페르미-파스타-울람-칭거우 문제

이 기사는 대부분의 독자가 이해하기에는 너무 기술적일 수 있습니다. 기술적인 세부 사항을 제거하지 않고 비전문가들이 이해할 수 있도록 개선할 수 있도록 도와주시기 바랍니다. (2022년 1월) (본 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기에 대해 알아봅니다)

물리학에서 페르미-파스타-울람-칭거우(FPUT) 문제 또는 이전의 페르미-파스타-울람 문제는 혼돈 이론에서 예상되는 에르고딕 동작 대신 페르미-파스타-울람-칭거우 재발(또는 페르미-파스타-울람 재발)이라고 불리는 거의 정확하게 주기적인 동작을 나타내는 명백한 역설입니다. 엔리코 페르미는 시스템이 꽤 짧은 시간 안에 열화되리라고 확실히 예상했기 때문에 이것은 놀라운 일이 되었습니다. 즉, 모든 진동 모드가 결국 등분율 정리, 더 일반적으로 에르고딕 가설에 따라 동등한 강도로 나타날 것으로 예상되었습니다. 그러나 여기 에르고딕 가설을 회피하는 것으로 보이는 시스템이 있었습니다. 재발이 쉽게 관찰되지만, 결국 훨씬 더 오랜 시간에 걸쳐 시스템이 결국 열화된다는 것이 분명해졌습니다. 시스템의 동작을 설명하기 위해 여러 경쟁 이론이 제안되었으며, 이는 여전히 활발한 연구 주제로 남아 있습니다.

원래 의도는 당시 새로 나온 매니악 컴퓨터에서 수치 시뮬레이션을 할 만한 물리학 문제를 찾는 것이었습니다. 페르미는 열화가 그러한 도전을 가져올 것이라고 느꼈습니다. 이와 같이 수학 연구에서 디지털 컴퓨터의 가장 초기 사용 사례 중 하나이며, 예상치 못한 결과로 인해 비선형 시스템에 대한 연구가 시작되었습니다.

FPUT 실험

1953년 여름 엔리코 페르미, 존 파스타, 스타니슬라브 울람, 메리 칭구는 비선형 항(한 테스트에서 2차, 다른 테스트에서 3차, 1/3에서 3차에 3차에 3차에 대한 부분적 선형 근사)을 포함하는 진동하는 끈의 컴퓨터 시뮬레이션을 수행했습니다. 그들은 그 시스템의 행동이 그들이 기대하도록 이끌었을 직관과 상당히 다르다는 것을 발견했습니다. 엔리코 페르미는 여러 번의 반복 후에 시스템이 초기 진동 모드의 영향이 사라지고 모든 모드가 동등하게 들뜬 상태에서 시스템이 다소 무작위해지는 에르고딕 동작인 열화를 보일 것이라고 생각했습니다. 대신 시스템은 매우 복잡한 준주기적 행동을 나타냈습니다. 그들은 1955년 로스 알라모스 기술 보고서에 그들의 결과를 발표했습니다. 엔리코 페르미는 1954년에 사망했고, 그래서 이 기술 보고서는 페르미가 사망한 후에 출판되었습니다.

2020년 국가안보과학지(National Security Science)는 FPUT 문제에 대한 그녀의 논평과 역사적 성찰을 포함하는 칭구(Tsingou)에 대한 기사를 실었습니다. 기사에서 칭구는 "나는 언젠가 파스타와 울람과 함께 거기에 앉아 있었던 것을 기억한다"고 말하면서, 그들은 "우리가 컴퓨터로 할 수 있는 어떤 문제들, 어떤 정말 수학적인 문제들"을 브레인스토밍했습니다. 그들은 여러 가지를 시도했지만, 결국 "그들은 이 진동하는 끈을 생각해 냈습니다."^[1]

FPUT 실험은 비선형 시스템 행동의 복잡성과 시스템을 분석하는 데 있어 컴퓨터 시뮬레이션의 가치를 보여주는 데 모두 중요했습니다.

명칭변경

원본 논문은 MANIAC 시뮬레이션 프로그래밍에 대한 칭구의 연구를 인정하면서 페르미, 파스타, 울람을 저자로 명명했습니다(보고서가 작성되기 전에 페르미는 사망했지만). FPUT 문제에 대한 Mary Tsingou의 기여는 Tierry Dauxois(2008)가 개발에 관한 추가 정보를 발표하고 문제의 이름을 변경하여 그녀의 귀속을 승인할 것을 요구하기 전까지 커뮤니티에서 대부분 무시되었습니다.

FPUT 격자계

페르미, 파스타, 울람, 칭구는 가장 가까운 이웃 결합 발진기의 다음 이산 시스템을 해결하여 진동하는 끈을 시뮬레이션했습니다. 우리는 Richard Palais의 기사에 주어진 설명을 따릅니다. 평형 ${\displaystyle {위치}_{}}$가 p ${\displaystyle \text{j}}$ = j h,${\displaystyle \mathrm{j}}$ = ${\displaystyle 0,}$ …$$, N - 1 {\displaystyle p_{j} = jh,\ j = 0,\ dots,N-1}인 길이$$ℓ ${\$displaystyle \ell}을 나타내는 N개의 오실레이터가 있다고 가정합니다. 여기서 h = ℓ / (N - 1) {\displaystyle h =\ell / (N-1)}은 격자 간격입니다. 그러면 시간의 함수로서 j번째 발진기의 위치는 X $j{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t)}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$+$$x j ${\displaystyle {}_{}t)}$ ${\displaystyle$ X_${j}(t$) = p_{j} + x_{j}(t)}이므로 x j (t) {\displaystyle x_{j}(t)}는 평형으로부터의 변위를 제공합니다. FPUT는 다음과 같은 운동 방정식을 사용했습니다.

${\displaystyle m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

이것은 j번째 입자에 대한 뉴턴의 제2법칙일 뿐입니다. 첫 번째 인자 $k{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1{}_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})}$는 힘에 대한 일반적인 훅의 법칙입니다. $\alpha$가$${\$displaystyle \alpha}$인 인자는$$ 비선형 힘입니다. $c$ =$$κ$/$ρ {\$displaystyle$ c = {\$sqrt$ {\kappa /\$rho$ }}를 파속으로 정의하여 연속체 양 측면에서 이를 다시 쓸 수 있습니다${\displaystyle .}$ 여기서${\displaystyle {}^{}}$κ = k / h {\$displaystyle$ \kappa = k/h}는 문자열의 영률이고 ρ = m / h 3 {\displaystyle \rho = m/h^{3}는 밀도입니다.

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

KdV 방정식에 대한 연결

(2차 힘 항이 있는) 문자열에 대한 지배 방정식의 연속체 한계는 Korteweg–de Vries 방정식(KdV 방정식)입니다. 1965년 Martin David Kruskal과 Norman Zabusky의 KdV 방정식의 솔리톤 해의 발견은 비선형 시스템 연구에서 중요한 진전이었습니다. 우리는 Palais의 기사에서 볼 수 있듯이 다소 까다로운 이 한계의 파생 아래에서 재현합니다. 위의 격자 방정식의 "연속 형태"에서 시작하여, 우리는 먼저 u(x, t)를 위치 x와 시간 t에서의 끈의 변위로 정의합니다. $그런{\displaystyle }$ 다음 u${\displaystyle (\mathrm{pj}{}_{}}$ t${\displaystyle )}$ ${\displaystyle u(p_{j},t)}$가 ${\displaystyle {xj}_{}t)}$ ${\displaystyle x_{j}(t)}$이 되도록 대응을 원합니다$.$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

테일러의 정리를 사용하여 $작은{\displaystyle }$ h$${\$displaystyle$ h$}$에 대한 두 번째 인자를 다시 쓸 수 있습니다.$$ (부분 도함수를 나타내는 부분 도함수):

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\right)&={\frac {u(x+h,t)+u(x-h,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{align}}}$

마찬가지로 세 번째 인자의 두 번째 항은

${\displaystyle \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}{3}}\right)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).}$

따라서 FPUT 시스템은

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}+O(\alpha h^{2},h^{4}).}$

O(h)까지의 항만 유지하고 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \alpha }$ h ${\displaystyle$ 2$\alpha$ h$}$가 한계에 접근한다고$$ 가정하면 결과 방정식은 충격을 발생시키는 방정식으로 관찰되지 않습니다. 따라서 O(h²)항도 유지됩니다.

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}.}$

이제 저희는 진행파 솔루션($일반{\displaystyle }$ 파동 방정식의 경우 α,${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \alpha,h}$가 사라지면 감소)을 좌, 우 이동파로 분해하여 우 이동파만 고려하도록 동기를 부여하여 다음과 같은 대체를 수행합니다. ξ $$= ${\displaystyle x}$ - ${\displaystyle c}$, τ = (α h) c, y (ξ, τ) = u (x, t) {\displaystyle \xi = x-ct,\ \tau = (\alpha h)ct,\ y(\xi,\tau )= u(x, t)}라고 합니다. 이 좌표 변화 하에서 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle y_{\xi \tau }-\left ({\frac {\alpha h}{2}}\right)y_{\tau \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\left ({\frac {h}{24\alpha }}\right)y_{\xi \xi \xi }$

연속체 한계를 취하려면 $\alpha {\displaystyle }$/ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \alpha$/ $h}$가 일정한 경향이$$ 있고 ${\displaystyle \alpha ,}$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha, h}$가 0인$$ 경향이 있다고 가정합니다. δ = $lim$→ 0 h / (24 α) {\displaystyle \delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha )}}를 취하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi }$

$v$ = ${\displaystyle {}_{}}$ξ {\displaystyle v =$$y_{\xi}}를 취하면 KdV 방정식이 나타납니다.

${\displaystyle v_{\tau }+vv_{\xi}+\delta ^{2}v_{\xi \xi}=0.}$

Zabusky와 Kruskal은 FPUT 실험에서 파동의 준주기성을 설명하는 것은 KdV 방정식의 솔리톤 해가 점근적 형태에 영향을 미치지 않고 서로 통과할 수 있다는 사실이라고 주장했습니다. 간단히 말해서, 열화는 시스템의 특정한 "솔리톤 대칭" 때문에 발생할 수 없었고, 이는 에르고딕성을 깨뜨렸습니다.

유사한 일련의 조작(및 근사)은 토다 격자로 이어지는데, 토다 격자는 완전히 적분 가능한 시스템으로도 유명합니다. 또한 솔리톤 솔루션인 Lax 쌍이 있으므로 FPUT 모델의 에르고딕성 부족을 주장하는 데 사용할 수 있습니다.^[2][3]

열화 경로

1966년 펠릭스 이즈라일레프와 보리스 치리코프는 충분한 양의 초기 에너지가 제공되면 시스템이 열화될 것이라고 제안했습니다.^[4] 여기서 아이디어는 비선형성이 분산 관계를 변화시켜 공진 상호 작용이 일어나 한 모드에서 다른 모드로 에너지가 유출된다는 것입니다. 이러한 모델에 대한 리뷰는 Roberto Livi et al. 에서 확인할 수 있습니다.^[5] 그러나 1970년에 Joseph Ford와 Gary H. Lunsford는 임의로 작은 초기 에너지로도 혼합을 관찰할 수 있다고 주장합니다.^[6] 문제에 대한 접근 방식은 길고 복잡한 역사를 가지고 있습니다. (부분적인) 조사는 Tierry Dauxois(2008)를 참조하십시오.^[7]

Miguel Onorato et al. 의 최근 연구는 열화로 가는 매우 흥미로운 경로를 보여줍니다.^[8] FPUT 모델을 일반 모드의 관점에서 다시 작성하면 비선형 용어는 3-모드 상호작용(통계역학의 언어를 사용하여 이를 "3-포논 상호작용"이라고 부를 수 있음)으로 표현합니다. 그러나 공진 상호작용이 ^[9]아니므로 한 모드에서 다른 모드로 에너지를 확산할 수 없으며 FPUT 재발만 발생시킬 수 있습니다. 3-포논 상호작용은 시스템을 열화시킬 수 없습니다.

그러나 핵심 통찰력은 이러한 모드가 "자유" 모드와 "구속" 모드의 조합이라는 것입니다. 즉, KdV 방정식에 대한 해에서 높은 고조파가 기본에 속박되는 것과 거의 동일한 방식으로 높은 고조파가 기본에 속박됩니다. 그들은 그들만의 역학을 가지고 있지 않으며, 대신 근본적으로 단계적으로 고정되어 있습니다. 열화는 존재하는 경우 자유 모드에만 적용될 수 있습니다.

자유 모드를 얻기 위해서는 자유 모드가 아닌 모든 모드(공진 상호작용에 관여하지 않는)를 제거하는 표준 변환을 적용할 수 있습니다. FPUT 시스템에 대해 이렇게 하면 발진기 모드가 4파 상호 작용을 하게 됩니다(3파 상호 작용이 제거됨). 이 4중주는 공명하게 상호 작용합니다. 즉, 한 번에 네 가지 모드를 함께 혼합합니다. 하지만 이상하게도 FPUT 체인에 16개, 32개 또는 64개의 노드만 있는 경우 이러한 쿼텟은 서로 분리됩니다. 주어진 모드는 하나의 4중주에만 속하며, 에너지는 한 4중주에서 다른 4중주로 흐르지 않습니다. 더 높은 수준의 상호작용으로 계속해서 공진하는 6파 상호작용이 있으며, 또한 모든 모드는 적어도 두 개의 다른 6파 상호작용에 참여합니다. 즉, 모든 모드가 상호 연결되고 에너지는 모든 다른 모드 사이에서 전달됩니다.

3파 상호 작용의 $강도$는 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1/\alpha}($위의 섹션과$$ 동일한 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha})$입니다. 4파 상호작용의 $세기$는 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle$ 1$/\alpha ^{2}}$이고, 6파 상호작용의 $세기$는 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 4{}^{}}$ ${\$ 1$/\alpha ^{4}}$입니다$.$ 상호 작용의 상관(BBGKY 계층에서 비롯됨)에 대한 일반적인 원칙에 따라 열화 시간이 상호 작용의 제곱으로 실행될 것으로 예상합니다. 따라서 원래 FPUT 격자(크기 16, 32 또는 64)는 $결국$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ 8 ${\$$displaystyle$ 1$/\alpha ^{8}}$의 시간 척도로 열화됩니다$.$ 분명히 약한 $상호$ 작용 ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ ≪ 1 ${\displaystyle$ \$alpha$ll 1}에서 매우 긴 시간이 됩니다. 한편 FPUT 재발은 완화되지 않고 실행되는 것으로 나타납니다. 이 특정 결과는 이러한 특정 격자 크기에 적합합니다. 다른 격자 크기에 대한 공진 4파 또는 6파 상호작용은 모드를 혼합하거나 혼합하지 않을 수 있습니다(Brillouin 구역은 크기가 다르기 때문에 파동-벡터의 합이 0이 될 수 있는 조합론이 변경되기 때문에). 경계 모드를 선형화하는 표준 변환을 얻기 위한 일반적인 절차는 활발한 연구 주제로 남아 있습니다.

참고문헌

더보기

• Dauxois, Thierry (2008). "Fermi, Pasta, Ulam, and a mysterious lady". Physics Today. 6 (1): 55–57. arXiv:0801.1590. Bibcode:2008PhT....61a..55D. doi:10.1063/1.2835154. S2CID 118607235.
• Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory.
• 그랜트, 버지니아 (2020). "미스 메리 칭구에게 감사합니다." 국가안보과학. 2020년 겨울: 36-43.
• Zabusky, N. J.; Kruskal, M. D. (1965). "Interactions of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states". Physical Review Letters. 15 (6): 240–243. Bibcode:1965PhRvL..15..240Z. doi:10.1103/PhysRevLett.15.240.
• Palais, R. (1997). "The Symmetries of Solitons" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 34 (4): 339–403. arXiv:dg-ga/9708004. doi:10.1090/S0273-0979-97-00732-5. MR 1462745. S2CID 14550937.
• Dauxois, T.; Ruffo, S. (2008). "Fermi–Pasta–Ulam nonlinear lattice oscillations". Scholarpedia. 3 (8): 5538. Bibcode:2008SchpJ...3.5538D. doi:10.4249/scholarpedia.5538.
• Gallavotti, G., ed. (2008). The Fermi–Pasta–Ulam Problem: A Status Report. Lecture Notes in Physics. Vol. 728. Springer. ISBN 978-3-540-72994-5.
• Porter, M. A.; Zabusky, N. J.; Hu, B.; Campbell, D. K. (2009). "Fermi, Pasta, Ulam and the Birth of Experimental Mathematics" (PDF). American Scientist. 97 (3): 214–221. doi:10.1511/2009.78.214.
• Onorato, M.; Vozella, L.; Proment, D.; Lvov, Y. (2015). "Route to thermalization in the α-Fermi–Pasta–Ulam system" (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 112 (14): 4208–4213. arXiv:1402.1603. Bibcode:2015PNAS..112.4208O. doi:10.1073/pnas.1404397112. PMC 4394280. PMID 25805822.

외부 링크

• "Fermi Pasta Ulam: the paradox that launched scientific computing".