스핀 그룹

수학에서 스핀 그룹 스핀(n)^[1]^[2]은 특수 직교 그룹 SO(n) = SO(n, R)의 이중 커버로, 거짓말 그룹의 짧은 순서가 존재한다(n ≠ 2)

1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin}(n)\to 1.

따라서 Lie 그룹으로서 Spin(n)은 치수 n(n - 1)/2와 Lie 대수학을 특수 직교 그룹과 공유한다.

n > 2의 경우 스핀(n)은 간단히 연결되며 SO(n)의 범용 커버와 일치한다.

커널의비삼각적요소는 -1로 표시되며, 이는 원점을 통한 반사 직교 변환과 혼동해서는 안 되며,일반적으로 -I로 표시된다.

스핀(n)은 클리포드 대수 Cl(n)에서 변환 불가능한 원소의 한 부분군으로 구성될 수 있다. 뚜렷한 기사는 스핀 표현을 논하고 있다.

동기부여와 신체적 해석

스핀 그룹은 (전기적으로 중립적이고 충전되지 않은) 페르미온의 대칭을 설명하기 위해 물리학에 사용된다. 그것의 복잡화인 스핀치는 전기 충전 페르미온, 특히 전자를 묘사하는 데 사용된다. 엄밀히 말하면, 스핀 그룹은 0차원 공간에서 페르미온을 기술하지만, 물론 공간은 0차원이 아니므로 스핀 그룹은 (시소도-)리만 다지관의 스핀 구조를 규정하는 데 사용된다: 스핀 그룹은 스피너 번들의 구조 그룹이다. 스피너 번들의 아핀 연결은 스핀 연결이다; 스핀 연결은 일반 상대성 이론에서 많은 복잡한 계산을 단순화하고 우아하게 할 수 있기 때문에 유용하다. 스핀 연결은 차례로 Dirac 방정식을 곡선 스페이스타임(테트라드 좌표에서 효과적으로)으로 작성할 수 있게 하며, 이는 호킹 방사선의 공식화뿐만 아니라(한 쌍의 얽힌 가상 페르미온 중 하나가 사건 지평선을 지나 떨어지고 다른 한 쌍은 그렇지 않은 경우)도 제공한다. 간단히 말해서, 스핀 그룹은 중요한 초석으로서, 현대 이론 물리학의 진보된 개념을 이해하는 데 중심적으로 중요하다. 수학에서, 스핀 그룹은 그 자체로 흥미롭다: 이러한 이유들뿐만 아니라, 더 많은 이유들 때문이다.

건설

스핀 그룹의 건설은 종종 확실한 2차 형태 q의 실제 벡터 공간 V에 대한 클리포드 대수학의 건설로 시작한다.^[3] 클리포드 대수(Clifford 대수)는 양면 이상에 의한 V의 텐서 대수 TV의 몫이다. tensor 대수(reals over reals)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\mathrm {T}V=\mathb {R} \oplus V\oplus(V\otimes V)\oplus \cdots

클리포드 대수 Cl(V)은 그 다음 인용 대수다.

\operatorname {Cl}(V)=\mathrm {T}V/\left(v\otimes v-q(v)\right),

여기서 $q(v)$ ( $q(v)$ ) $q(v)$ 은 $q(v)$ 벡터 $v\in V$ $v\in V$ $v\in V$ $v\in V$ 에 적용되는 2차 형식이다 $v\in V$ 결과 공간은 자연적으로 (벡터 공간으로서) 등급이 매겨지며, 라고 쓸 수 있다.

\operatorname {Cl}(V)=\operatorname {Cl} ^0}\oplus \operatorname {Cl}{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots

여기서 $\operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R}$ $\operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R}$ = $\operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R}$ ${\$ } 및 $\operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R}$ $\operatorname {Cl} ^{1}=V$ $\operatorname {Cl} ^{1}=V$ = $\operatorname {Cl} ^{1}=V$ ${\displaysty \operatorname {Cl} ^{1}=V$ 스핀 대수 ${\mathfrak {spin}}$ ${\mathfrak {spin}}$ ${\mathfrak {spin}}$ ${\$ 은(는) 다음과 같이 정의된다 ${\mathfrak {spin}}$ .

\operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}(V)={\mathfrak {spin}(n),

여기서 마지막은 V가 실제 차원 n의 실제 벡터 공간인 짧은 손이다. 그것은 Lie 대수학이다. V에 자연적인 작용을 가지고 있으며 $,$ 이러한 방법으로 특수한 직교 그룹의 $\mathfrak{so}(n)$ Lie 대수 ${\mathfrak {so}}(n)$ ${\mathfrak {so}}(n)$ ( ${\mathfrak {so}}(n)$ ){\ $displaystyle$ {\ $mathfrak{so}}}}}$ 에 대해 이형성을 보일 수 있다.

핀 그룹 $\operatorname {Pin} (V)$ (V $)$ {\ $displaystyle \operatorname$ {Pin $}($ V)}은(는) 형식의 모든 $\operatorname {Cl} (V)$ 에 대한 Cl $\operatorname {Cl} (V)$ (V $\operatorname {Cl} (V)$ ) ${\displaysty \operatorname {Cl}(V)}$ 의 $\operatorname {Cl} (V)$ Clifford 그룹의 하위 그룹임 $\operatorname {Pin} (V)$

v_{1}v_{2}\cdots v_{k}

$v_{i}\in V$ 서 각 $v_{i}\in V$ $v_{i}\in V$ $v_{i}\in V$ V $v_{i}\in V$ 은(는) 단위 길이: $q(v_{i})=1.$ ( $q(v_{i})=1.$ i $q(v_{i})=1.$ ) $q(v_{i})=1.$ = 1 ${\displaystyle q(v_{i}=1$ )이다 $v_{i}\in V$ $.$ $}$

그런 다음 스핀 그룹을 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {Spin}(V)=\operatorname {Pin}(V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{ven},

where $\operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots$ is the subspace generated by elements that are the product of an even number of vectors. 즉, 스핀(V)은 위에 주어진 핀(V)의 모든 요소로 구성되며, k에 대한 제한은 짝수다. 짝수 서브 스페이스에 대한 제한은 아래에 건설된 2-구성 요소(Weyl) 스피너 형성의 핵심이다.

세트 $\{e_{i}\}$ { $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}$ 이(가) 벡터 공간 V의 직교 기준인 경우 $\{e_{i}\}$ 위의 지수가 자연적인 반커밍 구조를 가진 공간을 내포한다.

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

i\neq j,

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

=

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

-

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

j

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

e

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

{\

i

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

i\neq j,

i\neq j,

{\displaystyle

i

\neq

j

,}

$v=e_{i}+e_{j}$ 후 $v=e_{i}+e_{j}$ = $v=e_{i}+e_{j}$ e $v=e_{i}+e_{j}$ + e $v=e_{i}+e_{j}$ {\ $displaystyle v\otimes$ v $}$ 을(를) 고려하여 v $v=e_{i}+e_{j}$ $v\otimes v$ = e $v=e_{i}+e_{j}$ + e j ${\$ 이러한 반공명은 페르미온에 대한 파울리 배타 원리의 정신을 포착하기 때문에 물리학에서 중요한 것으로 판명되었다. 여기서 정밀한 제형은 범위를 벗어났지만, 그것은 Minkowski spacetime에 스피너 번들을 만드는 것을 포함한다; 결과 스피너 장은 클리포드 대수학 건축의 부산물로서 반커밍이라고 볼 수 있다. 이 반선명성 특성은 초대칭성형성의 핵심이기도 하다. 클리포드 대수학과 스핀 그룹은 흥미롭고 호기심 많은 성질을 가지고 있는데, 그 중 일부는 아래에 열거되어 있다.

이중 커버

2차 공간 V의 경우 다음과 같이 스핀(V)에 의한 SO(V)의 이중 커버를 명시적으로 제공할 수 있다. $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}}$ 을(를) V의 정형 기준이 되도록 한다 $\{e_{i}\}$ . \ $operatorname {Cl}($ V)\ $to \operatorname {Cl}(V$ )\to \operatorname {Cl $}(V)$ 에 대해 $t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ 반정형성 $t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ → $t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ 를 정의

\left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\오른쪽)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.

이것은 $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ 에 의해 $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ , , $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ ) $a,b\in \operatorname {Cl$ ( $V)}$ 의 모든 요소로 확장될 수 있다. 이후 반호모형주의다.

(ab)^{t}=b^{t}a^{t}.

그런 다음 핀(V)을 which $a\in \operatorname {Cl} (V)$ ⁡ $a\in \operatorname {Cl} (V)$ V $a\in \operatorname {Cl} (V)$ ) $a\in \operatorname {Cl}(V)$ 의 모든 요소로 정의할 수 있는지 확인하십시오.

aa^{t}=1.

이제 $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ ( $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ → $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ ${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl}(V)\to \operatorname {Cl}(V)$ 을 정의하십시오. 이 $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ \operatorname {Cl $}($ V)}.

\alpha(v)=-v,\quad v\in V,

그리고 $∗{\$ a $^{*}$ 는 cl(V)의 반유동성인 $\alpha (a)^{t}$ a $\alpha (a)^{t}$ $\alpha (a)^{t}$ ${\$ 을 $a^{*}$ 나타내도록 한다. 이 표기법에서 명시적 이중 커버는 다음과 같은 $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ 핀 $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ ( $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ ) → O $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ ( $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ {\ $displaystyle \operatorname {Pin}$ ( $V)\to \operatorname {O}$ (V)}(V $)$ 가 부여한 $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ 호모형성 핀 \ → $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ } (V)}

\rho (a)v=ava^{*}

$v\in V$ 서 $v\in V$ $v\in V$ V ${\displaystyle v\in$ V $v\in V$ a가 도 1( $a\in V$ : $a\in V$ $a\in V$ ${\displaystyle a\in$ V $})$ 인 경우, $a\in V$ $\rho (a)$ ( $\rho (a)$ ) $\rho (a)$ 은 a와 직교하는 하이퍼플레인 전체에 걸친 반사에 해당하며 $\rho (a)$ , 이는 클리포드 대수학의 반커밍 속성에서 나타난다.

$a$ 이 $-a$ 가) - $-a$ 과(와) 동일한 변환을 제공하기 $a$ 때문에 Pin(V)에 의한 O(V)와 Spin(V)에 의한 SO(V)에 대한 이중 커버를 제공한다 $-a$

스피너 스페이스

이러한 형식주의로 볼 때 스피너 스페이스와 웨일 스피너가 어떻게 구성되는지 검토할 가치가 있다. Given a real vector space V of dimension n = 2m an even number, its complexification is $V\otimes \mathbf {C}$ . It can be written as the direct sum of a subspace $W$ of spinors and a subspace ${\overline {W}}$ of anti-spinors:

V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W

The space $W$ is spanned by the spinors $\eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}$ for $1\leq k\leq m$ and the complex conjugate spinors span ${\overline {W}}$ . It is straigh스피너와 안티 트랩터의 제품이 스칼라인지 확인하려고 앞으로 구부린다.

스피너 공간은 외부 대수 $\textstyle {\bigwedge }W$ $\textstyle {\bigwedge }W$ ${\$ 로 정의된다 $\textstyle {\bigwedge }W$ (복잡한) 클리포드 대수학은 이 공간에 자연스럽게 작용한다. (복잡한) 스핀 그룹은 길이 보존 내형성에 해당한다. 외부 대수학에는 자연적인 등급이 있다. $W$ {\ $displaystyle W$ }의 홀수 수의 사본은 페르미온의 물리학 개념에 해당하고 $W$ , 짝수 하위 공간은 보손에 해당한다. 스피너 공간에 대한 스핀 그룹의 작용 표현은 비교적 간단한 방식으로 제작될 수 있다.^[3]

콤플렉스 케이스

스핀^C 그룹은 정확한 시퀀스로 정의된다.

1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {SPIN} ^{\mathbf {C} }(n)\time \operatorname {U}\to 1.

클리포드 대수학의 $\operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C}$ 콤플렉스화 $\operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C}$ v $\operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C}$ (V ) $\operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C}$ $\operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C}$ {\ $displaystyle \operatorname$ { $Cl}\otimes \mathbf$ {C $}}}$ 의 곱셈 부분군이며, 구체적으로는 스핀(V)과 C의 단위 원에 의해 생성되는 부분군이다. 그 대신, 그것은 몫이다.

\operatorname {Spin} ^{\mathbf {C}}=\왼쪽(\operatorname {Spin})(V)\time S^{1}\right)/\sim

여기에서 동등성 $\sim$ ~ $\sim$ 은(-a, -u)와 (a, u)를 $\sim$ 식별한다.

이것은 4마니폴드 이론과 세이베르크-위튼 이론에 중요한 응용이 있다. 물리학에서 스핀 그룹은 충전되지 않은 페르미온을 설명하는데 적합한 반면, 스핀 그룹은^C 전기 충전 페르미온을 설명하는 데 사용된다. 이 경우 U(1) 대칭은 특히 전자석의 게이지 그룹이다.

예외 이형성

저차원에서, 고전적인 Lie 집단들 사이에서는 예외적인 이형성이라고 불리는 이형성들이 있다. 예를 들어, 간단한 리알헤브라의 여러 계열의 뿌리 시스템(그리고 그에 상응하는 다이닝 도표의 이형성) 사이에 저차원 이형성 때문에 저차원 스핀 그룹과 특정 고전적 리 그룹 사이에 이형성이 있다. reals는 R, quaternion은 C, quaternion은 H, cl(n)은 Cl(Rⁿ)의 약자, spin(n)은 Spin(Rⁿ)의 약자라는 일반적인 이해에 따라 R을 작성하면 다음과 같은^[3] 것을 갖게 된다.

Cl^even(1) = R 실수

핀(1) = {+i, -i, +1, -1}

스핀(1) = O(1) = {+1, -1} 치수 0의 직교 그룹.

--

Cl^even(2) = C 복잡한 숫자

스핀(2) = U(1) = SO(2), 이중 위상 회전 z ↦ uz². dim = 1에 의해 R의² z에 작용한다.

--

Cl^even(3) = H 쿼터니온

스핀(3) = Sp(1) = SU(2), B

B_{1}\cong A_{1}

B_{1}\cong A_{1}

A

B_{1}\cong A_{1}

{\

}에 해당

B_{1}\cong A_{1}

dim = 3

--

Cl^even(4) = H ⊕ H

D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}

(4) = SU(2) × SU(2) ×

D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}

(

D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}

), D 2

D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}

D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}

D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}

{\

에 해당하는 dim = 6

--

Cl^even(5)= M(2, H) 쿼터니온 계수가 있는 2 X 2 행렬

스핀(5) = Sp(2),

B_{2}\cong C_{2}

B_{2}\cong C_{2}

B_{2}\cong C_{2}

B_{2}\cong C_{2}

2

{\

}} .

B_{2}\cong C_{2}

딤 = 10

--

Cl^even(6)= M(4, C) 복합 계수를 갖는 4 X 4 행렬

스핀(6) = SU(4), D

D_{3}\cong A_{3}

D_{3}\cong A_{3}

D_{3}\cong A_{3}

D_{3}\cong A_{3}

{\

에 해당

D_{3}\cong A_{3}

dim = 15

n = 7, 8에 대해 이러한 이형성의 자취가 남아 있다(자세한 내용은 스핀(8) 참조). 더 높은 n의 경우, 이러한 이형성은 완전히 사라진다.

무기명 서명

무기한 서명으로 스핀 그룹 스핀(p, q)은 표준 스핀 그룹과 유사한 방식으로 클리포드 알헤브라를 통해 구성된다. 비한정직교군 SO(p, q)의 정체성에 연결된 구성요소인 SO(p₀, q)의 이중 커버다. p + q > 2의 경우 스핀(p, q)이 연결되고, (p, q) = (1, 1)의 경우 연결된 구성 요소가 2개 있다.^[4]^{: 193} 명확한 서명과 같이, 낮은 차원에 우발적인 이형성이 있다.

스핀(1, 1) = GL(1, R)

스핀(2, 1) = SL(2, R)

스핀(3, 1) = SL(2, C)

스핀(2, 2) = SL(2, R) × SL(2, R)

스핀(4, 1) = Sp(1, 1)

스핀(3, 2) = Sp(4, R)

스핀(5, 1) = SL(2, H)

스핀(4, 2) = SU(2, 2)

스핀(3, 3) = SL(4, R)

스핀(6, 2) = SU(2, 2, H)

Spin(p, q) = Spin(q, p)에 유의하십시오.

위상학적 고려사항

연결되고 단순하게 연결된 Lie 그룹은 그들의 Lie 대수학으로 분류된다. 그래서 G가 단순한 Lie 대수학을 가진 연결된 Lie 그룹이고 G′의 보편적인 커버를 가진 그룹이라면, 여기에 포함이 있다.

\pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z}(G'),

G(의 중심에 Z(G′)를 두고. This inclusion and the Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ of G determine G entirely (note that it is not the case that ${\mathfrak {g}}$ and π₁(G) determine G entirely; for instance SL(2, R) and PSL(2, R) have the same Lie algebra and same fundamental group Z, but are not isomorphic).

확정서명 Spin(n)은 모두 n > 2로 간단히 연결되어 있으므로 SO(n)의 보편적 커버가 된다.

무기한 서명에서는 스핀(p, q)이 반드시 연결되는 것은 아니며, 일반적으로 아이덴티티 성분인 스핀₀(p, q)이 단순히 연결되지 않기 때문에 보편적인 커버가 아니다. 기본 그룹은 SO(p) × SO(q)인 SO(p, q)의 최대 콤팩트 서브그룹을 고려했을 때 가장 쉽게 이해할 수 있으며, 스핀(p, q)은 2배 커버(4배 커버)의 제품이라기 보다는 4배 커버의 2배 커버라는 점에 주목한다. 명시적으로 스핀(p, q)의 최대 콤팩트 연결 부분군은

스핀(p) × 스핀(q)/{(1, 1) (-1, -1)}.

이를 통해 우리는 p , q:를 취하면서 스핀(p, q)의 기본 그룹을 계산할 수 있다.

\pi _{1}({\mbox{Spin}}(p,q))={\begin{cases}\mathrm {Z} _{1}&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathrm {Z} _{1}&p>2,q=0,1\\\mathbf {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbf {Z} \times \mathbf {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbf {Z} &p>2,q=2\\\mathrm {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}

따라서 일단 p, q > 2는 두 개의 범용 커버로 이루어진 제품의 2배 지수인 만큼, 기본 집단은₂ Z이다.

기본집단에 관한 지도는 다음과 같이 주어진다. p, q > 2의 경우, 이는 지도 π₁(spin(p, q) → π₁(SO(p, q))이 (1, 1) ∈ Z × Z로₂₂ 가는 1 by₂ Z에 의해 주어진다는 것을 의미한다. p = 2, q > 2의 경우, 이 지도는 1 z Z → (1,1) ∈ Z × Z로₂ 주어진다. 그리고 마지막으로 p = q = 2, (1, 0) ∈ Z × Z는 (1,1) ∈ Z × Z로, (0, 1) 는 (1, -1)로 보낸다.

중심

스핀 그룹의 중심은 n ≥ 3에 대해 다음과 같이 주어진다.^[4]^{: 208}

{\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{Z}(\operatorname{ 켜}(n,\mathbf{C}))&={\begin{경우}\mathrm{Z}_{2}&,n=2k+1\\\mathrm{Z}_{4}&,n=4k+2\\\mathrm{Z}_{2}\oplus\mathrm{Z}_{2}&, n=4k\\\end{경우}}\\\operatorname{Z}(\operatorname{ 켜}(p,q))&={\begin{경우}\mathrm{Z}_{2}&, p{\text{또는}}q{\text{이상한}}\\\ma.thrm{Z}_{4}&, n=4k+2,{\text{{}p,q{\text{ven}\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text} 및 }p,q{{\case}\end}\case}\ended}}}}}}}}}

지수군

지수 집단은 중심부의 한 부분군에 의한 지수로 스핀 그룹에서 얻을 수 있으며, 스핀 집단은 결과 지수의 커버 집단이 되며, 두 집단은 모두 동일한 Lie 대수학을 갖는다.

전체 중심에 의한 지수를 계산하면 그러한 집단의 최소가 되는 투영 특수 직교 집단이 중심이 없는 반면, {±1}에 의한 지수를 계산하면 특수 직교 집단이 나온다. 중심은 {±1}(명칭 홀수 치수), 이 두 지수의 집단은 동의한다. 스핀 그룹이 간단히 연결되어 있다면(Spin(n)은 n > 2를 위한 것이므로), 스핀은 시퀀스에서 최대 그룹이며, 하나는 세 그룹의 시퀀스를 가지고 있다.

스핀(n) → SO(n) → PSO(n),

패리티 수익률에 따라 분할:

스핀(2n) → SO(2n) → PSO(2n),

스핀(2n+1) → SO(2n+1) = PSO(2n+1),

컴팩트한 Lie 대수 ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).$ ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).$ ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).$ , ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).$ )의 세 가지 컴팩트한 실제 형태(또는 두 가지, 만일 SO = PSO인 경우 ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).$ ${\displaystyle {\mathfrak{so}}}(n,\mathbf {R}).$ $}$

표지의 호모토피 그룹과 인용구는 개별 섬유(섬유가 알맹이)와 긴 정확한 진동의 순서에 의해 관련된다. 따라서 k > 1의 호모토피 그룹은 모두 동일하지만 π과₀ π은₁ 다를 수 있다.

n > 2의 경우 스핀(n₀)은 단순하게 연결되어 있기 때문에(π₁ = z₁ = Z는 사소한 것) SO(n)는 연결되고₂, PSO(n)는 연결되고, 스핀(n)의 중심과 동일한 기본 그룹이 있다.

무기한 서명에서는 커버와 호모토피 그룹이 더 복잡하다 – 스핀(p, q)은 단순히 연결되지 않으며, 인용은 연결된 구성 요소에도 영향을 미친다. 최대(연결된) 콤팩트 SO(p) × SO(q) ⊂ SO(p, q)와 스핀(p, q)의 성분군(p, q)을 고려한다면 분석이 더 간단하다.

화이트헤드 타워

스핀 그룹은 직교 그룹에 의해 고정된 화이트헤드 타워에 나타난다.

\ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text}SO}}(n)\오른쪽 화살표 {\text{O}(n)

그 탑은 증가하는 질서의 호모토피 그룹을 연속적으로 제거함으로써 얻어진다. 이것은 호모토피 그룹이 제거될 Eilenberg-MacLane 공간을 시작으로 짧은 정확한 시퀀스를 구성함으로써 이루어진다. 스핀(n)에서 $π$ ₃ 호모토피 그룹을 처치하면 무한 차원 문자열 그룹 스트링(n)을 얻는다.

이산형 부분군

스핀 그룹의 이산 하위 그룹은 특수 직교 그룹의 이산 하위 그룹(회전 점 그룹)과 연관시켜 이해할 수 있다.

이중 커버 Spin(n) → SO(n)를 고려할 때 격자 정리(lattice organization)에 의해 Spin(n)의 하위 그룹과 SO(rotational point groups)의 하위 그룹 사이에 Galois 연결이 있다: Spin(n)의 하위 그룹 이미지는 회전 포인트 그룹이고, 포인트 그룹의 사전 이미지는 Spin(n)의 하위 그룹이며, 닫힘 연산자는 Mu(merg이다.{±1}의 ltiplication. 이러한 경우를 "이진점 그룹"이라고 할 수 있다. 가장 친숙한 것은 이진 다면체 그룹으로 알려진 3차원 사례다.

구체적으로는 모든 이항 점 그룹이 점 그룹의 프리이미지(Hence는 점 그룹 G에 대해 2G로 표시됨)이거나 점 그룹에 매핑(이항형적으로)하는 점 그룹의 프리이미지 2 부분군이다. 후자의 경우 완전한 이항 그룹은 추상적으로 C $\mathrm {C} _{2}\times G$ $\mathrm {C} _{2}\times G$ $\mathrm {C} _{2}\times G$ ${\displaystyle \mathrm$ { $C} _{2}\timesimes G}$ nce {±1}은(는) 중앙이다. 이 후자의 예로서, 이상한 주문의 주기적 그룹 ZSO(n)에+1{\displaystyle \mathrm{Z}_{2k+1}}2k 두번 순서는 preimage은 순회 군, C4k+2≅ Z2k+1×Z2,{\displaystyle \mathrm{C}_{4k+2}\cong \mathrm{Z}_{2k+1}\times}이며, 서브 그룹 Z2k+1{Z}_{2}, \mathrm. <>S핀(n) 맵은 Z_2k+1 < SO(n)에 비동형적으로 표시된다.

특히 다음 두 가지 시리즈가 있다.

n-심플렉스 대칭의 2중 커버에 해당하는 상위 이항 사면군. 이 그룹은 또한 대칭군 2⋅A_n → A의_n 이중 커버로 간주될 수 있으며, 교대군은 n-심플렉스 (회전) 대칭군이다.
고옥타헤드 그룹의 2중 커버(하이퍼큐브 또는 그것의 이중인 교차-교차-교차)에 해당하는 더 높은 이진 팔면 그룹.

방향을 역방향으로 하는 포인트 그룹의 경우 핀 그룹이 두 개여서 주어진 포인트 그룹에 해당하는 이진 그룹이 두 개 있을 수 있어 상황이 더 복잡하다.

참고 항목

외부 링크

스핀 그룹의 기본 치수는 OEIS:A280191.
Grotendieck의 "토션 지수"는 OEIS:A096336.

참조

^ Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. 14페이지
^ Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2055-1 15페이지
^ ^a ^b ^c 위르겐 조스트, 리만 기하학과 기하학적 분석, (2002) 스프링거 베를라크 ISBN 3-540-42627-2 (제1장 참조)
^ ^a ^b Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for mathematicians : an introduction. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0821835742. OCLC 55487352.

추가 읽기

Karoubi, Max (2008). K-Theory. Springer. pp. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7.

[1] Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. 14페이지

[2] Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2055-1 15페이지

[jost-3] 위르겐 조스트, 리만 기하학과 기하학적 분석, (2002) 스프링거 베를라크 ISBN 3-540-42627-2 (제1장 참조)

[:0-4] Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for mathematicians : an introduction. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0821835742. OCLC 55487352.

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