루트 테스트

수학에서 뿌리시험은 무한계열의 수렴(융합시험)의 기준이 된다. 수량에 따라 다르다.

\limsup _{n\rightarrow \infit }{\sqrt[{n}]{a_{n}}},

여기서 $a_{n}$ ${\$ 은 시리즈의 $a_{n}$ 용어로서, 이 양이 1보다 적으면 시리즈가 절대적으로 수렴되지만, 1보다 크면 분산된다고 명시한다. 그것은 특히 파워 시리즈와 관련하여 유용하다.

루트 테스트 설명

루트 테스트에 대한 의사결정도

뿌리 테스트는 아우구스틴 루이 코치가 그의 교과서인 쿠르스 다날리스(1821년)에 발표하면서 처음 개발했다.^[1] 따라서, 그것은 때때로 카우치 뿌리 시험이나 카우치의 급진적인 시험으로 알려져 있다. 시리즈용

\sum _{n=1}^{\nft }a_{n}.

루트 테스트는 숫자를 사용한다.

C=\limsup _{n\rightarrow \infit }{\sqrt[{n}]{a_{n}}},

여기서 "lim supp"은 한계 상위를 나타내며, 가능한 한 ++이다. 다음 사항에 유의하십시오.

\lim _{n\rightarrow \infit }{\sqrt[{n}]{a_{n}},

수렴 후 C와 같으며 대신 루트 테스트에 사용될 수 있다.

루트 테스트에는 다음과 같이 명시되어 있다.

만약 C < 1 그러면 시리즈는 절대적으로 수렴된다.
만약 C > 1이 되면 시리즈가 갈라진다.
C = 1이고 한계가 위에서 엄격히 접근하면 시리즈가 분리된다.
그렇지 않으면 시험이 결론에 이르지 않는다(시리즈가 갈라지거나, 절대적으로 수렴되거나, 조건부로 수렴될 수 있다.

C = 1과 영상 시리즈가 수렴되는 시리즈( $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$ : $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$ 1 $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$ / $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$ $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$ ${\$ C = 1과 영상 시리즈가 분산되는 시리즈( $\textstyle \sum 1/n$ : $\textstyle \sum 1/n$ 1 $\textstyle \sum 1/n$ / $\textstyle \sum 1/n$ ${\$ \sum 1 $/n$

전원 시리즈에 적용

이 테스트는 파워 시리즈와 함께 사용할 수 있다.

f(z)=\sum _{n=0}^{\\infit }c_{n}(z-p)^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 계수 c와_n 중심 p는 복잡한 숫자이고 인수 z는 복잡한 변수다.

이 시리즈의 조건은 a_n = c_n(z - p)로 주어진다.ⁿ 그런 다음 루트 테스트를 위와 같이 a에_n 적용한다. 이와 같은 시리즈를 파워 시리즈 "around p"라고 부르기도 하는데, 이는 수렴의 반경이 가장 큰 간격의 반경 R이거나 p에서 중심이 되는 디스크이기 때문에 시리즈가 내부의 모든 지점 z에 대해 정합될 것이기 때문이다(구간 또는 디스크의 경계에 대한 수렴은 일반적으로 별도로 확인해야 한다). A corollary of the root test applied to such a power series is the Cauchy–Hadamard theorem: the radius of convergence is exactly $1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{ c_{n} }},$ taking care that we really mean ∞ if the denominator is 0.

증명

시리즈 σa의 정합성 입증은 비교시험의 응용이다. 만약 모든 n에 ≥ N우리는 nn≤ k<>다(N어떤 자연수);1,{\displaystyle{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq k<, 1,}그때 오빠 ≤ kn<1{\displaystyle a_{n}\leq k^{n}< 1}. 기하학적 시리즈∑ nxN∞ kn{\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}k^{n}}전진. 그렇게 할 때 $\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|$ = $\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|$ $\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|$ $\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|$ $displaystyle \sum _{n=N}^{\inful$ } $a_{n}}}$ 비교 테스트 $\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|$ . 그러므로 σa는 절대적으로 수렴한다.

무한히 $\sqrt[n]{|a_n|} > 1$ ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$ n에 대해 n > 1 {\ $displaystyle {\sqrt$ [{n}]{ $a_{n}$ }1}이 $($ 가) 0으로 수렴되지 않으면 시리즈가_n 서로 다르다.

골수 증명: 파워 시리즈 Eσa = Eσc(_nz - p)ⁿ의 경우, 우리는 위에 의해 시리즈가 N이 존재하면 모든 n ≥ N에 대해 수렴한다는 것을 알 수 있다.

{\sqrt[{n}]{a_{n}}}}}{\sqrt[{n}]{c_{n}(z-p)^{n}}}}}}}}}

에 준하는.

{\sqrt[{n}]{c_{n}}}}}\cdot z-p <1

모든 n ≥ N에 대해, 즉 시리즈가 수렴되기 위해서는 충분한 n에 $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ z - $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ < $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ / $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ {\ $displaystyle z-p <1/{\sqrt[{n}]{c_{n}}}}}}}}$ 이 있어야 함을 의미한다. 이것은 말하는 것과 같다.

z-p <1/\limsup _{n\오른쪽 화살표 \infit }{\sqrt[{n}]{c_{n}}}},

그래서 $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ 1 / $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ n → $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ c $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ ${\displaystyle R\leq$ 1 $/\limsup _{n$ \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\}{n $\sqrt[{n}]{$ c_{n $}}}}}}}}$ 이제 $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ 융합을 할 수 있는 다른 유일한 장소는 언제일 뿐이다.

{\sqrt[{n}]{a_{n}}}}}{\sqrt[{n}]{c_{n}(z-p)^{n}}}}}}}}

(점 > 1) 그리고 이것은 단지 간격이나 디스크의 경계에 놓여있는 점들이기 때문에 수렴의 반경을 바꾸지 않을 것이다.

R=1/\limsup _{n\rightarrow \infit }{\sqrt[{n}]{c_{n}}}

예

예 1:

\sum _{i=1}^{\inflt }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}

$\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ 테스트를 적용하고 $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ n $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ → $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ / $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ = 1 $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,$ , $\lim _{n\rightarrow \inflt }n^{1/n}=1,$ 을(를) 사용

C={\sqrt[{n}]{ {\frac {2^{n}}{n^{9}}} }}={\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}={\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2

$C=2>1,$ = $C=2>1,$ > $C=2>1,$ , $C=2>1,$ 이(가)^[2] 시리즈가 $C=2>1,$ 분산되기 때문에.

예 2:

1+1+0.5+0.5+0.25+0.25+0.25+0.125+0.125+...

뿌리검사에서 수렴이 나타나는 이유는

r=\limsup _{n\to \infit }{\sqrt[{n}}{n}}}{n\to \infit }{\sqrt[{n}]{.5^{n}}}}}} }=.5<1.

이 예는 루트 테스트가 비율 테스트보다 얼마나 강한지를 보여준다. $a_{n}=a_{n+1}=.5^{n}$ $n$ 이 $n$ (가) 홀수여서 $a_{n}=a_{n+1}=.5^{n}$ = $a_{n}=a_{n+1}=.5^{n}$ + $a_{n}=a_{n+1}=.5^{n}$ = . $a_{n}=a_{n+1}=.5^{n}$ ${\$ 인 경우 비율 테스트는 이 시리즈에 대해 결론을 내리지 못한다. $^{n}}($ $n$ $n$ 이 $n$ (가) 짝수인 경우는 아니지만) 때문에

r=\lim _{n\flac {a_{n+1}}\왼쪽 {n\flac {a_{n1}:{n}}\rim_{n\n\to \flapt{2\cdot .5^{n}}}{2\cdot .5^{n}\rig}\오른쪽 =1.

참고 항목

참조

^ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Warren Van Egmond에 의해 이탈리아어로 번역되었다.
^ Briggs, William; Cochrane, Lyle (2011). Calculus: Early Transcendentals. Addison Wesley. 571 페이지

Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
Whittaker, E. T. & Watson, G. N. (1963). "§ 2.35". A Course in Modern Analysis (fourth ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.

이 글은 Creative Commons Attribution/Share-Alike 라이선스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath에 대한 Cochy의 루트 테스트에서 얻은 자료를 통합한 것이다.

[1] Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Warren Van Egmond에 의해 이탈리아어로 번역되었다.

[2] Briggs, William; Cochrane, Lyle (2011). Calculus: Early Transcendentals. Addison Wesley. 571 페이지

[1]

[2]

v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수 규칙 및 분화 로그 유도화 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 호 길이 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클라우린 대수 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니즈 최소값 소수점 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션의 방법 기계식 이론의 방법
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