러셀의 역설

시리즈의 일부
버트런드 러셀
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수학 논리학에서 러셀의 역설(Russell's antinomy)은 1901년 영국의 철학자이자 수학자인 버트랜드 러셀이 발표한 집합론적 역설입니다.^[1][2] 러셀의 역설은 제한 없는 이해 원리를 포함하는 모든 집합 이론이 모순을 초래한다는 것을 보여줍니다.^[3] 이 역설은 이미 1899년에 독일 수학자 에른스트 제르멜로에 의해 독립적으로 발견되었습니다.^[4] 그러나 제르멜로는 이 아이디어를 발표하지 않았고, 데이비드 힐베르트, 에드먼드 후설, 괴팅겐 대학교의 다른 학자들에게만 알려졌습니다. 1890년대 말, 현대 집합론의 창시자로 여겨지는 게오르크 칸토어는 힐베르트와 리차드 데데킨트에게 편지로 말했듯이, 그의 이론이 모순을 초래할 것이라는 것을 이미 깨달았습니다.^[5]

무제한 이해 원칙에 따르면, 충분히 잘 정의된 모든 속성에 대해 해당 속성을 가진 모든 객체의 집합이 있습니다. R을 자신의 원소가 아닌 모든 집합의 집합이라 하자. (이 집합을 "러셀 집합"이라고 부르기도 합니다.) R이 그 자체의 구성원이 아니라면, 그 정의는 그 자체의 구성원이라는 것을 의미하지만, 그 자체의 구성원이라면 그 자체의 구성원이 아닙니다. 왜냐하면 그들 자신의 구성원이 아닌 모든 집합의 집합이기 때문입니다. 결과적인 모순은 러셀의 역설입니다. 기호:

${\displaystyle {\text}Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R}$

러셀은 또한 독일의 철학자이자 수학자인 고틀롭 프레게가 구성한 공리계에서 역설의 버전이 도출될 수 있음을 보여주었고, 따라서 수학을 논리학으로 축소하려는 프레게의 시도를 약화시키고 논리학자 프로그램에 의문을 제기했습니다. 1908년에 러셀 자신의 유형 이론과 저멜로 집합 이론이라는 두 가지 중요한 역설을 피할 수 있는 방법이 제안되었습니다. 특히 제르멜로의 공리는 무제한 이해 원리를 제한했습니다. 아브라함 프라엔켈의 추가적인 기여로, 제르멜로 집합론은 현재 표준인 제르멜로-프라엔켈 집합론(선택의 공리를 포함할 때 일반적으로 ZFC로 알려짐)으로 발전했습니다. 러셀과 저멜로의 역설 해법의 가장 큰 차이점은 저멜로가 표준 논리 언어를 유지하면서 집합론의 공리를 수정한 반면 러셀은 논리 언어 자체를 수정했다는 것입니다. 토랄프 스콜렘의 도움을 받아 ZFC의 언어는 1차 논리의 언어로 밝혀졌습니다.^[6]

비공식발표

일반적으로 접하는 대부분의 세트는 자신의 멤버가 아닙니다. 예를 들어, 평면에 있는 모든 정사각형의 집합을 고려합니다. 이 집합은 그 자체로 평면상의 정사각형이 아니므로 그 자체의 멤버가 아닙니다. 집합이 그 자신의 멤버가 아니면 "정상", 그 자신의 멤버라면 "이상"이라고 부르자. 분명히 모든 집합은 정상이거나 비정상이어야 합니다. 평면의 정사각형 집합은 정규입니다. 대조적으로, 평면에서 정사각형이 아닌 모든 것을 포함하는 상보 집합은 그 자체로 평면에서 정사각형이 아니므로 그 자체의 구성원 중 하나이므로 비정상입니다.

이제 우리는 모든 정규집합 R의 집합을 고려하여 R이 정상인지 비정상인지 판단하려고 합니다. R이 정상이면 모든 정규 집합(자체)에 포함되므로 비정상이고, 반대로 R이 비정상이면 모든 정규 집합(자체)에 포함되지 않으므로 정상입니다. 이것은 R이 정상적이지도 않고 비정상적이지도 않다는 결론으로 이어집니다. 러셀의 역설.

정식발표

"순수 집합론"이라는 용어는 다양하게 사용됩니다. 한 가지 사용에서 순진한 집합 이론은 형식 이론으로, $이진$ 비논리 술어 ∈ {\$displaystyle$\in}을 사용하여 1차 언어로 공식화되며, 확장성의 공리를 포함합니다.

${\displaystyle \forall x\,\forally\,(\forall z\, (z\in x\iff z\in y)\implies x=y}$

그리고 자유로운 이해의 공리 체계:

${\displaystyle \exists y\fall x(x\in y\iff \varphi(x))}$

변수 x를 φ${\$displaystyle$$\$varphi$} $내부$의 자유 변수로 사용하는 임의의 공식$$φ ${\displaystyle$\varphi}에 대하여$.$ ${\displaystyle \mathrm{대체}}$ x ∉ x {\displaystyle x\n$φ$$(x)$ {\displaystyle \varphi(x)}에 대한 $otinx}:$ 가져오기

${\displaystyle \exists y\모든 x(x\in y\iff x\n)에 대하여otin x)}$

그런 다음 존재론적 인스턴스화($기호{\displaystyle }${\$displaystyle$ y$}$ 재사용$)$와 보편적 인스턴스화를 통해

${\displaystyle y\in y\iff y\n오티니}$

모순된 일 따라서 이 순진한 집합론은 일관성이 없습니다.^[7]

철학적 함의

러셀의 역설(그리고 그 시기에 발견된 부랄리-포르티 역설과 같은 다른 유사한 역설들) 이전에, 집합의 개념에 대한 일반적인 개념은 폰 노이만과 모겐슈테른에 의해 언급된 "확장 집합 개념"이었습니다.^[8]

집합은 개체들의 임의적인 집합이며, 이러한 개체들의 성격과 수, 즉 문제가 되는 집합의 요소에 대한 제한이 전혀 없습니다. 요소들은 집합을 구성하고 그들 사이에 어떤 종류의 순서나 관계 없이 그렇게 결정합니다.

특히 집합과 객체의 집합으로서의 적절한 클래스의 구분이 없었습니다. 또한 집합의 각 원소의 존재는 집합의 원소의 존재로도 충분하다고 생각했습니다. 그러나 러셀과 부랄리-포르티와 같은 역설은 모든 물체가 존재함에도 불구하고 집합을 형성하지 않는 물체의 모음의 예에 의해 집합의 개념이 불가능하다는 것을 보여주었습니다.

집합론적 반응

고전 논리의 폭발 원리로부터, 어떤 명제도 모순으로부터 증명될 수 있습니다. 따라서 공리적 집합론에서 러셀의 역설과 같은 모순의 존재는 참담한 것입니다. 왜냐하면 어떤 공식이라도 참임이 입증될 수 있다면 그것은 진실과 거짓의 전통적인 의미를 파괴하기 때문입니다. 게다가 집합론은 수학의 다른 모든 분야의 공리적 발전의 기초로 여겨졌기 때문에 러셀의 역설은 수학 전체의 기초를 위협했습니다. 이는 20세기 전환기를 전후하여 일관된 (무반전) 집합 이론을 개발하려는 많은 연구를 촉발시켰습니다.

1908년 에른스트 제르멜로(Ernst Zermelo)는 임의의 집합 이해를 그의 분리 공리(Aussonderung)와 같은 더 약한 존재 공리로 대체함으로써 순진한 집합 이론의 역설을 피하는 집합 이론의 공리화를 제안했습니다. (역설을 피하는 것은 저멜로의 원래 의도가 아니라, 그가 잘 정돈된 정리를 증명하는 데 어떤 가정을 사용했는지를 문서화하는 것이었습니다.)^[9] 1920년대에 아브라함 프랭켈, 토랄프 스콜렘, 그리고 저멜로 자신이 제안한 이 공리론에 대한 수정은 ZFC라고 불리는 공리적 집합론을 낳았습니다. 이 이론은 제르멜로의 선택 공리가 더 이상 논란이 되지 않자 널리 받아들여지게 되었고, ZFC는 현재까지 표준 공리 집합 이론으로 남아 있습니다.

ZFC는 모든 재산에 대해 해당 재산을 만족시키는 모든 것의 집합이 있다고 가정하지 않습니다. 오히려 임의의 집합 X가 주어졌을 때, 1차 논리를 사용하여 정의할 수 있는 임의의 부분 집합 X가 존재한다고 주장합니다. 위에서 설명한 개체 R은 임의의 집합 X의 부분 집합으로 구성할 수 없으며, 따라서 ZFC의 집합이 아닙니다. ZFC의 일부 확장에서, 특히 폰 노이만-베르네이스-괴델 집합론, R과 같은 대상을 고유 클래스라고 합니다.

ZFC는 유형에 대해 침묵하지만 누적 계층은 유형과 유사한 계층의 개념을 가지고 있습니다. Zermelo 자신은 1차 논리라는 언어를 사용하여 스콜렘의 ZFC 공식을 결코 받아들이지 않았습니다. José Ferreirós가 언급한 바와 같이, Zermelo는 대신 "소집합을 분리하는 데 사용되는 명제 함수(조건 또는 술어)와 치환 함수"를 주장했습니다. 이 진술에 주어진 현대적 해석은 제르멜로가 스콜렘의 역설을 피하기 위해 고차 정량화를 포함하기를 원했다는 것입니다. 1930년경, 제르멜로는 또한 (분명히 폰 노이만과는 독립적으로) 기초의 공리인 "원형"과 "근거 없는" 집합을 금지함으로써 [ZFC]는 TT[유형론]의 중요한 동기 중 하나인 논증 유형의 원리를 통합했습니다." Zermelo가 선호하는 기초 공리를 포함한 이 2차 ZFC는 풍부한 누적 계층을 가능하게 했습니다. 페레이로스는 "저멜로의 '층'은 괴델과 타르스키가 제시한 간단한 TT[유형론]의 현대판 유형과 본질적으로 동일하다"고 썼습니다. Zermelo가 모델을 개발한 누적 계층은 트랜스피니트 유형이 허용되는 누적 TT의 우주라고 설명할 수 있습니다. (일단 우리가 클래스가 구성된다는 생각을 버리고 예측적 관점을 채택하면 트랜스피니트 유형을 받아들이는 것이 부자연스럽지 않습니다.) 따라서 이제 단순한 TT와 ZFC는 본질적으로 동일한 의도된 대상에 대해 '대화'하는 시스템으로 간주될 수 있습니다. 가장 큰 차이점은 TT가 강력한 고차 논리에 의존하는 반면 Zermelo는 2차 논리를 사용하고 ZFC도 1차 공식을 부여할 수 있다는 것입니다. 누적 계층의 1차 '설명'은 셀 수 있는 모델의 존재에서 알 수 있듯이 훨씬 약하지만(스콜렘의 역설) 몇 가지 중요한 이점을 누립니다."^[10]

ZFC에서 집합 A가 주어지면, 집합 B는 자신이 아닌 A의 집합들로 정확히 구성되는 집합 B를 정의할 수 있습니다. B는 러셀의 패러독스에서 같은 추론에 의해 A에 있을 수 없습니다. 러셀의 역설의 이러한 변화는 어떤 집합도 모든 것을 포함하지 않는다는 것을 보여줍니다.

ZFC가 묘사한 "자연적인" 물체로 보이는 것들의 구조는 Zermelo와 다른 사람들, 특히 John von Neumann의 작업을 통해 결국 명확해졌습니다. 그것들은 멱집합 연산을 무한히 반복함으로써 빈 집합으로부터 구축된 von Neumann 우주의 원소들, 즉 V입니다. 따라서 이제 러셀의 역설을 거스르지 않고, 즉 V의 원소에 대한 추론 없이 비축론적인 방식으로 집합에 대한 추론이 다시 가능합니다. 이런 식으로 집합을 생각하는 것이 적절한가 하는 것은 수학 철학에 대한 경쟁적인 관점들 사이의 논쟁의 지점입니다.

러셀의 역설에 대한 다른 해결책은 유형 이론에 더 가까운 근본적인 전략으로 퀸의 새로운 기초와 스콧-포터 집합 이론을 포함합니다. 또 다른 접근법은 이중 확장 집합 이론에서와 같이 적절하게 수정된 이해 체계를 가진 다중 멤버 관계를 정의하는 것입니다.

역사

러셀은 1901년 5월이나^[11] 6월에 역설을 발견했습니다.^[12] 그는 1919년 수학철학 개론에서 "가장 위대한 추기경이 없다는 칸토어의 증명에 몇 가지 결함을 발견하려고 시도했습니다."^[13] 1902년 편지에서 ^[14]그는 프레게의 1879년 베그리프슈리프트에서 역설의 발견을 고틀롭 프레게에게 알렸고 논리와 집합론, 특히 프레게의 함수 정의 측면에서 문제를 틀었습니다.^[a][b]

제가 어려움에 봉착한 지점이 딱 한 가지 있습니다. 함수도 불확정 요소로 작용할 수 있다고 진술합니다(p. 17 [위의 p. 23]). 예전에 믿었던 이 견해인데, 지금은 다음과 같은 모순 때문에 이 견해가 의심스러워 보입니다. 우리가 술어라고 하자: 그 자체로 술어가 될 수 없는 술어가 되는 것. 우리는 그 자체를 예측할 수 있습니까? 각각의 답변에서 반대로 다음과 같습니다. 따라서 우리는 w가 술어가 아니라는 결론을 내려야 합니다. 마찬가지로, 각각 총합으로 간주되는 클래스는 자신에게 속하지 않는 클래스(총합으로)가 없습니다. 이로부터 저는 특정 상황에서 정의 가능한 집합 [Menge]가 전체를 형성하지 않는다는 결론을 내렸습니다.

러셀은 1903년 그의 수학의 원리에서 그것을 자세히 다루었는데, 거기서 그는 역설에 대한 첫 번째 만남을 반복했습니다.^[15]

근본적인 질문을 피하기 전에, 그들 자신이 예측할 수 없는 예측과 관련하여 이미 언급된 단일 모순을 더 자세히 검토할 필요가 있습니다. 나는 칸토어의 증거를 조정하기 위해 그것을 이끌어 냈다고 말할 수 있습니다.

러셀은 프레게가 그의 Grundgesetze der Arithmetik의 2권을 준비하고 있을 때 그 역설에 대해 프레게에게 편지를 썼습니다.^[16] 1902년 6월 22일자 그의 편지는 헤이제노르트의 1967:126–127에서 판 헤이제노르트의 논평과 함께 아주 빠르게 러셀에게 답장을 보냈습니다. 그 후 프레게는 역설을 인정하는 부록을 ^[17]썼고 러셀이 그의 수학 원리에서 지지할 해결책을 제안했지만 ^[18]나중에 일부 사람들에 의해 불만족스럽게 여겨졌습니다.^[19] 러셀은 인쇄소에서 일을 했고, 활자 이론에 대한 부록을 추가했습니다.^[20]

에른스트 제르멜로(Ernst Zermelo)는 그의 (1908)에서 질서정연한 가능성에 대한 새로운 증거(그가 "최초의 공리적 집합론"을 출판함과 동시에)^[21]는 칸토어의 순진한 집합론에서 안티노미의 이전 발견에 대한 주장을 제시했습니다. 그는⁹ 다음과 같이 말합니다. "그러나 러셀이 집합론적 안티노미들에게 준 기본 형식조차도 이러한 어려움들의 해결책은 질서정연한 항복에서 찾는 것이 아니라 집합 개념의 적절한 제한에서만 찾는 것이라고 설득할 수 있었습니다."^[22] 각주 9는 그가 자신의 주장을 걸고 있는 곳입니다.

⁹1903, pp. 366–368. 그러나 나는 러셀과는 별개로 이 안티노미를 스스로 발견했고 1903년 이전에 힐베르트 교수에게 이 사실을 전달했습니다.^[23]

프레게는 힐베르트에게 그룬데제 데어 아리스메틱의 사본을 보냈습니다. 위에서 언급한 바와 같이 프레게의 마지막 권에는 러셀이 프레게에게 전달한 역설이 언급되어 있습니다. 프레게의 마지막 책을 받은 후 1903년 11월 7일 힐베르트는 프레게에게 편지를 써서 러셀의 역설을 언급하면서 "저멜로 박사가 3~4년 전에 발견했다고 믿습니다"라고 말했습니다. 제르멜로의 실제 주장에 대한 기록은 에드먼드 후설의 나흐클래스에서 발견되었습니다.^[24]

1923년 루트비히 비트겐슈타인은 러셀의 역설을 다음과 같이 "처분"할 것을 제안했습니다.

함수가 자신의 인수가 될 수 없는 이유는 함수의 부호가 이미 해당 인수의 원형을 포함하고 있고, 함수가 자신을 포함할 수 없기 때문입니다. 함수 F(fx)가 자신의 주장이 될 수 있다고 가정하자: 그렇다면 외부 함수 F와 내부 함수 F가 다른 의미를 가져야 하는 명제 F(F(fx))가 존재할 것인데, 이 경우 내부 함수는 O(fx)의 형태를 가지며 외부 함수는 Y(O(fx))의 형태를 가지기 때문입니다. 두 기능에 공통적으로 'F'자만 있을 뿐, 글자 자체는 아무런 의미가 없습니다. 만약 우리가 F(Fu) 대신에 F(Ou). Ou = Fu라고 쓴다면, 이것은 즉시 명확해집니다. 그것은 러셀의 역설을 폐기합니다. (Tractatus Logico-Philosophicus, 3.333)

러셀과 알프레드 노스 화이트헤드는 프레게가 할 수 없었던 것을 성취하기를 희망하며 그들의 세 권의 프린시피아 수학을 썼습니다. 그들은 이를 위해 자신들이 고안한 유형 이론을 사용하여 순진한 집합론의 역설을 제거하려고 했습니다. 그들은 어떤 방식으로 산술의 근거를 마련하는 데 성공했지만, 순수하게 논리적인 방법으로 그렇게 했다는 것은 전혀 분명하지 않습니다. 프린시피아 수학자는 알려진 역설을 피하고 많은 수학의 파생을 허용하는 반면, 그 체계는 새로운 문제를 일으켰습니다.

어쨌든, 1930-31년에 쿠르트 괴델은 현재 1차 논리로 알려진 수학 원리의 많은 부분의 논리는 완전하지만, 일관성이 있다면 페아노 산술은 반드시 불완전하다는 것을 증명했습니다. 이것은 보편적이지는 않지만 매우 광범위하게 프레게의 논리학자 프로그램을 완성하는 것이 불가능하다는 것을 보여준 것으로 간주됩니다.

2001년에 뮌헨에서 러셀의 역설 100주년을 기념하는 100주년 국제회의가 열렸고, 그 의사록이 출판되었습니다.^[12]

적용 버전

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이 역설의 일부 버전은 실제 상황에 더 가깝고 논리학자가 아닌 사람들이 이해하기에 더 쉬울 수 있습니다. 예를 들어, 이발사 역설은 자신을 면도하지 않는 모든 남자와 자신을 면도하지 않는 남자만을 면도하는 이발사를 가정합니다. 이발사가 직접 면도를 해야 할지 말아야 할지 고민하면 역설이 나타나기 시작합니다.

이발사 역설과 같은 "레이먼 버전"에 대한 쉬운 반박은 그러한 이발사가 존재하지 않거나, 이발사가 사람이 아니기 때문에 역설 없이 존재할 수 있다는 것으로 보입니다. 러셀의 역설의 핵심은 "그런 집합은 존재하지 않는다"는 대답이 주어진 이론 내에서 집합의 개념에 대한 정의가 불만족스럽다는 것을 의미한다는 것입니다. "해당 집합이 존재하지 않는다"와 "빈 집합이다"는 문장의 차이를 기록합니다. "버킷이 없다"는 말과 "버킷이 비어 있다"는 말의 차이와 같습니다.

위에서 주목할 만한 예외는 그렐링-넬슨 역설일 수 있는데, 그렐링-넬슨 역설은 사람과 머리카락을 자르는 것이 아니라 말과 의미가 시나리오의 요소라는 것입니다. 이러한 이발사는 존재하지 않으며 존재할 수도 없다고 하여 이발사의 역설을 반박하기 쉽지만, 의미 있게 정의된 단어에 대하여 유사한 말을 하는 것은 불가능합니다.

역설이 극화된 한 가지 방법은 다음과 같습니다. 모든 공공 도서관이 모든 책의 카탈로그를 작성해야 한다고 가정해 보겠습니다. 카탈로그는 그 자체로 도서관의 책 중 하나이기 때문에, 어떤 사서들은 완성도를 위해 카탈로그에 포함시키고, 어떤 사서들은 그것이 도서관의 책 중 하나이기 때문에 그것을 생략합니다. 이제 이 모든 카탈로그가 국립 도서관으로 보내진다고 상상해 보세요. 그들 중 일부는 목록에 자신을 포함하고 다른 일부는 포함하지 않습니다. 국가 사서는 자신을 나열하는 모든 카탈로그와 그렇지 않은 모든 카탈로그 중 하나인 두 개의 마스터 카탈로그를 컴파일합니다.

문제는 이러한 마스터 카탈로그가 직접 나열되어야 하는가 하는 것입니다. '자신을 나열하는 모든 카탈로그의 카탈로그'는 문제가 없습니다. 사서가 자신의 목록에 포함하지 않는 경우, 사서는 자신을 포함하는 카탈로그의 진정한 카탈로그로 남아 있습니다. 만약 그가 그것을 포함한다면, 그것은 그들 자신을 나열하는 진정한 목록으로 남아있습니다. 그러나 사서가 첫 번째 마스터 카탈로그를 잘못할 수 없듯이 두 번째는 실패할 수밖에 없습니다. '자체 목록에 없는 모든 카탈로그의 카탈로그'에 관해서는, 사서는 자체 목록에 포함할 수 없습니다. 왜냐하면, 그 목록은 자체 목록에 포함될 것이고, 따라서 자체가 포함된 카탈로그의 다른 카탈로그에 속하기 때문입니다. 하지만 사서님이 빼놓으시면 카탈로그가 불완전합니다. 어느 쪽이든, 그것은 자신을 나열하지 않는 카탈로그의 진정한 마스터 카탈로그가 될 수 없습니다.

응용프로그램 및 관련 항목

러셀식 역설

이발사 역설에 대해 위에서 설명한 바와 같이 러셀의 역설은 확장하기 어렵지 않습니다. 가져가기:

• 실체적 형태에 적용할 수 있는 타동사 ⟨ V ⟩입니다.

문장을 작성합니다.

V ⟨를 ⟨하는 ⟨V ⟩er는 V ⟩를 직접 ⟩하지 않는 모든 사람(및 해당하는 사람만),

때때로 "all"은 "all ⟨V ⟩ers"로 대체됩니다.

예를 들어 "페인트"가 있습니다.

자신이 직접 칠하지 않는 모든 것(그리고 그것들만 칠하는 화가)을 칠하는 화가.

또는 "선택"

스스로 선택하지 않는 모든 것을 선택하는 선거인(대표자).

더 빅뱅 이론의 시즌 8 에피소드 "The Skywalker Intrusion"에서 셸던 쿠퍼는 노래 "Play That Funky Music"을 분석하고 가사가 러셀의 역설의 음악적 예를 제시한다고 결론지었습니다.^[25]

이 계획에 해당하는 역설은 다음과 같습니다.

• 면도를 한 이발사.
• "contain"을 사용한 러셀의 원래 역설: 자신을 포함하지 않는 모든 컨테이너(컨테이너)를 포함하는 컨테이너(Set)입니다.
• 그렐링-넬슨의 역설은 다음과 같습니다. 자신을 설명하지 않는 모든 단어를 설명하는 설명자(단어)입니다.
• 리차드의 "표"에 대한 역설은 다음과 같습니다. 자신을 나타내지 않는 모든 표시자(숫자)를 나타내는 표시자(숫자)입니다. (이 역설에서 숫자에 대한 모든 설명은 할당된 숫자를 얻습니다. 여기서 "자신을 나타내지 않는 모든 표시자(숫자)를 나타내는 것"이라는 용어를 Richardian이라고 합니다.
• "나는 거짓말을 하고 있습니다." 즉, 거짓말쟁이 역설과 에피메니데스 역설의 기원은 고대에 있습니다.
• 러셀-마이힐 역설

관련 역설

• 부랄리-포르티 역설, 모든 잘 정렬된 순서의 순서 유형에 관한
• 자기 부정적 진술을 통해 원래 람다 미적분학이 일관성이 없음을 보여주는 크린-로저 역설
• 부정을 필요로 하지 않는 커리의 역설(Haskell Curry의 이름을 따서 명명됨)
• 가장 작은 재미없는 정수 역설
• 유형론에서 지라드의 역설

참고 항목

• 기본법 V
• 칸토어의 대각선 논법 – 집합론에서의 증명
• 괴델의 불완전성 정리 – 수학 논리학에서의 한계 결과
• 힐베르트의 첫 번째 문제 – 리다이렉트 대상에 대한 짧은 설명을 표시하는 수학적 논리 페이지의 명제
• "표시에 대하여"
• 집합론의 역설
• 퀸의 역설
• 자기참조
• 이상한 루프 – 계층 시스템에서 여러 단계를 거치는 순환 구조
• 범용 집합 – 모든 개체를 포함하는 수학 집합

메모들

참고문헌

원천

외부 링크

• Kaplan, Jeffrey (2022). "Russell's Paradox - a simple explanation of a profound problem". YouTube. Retrieved 25 November 2023.

• "Russell's Paradox". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Irvine, Andrew David (2016). "Russell's Paradox". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Weisstein, Eric W. "Russell's Antinomy". MathWorld.
• "Russell's Paradox". Cut-the-Knot. Retrieved 25 November 2023.
• "Russell's (Barber) paradox explanation in Python". Retrieved 25 November 2023.