미분 기하학

기하학
구를 평면에 투영
개요 역사
나뭇가지 유클리드 주 논유클리드 타원체 구면 쌍곡선 비 아르키메데스 기하학 투영적 아핀 합성 분석적 대수학 산술 디오판틴 미분 리만어족 심플렉틱 이산 미분 콤플렉스 유한한 이산/복합 디지털 볼록스 연산 프랙탈 발생 비확정 기하학 비계산 대수 기하학
개념 특징들 치수 직선 및 컴퍼스 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 평행 꼭지점 조화 유사성 대칭
0차원 포인트
일차원 라인 분절하다 광선을 치다 길이
이차원 평면 면적 폴리곤 삼각형 고도 하이포테누스 피타고라스 정리 평행사변형 사각형 직사각형 마름모꼴 롬보이드 4각형 사다리꼴 연 원 지름 원주 면적
입체 볼륨 큐브 입방체의 실린더 피라미드 구
4차원 / 기타 차원 테세락트 하이퍼스피어
기하학
이름하여 아이다 아리아바타 아흐메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 바우다야나 볼라이 브라마굽타 카르탄 콕시터 데카르트 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 예시하데바 카티아나 하이야름 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메슈바라 푸앵카레 리만 사카베 시지 알투시 베블렌 비라세나 양희 알야사민 장 기하학 목록
기간별로 기원전 아흐메스 바우다야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1-1400년대 장 카티아나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시지 하이야름 알야사민 알투시 양희 파라메슈바라 1400년대-1700년대 예시하데바 데카르트 파스칼 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700년대–1970년대 가우스 로바체프스키 볼라이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탄 베블렌 콕시터 현재 아티야 그로모프
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미분 기하학은 미분학, 적분학, 선형대수학, 다변대수의 기법을 이용하여 부드러운 모양과 부드러운 공간의 기하학을 연구하는 수학적 학문이다.이 분야는 천문학이나 지구의 지오디와 관련되기 때문에 옛날 옛부터 구면 기하학의 연구에 그 기원을 두고 있으며, 나중에는 로바체프스키에 의한 쌍곡 기하학의 연구에 그 기원을 두고 있다.평탄한 공간의 가장 단순한 예로 3차원 유클리드 공간의 평면과 공간 곡선과 표면이 있으며, 이러한 형태의 연구는 18세기 및 19세기 현대 미분 기하학의 발전의 기초를 형성하였다.

19세기 후반 이후, 미분 기하학은 다른 다지관의 기하학적 구조와 더 일반적으로 관련된 분야로 성장했다.기하학적 구조는 크기, 거리, 모양, 부피 또는 다른 경직된 구조의 개념을 정의하는 구조다.예를 들어, 리만 기하학적 거리와 각도가 지정되어 있는 경우, 동시 기하학적 기하학 볼륨은 계산될 수 있으며, 등호 기하학에서는 각도가 지정될 수 있으며, 게이지 이론에서는 특정 분야가 공간을 통해 주어진다.미분 기하학은 추가적인 기하학적 구조에 의존하지 않는 가변적인 다지관의 특성과 그 자체에 관련된 미분 위상과 밀접하게 관련되어 있으며, 때로는 이를 포함하는 것으로 간주된다(두 과목의 구별에 대한 자세한 설명은 이 기사 참조).미분 기하학은 또한 미분 방정식 이론의 기하학적 측면과도 관련이 있는데, 그것은 기하학적 분석이라고도 한다.

미분 기하학은 수학과 자연과학 전반에 걸쳐 응용 분야를 찾아낸다.가장 두드러지게 미분 기하학의 언어는 앨버트 아인슈타인이 일반 상대성 이론에서 사용했고, 그 뒤 물리학자들이 양자장 이론과 입자 물리학의 표준 모델 개발에 사용하였다.물리학 외에, 미분 기하학은 화학, 경제, 공학, 제어 이론, 컴퓨터 그래픽과 컴퓨터 비전, 그리고 최근에 기계 학습에서 응용 분야를 찾는다.

역사와 발전

주제로서의 미분 기하학의 역사와 발전은 적어도 고전 고대에 이르기까지 거슬러 올라가며, 보다 일반적으로 기하학의 발전, 공간과 형태, 위상의 개념과 밀접하게 연결되어 있다.다지관 개념의 역사에 대한 자세한 내용은 해당 기사와 다지관 및 품종의 역사를 참조하십시오.이 절에서 우리는 주로 기하학에 대한 극소수의 방법 적용의 역사, 그리고 나중에 접선 공간의 사상, 그리고 결국 텐서 및 텐서 분야의 관점에서 주제의 현대적 형식주의의 발전에 초점을 맞춘다.

르네상스 시대까지의 고전 유물 (기원전 300년 - 서기 1600년)

미분 기하학에 대한 연구, 또는 적어도 평탄한 형태의 기하학에 대한 연구는 적어도 고전 고대로 거슬러 올라갈 수 있다.특히 고대 그리스 수학자들 시대에는 구면 기하학인 지구의 기하학에 대해 많이 알려져 있었다.유명한 것은, 에라토스테네스가 지구의 둘레를 기원전 200년경에 계산했고, 그의 지리학에서 약 150 AD 프톨레마이오스가 지구의 형상을 지도화하기 위한 목적으로 입체 투영법을 도입했다는 것이다.^[1]이 기간 내내 은연중에 미분 기하학과 미적분의 기초를 이루는 원리는 비록 훨씬 단순한 형태이긴 하지만 지리학에서 사용되었다.즉, 유클리드 원소까지 거슬러 올라가면 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 제공하는 그 속성에 의해 정의될 수 있는 것으로 이해되었고, 이 같은 원리를 지구 표면에 적용하는 것은 평면의 직선과 국소적으로만 유사한 위대한 원들이 다음을 제공한다는 결론으로 이어진다.e 지구 표면의 두 지점 사이의 최단 경로.실제로 Eratosthenes 등이 그러한 지오데틱 경로를 따라 거리를 측정하는 것은 1600년대까지 미적분학의 관점에서 엄격한 정의를 보지 못했던 개념인 곡선의 길이 측정의 초보적인 척도로 간주될 수 있다.

이 무렵에 그 주제에 대한 현대 미적분학 기반 연구의 선구자인 기하학 연구에 인피니티멘탈 이론이 공공연히 적용되는 경우는 극히 적었다.유클리드 원소에서는 한 선이 원에 접한다는 개념이 논의되고 아르키메데스는 원과 같은 매끄러운 모양의 영역과 구체, 원뿔, 실린더와 같은 매끄러운 3차원 고형물의 부피를 계산하기 위해 탈진 방법을 적용했다.^[1]

고대부터 르네상스 초기까지의 미분 기하학 이론은 거의 발전이 없었다.뉴턴과 라이프니즈에 의한 미적분학의 발전 이전에 미분 기하학의 이해에서 가장 중요한 발전은 제라두스 메르카토르가 지구를 지도화하는 방법으로 메르카토르 투영법을 발전시킨 데서 비롯되었다.메르카토르는 그의 지도 설계의 장점과 함정에 대한 이해를 가지고 있었으며, 특히 지구상에서 최단거리의 선인 프라가와 지도상의 직선 경로인 다이렉티오의 차이뿐만 아니라 그의 투영에 대한 일치된 성질을 알고 있었다.메르카토르는 프라가가 이 투영에서 비스듬한 곡선이었다고 지적했다.^[1]이 사실은 지구의 표면을 평평한 평면에 미터법으로 보존하는 지도의 부족을 반영하고 있는데, 이는 후에 가우스의 이론 에그레기움(Desistoryma Egregium of Gauss.

미적분 후(1600 - 1800)

미적분의 인피니테스 이론과 미적분학의 개념 이론을 이용한 기하학의 최초의 체계적이거나 엄격한 처리는 고트프리드 라이프니즈와 아이작 뉴턴에 의해 미적분이 처음 개발된 1600년대 경에 시작되었다.이때 기하학에 분석 좌표를 도입하는 레네 데카르트의 최근 연구는 증가하는 복잡성의 기하학적 모양을 엄격하게 묘사할 수 있게 했다.특히 이 무렵 피에르 드 페르마, 뉴턴, 라이프니츠는 평면 곡선에 대한 연구와 곡률 측정에 도움이 되는 변곡점, 오스카의 원 등의 개념에 대한 연구를 시작했다.실제로 라이프니즈는 미적분학의 기초에 관한 그의 첫 논문에서 극소 조건 $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d^{2}y=0}$이 변곡점의 존재를 나타낸다고$$ 언급하고 있다.이 시간 직후에, 야곱과 요한은 기하학을 연구하기 위해 인피니티즘을 사용하는 데 중요한 초기 공헌을 했다.당시 요한 베르누이의 강의에서, 나중에 L'Hopital에 의해 미분학에 관한 첫 번째 교과서로 취합된, 다양한 유형의 평면 곡선에 접선 대 플레인트를 ${\displaystyle d}$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty dy=0}$ 조건으로 계산하고$,$ 이와 유사하게 변곡점을 계산한다.^[1]이와 동시에 평면 곡선의 오스카상 원과 접선 방향 사이의 직교도가 실현되고, 오스카상 원의 반지름에 대한 첫 번째 분석 공식, 본질적으로 곡률 개념에 대한 첫 번째 분석 공식은 기록된다.

분석적 기하학과 평면 곡선의 발달에 따라 알렉시스 클레로우는 불과 16세에 우주 곡선에 대한 연구를 시작했다.^[2][1]클라이로트는 그의 책에서 우주 곡선이 놓여 있는 표면을 따라 놓여 있는 방향과 관련하여 우주 곡선에 접하고 아열한 방향의 개념을 소개했다.따라서 클라이로우는 표면의 접선 공간에 대한 암묵적인 이해를 증명했고 처음으로 미적분을 이용하여 이 생각을 연구했다.중요한 것은 클레로우가 곡률과 이중 곡률의 용어, 본질적으로 나중에 가우스와 다른 사람들에 의해 연구된 원곡률의 개념을 도입했다는 것이다.

이 무렵, 원래 요한 베르누이의 제자였던 레온하르트 오일러는 기하학의 발전뿐만 아니라 수학에도 보다 광범위하게 많은 중요한 공헌을 했다.^[3]차동 기하학에 관해서 오일러는 최초의 해석적 지오데틱 방정식을 도출하는 표면상의 지오데틱 개념을 연구하였고, 후에 지표면에 최초의 내적 좌표계 세트를 도입하여 현대 기하학적 사상의 기반이 되는 내적 기하학의 이론을 시작하였다.^[1]이 무렵 기계차의 역학에 대한 오일러의 연구는 어떤 힘의 영향도 받지 않는 표면을 따라 이동하는 질량이 지오데틱 경로를 가로지르고, 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 중요한 기초사상의 초기 전구인 지오데틱 경로를 지나가고, 또한 오일러-라그랑주 방정식과 ca의 첫 번째 이론으로 이어질 것이라는 깨달음으로 이어진다.현대 미분 기하학에서 밑바탕을 이루는 변형의 덩어리들. 복합 기하학과 기하학적 분석에서 많은 기법들.이 이론은 변동 미적분학의 공동 개발자인 라그랑주에 의해 오일러-라그랑주 방정식의 관점에서 최소 표면을 설명하는 첫 번째 미분 방정식을 도출하기 위해 사용되었다.1760년 오일러는 표면의 공간 곡선의 곡선을 오일러의 정리라고 알려진 주된 곡선으로 표현하는 정리를 증명했다.

이후 1700년대 후반 가스파드 몽에가 이끄는 프랑스 신학교가 미분 기하학에 기여하기 시작했다.몽그는 평면 곡선, 표면, 그리고 혁명의 연구된 표면과 평면 곡선과 공간 곡선의 봉투에 대한 이론에 중요한 공헌을 했다.몽의 여러 제자들이 이 같은 이론에 공헌을 했고, 예를 들어 찰스 듀핀은 방정식의 현대적인 형태인 원리 곡선이라는 측면에서 오일러의 정리를 새롭게 해석해 주었다.^[1]

고유 기하학 및 비유클리드 기하학(1800 - 1900)

차동 기하학의 분야는 그 자체로 연구 영역이 되어, 분석 기하학의 보다 넓은 사상과는 구별되는 1800년대에 주로 칼 프리드리히 가우스와 베른하르트 리만의 기초 작업을 통해, 그리고 또한 쌍곡 기하학과 비유클리드 게에 대한 니콜라이 로바체프스키의 중요한 공헌에 의해 그 자체로 고려된 연구 영역이 되었다.ometry와 같은 기간 동안 투영 기하학의 개발.

미분 기하학의 역사에서 가장 중요한 단일 작품으로 불리는 1827년 가우스는 곡면의 일반 이론을 상세히 기술한 초미세관(Superficies curvas)을 제작했다.^[4][5][4][6]이 작품과 그의 후속 논문과 표면 이론에 대한 미발표 노트에서 가우스는 비유클리드 기하학의 발명가, 본질적인 미분 기하학의 창시자로 불렸다.^[6]가우스는 그의 기초 논문에서 가우스 지도를 소개하면서, 가우스 곡률과 두 번째 기본 형태인 가우스 곡률, 가우스 곡률의 본질적 성격을 보여주는 이론적 에그레기움을 증명하고, 지오데틱을 연구하여 표면상의 다양한 비유클리드 기하학적 기하학적 기하학적 기하학적 면적을 계산했다.

이때 가우스는 이미 유클리드 기하학의 표준 패러다임을 버려야 한다는 의견을 갖고 있었고, 그의 지질 삼각형 연구를 알린 비유클리드 기하학에 관한 사설 원고를 소유하고 있었다.^[6][7]이 무렵 야노스 볼랴이와 로바체프스키가 쌍곡 기하학을 독자적으로 발견하여 유클리드 패러다임 밖의 일관된 기하학의 존재를 증명했다.쌍곡 기하학의 구체적인 모델은 1860년대 후반에 Eugenio Beltrami에 의해 제작되었고, 펠릭스 클라인은 1871년에 비유클리드 기하학이라는 용어를 만들었고, 에를랑겐 프로그램을 통해 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 같은 기반 위에 올려놓았다.^[8]암시적으로, 고대부터 연구되어 온 지구의 구형 기하학은 비유클리드 기하학, 타원 기하학이었다.

가우스 언어의 본질적인 미분 기하학의 발달은 그의 제자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)이 그의 하빌레세츠슈리프트(Habillessschrift)에서 기하의 기초에 놓여있는 가설에서 촉발되었다.^[9]이 작품에서 리만은 리만 미터법과 리만 곡률 텐서 개념을 처음으로 소개하고, 보다 높은 차원의 미분 기하학에 대한 체계적 연구를 시작했다.리만이 d$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 나타낸 리만 메트릭의 관점에서 본 이 본질적인 관점은 표면의$$ 선형 $요소{\displaystyle }$ d ${\displaystyle s}${\$displaystyle ds}$에 대한 가우스의 사상의 발전이었다.이때 리만은 선형대수와 다선대수의 체계적 사용을 과목에 도입하기 시작했으며, 지표와 곡률에 대한 그의 연구에 이차적 형태의 이론을 크게 활용했다.이때 리만은 위상학적 공간의 개념조차 접하지 못했기 때문에 아직 다지관의 현대적 개념을 개발하지 않았지만, 그는 유월 내 질량 분석을 통해 스페이스타임의 측정 지표의 특성을 조사하거나 측정하는 것이 가능할 수 있다고 제안하여 오일러의 초기 관찰과 연계시켰다.어떤 힘도 작용하지 않는 질량은 지표면을 따라 이동하며, 과학 문헌에 등장하기 전 60년 동안 아인슈타인의 등가 원리에 대한 근본적인 관찰을 예측한다.^[6][4]

리만의 새로운 서술에 따라, 미분 기하학을 연구하는데 사용되는 기법의 초점은 곡선 및 표면 연구의 애드혹 및 외삽적 방법에서 텐서 미적분학 및 클라인의 에를랑겐 프로그램 측면에서 보다 체계적인 접근방식으로 옮겨졌고, 그 분야의 진보가 증가했다.변형의 집단의 개념은 소푸스 리와 장 가스통 다르부스에 의해 발전되어, 리 집단과 동정 기하학 이론에 중요한 결과를 가져왔다.곡면 공간에서의 미분학의 개념은 1868년 공변량 파생물을 기술하는 크리스토펠 기호를 도입한 엘윈 크리스토펠과 다지관에 대한 많은 분석 문제를 연구한 유제니오 벨트라미를 포함한 다른 사람들이 연구하였다.^[10]1899년 루이지 비안치는 리만의 시각에서 미분 기하학을 연구하는 미분 기하학 강의를 제작하였고, 1년 후 툴리오 레비-시비타와 그레고리오 리치-쿠르바스트로는 절대 미분과 텐서 미분 이론을 체계적으로 전개하여 교과서를 제작하였다.^[11][4]일반 상대성 및 사이비-리만 기하학의 발달에 있어서 아인슈타인에 의해 미분 기하학이 사용된 것은 이 언어에서였다.

현대식 디퍼렌셜 기하학(1900 - 2000)

현대 미분 기하학의 주제는 위상의 기초 위에 있는 앙리 푸앵카레의 작품을 포함하여 많은 수학자들의 기초적인 공헌에 대응하여 1900년대 초반부터 나타났다.^[12]1900년대 초에는 수학 내에서 힐버트의 프로그램으로 알려진 엄격함과 정확성의 위기를 피하기 위해 그 과목의 기초적인 측면을 공식화하려는 주요한 움직임이 있었다.이 더 넓은 운동의 일환으로 위상학적 공간의 개념은 1914년 펠릭스 하우스도르프에 의해 증류되었고, 1942년경에는 결합기질과 미분기하성의 다지관에 대한 여러 가지 다른 관념들이 있었다.^[12]

이 주제에 대한 관심도 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 출현과 아인슈타인 필드 방정식의 중요성에 의해 집중되었다.아인슈타인의 이론은 리치와 레비-시비타의 텐서 미적분을 대중화시켰고 리만 측량법에 대한$$ $표기법{\displaystyle }$g {\$displaystyle g}$과 크리스토펠 기호에 대한$$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$을 도입했는데, 둘 다 중력에서 나온 것이다.엘리 카르탄은 외부 미적분학 및 이동 프레임 이론 측면에서 매끄러운 다지관의 미분 기하학의 기초를 재정립하는 데 도움을 주었고, 물리학의 세계를 아인슈타인-카탄 이론으로 이끌었다.^[13][4]

이러한 초기 전개에 따라 벡터 번들에 대한 연관을 도입한 장 루이 코즐, 주제에 특성 수업을 소개하고 복잡한 다지관에 대한 연구를 시작한 시잉센 체른, 윌리엄 발랑스 더글라스 호지 경, 조르주 드 람 w 등 많은 수학자들이 현대 이론의 발전에 기여하였다.fibre bunds와 Ehresmann connections 이론을 도입한 Charles Ehresmann 등 미분양식에 대한 이해의 폭을 넓혔다.^[13][4]특히 중요한 것은 일반 상대성 이론의 기초에 중요한 공헌을 한 헤르만 바일(Hermann Weyl)이 일치 기하학에 대한 통찰력을 제공하는 바일 텐서(Weyl tensor)를 도입하고, 우선 물리학과 수학에서 게이지 이론의 발달로 이어지는 게이지의 개념을 규정했다.

20세기 중후반에는 과목의 범위가 넓어지고 수학과 물리학의 다른 영역과의 연계를 발전시켰다.물리학에서의 게이지 이론과 양-밀스 이론의 발전은 다발과 연결성을 집중시켜 게이지 이론의 발전으로 이어졌다.아티야-싱어 지수 정리 증명 등 많은 분석 결과가 조사되었다.복합 기하학의 발달은 대수 기하학에서 평행한 결과에 의해 촉진되었고, 복합 다지관의 기하학 및 글로벌 분석의 결과는 신퉁 야우 등에 의해 증명되었다.20세기 후반에는 리치 흐름과 같은 곡률 흐름과 관련하여 새로운 분석 기법이 개발되었는데, 이 기법은 그리고리 페렐만의 푸앵카레 추측에 대한 증거로 절정에 이르렀다.주로 마이클 아티야의 영향으로 같은 기간 동안 이론 물리학과 미분 기하학의 새로운 연계가 형성되었다.양-밀스 방정식과 게이지 이론 연구의 기법은 수학자들이 매끄러운 다지관의 새로운 불변성을 개발하기 위해 사용하였다.물리학자로서는 유일하게 필즈 메달을 수여받은 에드워드 위튼과 같은 물리학자들은 위상학적 양자장 이론과 끈 이론을 이용하여 예측을 하고 새로운 엄격한 수학의 틀을 제시함으로써 수학에 새로운 영향을 끼쳤는데, 이는 예를 들어 추측 거울 대칭과 세이베르크-위튼 불변량에서 비롯되었다.

나뭇가지

리만 기하학

리만 기하학은 리만 다지관, 리만 다지관을 연구하고, 리만화 다지관은 리만 미터법으로 매끄러운 다지관을 연구한다.이것은 각 지점의 접선 공간에 정의된 매끄러운 양의 확정 대칭 이선형 형태를 이용하여 표현되는 거리의 개념이다.리만 기하학은 유클리드 기하학을 각 지점의 유클리드 공간, 즉 근사치의 첫 번째 순서로, 비록 그것들이 여전히 무한히 각 지점의 유클리드 공간과 유사하지만, 반드시 평평하지 않은 공간에 일반화한다.곡선의 호 길이, 평면 영역의 면적, 고형물의 부피 등 길이에 기초한 다양한 개념은 모두 리만 기하학에서 자연적인 유사성을 가지고 있다.다변량 미적분학으로부터의 함수의 방향적 파생상품의 개념은 텐서 공변량 파생상품의 개념으로 확장된다.많은 분석과 미분방정식의 개념들이 리만 다지관의 설정으로 일반화되었다.

리만 다양체 사이의 거리를 보존하는 차이점형성을 이소메트리라고 부른다.이 개념은 또한 작은 지점의 주변 지역에 대해 지역적으로 정의될 수 있다.어떤 두 개의 정규 곡선은 국소 등축이다.그러나 칼 프리드리히 가우스의 이론 에그레기움은 표면의 경우 국부적 등사계법의 존재는 해당 지점의 가우스 곡선미가 같아야 한다는 것을 보여주었다.더 높은 치수에서, 리만 곡률 텐서는 평평한 것에 얼마나 가까운지를 측정하는 리만 다지관과 관련된 점의 불변성 물질이다.리만 다지관의 중요한 부류는 리만 대칭 공간인데, 이들의 곡률이 반드시 일정하지는 않다.이들은 유클리드 기하학 및 비유클리드 기하학에서 고려된 "일반적인" 평면 및 공간과 가장 가까운 유사성이다.

사이비-리만 기하학

사이비-리만 기하학은 미터법 텐서가 양립할 필요가 없는 경우에 리만 기하학을 일반화한다.이것의 특별한 경우는 로렌츠 다지관이 있는데, 이것은 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 수학적인 기초가 된다.

핀슬러 기하학

핀들러 기하학에는 핀들러 다지관이 주요 연구 대상이다.이것은 핀슬러 메트릭, 즉 각 접선 공간에 정의된 바나흐 규범을 가진 차동 다지관이다.리만 다지관은 보다 일반적인 핀슬러 다지관의 특별한 경우다.다지관 M의 핀들러 구조는 F : TM → [0, ∞] 함수로서 다음과 같다.

1. F(x, my) = TM의 모든 (x, y) 및 모든 m³0에 대한 m F(x, y)
2. F는 TM ∖ {0}에서 무한히 다르다.
3. F의² 수직 헤시안은 양적으로 확실하다.

공선 기하학

공감각 기하학은 공감각 다지관의 연구다.거의 동일성 다지관은 각 접선 공간에 부드럽게 변화되는 비감기성 스큐-대칭 이선형 형태를 갖춘 가변성 다지관이다. 즉, 동일성 형태라고 불리는 비감기성 2-형 Ω이다.componlectic dargin은 Ω이 닫히는 거의 componentic dargin이다: dΩ = 0.

두 개의 동일성 다지관 사이의 차이점형성을 동일성 형태를 보존하는 것을 동일성형적 형태를 보존하고 있는 것을 동일체형성이라고 한다.비대칭 스큐-대칭 이선형 형태는 짝수차원 벡터 공간에서만 존재할 수 있으므로, 공감각 다지관에는 반드시 짝수원이 있다.차원 2에서, 복합 다지관은 면적 형태가 부여된 표면일 뿐이고, 복합형성은 지역을 보존하는 차이점 유형이다.기계체계의 위상공간은 공감각적인 다지관이며 그들은 이미 분석역학에 관한 조셉 루이스 라그랑의 작품에서, 그리고 후에 칼 구스타프 자코비(Carl Gustav Jacobi)와 윌리엄 로완 해밀턴(William Rowan Hamilton)의 형식에서 암묵적인 모습을 드러냈다.

곡면성이 리만 다지관의 국부적 불변성을 제공하는 리만 기하학과는 대조적으로, 다르부스의 정리에서는 모든 동일성 다지관은 국부적으로 이형성이 있다고 기술하고 있다.공감각 다지관의 유일한 불변성은 본질적으로 글로벌하며 위상학적 측면은 공감각 기하학에서 두드러진 역할을 한다.동정적 위상에서의 첫 번째 결과는 아마도 앙리 푸앵카레에 의해 추측되고 1912년 G.D. 비르코프에 의해 증명된 푸앵카레-비르코프 정리일 것이다.그것은 환형도의 지도를 보존하는 지역이 각 경계 구성요소를 반대 방향으로 비틀면 지도에는 적어도 두 개의 고정 지점이 있다고 주장한다.^[14]

접촉 기하학

접촉 기하학은 홀수적인 차원의 특정 다지관을 다룬다.그것은 동정적 기하학에 가깝고 후자와 마찬가지로 고전 역학의 문제에서 비롯되었다.(2n + 1)차원 다지관 M의 접촉 구조는 M의 서로 다른 기능의 수준 집합과 가능한 멀리 있는 접선 번들의 매끄러운 하이퍼플레인 필드 H에 의해 주어진다(기술 용어는 "완전히 통합 불가능한 접선 하이퍼플레인 분포"이다).각 p 지점 근처에서 하이퍼플레인 분포는 어디에서도 소멸되지 않는 1-폼 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 의해 결정되며, 이것은 어디에서도 소멸되지 않는 함수에 의해 곱셈까지 고유하다.

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

M에 대한 국소 1형식은 H에 대한 외부 파생상품의 제한이 비감소형 2형식이라 각 지점에서_p H에 대한 공감 구조를 유도하는 경우 접촉형식이다.분포 H를 글로벌 단일 형태 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 의해 정의할 수 있는 경우, 이$$ 양식은 최상위 형태인 경우에만 접촉한다.

${\displaystyle \alpha \ \ (d\ ) )^{n}}$

M에 있는 볼륨 형식이다. 즉, 어느 곳에서도 사라지지 않는다.Darboux 정리의 접촉 아날로그는 유지된다: 홀수차원 다지관의 모든 접촉 구조물은 국소적으로 이형성이며 좌표계를 적절히 선택하여 특정 국소 정상 형태로 가져올 수 있다.

복합 및 칼러 기하학

복합 미분 기하학은 복합 다지관을 연구하는 학문이다.거의 복잡한 다지관은 실제 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이며$,$ 유형(1, 1) 즉 벡터다발 내형성(거의 복잡한 구조라고 함)을 부여한다.

${\displaystyle J:$${\displaystyle {TM\mathrm{}}^{}}$$\오른쪽$ 화살표 $TM$ J 2 =${\displaystyle }$- 1${\$ J$^{2}=-1.\,}$

거의 복잡한 다지관이 고른 차원이라는 것은 이 정의에서 따온 것이다.

${\displaystyle {NJ}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N_{J}=0}$이면 거의 복잡한 다지관을 콤플렉스라고 하는데$,$ 여기서 ${\displaystyle {NJ}_{}}$ ${\$는 $NJ{\displaystyle }${\$displaysty J}$과 관련된 타입(2, 1)의 텐서로서$$니젠후이스 텐서(또는 때로는 비틀림)라고 한다.거의 복잡한 다지관은 홀로모픽 좌표 지도책을 허용하는 경우에만 복잡하다.거의 복잡한 구조 J에 의해 리만 계량 g와 함께 주어지며 호환성 조건을 충족시킨다.

${\displaystyle g}$(${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle J}$ Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$( X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$) ${\$JY$)=g(X,Y$

거의 은둔자의 구조는 자연적으로 미분 2형식을 정의한다.

${\displaystyle {\Omega }_{}}$ J${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle g_{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (J}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\$

다음 두 가지 조건은 동일하다.

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ 및 }d\omega =0\,}$
2. $\displaystyle \nabla J=0\,}$

여기서 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla }$은 g$${\$displaystyle g$}의 Levi-Civita 연결이다$.$ 이 경우${\displaystyle }({\displaystyle J}$ , ${\displaystyle g}$)$${\$displaystyle (J,g)$은 Kahler 구조라고 불리며, Kahler 다지관은 Ka 구조물이 부여된 다지관이다.특히 케흘러 다지관은 복합적인 동시에 복합적인 다지관이다.모든 매끄러운 복잡한 투영품종에서 많은 종류의 케흘러 다지관(Hodge 다지관의 종류)이 주어진다.

CR 기하학

CR 기하학은 복잡한 다지관의 도메인 경계의 본질적인 기하학적 기하학을 연구하는 학문이다.

등각 기하학

등각 기하학은 공간의 각도 보존(적합한) 변환 집합에 대한 연구다.

미분 위상

미분위상은 미터법이나 동선형식이 없는 지구 기하학적 불변제를 연구하는 학문이다.

차등 위상은 자연 벡터 번들의 Lie 파생 모델과 형태들의 de Rham 차등과 같은 자연적 운영으로부터 시작된다.리알제브로이드 외에도 쿠란 알제브로이드가 더 중요한 역할을 하기 시작한다.

거짓말 그룹

리 그룹은 매끄러운 다지관의 범주에 속하는 그룹이다.대수적 특성 외에도 이것은 또한 다른 기하학적 특성들을 즐긴다.가장 분명한 구조는 왼쪽-인바리 벡터장 사이에 리 브라켓을 부여받은 유닛의 접선 공간인 리 대수학이다.구조 이론 옆에는 또한 넓은 영역의 대표 이론이 있다.

기하학적 해석

기하학적 해석은 미분방정식의 도구, 특히 타원 부분미분방정식을 사용하여 미분기하와 미분위상에 새로운 결과를 확립하는 수학적 학문이다.

게이지 이론

게이지 이론은 벡터 번들과 주요 번들에 대한 연결에 대한 연구로, 입자 물리학의 표준 모델을 뒷받침하는 수학적 물리학과 물리 게이지 이론의 문제에서 비롯된다.게이지 이론은 다발 연결에 대한 미분 방정식과 그 결과 발생하는 기하학적 모듈리 공간 및 그것에서 파생될 수 있는 불변성의 연구와 관련이 있다.이러한 방정식은 양자장 이론에서 특정 물리적 시스템의 운동 방정식을 기술하는 오일러-라그랑주 방정식으로 나타나는 경우가 많으므로 이들의 연구는 물리학에 상당한 관심을 가지고 있다.

번들 및 연결

벡터 번들, 주요 번들, 그리고 번들의 연결 장치는 현대의 미분 기하학에서 매우 중요한 역할을 한다.매끄러운 다지관은 항상 자연 벡터 다발인 접선 다발을 운반한다.느슨하게 말하면, 이 구조 자체는 다지관에 대한 분석을 개발하는 데만 충분하며, 기하학을 수행하는 것은 또한 다른 지점의 접선 공간, 즉 평행 운송의 개념과 같은 어떤 방법을 필요로 한다.중요한 예는 연결부위에 의해 제공된다.R의³ 표면의 경우, 주변 유클리드 공간에 의해 유도된 자연적인 경로-와이해 평행성을 사용하여 서로 다른 지점의 접선 평면을 식별할 수 있으며, 이 평면은 미터법과 병렬에 대한 잘 알려진 표준 정의를 가지고 있다.리만 기하학에서 레비-시비타 연결은 유사한 목적을 제공한다.보다 일반적으로 차동 기하학자는 미터법으로 정의되지 않은 벡터 번들과 임의의 아핀 연결이 있는 공간을 고려한다.물리학에서 다지관은 스페이스타임일 수 있으며, 묶음과 연결은 다양한 물리적 분야와 관련이 있다.

내적 대 외적

19세기 초반부터 중반까지 차동 기하학을 외적 관점에서 연구하였다: 곡선과 표면은 더 높은 차원의 유클리드 공간(예를 들어 3차원의 주변 공간의 표면)에 놓여 있는 것으로 간주되었다.가장 간단한 결과는 곡선의 차등 기하학 및 표면의 차등 기하학이다.리만의 작품부터 시작해서, 기하학적 사물이 독립적으로 주어지는 것으로 여겨져 '밖으로' 움직이는 것을 말할 수 없는 본질적인 관점이 개발되었다.여기서의 근본적인 결과는 가우스 곡면성이 내적 불변성이라는 효과에 대한 가우스 이론의 자기중심적 이론이다.

본질적인 관점은 더 유연하다.예를 들어, 공간시간을 외향적으로 받아들일 수 없는 상대성에서는 유용하다.그러나 기술적 복잡성에 따라 지불해야 할 대가가 있다: 곡률과 연결의 본질적 정의는 시각적으로 훨씬 덜 직관적이 된다.

이 두 가지 관점은 조정될 수 있다. 즉, 외적 기하학은 내적 기하학에 추가되는 구조로 간주될 수 있다. (내시 내장 정리 참조)기하학적 미적분학의 형식주의에서 다지관의 외적 기하학과 내적 기하학은 형상 연산자라 불리는 하나의 바이벡터 값 단일한 형태로 특징지어질 수 있다.^[15]

적용들

다음에 대한 시리즈 일부
스페이스타임
특수상대성 일반상대성
스페이스 타임 개념 스팩타임 다지관 등가원리 로렌츠 변환 민코스키 공간
일반상대성 일반 상대성 소개 일반 상대성 수학 아인슈타인 장 방정식
고전중력 중력 소개 뉴턴의 만유인력의 법칙
관련수학 4벡터 상대성 유도 스페이스타임 도표 미분 기하학 곡선 스페이스타임 일반 상대성 수학 스페이스타임 위상
물리포털 카테고리
v t

아래는 과학과 수학의 다른 분야에 미분 기하학이 어떻게 적용되는지를 보여주는 몇 가지 예들이다.

• 물리학에서 미분 기하학은 다음을 포함한 많은 응용 분야를 가지고 있다.
  • 미분 기하학은 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 표현되는 언어다.이론에 따르면 우주는 사이비-리만 메트릭스를 탑재한 매끄러운 다지관으로, 스페이스타임의 곡률을 기술하고 있다.이 곡률을 이해하는 것은 위성을 지구 궤도에 위치시키는 데 필수적이다.중력렌즈와 블랙홀의 연구에서도 미분 기하학이 불가결하다.
  • 미분형태는 전자석학 연구에 사용된다.
  • 미분 기하학은 라그랑기 역학과 해밀턴 역학 모두에 응용된다.특히 심프렉틱 다지관은 해밀턴 시스템을 연구하는 데 사용될 수 있다.
  • 리만 기하학과 접촉 기하학은 고전 평형 열역학에서 응용 분야를 찾아낸 기하학적 열역학의 형식주의를 구성하기 위해 사용되어 왔다.
• 다양한 압력으로 세포막 구조를 모델링할 때 화학 및 생물물리학에서.
• 경제학에서 미분 기하학은 계량학 분야에 응용이 있다.^[16]
• 기하학적 모델링(컴퓨터 그래픽 포함)과 컴퓨터 지원 기하학적 디자인은 차등 기하학에서 아이디어를 도출한다.
• 공학에서는 디지털 신호 처리의 문제를 해결하기 위해 차등 기하학을 적용할 수 있다.^[17]
• 제어 이론에서, 미분 기하학은 비선형 제어기, 특히 기하학적 제어기들을^[18] 분석하는 데 사용될 수 있다.
• 확률, 통계, 정보이론에서는 다양한 구조를 리만 다지관으로 해석할 수 있는데, 이것은 특히 피셔 정보지표를 통해 정보 기하학의 분야를 산출한다.
• 구조 지질학에서는 지질 구조를 분석하고 기술하기 위해 미분 기하학을 사용한다.
• 컴퓨터 비전에서는 형상을 분석하기 위해 차등 기하학을 사용한다.^[19]
• 영상 처리에서 차등 형상은 평평하지 않은 표면의 데이터를 처리하고 분석하는 데 사용된다.^[20]
• 리치 흐름의 기법을 이용한 푸앵카레 추측에 대한 그리고리 페렐만의 증거는 토폴로지의 질문에 대한 미분-기하학적 접근법의 힘을 보여주었고 그것은 그것의 분석적 방법에 의해 수행되는 중요한 역할을 강조하였다.
• 무선 통신에서 그래스만 다지관은 복수의 안테나 시스템에서 빔포밍 기법에 사용된다.^[21]

참고 항목

참조

추가 읽기

• Ethan D. Bloch (27 June 2011). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Boston: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8122-7. OCLC 811474509.
• Burke, William L. (1997). Applied differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26929-6. OCLC 53249854.
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-212589-5. OCLC 1529515.
• Frankel, Theodore (2004). The geometry of physics : an introduction (2nd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53927-2. OCLC 51855212.
• Elsa Abbena; Simon Salamon; Alfred Gray (2017). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (3rd ed.). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-351-99220-6. OCLC 1048919510.
• Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66721-8. OCLC 23384584.
• Kühnel, Wolfgang (2002). Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds (2nd ed.). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3988-1. OCLC 61500086.
• McCleary, John (1994). Geometry from a differentiable viewpoint. Cambridge University Press. ISBN 0-521-13311-4. OCLC 915912917.
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (3rd ed.). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1. OCLC 179192286.
• ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-end vision and multi-scale image analysis : multi-scale computer vision theory and applications, written in Mathematica. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-1-4020-1507-6. OCLC 52806205.

외부 링크

• "Differential geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• B. 콘래드.스탠퍼드 대학교의 차등 지오메트리 유인물
• Michael Murray의 온라인 차등 기하학 과정, 1996년 웨이백 기계에 2013-08-01 보관
• Richard S Palais, 2003년 웨이백 기계에 2019-04-09년 보관된 곡선 및 표면의 현대 코스
• Richard Palais의 3DXM 표면 갤러리 Wayback Machine에 2019-04
• 발라즈 치코스의 미분 기하학 노트
• N. J. 힉스, 미분 기하학 노트 반 노스트랜드
• MIT OpenCourseWare: 차동 지오메트리, 2008년 가을