이중 진자

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물리학과 수학에서, 동적 시스템의 영역에서, 이중 진자는 그 끝에 다른 진자가 붙어 있는 진자이며, 초기 ^[1]조건에 강한 민감성과 함께 풍부한 동적 행동을 보이는 단순한 물리적 시스템을 형성한다.이중 진자의 운동은 일련의 결합된 상미분 방정식에 의해 제어되며 혼란스럽다.

분석 및 해석

이중 진자의 여러 변형을 고려할 수 있다. 두 사지는 같거나 같지 않은 길이와 질량을 가질 수 있고, 단순 진자 또는 복합 진자(복잡한 진자라고도 함)일 수 있으며, 운동은 3차원이거나 수직 평면으로 제한될 수 있다.다음 해석에서는 사지 길이 l과 질량 m의 동일한 복합진자로 간주하고 운동을 2차원으로 제한한다.

복합진자에서는 질량이 그 길이에 따라 분포한다.만약 질량이 골고루 나뉜 경우 각 팔의 질량의 이 센터는 중간 지점에서, 팔다리.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw- 정도 나는 관성의 순간이다.Parser-output .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/12ml2 그 점에 대해서.sfrac.

각 사지와 수직 사이의 각도를 시스템의 구성을 정의하는 일반화 좌표로 사용하면 편리합니다.이 각도는 θ와₁ θ로₂ 표시됩니다.각 막대의 질량 중심 위치는 이 두 좌표의 관점에서 기록될 수 있다.데카르트 좌표계의 원점이 첫 번째 진자의 현수점에 있다고 가정할 경우, 이 진자의 질량 중심은 다음과 같다.

${\displaystyle {displaystyle}x_{1}&=sin \theta _{1}\y_{1}&=-{\frac {l}{2}\cos \theta _{1}\end{aligned}}$

그리고 두 번째 진자의 질량 중심은

${\displaystyle {displaystyle} x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {2}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end {aligned}})$

이것은 라그랑지안을 쓰기에 충분한 정보이다.

라그랑지안

라그랑지안은

$디스플레이 스타일L&=pictext{kinetic energy}-{\text{picetic energy}\\&=pictfrac{1}{2}m\left(v_{1}^2}+v_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({\dot {\theta }_{1})^{2}+{\dot {\theta }_{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&=tftfrac {1}{2}m\leftfrac{\dot {x}_{1}^{2}+{\dot {x}_{2}+{\dot {x}_{2}+{\dot {y}_{2}+{{\right}+{tfrac1}{2}}+{{\dot {\dot {\dot {\dot {\frac}}}I\left({\dot {\theta }_{1})^{2}+{\dot {\theta }_{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}})$

첫 번째 항은 물체의 질량 중심의 선형 운동 에너지이고, 두 번째 항은 각 막대의 질량 중심을 중심으로 한 회전 운동 에너지입니다.마지막 항은 균일한 중력장에서의 물체의 위치 에너지이다.도트 표기는 해당 변수의 시간 도함수를 나타냅니다.

위의 좌표를 대입하고 방정식을 재정렬하면

${\displaystyle L=tftfrac {1}{6}ml^{2}\left{\dot {\theta }{2}+4개\dot {{1}^{2}+3개\dot {\theta }{1}}{\cos(_1-ta })}$

보존된 양(에너지)은 하나뿐이며 보존된 순간은 없습니다.두 일반화 모멘타는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}p_{\theta_{1}}&={\frac{\partial L}{\partial{{\dot{\theta}}_{1}}}}={\tfrac{1}{6}}ml^ᆰ\left(8{{\dot{\theta}}_{1}}+3{{\dot{\theta}}_{2}}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\right)\\p_{\theta_{2}}&={\frac{\partial L}{\partial{{\dot{\theta}}_{2}}}}={\tfrac{1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot{\theta}}_{2}}+3{{\do.t{\theta}}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}\right).\end { aligned}}$

이 표현들은 반전이 되어 얻을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{{\dot{\theta}}_{1}}&={\frac{6}{ml^{2}}}{\frac{2p_{\theta_{1}}-3\cos(\theta_{1}-\theta_{2})p_{\theta_{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta_{1}-\theta_{2})}}\\{{\dot{\theta}}_{2}}&={\frac{6}{ml^{2}}}{\frac{8p_{\theta_{2}}-3\cos(\theta_{1}-\theta_{2})p_{\theta_{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta_{1}-\theta_{2})}.}.\end { aligned}}$

나머지 운동 방정식은 다음과 같이 기술됩니다.

${\displaystyle {\dot {p}_{\theta _{1}}&=frac {\partial \theta _{1}=-{\tfrac {1}ml^{2}\left {\dot {\theta }_{1}}{\sin2}}{\tfrac {\ttheta } {\tfrack {\t} {{{{{t}}}} {1}} {\the} {\thethe} {\the} {1}} {\the ta} {\t\\{\dot {p}_{\theta _{2}}&=frac {\partial \theta _{2}=-{\tfrac {1}ml^{2}\left {{\dot {\theta }}_{1}{\sin-ta}_{\ta}_{\tfrac {\ta}_{1}\end { aligned}}$

이들 마지막 4개의 방정식은 현재 상태에서 시스템의 시간 진화에 대한 명시적인 공식입니다.더₁ 나아가 이러한 방정식을 닫힌 형식의 식에 적분하여 of과 as의₂ 공식을 시간의 함수로 구하는 것은 불가능하다^{[citation needed]}.단, 이 통합은 Runge Kutta 메서드 또는 이와 유사한 기술을 사용하여 수치적으로 수행할 수 있습니다.

카오스 운동

이중 진자는 카오스 운동을 하며 초기 조건에 민감한 의존성을 보인다.오른쪽 이미지는 정지 상태에서 해제되었을 때 초기 위치의 함수로 진자가 뒤집힐 때까지의 경과 시간을 보여줍니다.여기서 θ의₁ 초기값은 -3.14~3.14의 x방향에 따라 달라집니다.초기값 θ는₂ y방향에 따라 -3.14~3.14 범위입니다.각 픽셀의 색상은 다음 중 하나의 진자가 플립되는지 여부를 나타냅니다.

• ${\displaystyle \sqrt{\frac{l}{}}}$ g$(\$ $$: (검은색)
• ${\displaystyle 10\sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{l}{}}}$(\ $displaystyle$ 10$sqrt${ $frac${$l$} { $g$} )$$ (빨간색)
• ${\displaystyle 100\sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\lg }{}}}$({$displaystyle$ 100$µrt {frac {l}{g}})$ $$(녹색)
• ${\displaystyle 1000\sqrt{\frac{}{}}}$ (\ $displaystyle$ 1000$µrt$\$frac${ $l$} { g$}$ } $$（ blue ）또는
• ${\displaystyle 10000\sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{l}{}}}$ g$(\$ 10000$g$)rt ${frac {l}{g}}}($).$$

${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{10000l}}{}}}$ g$(\$ 10000${\sqrt {frac {l}{g}}})$ ${\displaystyle \mathrm{내}}$에서 플립되지 않는 초기 조건은 흰색으로 표시됩니다.

중앙 흰색 영역의 경계는 부분적으로 다음과 같은 곡선으로 에너지 보존에 의해 정의된다.

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}$

이 곡선에 의해 정의된 영역 내에서, 즉,

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}$

그러면 어느 추도 뒤집히는 것이 에너지적으로 불가능하다.이 지역 밖에서는 진자가 뒤집힐 수 있지만 언제 뒤집힐지 결정하는 것은 복잡한 문제입니다.분산 ^[2]질량을 가진 두 개의 막대 대신 두 개의 점 질량으로 구성된 이중 진자에 대해서도 유사한 동작이 관찰된다.

자연 들뜸 주파수의 부족으로 인해 건물 자체가 1차 역진자이고 이중 진자를 완성하기 위해 2차 질량이 연결되는 건물의 내진 설계에서 이중 진자 시스템을 사용하게 되었다.

「 」를 참조해 주세요.

• 이중 역진자
• 진자(메트릭)
• 20세기 중반의 물리학 교과서는 "이중 추"라는 용어를 V자 모양의 끈에 매달려 있는 하나의 단발이라는 의미로 사용한다.Lissajous 곡선을 만드는 이러한 유형의 추는 현재 블랙번 추라고 불립니다.

메모들

레퍼런스

• Meirovitch, Leonard (1986). Elements of Vibration Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Double penducle (2005), Science World (복잡한 방정식의 상세 내용 포함), 2007년 Rob Morris의 "Double penducle" (이 방정식의 애니메이션).
• 피터 린치, 더블 펜듈럼, (2001).(자바 애플릿 시뮬레이션).
• Northwestern University, Double Penducle, (자바 애플릿 시뮬레이션)
• UBC의 이론 고에너지 천체물리학 그룹, 이중 진자, (2005).

외부 링크

• Mike Whitland(Univ)의 이중 진자와 물리적 이중 진자(2개의 정사각형 플레이트)에 대한 애니메이션과 설명.시드니)

• 상세 방정식 이중 진자를 사용한 대화형 오픈 소스 물리 JavaScript 시뮬레이션
• 이중 진자의 대화형 Javascript 시뮬레이션
• 오픈 소스 JavaScript 코드를 사용한 www.myphysicslab.com의 이중 진자 물리학 시뮬레이션
• 로트의 진자에 대한 시뮬레이션, 방정식 및 설명
• YouTube에서 초기 시작 조건이 동일한 이중 진자 비교 동영상
• Double Pendu Simulator - Qt 툴킷을 사용하여 C++로 작성된 오픈 소스 시뮬레이터.
• Imaginal 전시회의 온라인 Java 시뮬레이터.