1개의 $점$ 을 $가지므로$ 두 가지 순서 개념이 일치합니다.통지적으로 PG( $n, GF(q)$ 는 보통 PG $(n,$ q)로 표기됩니다.

같은 차수의 모든 유한장은 동형이며, 따라서 동형사상까지는 주어진 유한장에 걸쳐 3보다 크거나 같은 각 차원에 대해 오직 하나의 유한 투영공간이 존재한다.그러나 차원 2에는 비-데사르게스 평면이 있습니다.동형사상에는 다음과 같은 것이 있다.

1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, ...(OEIS의 시퀀스 A001231)

각각 2, 3, 4, ..., 10 차수의 유한 투영 평면.이 값을 초과하는 숫자는 매우 계산하기 어려우며 브루크-라이저 정리로 인해 일부 0 값을 제외하고는 결정되지 않습니다.

가장 작은 투영 평면은 7개의 점과 7개의 선이 있는 PG( $2,$ 2 $)$ 인 Fano 평면입니다.가장 작은 3차원 투영 공간은 PG(3,2)이며, 15개의 점, 35개의 선 및 15개의 평면이 있습니다.

형태론

동일한 필드 k 위의 $두$ 벡터 공간 V와 W 사이의 주입 선형 맵 $T$ ∈ L $(V,$ $W)$ 은 다음을 통해 대응하는 투영 $공간$ P $(V)$ → $P (W)$ 의 매핑을 유도한다.

[v]

→ [

T (v)],

여기서 v는 V의 0이 아닌 요소이고 [...]는 각 투영 공간의 정의 식별에 따른 벡터의 동등성 클래스를 나타냅니다.등가 클래스의 멤버는 스칼라 계수에 따라 다르며 선형 맵은 스칼라 계수를 유지하기 때문에 이 유도 맵은 명확하게 정의되어 있습니다.(T가 주입식이 아닌 경우 {0}보다 큰 null 공간을 가집니다. 이 경우 v가 0이 아니고 null 공간에 있으면 T(v) 클래스의 의미가 문제가 있습니다.이 경우 합리적인 지도를 얻을 수 있습니다(이성 기하학도 참조).

L $(V,$ $W)$ 의 2개의 선형 맵 S와 T는 스칼라 배수가 다른 경우에만, 즉 일부 $δ$ δ $δ$ 0에 대해 T = $δ$ S인 $경우$ 에만 P(V)와 P(W) 간에 동일한 맵을 유도한다.따라서 기본 필드 K와 동일성 맵의 스칼라 배수를 식별하면, P(V)에서 P(W)까지의 K-선형 형태소의 집합은 $단순히$ P $(L (V,$ $W)$ 이다.

$자기동형$ P $(V)$ → $P (V)$ 는 보다 구체적으로 기술할 수 있다(기준장 K를 보존하는 자기동형만을 취급한다).전역 단면에서 생성된 단면의 개념을 사용하여, 모든 대수적(꼭 선형일 필요는 없음) 자기동형이 선형이어야 한다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, 벡터 공간 V의 (선형) 자기동형성에서 비롯된다.후자는 그룹 GL(V)을 형성합니다.스칼라별로 다른 맵을 식별하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

Aut(P (V))

=

Aut(V)/ K \times = GL

(

V)/ K \times

=:

PGL(V),

GL(V) 모듈로의 몫 군으로, 항등식의 스칼라 배수인 행렬입니다.(이 행렬들은 Aut(V)의 중심을 형성합니다.)PGL 그룹은 투영 선형 그룹이라고 합니다.복소 투영선¹ P(C)의 자기동형을 뫼비우스 변환이라고 한다.

이중 투영 공간

위의 구성을 V가 아닌 이중^∗ 공간 V에 적용하면 V의 원점을 통해 초평면 공간과 규범적으로 동일시할 수 있는 이중 투영 공간을 얻을 수 있다.즉, V가 n차원이면 P(V^∗)는 V에서 n - $1$ $평면$ 의 그래스만이다.

대수기하학에서, 이 구조는 투영 다발의 구성에 있어 더 큰 유연성을 허용합니다.국소적으로 자유로운 공간뿐만 아니라 ^{[clarification needed]}스킴 Y를 통해 투영 공간을 모든 준코히런트 층 E에 연관시킬 수 있기를 바랍니다.'EGA_II' 참조.자세한 내용은 파트 4

일반화

치수: 주어진 벡터 공간 V의 모든 1차원 선형 부분 공간의 "공간"인 투영 공간은 V의 고차원 부분 공간을 매개변수화하는 그래스만 다양체로 일반화된다.
서브스페이스 시퀀스: 보다 일반적으로 플래그 다양체는 플래그 공간, 즉 V의 선형 하위 공간의 체인이다.
기타 서브변종: 보다 일반적으로 모듈리 공간은 특정 종류의 타원곡선과 같은 객체를 파라미터화합니다.
다른 링: 예를 들어 필드뿐만 아니라 관련 링으로 일반화하면 링 위에 투영된 선이 생성됩니다.
패치 적용: 투영 공간에 패치를 적용하면 투영 공간 번들이 생성됩니다.

세베리-브라우어 다양성은 필드 k에 걸친 대수적 다양성으로, 베이스 필드 k를 확장한 후 투영 공간과 동형이 된다.

투영 공간의 또 다른 일반화는 가중 투영 공간이다. 그 자체가 토릭 ^[11]변종의 특수한 경우이다.

「」를 참조해 주세요.

일반화

투영 형상

메모들

^ 마우로 빌리오티, 비크람 자, 노먼 L. 존슨(2001) 번역기 재단, 506, 마르셀 데커 ISBN 0-8247-0609-9
^ 이 표기법에서는 콤마 뒤에 공백이 없는 것이 일반적입니다.
^ 쉽지 않은 다중성의 올바른 정의는 20세기 중반부터입니다.sfn 오류: 대상 없음:
^ 동종좌표에 0이 아닌 스칼라를 곱할 때 0이 유지되도록 하기 위해 동종이 필요합니다.sfn 오류: 타겟: cITREFhomious_required_in_order (도움말)
^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998, 페이지 6-7
^ 베블렌이라고도 합니다.젊은 공리이며 Pasch의 공리로서 잘못 알고 있다(Beutelspacher & Rosenbaum 1998, 페이지 6-7).Pasch는 실제 투영 공간에 관심을 가지고 질서를 도입하려고 시도하고 있었는데, 이는 베블렌의 관심사가 아닙니다.젊은 공리.
^ Baer 2005, 페이지 71
^ Bachmann, F. (1959), Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff, Grundlehren der mathematischen Wissenschaftern, 96, Berlin: Springer, pp. 76–77
^ 파푸스의 정리가 데사르게스의 정리를 암시하듯이, 이것은 비 데사르게스 평면을 제거하고 공간이 (나눗셈 고리가 아닌) 필드 위에 정의된다는 것을 암시한다.
^ 이 제한에 의해 실제 필드 및 복잡한 필드를 사용할 수 있지만(특징 없음), Fano 평면 및 비정상적인 동작을 보이는 다른 평면은 제거됩니다.
^ Mukai 2003, 예 3.72

레퍼런스

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Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157(특히 I.2, I.7, II.5 및 II.7장)
Hilbert, D.와 Cohn-Vossen, S.; Geometry and the Imagination, 2ed.첼시(1999년).
Mukai, Shigeru (2003), An Introduction to Invariants and Moduli, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-80906-1
Veblen, Oswald; Young, John Wesley (1965), Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, MR 0179666 (1910년판 개정)

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Projective Space". MathWorld.
PlanetMath의 투영 공간.
소순서 투영 평면

[1] 마우로 빌리오티, 비크람 자, 노먼 L. 존슨(2001) 번역기 재단, 506, 마르셀 데커 ISBN 0-8247-0609-9

[2] 이 표기법에서는 콤마 뒤에 공백이 없는 것이 일반적입니다.

[FOOTNOTEThe_correct_definition_of_the_multiplicity_if_not_easy_and_dates_only_from_the_middle_of_20th_century-3] 쉽지 않은 다중성의 올바른 정의는 20세기 중반부터입니다.sfn 오류: 대상 없음:

[FOOTNOTEHomogeneous_required_in_order_that_a_zero_remains_a_zero_when_the_homogeneous_coordinates_are_multiplied_by_a_nonzero_scalar.-4] 동종좌표에 0이 아닌 스칼라를 곱할 때 0이 유지되도록 하기 위해 동종이 필요합니다.sfn 오류: 타겟: cITREFhomious_required_in_order (도움말)

[5] Beutelspacher & Rosenbaum 1998, 페이지 6-7

[6] 베블렌이라고도 합니다.젊은 공리이며 Pasch의 공리로서 잘못 알고 있다(Beutelspacher & Rosenbaum 1998, 페이지 6-7).Pasch는 실제 투영 공간에 관심을 가지고 질서를 도입하려고 시도하고 있었는데, 이는 베블렌의 관심사가 아닙니다.젊은 공리.

[7] Baer 2005, 페이지 71

[8] Bachmann, F. (1959), Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff, Grundlehren der mathematischen Wissenschaftern, 96, Berlin: Springer, pp. 76–77

[9] 파푸스의 정리가 데사르게스의 정리를 암시하듯이, 이것은 비 데사르게스 평면을 제거하고 공간이 (나눗셈 고리가 아닌) 필드 위에 정의된다는 것을 암시한다.

[10] 이 제한에 의해 실제 필드 및 복잡한 필드를 사용할 수 있지만(특징 없음), Fano 평면 및 비정상적인 동작을 보이는 다른 평면은 제거됩니다.

[11] Mukai 2003, 예 3.72

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