라이프니즈 장군 규칙

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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
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미적분학에서는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 ^[1]딴 일반적인 라이프니즈 법칙이 제품 규칙(라이브니즈의 법칙이라고도 한다)을 일반화한다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 g ${\displaystyle g}$이(가) n ${\displaystyle n}$배$$ 차이가 있는 경우, $제품{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ g$${\$displaystyle$ $fg}$도 $n{\displaystyle }$ ${\$displaystyn$}$배$$ 차이가 있고 그 n {\$displaystyn}$teprocription이$$ 제공된다고 명시되어 있다.

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}f^{(n-k)}g^{(k)}}}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{}{}}$! k${\displaystyle \frac{}{}}$! (${\displaystyle \frac{n}{}}$- ${\displaystyle \frac{k}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$! ${\$n$\선택$ k$}={n! \over$ k$!(n-k)!$$}}}$은 이항계수이고 $){\$ f$^{(j)}}}$는 f의 j번째 파생상품(특히 ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$( 0${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle$ f$^{(0)}=f})$을 나타낸다$$.$$

그 규칙은 제품 규칙과 수학적 유도를 통해 증명될 수 있다.

제2차 파생상품

예를 들어, n = 2가 규칙에서 두 가지 함수의 두 번째 파생상품에 대한 표현을 제공하는 경우:

${\displaystyle (fg)"=\sum \cHB_{k=0}^{2}{{{k}{{k-k)}g^{(x)}g^{(x)}f(x)+2f'(x)+f(x)g'''x''g'(x)'x')g'x'g'(x')g'x'x'x'x')g'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'x'}$

세 가지 이상의 요인

그 공식은 f,...,f의_1m m differentable 함수의 산물로 일반화될 수 있다.

${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$

여기서 합은 $∆{\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{t}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \sum _{t=1}^{m_{t}=n,}$ 및 }의$$ 음이 아닌 정수의 모든 m-tupple(k₁,...,k_m)에 걸쳐진다.

${\displaystyle {n \선택 k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

다항 계수다. 이것은 대수학에서 나온 다항식과 비슷하다.

증명

일반적인 라이프니츠 통치의 증거는 유도에 의해 진행된다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $g$$}$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}-$time$$ differentable 함수로 한다$$. $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1$}이$($가) 다음과 같이 주장하는$$ 기본 사례:

$[\displaystyle (fg)]=f'g+fg',}$

이것은 일반적인 제품 규칙이고 사실인 것으로 알려져 있다. 다음으로, 이 ${\displaystyle \mathrm{문장}}$이 고정 $n{\displaystyle \ge }$1, {\$displaystyle n\geq$ 1,}을$($를) 유지한다고 가정하십시오.

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{n-k)}g^{(k)}}}}$

그러면.

${\displaystyle {\cHB{n1}^{(fg)^{(n+1)}&=\좌측[\sum_{k=0}^{n}{n}}}{binom {n}{k}}{n-k)}g^{(k)}\우측]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}}fg^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}fg^{(n+1)}\\&={\binom{n+1}{0}f^{0}f^{{0}f^{{0}g+\sum _{k=1}^{n}{n+1}{k}f^{{n+1-k)}g^{(k)+{n+1}{n+1}{n+1}fg^{{{{{n+1}\}}}}}}\n+1}.\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}f^{{k}{{}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{정렬}}}$

따라서 그 진술은 ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1,${\displaystyle n+1,}$을(를) 유지하며$$ 증명은 완료된다.

다변량 미적분학

라이프니즈 규칙은 여러 변수의 함수 부분파생상품에 대한 다중지수 표기법으로 보다 일반적으로 다음과 같이 기술하고 있다.

$\displaystyle \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB_}g 선택.}$

이 공식을 사용하여 미분 연산자의 구성의 기호를 계산하는 공식을 도출할 수 있다. 실제로 P와 Q를 차등 연산자(여러 번 충분히 구별할 수 있는 계수를 가진)로 하고 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle R=P\circ Q.}$R도 차등 연산자이므로 R의 기호는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \angle }R(e^{\langle x,\xi \angle })).}$

이제 직접 계산을 통해 얻을 수 있는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\\alpha }{1 \over \alpha !}\왼쪽({\partial \over \partial \xi }\right)^{\partial \partial \partial x}^{}Q(x,x,x,xi).}$

이 공식은 보통 라이프니즈 공식으로 알려져 있다. 기호의 공간에서 구성을 정의하여 고리 구조를 유도하는 데 사용한다.

참고 항목

• 이항 정리
• 유도(차등대수)
• 파생상품
• 미분대수학
• 파스칼 삼각형

참조