선형형식

수학에서 선형 형태(선형 기능,^[1] 단형 또는 코브터라고도 함)는 벡터 공간에서 스칼라의 필드(종종 실수 또는 복잡한 숫자)까지 선형 지도다.

V가 필드 k에 대한 벡터 공간인 경우, V에서 k에 이르는 모든 선형 함수의 집합은 그 자체로 k에 대한 벡터 공간이며, 추가 및 스칼라 곱셈은 점으로 정의된다.이 공간은 위상학적 이중공간을 고려했을 때 V의 이중공간, 때로는 대수학적 이중공간이라고 불린다.그것은 종종denoted Homᆭ,[2]거나, 있을 때 k이해되면 V({\displaystyle V^{*}};[3] 다른 표기도 사용한다, V 같은 ′{\displaystyle V'},[4][5]V#{\displaystyle V^{)#}}또는 V∨.{\displaystyle V^{\vee}.}[2]때 벡터 칼럼 벡터로 표시됩니다(일반적인 커서. b이다.asis은 확정된 것입니다)그리고 선형 함수들은 행 벡터로 표현되며, 특정 벡터에 대한 그들의 값은 행렬 곱에 의해 주어진다(왼쪽에는 행 벡터가 있음).

예

모든 벡터를 0으로 매핑하는 "일관적인 제로 함수"는 사소한 선형 함수다.다른 모든 선형 기능(아래와 같은 기능)은 추상적이다(즉, 그 범위는 모두 k이다).

선형 함수(Rⁿ)

실제 좌표 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ {${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$에 있는 벡터가 열 벡터로 표시된다고$$ 가정합시다.

각 행 벡터 =[ ⋯ a ${\$$cdots$$&a_{n}\end{$$bmatrix}}}}}}}$에 정의된 선형 함수 $f$가 있다$.$

그리고 각각의 선형 기능은 이 형태로 표현될 수 있다.

이는 행 벡터 $a{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 열 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ x ${\$

정사각형 행렬의 추적

정사각형 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\operatorname {tr}($$A)}$의 추적 ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ $)$는 주 대각선에 있는 모든 원소의 합이다.행렬은 스칼라로 곱할 수 있고 같은 차원의 행렬 두 개를 함께 추가할 수 있다. 이러한 연산은 모든 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\time n}$ 행렬의$$ 집합에서 벡터 공간을 만든다.The trace is a linear functional on this space because ${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$ and ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$ for all scalars ${\displaystyle s}$ and all $$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬$$ A ${\displaystyle \text{및}}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle$ A${\text{$및$}B.$$}$

(확정)통합

선형 함수는 함수 벡터 공간의 연구인 함수 해석에서 처음 나타났다.선형 기능의 대표적인 예는 통합이다: 리만 적분으로 정의된 선형 변환

벡터 공간 $C{\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle C[a$$,b]}$에서 실제 숫자에${\displaystyle }$이르는$$$간격$에 대한${\displaystyle }$연속$$함수의 선형 함수.$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 선형성은 적분에 대한 표준 사실에서 다음과$$ 같다.

평가하기

$Let{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은$({\displaystyle }$는) 간격 [${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$.$${\$displaystyle [a,b]$에 정의된${\displaystyle \mathrm{degree}}$ n ${\displaystyle \leqn}$의 실제 값 다항 함수의 벡터 공간을 나타낸다$$.$}$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle c\in [a,b]}$인 경우$$$$ ${\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}{P}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$P_{n}\to \mathb {R}$이(가) 평가 기능임

매핑 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle c}$) ${\displaystyle f\mapsto f(c)}$은(는) 이후 선형임$$

If ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ are ${\displaystyle n+1}$ distinct points in ${\displaystyle [a,b],}$ then the evaluation functionals ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ form a basis of the dual sp$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 에이스($$Lax(1996)는 라그랑주 보간법을 사용하여 이 마지막 사실을 증명한다.

비예시

A function ${\displaystyle f}$ having the equation of a line ${\displaystyle f(x)=a+rx}$ with ${\displaystyle a\neq 0}$ (for example, ${\displaystyle f(x)=1+2x}$) is not a linear functional on ${\displaystyle \mathbb {R} }$, since it is not linear.^{[nb 1]}그러나 그것은 선형으로 되어 있다.

시각화

유한 치수에서, 선형 기능은 주어진 값에 매핑되는 벡터 집합인 레벨 세트의 관점에서 시각화할 수 있다.3차원에서, 선형 기능의 레벨 세트는 상호 평행 평면의 제품군이며, 상위 차원에서는 병렬 하이퍼플레인이다.선형 함수들을 시각화하는 이 방법은 때때로 Misner, Thorne & Wheeler의 중력(1973)과 같은 일반 상대성 문헌에 소개된다.

적용들

사분법에 적용

만약 x0,…,)n{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}[a, b]에 1{\displaystyle n+1} 뚜렷한 포인트+, 선형 functionalsev xi:f↦ f()나는){\displaystyle \operatorname{ev}_{x_{나는}}:f\mapsto f\left(x_{나는}\right)}형태 위에 씨., polyn의 공간의 이중 우주의 기본 정의된 n 있다.odegree${\displaystyle n}$. ${\displaystyle \leq n.}$ 통합$$ 기능 I도 P에_n 선형 기능하므로 이러한 기본 원소의 선형 조합으로 표현할 수 있다.기호에는 계수 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이 있으며, 이 값은$$ 다음과 같다.

모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$. ${\displaystyle f\in P_{n}}$에 대해 이것은 수치 사분법 이론의 기초를 형성한다.^[6]

양자역학에서

선형 함수는 양자 역학에서 특히 중요하다.양자역학 시스템은 힐버트 공간에 의해 표현되는데, 힐버트 공간은 그들 자신의 이중 공간에 대한 반 이질성이다.양자역학 시스템의 상태는 선형 기능으로 식별할 수 있다.자세한 내용은 브라켓 표기법을 참조하십시오.

분포

일반화함수의 이론에서 분포라고 하는 특정 종류의 일반화함수는 시험함수의 공간에 대한 선형함수로 실현될 수 있다.

이중 벡터 및 이선형 양식

유한차원 벡터 공간 V에 있는 모든 비탈진 이선형 형태는 다음과 같은 이형성 V → V : v^∗ ↦ v를^∗ 유도한다.

V의 이선형 형태가 ${\displaystyle ⟨,\; \cdot ,}$ \,$displaystyle \langle$\langle \,\$cdot$\,\$cdot$\,\$rangele }$로 표시된 경우($$예를 들어, 유클리드 공간에서 $⟨$ $,$=$langle =v\cdot w}$는 w의 도트 제품이다.

역이형성은 V^∗ → V : v^∗ ↦ v이며, 여기서 v는 다음과 같은 V의 고유한 요소다.

모든 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$. ${\displaystyle w\in$ V$.}$에 대해

위에 정의된 벡터 v v^∗ V는^∗ v${\displaystyle }v{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ .${\displaystyle v\in V.}$의 이중 벡터라고 한다.

무한대의 힐버트 공간에서는 리에즈 표현 정리에 의해 유사한 결과가 유지된다.V에서 연속 이중 공간 V로^∗ V ↦ V를^∗ 매핑하는 기능이 있다.

베이스와의 관계

이중공간의 기초

벡터 공간 V에 기본 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle }$…,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$$_{n},$ 반드시 직교하는 것은 아니다.그러면$$ 이중 공간 $V{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$ V$^{*}}$는 basis${\displaystyle {\stackrel{}{}\Omega }^{\mathrm{}}}$~ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$,${\displaystyle {\stackrel{}{}\Omega }^{\mathrm{}}}$ ~ 2${\displaystyle }$…${\displaystyle {\stackrel{}{}\Omega }^{}}$ ~$$n {\$displaystyle$ {\$tilde{\\omega }^{1},{\tilde}}{\tilde}}}},{\tildega }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

아니면, 더 간결하게

여기서 Δ는 Kronecker delta이다.여기서 기초함수의 상위첨자는 지수가 아니라 역행 지수다.

이중 $공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ V${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$$displaystyle$ ${\$$tilde$${V}}$에 속하는$$ 선형 함수${\displaystyle \stackrel{}{}}u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~ ${\$$displaystyle$ {\$tilde${v$}}$는 기본 함수들의 선형 조합으로 표현될 수 있으며$$ 계수("구성요소" u_i) u,

그런 다음${\displaystyle \stackrel{}{}}기본{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 벡터 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle {\tilde{u}}$ 기능을$$$$ 적용하십시오$.$ \displaystyle \$mathbf {e$} $_{j}}$

함수의 스칼라 배수의 선형성 및 함수의 합계의 점적 선형성 때문에.그러면

그래서 선형 기능의 각 성분은 해당 기본 벡터에 기능을 적용하여 추출할 수 있다.

듀얼 베이직과 내부 제품

공간 V가 내부 제품을 운반할 때, 주어진 기준의 이중 기준에 대한 공식을 명시적으로 작성할 수 있다.V에 (꼭 직교할 필요는 없음) ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots,\mathbf {e} _{n}$이(가) 있도록 하십시오.$}$ 3차원(n = 3)에서$$ 이중근거를 명시적으로 작성할 수 있음

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3,${\displaystyle i=1,2,3,}$ 여기서$$ ε는 Levi-Civita 기호 및 ${\displaystyle ⟨,}$⋅, ${\displaystyle \cdot ,}$ ⋅,$$⋅, {\$displaystyle \langle \cdot \cdrangele}$ V의 내부 제품(또는 dot product)이다.

보다 높은 차원에서는 다음과 같이 일반화한다.

여기서 $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$은(는) Hodge star 연산자다.

반지를 넘어

링 위의 모듈은 벡터 공간의 일반화로서 계수가 필드에 속한다는 제한을 없앤다.링 R 위에 모듈 M이 있는 경우, M의 선형 형태는 M에서 R까지의 선형 지도로서, 후자는 그 자체로 모듈로 간주된다.선형 형태의 공간은 k가 필드든 아니든 항상 Hom_k(V, k)으로 표시된다.V가 좌측 모듈이면 우측 모듈이다.

모듈에서 "완전한" 선형 형태의 존재는 투영성과 동등하다.^[8]

변경 변경 변경

예를 들어 C.{\displaystyle \mathbb{C}위 X{X\displaystyle}은 벡터 공간.}R{\displaystyle \mathbb{R}에 스칼라 곱을 제한하는}XR{\displaystyle X_{\mathbb{R}}}X의 realification 진정한 벡터 space[9]. 어떤 벡터 공간{X\displaystyle}.${\displaystyle X}$ over ${\displaystyle \mathbb {C} }$ is also a vector space over ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ endowed with a complex structure; that is, there exists a real vector subspace ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ such that we can (formally) write ${\displa$$ystyle X=X_{\mathb {R}\oplus X_{\mathb {R}i}$을(를) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$- 벡터$$ 공간으로 표시하십시오.

실제 및 복합 선형 함수

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 선형 기능은 복합적으로 값을 매기는 반면$$, ${\displaystyle {X\mathbb{}}_{}}$ R$${\$displaystyle X_{\mathb {R}}}$의 선형 기능은$$ 모두 실제 값을 매긴다.If ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ then a linear functional on either one of ${\displaystyle X}$ or ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ is non-trivial (meaning not identically ${\displaystyle 0}$) if and only if it is surjective (because if ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ then for any scalar ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$), where the image of a linear functional on ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle \mathbb {C} }$ while the image of a linear functional on ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$$$ is ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Consequently, the only function on ${\displaystyle X}$ that is both a linear functional on ${\displaystyle X}$ and a linear function on ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ is the trivial functional; in other words, ${\displaystyl$$e X^{\#}\cap X_{\mathb {R}{}^{\#}=\0\}}}}$여기서$$ ${\displaystyle \cdot {}^{\mathrm{}}}$# ${\$\,{\$cdot }^{\#}}}}$는 공간의 대수학적 이중 공간을 나타낸다$$.However, every ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linear functional on ${\displaystyle X}$ is an ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear operator (meaning that it is additive and homogeneous over ${\displaystyle \mathbb {R} }$), but unless it is identically ${\displaystyle 0,}$ it is not an ${\d$$isplaystyle \mathbb {R} }$-linear functional on ${\displaystyle X}$ because its range (which is ${\displaystyle \mathbb {C} }$) is 2-dimensional over ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Conversely, a non-zero ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear functional has range too small to be a ${\displaystyle \m$$atb {C}$} -선형$$ 기능도 제공됨.

실제 및 가상 부품

If ${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$ then denote its real part by ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ and its imaginary part by ${\displaystyle \varphi _{i}:$$=\operatorname {Im} \varphi }$ 그러면$$ ${\displaystyle {\phi \mathbb{}}_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$및$$ $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$$X$$\to \mathb {R}}$은(는) ${\displaystyle {X\mathbb{}}_{}}$ R ${\${${\displaystyle R_{}}$$}}}}}$ 및 $\phi$ = ${\displaystyle {}_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle i}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaysty \varphi =\\$displaysty \$varphi _{}}+i\varphi _{i}.$$}$ $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle }$ z${\displaystyle }$- i ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{Im}}$im ${\displaystyle z}$ ${\displaysty z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re}($이즈$$$)$$=\operatorname {Im}($iz)+i\$operatorname {Im} z}$ 모든 $z{\displaystyle }${ C ${\$ z$\in \mathb$ {$C}$에 대한 의미는$$ 모든 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle X}$, ${\displaysty x\in$ X$,}$에 대한 것을 의미한다.

and consequently, that ${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$ and ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).$$}$^[10]

그 과제 φ ↦ φ R{\displaystyle\varphi \mapsto \varphi_{\mathbb{R}}}를 정의하는 bijective[10]R{\displaystyle \mathbb{R}}-linear 사업자 X#→ XR#(X_{\mathbb{R}}^{)#}}의 역원은 지도 나는 ∙:XR#→ X#{\displaystyle L_{\bullet}:X_{.\mat$hbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ defined by the assignment ${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$ that sends ${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$ to the linear functional ${\displaystyle L_{g}:$$X\to \mathb {C}$ 정의$$

The real part of ${\displaystyle L_{g}}$ is ${\displaystyle g}$ and the bijection ${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ is an ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear operator, meaning that ${\displaystyle L_{g+h}=L_{g$}+L_{h}}와 Lrg)r나는 g{\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}모든 r∈ R{\displaystyler\in \mathbb{R}}과 g, h∈ XR#{\displaystyle g,h\in X_{\mathbb{R}}^{)#}.}[10]마찬가지로 허수 부분에, 과제를 나는{\displaystyle\varphi \mapsto \varphi_{나는}φ↦ φ} R. 유도${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear bijection ${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ whose inverse is the map ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ defined by sending ${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ to the linear functional on${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$$$${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle I}$( ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle I}$( ${\displaystyle x}$)로 정의된$$ X ${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x)$로 $정의되는$X {\displaystyle X.$}$

이 관계는 헨리 뢰위그에 의해 1934년에 발견되었다(보통 F에게 인정되지만).머레이), ^[11]자연적인 방법으로 임의의 한정된 영역 확장으로 일반화할 수 있다.그것은 많은 중요한 결과를 가지고 있으며, 그 중 일부는 이제 설명될 것이다.

속성 및 관계

Suppose ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ is a linear functional on ${\displaystyle X}$ with real part ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ and imaginary part ${\displaystyle \varphi _{i}:$$=\operatorname {Im} \varphi .}$

${\displaystyle {그런\mathbb{}}_{}}$ 다음 $\phi {\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi$=${\displaystyle 0}$$}$인 경우에만$$ φ = 0 ${\displaystyle \varphi _{\mathb {R} }=0}$인 경우에만 φ${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}0.}$ ${\displaysty \varphi _{i}=0.$$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 위상 벡터 공간이라고 가정하십시오.그러면 $\phi {\displaystyle }$${\$ $\$$varphi }$은(는) 본편 $part{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\$$varphi _{\$$mathb${$R$$\}\}\}\}\}\}\}$이$($가$$$$$)$ 연속인 경우에만 연속이다$$.즉$$, $\phi {\displaystyle }$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$, ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathb {R}},$ $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 모두 연속이거나$$ 전혀 연속적이지 않다.이것은 만약 "연속"이라는 단어가 "경계"라는 단어로 대체된다면 사실로 남아있다.$특히$ 프라임이 공간의 연속적인 이중공간을 나타내는$$ $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathbb{}}_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {^}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}^{}}$ X ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}^{}}$ $′{\$$in$ X$^{\$preme$}{\mathb {R}}{\mathb {R}{}}{{}}}{{}^{\primeprime }}}}}}}$인 경우에만 , X$^{\$.^[9]

$모든{\displaystyle }$ 스칼라에 $대해$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$. ${\$$displaystyle$ $B$$\$$subseteq$ X$.}$ $}$ ${\displaystyle uB\subseteq$ $B}$을(를) 단위 길이$($${\displaystyle u}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty u =1$로 두십시오$$^{[proof 1][12]}.

마찬가지로 $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle :=임}$ ${\displaystyle \phi }$ : X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathb {R}}$은(는) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 복잡한 부분을 나타내며$$$$, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ {${\displaystyle }$B ${\displaystyle iB\subseteq B}$은(으$$)를 의미한다.If ${\displaystyle X}$ is a normed space with norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$ and if ${\displaystyle B=\{x\in X:\ x\ \leq 1\}}$ is the closed unit ball then the supremums above are the operator norms (defined in the usual way) of ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb$${R} }}$ 및$$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ i ${\$$}.$ 이 결론은 일반 위상 벡터 공간에서 균형 잡힌 세트의 폴라(polar)에 대한 유사문장으로 확장된다.

• If ${\displaystyle X}$ is a complex Hilbert space with a (complex) inner product ${\displaystyle \langle \,\cdot \, \,\cdot \,\rangle }$ that is antilinear in its first coordinate (and linear in the second) then ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ becomes a real Hilbert space when endowed with the real part of ${\displaystyle \langle \,\cdot \, \,\cdot \,\rangle .}$ Explicitly, this real inner product on ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ is defined by ${\displaystyle \langle x y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x y\rangle }$ for all ${\displaystyle x,y\in }$${\displaystyle x,y\in X}$ and it induces the same norm on ${\displaystyle X}$ as ${\displaystyle \langle \,\cdot \, \,\cdot \,\rangle }$ because ${\displaystyle {\sqrt {\langle x x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x x\rangle }}}$ for all vectors ${\$$displaystyle x.}$ Applying the Riesz representation theorem to ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ (resp. to ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$) guarantees the existence of a unique vector ${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$ (resp. ${\displaystyle f_{}}$${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$) such that ${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi } \,x\right\rangle }$ (resp.${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {f{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {⟩}_{}}$ ${\displaystyle {{{R\mathbb{}}_{}}_{}}_{}}$ { ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ { R$${ \$displaystyle \varphi _{\mathb {R}}}=\좌측\langle f_{\varphi _{\mathb$${\displaystyle }${$R}}}}}}}}}}}$$\x\$$right{\displaystyle }$\reght$\rangele _$${\$$mathb${$displaystystytime x}.$$$ The theorem also guarantees that ${\displaystyle \left\ f_{\varphi }\right\ =\ \varphi \ _{X^{\prime }}}$ and ${\displaystyle \left\ f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\ =\left\ \varphi _{\mathbb {R} }\right\ _{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$ It is readily verified that ${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$ Now ${\displaystyle \left\ f_{\varphi }\right\ =\left\ f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\ }$ and the previous equalities imply that ${\displaystyle \Vert \phi {\Vert }_{X^{\mathrm{\prime }}}={\Vert {\phi }_{\mathbb{R}}\Vert }_{X_{\mathbb{R}}^{\mathrm{\prime }}}}$${\displaystyle {{}_{}^{}}_{},}$ ${\displaystyle \\varphi \{X^{\premium \}=\left\\varphi _{\mathb$ {$R}}\right\ _$${X_{\mathb${}^{$R}{}^{\premyme}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

무한차원으로

아래에서는 모든 벡터 공간이 실제 숫자 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는$$ 복합 숫자 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C}$을(를) 초과한다$.$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 위상학적 벡터 공간이라면 연속 선형 함수 공간(연속 이중)을 단순히 이중 공간이라고 부르는 경우가 많다.$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) Banach 공간이라면 (연속) 이중 공간도 마찬가지 입니다.보통의 이중공간과 연속적인 이중공간을 구분하기 위해 전자를 대수적 이중공간이라고 부르기도 한다.유한 치수에서는 모든 선형 기능이 연속적이므로 연속 이중은 대수 이중과 동일하지만 무한 치수에서는 연속 이중은 대수 이중의 적절한 하위 공간이다.

(국소적으로 볼록할 필요는 없음) 위상 벡터 공간 X의 선형 함수 f는 ${\displaystyle fp}$ p${\displaystyle .}$ ${\displaystyle f \leq$ p$.}$와 같은 X에 연속적인 세미놈 p가 존재하는 경우에만 연속적이다.

닫힌 하위 영역의 특성 지정

연속 선형 함수는 분석을 위한 좋은 속성을 가지고 있다: 선형 함수는 그것의 커널이 닫혀 있는 경우에만 연속되며,^[14] 비종교 연속 선형 함수는 (위상학) 벡터 공간이 완전하지 않더라도 개방형 맵이다.^[15]

하이퍼플레인 및 최대 하위 스페이스

A vector subspace ${\displaystyle M}$ of ${\displaystyle X}$ is called maximal if ${\displaystyle M\subsetneq X}$ (meaning ${\displaystyle M\subseteq X}$ and ${\displaystyle M\neq X}$) and does not exist a vector subspace ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle M⊊}$${\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}$ A vector subspace ${\displaystyle M}$ of ${\displaystyle X}$ is maximal if and only if it is the kernel of some non-trivial linear functional on ${\displaystyle X}$ (that is, ${\displaystyle M=\ker f}$ for some linear functional ${\displaystyle$X ${\displaystyle$ X$}$의 f$}$이(가) 0과(와)$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 아핀 하이퍼플레인(appine hyperplane)은 최대 벡터 서브공간을 번역한 것이다$$.직선성까지, X{X\displaystyle}의 하위 집합 H{H\displaystyle}은 아핀 초평면, 만약 X에서 몇몇은 선형 기능 f{\displaystyle f}이 존재하{X\displaystyle}가 H)f− 1(1)){)∈ X:f())=1}.{\displaystyle H=f^{)}(1)=\{x\in X:f())=1\}.}만약[11].${\displaystyle f}$ is a linear functional and ${\displaystyle s\neq 0}$ is a scalar then ${\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).$$}$ This equality can be used to relate different level sets of ${\displaystyle f.}$ Moreover, if ${\displaystyle f\neq 0}$ then the kernel of ${\displaystyle f}$ can be reconstructed from the affine hyperplane ${\displaystyle H:=f^{-1}(1)}$ by ${\displaystyle \ker f=H-$$H.}$

다중 선형 함수 사이의 관계

동일한 커널을 가진 두 개의 선형 함수(즉, 서로 스칼라 배수)는 비례한다.이 사실은 다음과 같은 정리까지 일반화할 수 있다.

만약 f는은 선형 X에서kernel에 N이랑 기능을 하지)∈ X{\displaystyle Xx\in}가 f())=1,{\displaystyle f())=1,}과 U가 균형 잡힌 부분 집합의 X, N∩(x+U))∅{\displaystyle N\cap(x+U)=\varnothing}만일 f(u)<1{\displaystyle f(u)<1}에 대한 모든 너 ∈ 미국 .{)$디스플레이 스타일 u\}$

한-바나흐 정리

벡터 서브스페이스의 (알지브라틱) 선형기능은 전체공간으로 확장할 수 있다. 예를 들어, 위에서 설명한 평가기능은 모든 $R{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb{R} .}$의 다항식 벡터공간으로 확장할 수 있다. 그러나$$ 이 확장은 선형기능을 연속적으로 유지하면서 항상 수행할 수 없다.한-바나흐의 이론 집단은 이 연장이 이루어질 수 있는 조건을 제시한다.예를 들면

선형 함수 패밀리의 등거리

X를 연속적인 이중 $공간{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {\prime }^{}}$. ${\displaystyle$ X$'$를 가진 위상학적 벡터 공간(TV)으로 하자.$}$

$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle X',}$의 모든 부분 집합 H에 대해 다음$$ 사항은 동일하다.^[19]

1. H는 등거리임;
2. H는 X에서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$의 일부 주변 극지방에 포함되어 있다.
3. H(pre)극은 X에서 0$$ ${\displaystyle$ 0$}$의 근린이다.

H가 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 등거리 부분 집합인 경우, 다음$$ 집합도 등거리: 약한* 폐쇄, 균형 잡힌 선체, 볼록한 선체, 볼록한 균형된 선체.^[19]더욱이, 알라오글루의 정리는 X ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ X$'}$의 등가 부분집합이 약한-* 콤팩트(따라서 모든 등가 부분집합이 약한-* 비교적 콤팩트)라는$$ 것을 암시한다.^[20][19]

참고 항목

• 불연속 선형 지도
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 양의 선형 함수
• 다중선 형태 – 여러 벡터에서 스칼라의 기본 필드로 매핑, 각 인수에 선형
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

메모들

각주

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참조

참고 문헌 목록

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