기하학 미적분

수학에서, 기하학 미적분은 미분과 적분을 포함하도록 기하학 대수를 확장한다.형식주의는 강력하며 미분 기하학과 미분 ^[1]형식을 포함한 다른 수학 이론을 포괄하는 것으로 보여질 수 있습니다.

차별화

기하학 대수가 주어졌을 때 $,$ $a와$ 를 $b$ 벡터 $, F$ 를 $F$ 벡터의 멀티벡터 값 $F$ 라고 $합니다$ . $\displaystyle$ 에서 $a$ b $\displaystyle$ b에 $b$ F $\displaystyle$ F의 $F$ $방향$ 도함수는 다음과 같이 정의됩니다.

(\displayla _{b}(a)=\lim _{\ilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}}{\epsilon }}

$scalar$ ${\$ { $displaystyle$ \ $epsilon$ $\epsilon$ 에 대한 제한이 존재하는 경우. 이는 일반적인 방향 도함수의 정의와 유사하지만 반드시 scalar 값이 아닌 함수로 확장됩니다.

다음으로 일련의 기본 벡터 $\{e_{i}\}$ $}{displaystyle$ \{ $e_{i}\}}$ 를 $\{e_{i}\}$ 선택하고 $\$ 의 $e_{i}$ 으로 방향 도함수를 $\partial _{i}$ 하는 $\partial _{i}$ 연산자를 검토합니다 $\partial _{i}$

(\displaystyle\displaystyle_{i:F\mapsto(x\mapsto(\nabla _{e_{i}}F)(x))}).

그런 다음 아인슈타인 합계 표기법을 사용하여 연산자를 고려합니다.

(\displaystyle e^{i}\displaystyle _{i})

즉,

F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,

여기서 방향 도함수 뒤에 기하학적 곱이 적용됩니다.상세하게 설명:

(\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x))}).

이 연산자는 프레임 선택과 독립적이므로 기하 도함수를 정의하는 데 사용할 수 있습니다.

(\displaystyle\displaystyle=e^{i}\displaystyle_{i}).}

이것은 일반적인 구배 정의와 비슷하지만 반드시 스칼라 값이 아닌 함수로도 확장됩니다.

방향 도함수는 방향과 관련하여 선형입니다. 즉, 다음과 같습니다.

\displaystyle \la _{\alpha a+\la b}=\alpha \la _{a}+\la \la _{b}.}

따라서 방향 도함수는 기하 도함수에 의한 방향의 내적이다.주의할 점은 다음과 같이 {\ $displaystyle$ a $}$ 의 $a$ 방향을 $=$ ( $a\displaystyle e$ ^{ $i})$ e_ ${i$ 로 $a=(a\cdot e^{i})e_{i}$ 할 수 있다는 것입니다.

\displaystyle \cdot _{a}=\cdot e^{i}e_{i}\cdot _{e}}=a\cdot (e^{i}\cdot _{i})=a\cdot _{e_{i}=a\cdot .la}

$\nabla _{a}F(x)$ 때문에 $\nabla _{a}F(x)$ F $\nabla _{a}F(x)$ $)(\displaystyle$ $a\cdot \nabla F(x)$ \ $nabla$ _ ${a}F(x))$ 는 $\nabla _{a}F(x)$ 보통 $)$ 로 $표시$ 됩니다.\ $style a\cdot$ \ $nabla F($

기하 도함수에 대한 표준 연산 순서는 바로 오른쪽에 가장 가까운 함수에만 작용한다는 것입니다.예를 들어 F $\displaystyle$ $G$ 와 $F$ G $displaystyle$ G의 2가지 $F$ 이 있습니다.

(\displaystyle\la FG=(\nabla F)G}

제품 규칙

부분 도함수는 곱의 법칙을 나타내지만, 기하 도함수는 이 특성을 부분적으로만 상속한다.F $\displaystyle$ F $F$ $displaystyle$ G\displaystyleG의 두 가지 $F$ 을 고려합니다.

{narged}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+F(\partial_{i}\partial_{i}G)\\&=e^{i}({i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end { aligned}

기하학적 곱은 $e^{i}F\neq Fe^{i}$ 으로 e i $e^{i}F\neq Fe^{i}$ $e^{i}F\neq Fe^{i}$ e $e^{i}F\neq Fe^{i}$ \ $displaystyle$ e^ { $i$ } $F$ \ $neq$ Fe ^ { $i$ } $e^{i}F\neq Fe^{i}$ 가환하지 않기 때문에 진행하려면 새로운 표기법이 필요합니다.해결책은 오버닷 표기법을 채택하는 것인데, 오버닷을 가진 기하학적 도함수의 범위는 동일한 오버닷을 공유하는 다원적 값 함수이다.이 경우, 다음과 같이 정의하면

{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),

그러면 기하학적 도함수에 대한 곱의 법칙은

\dotla (FG)=\nabla FG+{\dot {g}F{\dot {G}}

내부 및 외부 파생 모델

$($ $디스플레이$ $스타일$ F $)$ 를 $F$ r $(디스플레이 스타일$ R $)$ 등급 $r$ 멀티벡터로 합니다.그런 다음 내부 및 외부 파생 모델인 연산자 쌍을 정의할 수 있습니다.

\displaystyle \cdot F=\langle \cdot F\langle _{r-1}=e^{i}\cdot \cdot _{i}F,}

\displaystyle \displayla \langle F=\langle _{r+1}=e^{i}\displaystyle \displaystyle F=\langle _{i}F.}

특히 F $(\displaystyle$ F $)$ 가 $F$ 1등급(벡터 값 함수)이면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\displaystyle\cdot F+\nabla\cdla F+\nabla \cdisplaystyle \cdla F=\nabla

그리고 발산 및 컬을 식별한다.

\cdot F=\operatorname {div} F,

{\displaystyle\displayla\displayF=I,\operatorname{display}F}

기하 도함수와 달리 내부 도함수 연산자도 외부 도함수 연산자도 반전할 수 없다.

통합

{ $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ 1 $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $}$ { $displaystyle$ \ { $e$ _ { 1 , $\ldots$ , $e$ _ { n $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ } } ${\$ n $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ \ $displaystyle$ n $n$ space space space space space공간 전체에 걸친 기저 벡터 세트라고 합니다 $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ 기하학적 대수에서 우리는 의사 $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ e 1 $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ e 2 $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ e $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ e $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ \ $displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge$ \cdots \ wedge $e_{n}$ 을 $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ 이러한 벡터에 의해 하위화된 $n$ \ $displaystyle$ n $}$ - parallealleallelotope의 $n$ 부호 볼륨으로 해석한다.기본 벡터가 직교 정규인 경우 단위 의사값입니다.

보다 일반적으로, 전체 $n개$ 의 $n$ $1\leq k\leq n$ \ $displaystyle$ $n차원$ 벡터 $k$ 에서 $k$ 부분 공간의 길이, $1\leq k\leq n$ 또는 기타 $k$ $일반$ k $\displaystyle$ k $\$ $leq$ 하기 위해 기본 벡터의 k\ $displaystyle$ $1\leq k\leq n$ k $\$ subset으로 제한할 수 $1\leq k\leq n$ $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ 된 기저 벡터는 { e $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ 1, $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ k $}$ { $displaystyle$ \ { e $_$ { i $_$ { n $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ } , \ $ldots$ , $e$ _ { $i$ } $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ } $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$ 。 $일반$ k $\$ $displaystyle$ k} - volume는 $k$ $k$ 이러한 벡터에 의해 하위가 되는 $k$ \ $display kylelotope$ 2 $k$ $e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}$ $e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}$ 입니다 $e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}$ $\cdots\cdots\cdots$ \cdots\ $cdots$ \cdots\cdots\{ $i_{k$

보다 일반적으로는 새로운 $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ 벡터 $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ { $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ e $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ 1, $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ $k$ }({ $displaystyle$ $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ \{ $x^{i_1},\ldots,x^{i_{k}}e_{i_{k}}})$ 를 $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ 생각할 수 있습니다. $\{x^{i_{j}}\}$ 서 각 $\{x^{i_{j}}\}$ 의 $\{x^{i_{j}}\}$ $k$ 에 $k$ 비례합니다 $.$ 기본 벡터 중 하나를 측정할 수 있습니다.0이 아닌 범위 내에서 무한히 작은 컴포넌트를 자유롭게 선택할 수 있습니다.이러한 용어의 외부 곱은 $\displaystyle$ k - 부피로 $k$ 해석될 수 있으므로, 측정을 정의하는 자연스러운 방법은 다음과 같습니다.

{begin {aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}e_{1}\right)\wedge \left({i_{2}e_{2}}\right)\cdots \left(x^{i_{k}e_{k}\right})\\&=\left(e_{i_{1}}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots e_{i_{k}\right)cdots^{i_{1}\cdots dx^{i_{k}}.\end { aligned}

따라서 측정값은 항상 벡터 공간의 k $(\displaystyle$ k $)$ $k$ 부분 공간의 단위 의사값에 비례합니다.미분 형식 이론에서 리만 부피 형식을 비교합니다.이 측정과 관련하여 적분이 취해진다.

\displaystyle \int _{V}F(x), d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1})\wedge e_{i_{cdots\right}\wedge e_{i_{k}\wedge e_{cdcdcdots}\right)^{i_{i_{cdx}{cdx}{cdcdx}

좀 더 형식적으로, 서브스페이스의 일부 지시 볼륨 $(\displaystyle$ V $)$ 를 $V$ 고려합니다.우리는 이 책을 단순화의 총합으로 나눌 수 있다.{ $\{x_{i}\}$ i $}$ { $displaystyle$ \ { x $_$ { $i$ } \ } be $\{x_{i}\}$ $\{x_{i}\}$ 각 정점에서 정점을 공유하는 단순성의 평균 측정값으로 측정값 $\Delta U_{i}(x)$ $\Delta U_{i}(x)$ ( $\Delta U_{i}(x)$ )(\ $displaystyle \Delta$ U_ ${i}(x))$ 를 $\Delta U_{i}(x)$ 할당합니다.다음으로 볼륨을 보다 세밀하게 분할할 수 있는 한도에서 U $)$ 에 $U(x)$ F $)$ { $displaystyle$ F $($ $x)}$ 의 $F(x)$ $U(x)$ 적분을 구합니다.

\displaystyle \int _{V}F,dU=\lim _{n\rightarrow \infty}\sum _{i=1}^{n}F(x_{i}),\Delta U_{i}(x)}

기하학 미적분의 기본 정리

위와 같이 기하학적 도함수와 적분을 정의하는 이유는 스톡스의 정리를 강하게 일반화 할 수 있기 때문이다. ${\mathsf {L}}(A;x)$ ${\mathsf {L}}(A;x)$ ; ${\mathsf {L}}(A;x)$ )({style $\displaystyle$ r $}(A;x))$ 을 ${\mathsf {L}}(A;x)$ 첫 번째 인수에서 r $\displaystyle$ r $}$ $등급$ $r$ $입력$ A $(\displaystyle$ A $)$ 및 $A$ 일반 $위치$ x(\ $displaystyle$ x $x$ 의 멀티 벡터 값 함수라고 합니다.다음으로 기하학 미적분의 기본정리는 $부피$ V $위$ 의 $V$ $도함수$ 의 적분을 경계 위의 적분에 관련짓는다.

$\displaystyle \int _{V}{\dot {mathsf {L}}\left({\dot {\dot {\dotla }}dX;x\right)=\point _{\mathsf {L}}(d;x)}$

${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ 를 들어 L ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ ( ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ ; ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ ) ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ ( ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ ) ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ - 1 ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ \ $displaystyle$ \ $mathsf$ { $L$ } （ $A$ ; x ） = \ $langle$ F ( ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ ) 。 $벡터값$ $F(x)$ F $n-1$ $x$ 및 n-1 ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ (\ $displaystyle$ $n-1)$ $n-1$ $멀티벡터$ A $(\displaystyle$ A $A$ 의 경우 AI $^{-1$ }\ $rangle}:$

{\dot {argla } {\dot {L}}dX;x\right}&=\int _{V}\langle {F}(x) {\dot {\dot}}}{\dot {DX,I^-1\int}\langle = {\rangle

저도 마찬가지예요.

{\displaystyle {\mathsf {L}(dS;x)&=\langle F(x),dS,I^{-1}\langle \\&=\point _{\langle V}\langle F(x){\langle D(x},

이렇게 해서 발산정리를 회복하고

\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot F(x), dX =\point _{\display V}F(x)\cdot {n}, dS.}

공변 미분

$n차원$ 에서 $n$ 충분히 $매끄러운$ k $(디스플레이$ $스타일$ k $)$ 표면은 $k$ 다지관으로 간주됩니다.매니폴드의 각 지점에 매니폴드에 접하는 k $(\displaystyle$ k $)$ - $B$ B $(\displaystyle$ B $)$ 를 $B$ 부착할 수 있습니다.로컬에서 B $(\displaystyle$ B $)$ 는 $B$ k $(\displaystyle$ k $)$ $k$ 공간의 의사 스칼라 역할을 합니다.이 블레이드는 다지관에 대한 벡터 투영을 정의합니다.

(\displaystyle {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1}B).}

기하학적 도함수 $\nabla$ $δ$ $\nabla$ { $displaystyle$ \ $nabla}$ 가 $\nabla$ n개의 차원 $n$ 공간 $n$ 에 걸쳐 정의되었듯이, 다지관에 로컬로 정의된 고유 도함수 $\partial$ δ { $displaystyle \partial$ 을 정의할 수 있습니다.

{\displaystyle\displaystyle F=displaymathcal {P}}_{B}(\nabla)F.}

(주: 위 오른쪽은 다지관과의 접선 공간에 있을 수 없습니다. ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$ 반드시 접선 공간에 있는 ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$ B ( ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$ ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$ ) \ $displaystyle$ \ $mathcal$ { $P }$ _ { B } （ $nabla$ F ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$ ） ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$ ) ) ))))))))))) )))) )))) ))))) )))))))) ))))))) )))))))

$\displaystyle$ a $}$ 가 $a$ 다지관에 접하는 벡터인 $경우$ , 실제로 기하 도함수와 고유 도함수 모두 동일한 방향 도함수를 제공합니다.

(\displaystyle a\cdot\cdot F=a\cdot\cdot F).}

이 연산은 완벽하게 유효하지만 $\partial F$ $(\displaystyle\partial$ F $)$ 자체가 반드시 $\partial F$ 매니폴드에 있는 것은 아니기 때문에 항상 유용한 것은 아닙니다.따라서, 우리는 공변 도함수를 매니폴드에 대한 본질 도함수의 강제 투영으로 정의한다.

(\displaystyle df=mathcal {P}_{B}(a\cdot \mathcal {P})=mathcal {P}_{B}(\nabla)F).}

어떤 일반 멀티벡터도 투영과 기각의 합으로 표현될 수 있기 때문에, 이 경우

({displaystyle a\cdot \cdot F}_{B}+{\mathcal {P}_{B}^{\perp }(a\cdot \cdot F))})

우리는 다음을 만족시키는 새로운 기능인 ${\mathsf {S}}(a)$ S ( a $)\displaystyle\mathsf {S}}(a)$ 를 ${\mathsf {S}}(a)$ 도입한다.

{{displaystyle F}\times {S}(a)={B}^{\perp }(a\cdot\perp F)}

여기서 $×(\displaystyle\times)$ 은 $\times$ 정류자 제품입니다.접선 표면을 가로지르는 국소 좌표 $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}$ e i $}$ { $displaystyle$ \ { $e$ _ { i $\{e_{i}\}$ } \ } 에서는 $\{e_{i}\}$ 형상 텐서는 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \mathsf {S}(a)=e^{i}\wedge {mathcal {P}_{B}^{\perp}(a\cdot \cdot e_{i}).}

중요한 것은, 일반 다양체에서 공변 미분은 이동하지 않는다는 것이다.특히 정류자는 다음과 같이 형상 텐서와 관련된다.

[a\cdot D,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {S}(b)\times F).

분명히 S ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ ( ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ ) × ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ ( ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ $)\displaystyle\mathsf {S}(a)\times\mathsf {S}}(b)$ 라는 ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ 가 흥미롭다.그러나 본질적인 도함수와 마찬가지로 다양체 상에 반드시 존재하는 것은 아니다.따라서 리만 텐서를 매니폴드에 대한 투영으로 정의할 수 있습니다.

{\mathsf {R}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}(a)\times {mathsf {S}}}(b)}).}

마지막으로 F{\ $displaystyle$ F $}$ 가 $F$ 등급r {\ $displaystyle$ r $r$ 인 $경우$ 내부 및 외부 공변 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

({displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1})

({displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1})

고유 유도체도 마찬가지입니다.

미분 지오메트리와의 관계

다지관 상에서 기본 $\{e_{i}\}$ 벡터 $\{e_{i}\}$ { $}$ { $displaystyle \{e_{$ i $\{e_{i}\}$ 에 의해 스팬된 탄젠트 표면을 로컬로 할당할 수 있습니다. 메트릭 텐서, 크리스토펠 기호 및 리만 곡률 텐서의 성분을 다음과 같이 연결할 수 있습니다.

\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j}

\displaystyle \Gamma _{i}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k}}

{displaystyle R_{ikl}=mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k}\cdot e_{l}.}

이러한 관계들은 기하학적 미적분학 안에 미분 기하학의 이론을 심는다.

미분 형태와의 관계

로컬 좌표계( $x^{1},\ldots ,x^{n}$ 1, $x^{1},\ldots ,x^{n}$ $x^{1},\ldots ,x^{n}$ {\ $displaystyle$ x $^{1},\ldots,x^{n})$ 에서 좌표 $dx^{1}$ $dx^{1}$ x $dx^{1}$ (\ $displaystyle$ dx $^{$ 1 $dx^{1}$ ..., $dx^{n}$ $dx^{n}$ (\ $displaystyle$ dx $^{n})$ 은 $dx^{n}$ 좌표 차트 내의 기본 일식을 형성합니다. $다중$ $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ I $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ ( i $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ , $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ , $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ ) { $displaystyle$ I $1\leq i_{p}\leq n$ ( $i_{1},$ \ $ldots, i_{k}}$ { $displaystyle$ 1 $\leq$ $i_{p}$ \ $leq$ n $1\leq i_{p}\leq n$ $k$ $1\leq p\leq k$ $1\leq p\leq k$ $1\leq p\leq k$ $displaystyle$ k - 를 $정의$ 할 $1\leq p\leq k$ 수 있습니다.