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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

2차 입방체의 적분은 기초 미적분학의 빈번하고^[1] 도전적인 무기한 적분이다.

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{1}2}}(\sec x\tan x+\ln \len \sec x+\tan x\right )+C.}$

이 특별한 해독제가 특별한 주의를 기울일 만한 이유는 여러 가지가 있다.

• 더 높은 홀수 세컨트의 통합을 더 낮은 세컨트로 줄이는 데 사용되는 기술은 가장 단순한 경우인 이 경우에 완전히 존재한다. 다른 사건들도 같은 방법으로 처리된다.
• 통합에서 쌍곡선 함수의 효용은 제2의 홀수 힘(접선의 힘도 포함될 수 있음)의 경우에 증명될 수 있다.
• 이것은 일반적으로 1년차 미적분 과정에서 이루어지는 여러 통합 중 하나로, 가장 자연스러운 진행 방법은 부품별 통합과 함께 시작했던 것과 같은 적분으로 되돌아가는 것이다(또한 사인 또는 코사인 함수를 가진 지수함수의 산물의 적분이다, 그럼에도 불구하고 또 다른 통합은 사인 또는 코사인 함수의 적분이다). 코사인 함수).
• 이 적분은 폼의 적분을 평가하는 데 사용된다.

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx,}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) 상수. 특히 다음과 같은 문제에 나타난다.

• 파라볼라와 아르키메데스 나선을 바로잡기
• 헬리코이드 표면적을 찾는 것.

파생어

부품별 통합

이 해독제는 다음과 같이 부품별 통합에 의해 발견될 수 있다.^[2]

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx=\int u\,propert=uv-\int v\,du}$

어디에

${\displaystyle u=\sec x,\dv=\sec ^{2}x\,dx,\dv=\tan x,\dx.}$

그러면

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\int (\sec x)(\sec ^{2}x)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \tan x\,(\sec x\tan x)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\left(\int \sec ^{3}x\,dx-\int \sec x\,dx\right)\\&{}=\sec x-\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{정렬}}}$

다음으로 방금 파생된 동일성의 양쪽에$$ ${\displaystyle {}^{}{초\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3}$ x ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \int$\int \$sec ^{3}x\,dx}$를 추가하십시오.^[a]

${\displaystyle {\begin}2\int \sec ^{3x\,dx&=\sec x\,dx\&=\sec x\tan x+\ln\left \sec x+\tan x+\right +C,\ended}}}}$

secant 함수의 적분은 ${\displaystyle \int 초}$ x d ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle 초}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle x}$+ C${\displaystyle }$. ${\sec x\,dx=\ln \sec$ x$+\tan$ x $+C이다.$$}$^[2]

마지막으로 양쪽을 2로 나눈다.

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{1}2}}(\sec x\tan x+\ln\len \left \sec x+\tan x\right )+C,}$

파생될 예정이었습니다.^[2]

합리적인 함수의 적분으로 축소

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos ^{3}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{4}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{(1-\sin ^{2}x)^{2}}}=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}}$

여기서 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle x}$x ${\displaystyle u=\sin x$ 따라서 ${\displaystyle \mathrm{du}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle x}$ d${\displaystyle x}$ ${\displaystyle du=\cos x\,dx$ 이것은 부분 분수에 의한 분해를 인정한다.

${\displaystyle {\frac {1}{{{{{{{{{-u^{2}}={\frac {1}{1}{1+u)^{2}}={\frac {1/4}{1+u}{1/4}{1+u}{1/4}{1+u)^{2}}}}+{\frac{1/4}{1-u}+{1-u}+{\frac{1/4}{(1-u)^{2}}.}$

기간별 차별화 방지 용어는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\frac {1}{4}}\ln 1+u -{\frac {1/4}{1+u}}-{\frac {1}{4}}\ln 1-u +{\frac {1/4}{1-u}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln {\Biggl }{\frac {1+u}{1-u}}{\Biggl }+{\frac {1}{2}}\left({\frac {u}{1-u^{2}}}\right)+C\\\[6pt]&={\frac {1}{4}\ln {\Biggl }{1+\sin x}{1-\sin x}}{\Biggl }}{1}{1}{1}{\frac {\sin x}}}}{\cos{2}x}\오른쪽)+C\\[6pt]&, ={\frac{1}{4}}\ln \left{\frac{1+\sin)}{1-\sin)}}\right +{\frac{1}{2}}\secx\tan x+C\\[6pt]&, ={\frac{1}{4}}\ln \left{\frac{{2(1+\sin))^}}{1-\sin ^{2}x}}\right +{\frac{1}{2}}\secx\tan x+C\\[6pt]&, ={\frac{1}{4}}\ln \left{\frac{{2(1+\sin))^}}{\cos ^{2}x}}\right +{\frac{1}{2}}\secx\tan x+C\\[6pt]&, ={\frac{1}{4}}.\ln \left{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right ^{2}+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left {\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right +{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\ln \sec x+\tan x +\sec x\tan x)+C.\end{정렬}}}$

쌍곡선 함수

$형식$의 통합:$$$\int {\displaystyle {\sec }^{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {tanm}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$x ${\displaystyle d}$ x x $\\dstaystyle \int$ \int $\sec \{n}x\,dx}$는 n {\$displaystyle n}$이(가) 짝수이거나 $n{\displaystyle }$ ${\displaysty n}$과 m ${\displaystym}$이(이상인 경우)을 사용하여 줄일 수 있다$$. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) $홀수$이고 m ${\displaystyle m}$이(가) 짝수인 경우 쌍곡선 대체물을 사용하여 쌍곡선 전력 감소 공식으로 부품별 중첩된 통합을 대체할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\cosh u\\[6pt]\tan x&{}=\sinh u\\[6pt]\sec ^{2}x\,dx&{}=\cosh u\,du{\text{ or }}\sec x\tan x\,dx=\sinh u\,du\\[6pt]\sec x\,dx&{}=\,du{\text{ or }}dx=\operatorname {sech} u\,du\\[6pt]u&{}=\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)=\ln \sec x+\tan x \end{aligned}}}$

${\displaystyle \int 초}$ ${\displaystyle d}$ x${\displaystyle }$x x = ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle 초}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle \tan }$ x $⁡$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \backslash }$\\$dx=\ln \sec$x+\$tan x}$은(는) 이 대체에서 직접 따온다는$$ 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\regated}\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\int \cosh ^{2}u\,du\[6pt]&#&#&#&# {}={\frac{1}{2}}\int(\cosh 2u+1)\,du\\[6pt]&{}={\frac {1}{1}:{2}}:\왼쪽 사진\frac {1}{1}:{2}}:\sinh 2u+u\오른쪽)+C\\[6pt]&{}={\frac{1}{2}}(\sinh u\cosh u+u)+C\\[6pt]&{}={\frac {1}{1}:{2}}(\sec x\tan x+\ln \left \sec x+\ln \sec x+\tan x\right )+C\\\\\ended}}}}$

더 높은 홀수율

위의 부품에 의한 통합으로 1차 전력에 대한 2차 전력의 적분이 감소하였듯이, 유사한 프로세스는 1차 전력에 대한 더 높은 홀수 전력의 적분을 감소시킨다. 다음은 구문을 따르는 제2차 감량 공식이다.

${\displaystyle \int \sec \{n}x\,dx={\frac {\sec}{n-2}x\,+\,{\frac {n-2}}:\int \sec ^{n-2}x\,dx\qquad {\text{}}}}\,\!}$

또는:

${\displaystyle \int \sec \{n}x\,dx={\frac {\sec ^{n-1}x\,+\,{\frac {n-2}}\int \sec ^{n-2}x\,dx\qquad {\text}{}}}\,\!}$

접선의 힘도 이항 확장을 이용하여 이항제의 기묘한 다항식을 형성하고 이 공식을 가장 큰 용어로 사용하며 이와 유사한 용어를 조합함으로써 수용할 수 있다.

참고 항목

• 통합 목록

메모들

참조