유클리드 공간의 미적분

이 논문을 다변수 미적분으로 통합하는 것이 제안되었다. (논의) 2022년 5월부터 제안되었다.

에 관한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니츠 적분 규칙 기능의 제한 연속성 평균값 정리 롤의 정리
차동 정의들 도함수(일반화) 차동 극소수의 함수의 총 개념 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련 요금 테일러의 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 로피탈의 법칙 역 라이프니츠 장군 파디 브루노의 공식 레이놀즈.
일체형 적분 목록 적분 변환 정의들 반파생적 내장(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 통합 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 셸 치환(트리거메트릭, 탄젠트 반각, 오일러) 오일러 공식 부분 분수 순서 변경 환원 공식 적분 기호로 구분 라이시 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하학) 고조파 교대로 힘 이항 테일러 컨버전스 테스트 Summand limit(항 검정) 비율 뿌리 일체형 직접 비교 한계 비교 교대 급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 녹색의 스토크스 발산 일반화 스토크스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 편도함수 다중 적분 라인 적분 표면적분 볼륨 적분 야코비안 헤시안
고급. 유클리드 공간의 미적분 분배의 한계
특화된 프랙셔널 말리아빈 확률적 바리에이션
여러가지 종류의 계산 전 역사 용어집 토픽 리스트 인테그레이션 수학적 해석
v t

수학에서, 유클리드 공간의 미적분학은 유한 차원 실벡터 공간뿐만 아니라 유클리드$공간$의 $미적분학$으로 하나 또는 $여러$ 변수의 함수 미적분을 일반화한다$.$이 미적분은 특히 미국에서 고급 미적분으로도 알려져 있다.이것은 다변수 미적분과 비슷하지만 선형 대수(또는 일부 함수 분석)를 더 광범위하게 사용하고 미분 형태와 스토크스의 공식과 같은 미분 기하학의 개념을 미분 형태에 포함한다는 점에서 다소 더 정교하다.선형대수의 이러한 광범위한 사용은 또한 바나흐 공간이나 위상 벡터 공간의 미적분으로 다변수 미적분의 자연스러운 일반화를 가능하게 한다.

유클리드 공간에서의 미적분은 다양체에서의 함수 이론인 다양체에서의 미적분의 국소적 모델이기도 하다.

기본 개념

하나의 실제 변수에서 함수

이 섹션은 일변수 미적분의 함수 이론에 대한 간략한 리뷰입니다.

실수치 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:\mathbb {R}$ \$to \mathbb {R}}$이($가)$$${\$displaystyle$ a$\}$ $근처$에서 거의 일정하면 {\$displaystyle$ a$}$에서 $연속적$입니다.

$\displaystyle \lim _{h\to 0}(f(a+h)-f(a)=0).}$

반면 $f는 {$$displaystyle$ a$\}$에 거의 선형인 경우$${$displaystyle$ a$}$에서 구분이 가능합니다. 즉, 다음과 같은 실수 ${\$ {$displaystyle \lambda}$가 $있습니다{\displaystyle }$.

$\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-\displayda h}{h}}=0.}$^[1]

(간단히 $말하면{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$$$f ($a)$ =$0$ 입니다.$위$의 의미는${\displaystyle }$f (${\displaystyle a}$ +${\displaystyle }$h ) $=$ +${\displaystyle g}$${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$, h ){ $displaystyle$f ($a$ + h )= \ $displayda$h +$g$ ($a$ ,$$$h$ ) 。g ( a ,${\displaystyle h}$ )${\displaystyle }$（ a , h$)$） 、 0 。$playstyle \sysda$h}).$$

${\({displaystyle$ \$lambda})$는$${\$displaystyle$ a$}$에 따라 다르므로 f$a$로 표시됩니다.f$(\displaystyle$f)가$$ 열린 $간격{\displaystyle }$U(\$displaystyle$ U$)$에서 미분 가능하며 f$(\$ f$')$가 U$(\displaystyle$ U$)$의 연속 함수인 $경우{\displaystyle }$,$\displaystyle$f는$$ C 함수라고¹ 불립니다.보다 일반적으로 f({$displaystyle$f')의 도함수 f$({$ f')가^k-1 C 함수인 경우 f$({$displaystyle f$')$를 C 함수라고^k 한다.테일러의 정리는 정확히^k C 함수는 k차 다항식으로 근사할 수 있는 함수라고 말한다.

0:0}(를) <0}((를) (예:0) 또는 0 μm)의 경우 0(예:0).엄만하다a를 포함하는 열린 간격에서 다시 증가하거나 완전히 감소합니다.특히${\displaystyle }$f :${\displaystyle {}^{}}$f -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle U}$ ) ${\displaystyle \to }$ { { \ $displaystyle$f : $f$^ { - $1$（ $U$） \ $to$U }는${\displaystyle }$f${\displaystyle }$($$ ) { $displaystyle f(a$ $)\}$ 를 $포함$한 오픈 $인터벌{\displaystyle }$U { \ $displaystyle$ U$$} 에 대해 bijection이다.다음으로 역함수 정리는 $역함수{\displaystyle {}^{}}$f -$$({$displaystyle f^{-1$})이 U에서 미분 가능함을 나타낸다. $y{\displaystyle u}$U의 경우 {\$displaystyle y\in$U}

$(\displaystyle (f^{-1})', (y)={1 \over f'(f^{-1}(y)}).}$

지도 및 체인 규칙의 도함수

유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n \ $displaystyle \mathbb {R}$^{$n$ 위에 평면에 정의된 $함수{\displaystyle }$ f$\displaystyle$f에$$ 대해서는 벡터 값 또는 매트릭스 값을 갖는 함수를 고려할 필요가 있다.또한 이를 항상적인 방식으로(즉, 좌표가 없는 방법) 수행하는 것이 개념적으로 도움이 된다.한 점에서 그러한 지도의 도함수는 실수가 아닌 벡터 또는 선형 지도이다.

f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X$$\$$to$ Y$}$를 $n$의 $열린{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 부분 $집합{\displaystyle }$X {\$displaystyle$$$\$mathbb {R} ^{n$에서 $m$의 $열린{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $부분{\displaystyle }$ 집합$$Y {\$displaystyle$ Y$}$로의 $맵$이라고 $합니다{\displaystyle }$.$표시 style$ f$:$ {\displaystyle}$($필요하게 고유한) 선형 $변환{\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$)가 존재하는$$ 경우 $X의$$displaystyle$$$x : R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ m { $displaystyle$ f' ($x$) :\$mathbb {R}$^{n} \$to$ \$mathbb$ {R}$^{m$$x$에서$$f {$displaystyle$ f$\}$의 도함수라고 부릅니다$.$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{ h }} f(x+h)-f'(x)h = 0}$

$여기$서 f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ )$$ {\$displaystyle$ f$'(x)$h는$$ f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ $)$ {$displaystyle$ f$'(x)}$ $to$ h {$displaystyle$ h$\}$^[2]의 선형 $변환{\displaystyle {}^{}}$ 적용입니다.f$${$displaystyle$ f$}$가$$x {\$displaystyle$$$x$}$에서 미분 가능한 $경우{\displaystyle }$$$x에서 $연속$됩니다.

${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle h}$) -${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \le }$ ( h${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}1{}^{}}$f (${\displaystyle x}$ +${\displaystyle h}$) -${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) - ${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle h}$ \ $display f ( x$ + $h$)-$f$ $x$) \$leq$($$h$$^ { - $1 } f$ ($x$ + $h$)-f$$' ($x ) f$ ' ( x ) h )

일변수의 경우와 마찬가지로

이것은 한 변수의 함수와 마찬가지로 정확하게 증명되었습니다.실제로 h${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle x}$ +${\displaystyle h}$) -${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle {$h} =$f(x$+$h)-f(x$ $표기$에서는 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle {displaystyle {narged}&{\frac {1}{h}-g(x+h)-g(y)-g'(y)f'(x)h\leq {frac {1}{h}-g(y+{\widetilde {h}) {h}-g(y})+frac {h}: {h}$

여기서 f$(\$$displaystyle$f)는$$ x(\$displaystyle$ x$)$에서 미분 $가능$하므로 오른쪽의 두 번째 항은 ${\displaystyle \mathrm{h}}$ 0(\$display h\to$ 0$)$이 됩니다. 첫 번째 항은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\widetilde {h}}{h}}-g(y+{\widetilde {h}})-g(y){\widetilde {h}} / {\widetilde {h}}, & {\widetildeq 0,\widetildeq 0},\widetilde {h}.\end {case}}$

이제$x$에서$f의$$연속성$을 나타내는 인수에 의해 h$h(displaystyle$$$${\widetilde {h}})$가 제한됨을 알 수 ${\displaystyle \frac{있습니다\stackrel{}{}}{}}$.또한$$f(\$displaystyle$ f$)$는 x$(\displaystyle$ x$)$에서 $연속적$이므로 h$→$ ${\displaystyle 0}$$(\displaystyle$ h$\$$to$$$0$)$으로 h ~ ${\displaystyle \to }$ $(\display style$ $h$$\to$$$0)으로 $표시$됩니다.따라서 첫 번째 항도$ystyle$ $ystyle$에서$$g(\$display style$ ystyle ystyle x)의 미분 가능성에 의해 0으로 바뀝니다.$\}$ .$◻$$$${\displaystyle$ \square$}$

위와 같은 $맵{\displaystyle }$f {\$displaystyle$f}를 연속 미분 가능 $또는{\displaystyle {}^{}}$ 도메인에서 미분 가능한 경우 C$$ {\$displaystyle$ C$^{1}$이라고 합니다. 즉, x ${\displaystyle {}^{}}$f${\displaystyle }$( (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$ x$\mapsto$ f$'(x)$는 연속적입니다.

$선형$ 변환으로서 f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$ f ' ($x$ ) \ $displaystyle$ x$$에서의$$f \ $displaystyle$의 야코비 $행렬{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$f (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle Jf ( x$ )라고$$ 하는${\displaystyle }m{\displaystyle }$ ×$$- 행렬로$$ 나타내며 다음과 같이 씁니다.

${\displaystyle(Jf)(x)=bmatrix}{\frac {\frac x_{1}}(x) & {\frac {\frac x_{n}(x) &\vdots &\frac {\frac}}$

h$(displaystyle$ h$)$를 $($$displaystyle$ $he_${${\displaystyle j_{}}$$\}),$ $(displaystyle$ h$)$로 $하고{\displaystyle }$ e j$=$ ($0, θs,$1,$θs,$ $0)$를 j-style $f-style$ 기준 $요소$로 하면 디스플레이의 차이점을 알 수 있습니다$$$.$s:

$\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f_{i}(x+he_{j})-f_{i}(x})=black {f_{i}{\flac x_{j}(x)}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 f i$(\$$i$})는$$ f$(\displaystyle$ f$)$의 i번째 성분을 나타냅니다. 즉$,$ f${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$$displaystyle$$f)$의 각 성분은 ${\displaystyle \frac{{각}_{}}{}}$$$${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$에서 x(\$displaystyle$ x$)$에서$(\displaystyle f_i}(x$의 도함수로 구분할 수 있습니다.Jacobian 행렬의 조건은 $J{\displaystyle }$( ${\displaystyle gf}$f${\displaystyle }$) (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Jg}$ (${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle J}$f (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$J ($g$ \ $circ$f ) ( x ) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Jg}_{}}$$$( ${\displaystyle y_{}}$ )$Jf$( x )$$$=$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ }$ f$$( ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}${$display$ style f ($x$ ) 。

${\displaystyle {\frac (g_{i}\frac f} {\frac g_{i}} {\frac y_{1} {\frac x_{j} {\frac f_1} {\frac x_{x} +\cdots + {\frac g_i} {\frac {\frac g_i} {\f}$

이것은 종종 언급되는 연쇄 규칙의 형태입니다.

상기의 부분적인 반대가 성립한다.즉, 부분 도함수${\displaystyle \mathrm{}{i}_{}}$ f i${\displaystyle {}_{}}$/${\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ x$$ { $displaystyle${$partial f_{i}$ / {\$partial x_{j}}$가 모두$$ 정의되고 연속적인 경우 $f{\displaystyle }${$style$ f$}$는 연속적으로 미분할 ^[4]수 있다.이것은 평균값 불평등의 결과입니다.

(이 버전의 평균값 부등식은 [${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1]}{\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ m${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t\delta }$f (${\displaystyle }$x + ${\displaystyle ty}$) - ${\displaystyle t}$ v$$v $\display$ [$0,1]\to \mathbb {R}$^{$m},t\map$ f$(x+ty$의 평균값 부등식에서 따옵니다.) 여기서,

$실제로{\displaystyle g}$( x )${\displaystyle =}$ (${\displaystyle Jf}$ )${\displaystyle }$( x$$) { $displaystyle g$ ($$x ) = ($Jf$ )$$} 。${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {yi}_{}}$i { \ $display$ y =$y$_ { $i$} $e$_ {$i$} , 、

${\displaystyle {d}{dt}f(x+ty)=(x+ty)y=g(x+ty)(y_{i}e_{i})}$

단순화를 위해 n ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2}${$displaystyle$ n=$2}$로 $가정$합니다(일반적인 경우 인수도 비슷합니다).그런 다음 연산자 노름$(\displaystyle \cdot$\$$})을 사용하여 평균값 부등식에 의해

${\displaystyle {begin{aligned}& \Delta _{y}f(x)-g(x)y \&\leq \Delta _{1}e_{1}f(x_{1}+y_{2})-g(x)(y_{1}e_{2})+Delta_{2}y_{2}y_{2}y_{2}y}y_y_{2}y}y}y_y_y_y_y_y_y_y_{2}y_y_y_y_y_y_y}y_y_$

이는 필요에 따라 ${\displaystyle \delta }$ y${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle x}$) -${\displaystyle }$g (${\displaystyle }$x )${\displaystyle y}$ / ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \to }$ { $displaystyle \Delta$ _${y}f(x)-g(x)y /$ y \$to$ 0$}$을 의미합니다.$◻$

예: U$${$displaystyle$ U$}$를 크기 n의 모든 반전 가능한 실수 정사각형 행렬의 집합으로 $합니다{\displaystyle }$.$주{\displaystyle }$ U$(\displaystyle$ U$)$는 좌표 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle 0\mu }$ i${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j\mu }$n(\$displaystyle x_{ij}, 0\leq$i, $j\neq$ n$)$의 R ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$(\$displaystyle$$\mathbb {R}^{n^2}})$의 열린 부분 집합으로 식별할 수 있습니다. $($$U$$${\$displaystyle$ U$\}$에 정의되어 있는 g}.$$f {\$displaystyle$ f$}$가 미분 가능하다고 $가정$하고 ${\displaystyle c^{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {t{}^{}}^{}}$g - ${\displaystyle {1^{}}^{}}$ ( \ $displaystyle$c ( t ) =$ge^$ { $tg$^ { - $1$ $h$} （$$\ $displaystyle$ e$$） ） 。$A}$는$A의$ 지수를 의미합니다. f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$c (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle <img\; alt="A"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.743ex;\; height:2.176ex;">={}^{}}$ - ${\displaystyle {t{}^{}}^{}}$ - ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ h${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$ -$$ { $display style$f ($c$ ( t ) =$e$^ { - $tg ^$ { - $1 h$ } g^ { - 1 } } ^{ - tg } ^{ - 1 $}$ }$$}에 적용되는 연쇄 규칙에 의해 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle f^{}{\prime }^{}}$ (${\displaystyle c}$ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ （ ${\displaystyle t}$）${\displaystyle {=}^{}}$ - ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$h ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$- t ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 h$$ - 1 \ $displaystyle$ f' ($c$( t ) \ $displaystyle c$' ( t ) $=$- $g^$ { - { - ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ h $}g^$ { - { - 1 } h$}g$ { -$${ - 1$$} }

t ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ t$=0$을 취하면 다음과 같이 됩니다.

$f$ ${\displaystyle g}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$g -$${ ${\displaystyle {\mathrm{displaystyle}}^{}}$ f' ($g$ ) h$$= - $g^$ { -$1$ } $hg$^ { -$1$} 。

다음으로,^[6] 다음과 같은 것이 있습니다.

$\ displaystyle \ ( g + h )^{ - 1 } + g^ { - 1 } hg ^ { - 1 } \leq \ ( g + h )^{ - 1 } hg ^ { - 1 }$

연산자 노름은 R $2$의 유클리드 노름과 같기 때문에($$$모든$ 노름은 $서로$ 동일$),$ 이는$$f$\$$displaystyle$ f$}$를 미분할 수 있음을 $의미$한다.마지막으로 f$for$ { $displaystyle$ f$\}$의 공식에서 f$${ $displaystyle$ f$}$의 $부분{\displaystyle }$ 도함수는 매끄럽고(무한 미분 가능), f$${ $displaystyle$ f$}$도 매끄럽다는 것을 알 수 있습니다.

상위 도함수 및 테일러 공식

$f{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ f$:X\to$ \$mathbb {R}$^{$m}$ ${\displaystyle {}^{}}$ R n \$style{\displaystyle }$ X${\displaystyle \backslash }$$subset \mathbb {R} ^{n}$ display$$ display display display display display display display display display display display display${\displaystyle }$display display display ${\displaystyle \mathrm{display}}$ display 、 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ : ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}{}^{}}$ $displaystyle$ $'$） 。${\displaystyle \mathrm{ere}}$Hom \$displaystyle \operatorname {Hom}$은 벡터 공간 간의$$ 동형(즉, 선형 맵)을 나타냅니다.f$$ { $displaystyle$ f$$} 가 미분$$ 가능한 $경우{\displaystyle {}^{}}$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathrm{Home}}$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$、 ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$）${\displaystyle }$（ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ m$）$ { $displaystyle$ f $}$ :$X\to$ \$operatorname {Hom}(\mathbb {R}$^{$n},\operatorname {Hom}(\mathbb${R}$^{$n$\},\backslash$$mathbb {R}$^{$m})$ ). 여기서 f ${\$ {\$displaystyle$ f$'}$의 코드메인은 이중선형 맵의 공간으로 식별할 수 있습니다.

$(\displaystyle \operatorname {Hom}(\mathbb {R} ^{n},\operatorname {Hom}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})){{varphi}{\underset{\sim}{\to}}\{{mathbb {R}^{n}}\text{bilinear}\}}\mathbb {R}\to\mathbb {R}\}\text {b}\}\}$

= (x) (x) (x) (x) = =) (x) (x) = =) (x) (x) (x) = =) (x) (x) ((f^^)${(k-1)}'$은 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ X}에서 k {\$displaystyle$ k$}$ - 다중선형$$${\displaystyle }$맵(${\displaystyle R^{}}$ n${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ {$displaystyle(\mathbb {R}$^{$n})$까지의 맵입니다.$^{k}\to$ \$mathbb${$R}^{m$

f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ )$${$style$ f' ($$x ) {display f' (x) } 가$$ 행렬(Jacobian matrix)로 $나타내듯이{\displaystyle {}^{}}$, m ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ m$=1}($쌍선형 맵은 쌍선형 형식)일 때, 쌍선형 $형식{\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ {$display$ $f}$ 는$$Hessian$$ $f$'($x)$ 로 $불리는{\displaystyle }$ 행렬로 표시됩니다.$크기{\displaystyle {}^{}}$$n$의 정사각형 $행렬{\displaystyle }$ H$(\$$displaystyle$H$)($$)$ $=(Hy,z)$ {\$displaystyle$ f$'(x)=(Hy,z$여기서 파잉은 ${\displaystyle {}^{}}$n$\displaystyle \mathbb${R}의 내적을$$ 참조함) $^},$$f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( \ $displaystyle$ f ' : X \ $to$( \ $mathbb${$R$} ^ { n } $)^{$ * } \ $sq \$mathbb { $R$} ^ { n$$$}$ 。따라서$H의$($i$ $)${$displaystyle$ ($i,j)$ - 제9$$ 엔트리는 ${\displaystyle {\mathrm{Hij}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\frac{{\mathrm{}}^{2\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ f ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ i$$x j${\displaystyle }$($$x ) { $displaystyle$H_${ij}$=$frac${\ $displaystyle x_j}$ {\ displaystyle $x_j$로 명시되어 있습니다$.$

또한 f ${\$ { $displaystyle$ f$$}가$$ 존재하며 $연속$인 경우 $행렬{\displaystyle }$H { $displaystyle$H}는 대칭이며, 이 사실은 2차 ^[7]도함수의 대칭이라고 알려져 있습니다.이것은 평균값 불평등을 사용하여 볼 수 있다.${\displaystyle {}^{}}$ n$$\ $displaystyle$\$mathbb${$R$} ^ {$n$의 $벡터{\displaystyle }$u ,$v$ { $displaystyle$u , $v$}의$$ 경우 평균값 부등식을 두 번 사용하여 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle \Delta _{v}\Delta _{u}f(x)-f'(u,v) \leq \sup _{0<t_{1},t_{2}<1}f'(x+t_{2}v)-u(u,v) ,$

말하자면

$\displaystyle f'(x)(u,v)=\lim _{s,t\to 0}(\Delta _{tv}\Delta _{su}f(x)/(st)}.$

u에서는$오른쪽이$대칭이므로$$왼쪽도 대칭입니다.$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$$display$ ( ${\displaystyle x}$) (${\displaystyle {}^{}}$ ,${\displaystyle }$v ) ${\displaystyle =}$ f$$${\displaystyle \mathrm{display}}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ( ${\displaystyle v}$,${\displaystyle u}$) { $display$ $style$ f ' ($x$ , v )$=$ f ( v ,$$ )$$= f ( v ,$u$$$ ) . $display$ $style$ .$f^{(k)}(x)}$는 대칭이다. 즉, 편미분을 취하는 순서는 중요하지 않다.^[7]

한 변수의 경우와 마찬가지로, Taylor 급수 팽창은 부품에 의한 적분에 의해 증명될 수 있습니다.

${\displaystyle f(z+(h,k)=\sum _{a+b<n}\sum _{x}^{a}\sum _{y}^{b}f(z){h^{a}k^{b}\over a!b!}+n\int _{0}^{n-1}(1-t)^{n-1}\sum _{a+b=n}\sum _{x}^{a}\sum _{y}^{b}f(z+t(h,k){h^{b}\over a!b!}, dt.}$

테일러의 공식은 함수를 변수로 나누는 효과가 있는데, 이것은 다음 전형적인 이론적인 공식 사용으로 설명될 수 있다.

예를 들어, →s:{s:{s}:{nmula_lt;{s}:{n1}: (를)를)로 표시합니다.네.$up$ x$^{\beta$}\$partial$^{\alpha$}\varphi$<\$infty }$는 임의의 $멀티{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{인덱스\alpha },}$β$(\$$displaystyle$\$alpha,\$$beta$}). ($S$는 Schwartz 공간이라고 불립니다.)S$(\$ {$S$의 $각{\displaystyle }${\(\$displaystyle\varphi)$에 대해 Taylor의 공식은 다음을 나타낼 수 있습니다.

$\displaystyle \varphi -\psi \varphi (y)=\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})\varphi _{j}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 e j$$$S$ {\displaystyle \$varphi _{j}\in {mathcal$ {S$\}\},$ 여기서 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \psi$$}은$$ 콤팩트 서포트의 매끄러운 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$이고${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( y ) $=$ ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$\psi($y$1}이다. 이제$$T {\$displaystyle$ T$}$이 좌표와 $일치$한다고 가정해 보겠습니다. i${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle 。}$$x_{j}T\varphi$ $\}.$ 그러면

$=$$$$T\varphi$ _${j$

위의 값을 y$(\displaystyle$ y$)$로 $평가$하면 T${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =\phi }$ (${\displaystyle }$y ) ${\displaystyle T\psi }$ ( y )$。{$ $displaystyle$ T$\varphi ($y ) = \ $varphi$( $y$) 。} $즉$, T {$displaystyle$ T$$$}$는 어떤 $함수$m {displaystyle$$m$\}($${\displaystyle Tm}$ = $display$ { $displaystyle$T$\varphi$= m\varphi$$})에 의한 곱셈입니다$.$ 이제 $T{\displaystyle }${$displaystyle$ T$}$가 부분 미분과 일치한다고 가정합니다.m은 $상수$$,$$T는$상수에$$ 의한 곱셈임을 $쉽게{\displaystyle }$ 알 수 있습니다.

(한편, 위의 논의는 푸리에 반전식을 거의 증명한다.실제로, ${\displaystyle F\mathcal{},}$ R : ${\displaystyle S\mathcal{}}$ S {\$displaystyle F,R:{\mathcal {S}\to\mathcal$ {S$$$}}$을 푸리에 변환 및 반사라고 $하자{\displaystyle }$. 즉${\displaystyle ,}$ (${\displaystyle R}$ ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle =}$(${\displaystyle }$( -${\displaystyle x}$) { $displaystyle ( R$ \ $varphi )x →$ . $phi$} ( - $phi$ )그런 다음, 관련된 적분을 직접 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle =}$ R ${\displaystyle {F\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle T=$DISPLE$^{$2}}가 좌표와 편미분에 의해$$ 일치함을 $알{\displaystyle }$ 수 있다$.$ 따라서 T {\$displaystyle$ T$}$는 상수에 의한 곱이다.이 상수를 계산해야 하므로 이는 거의 증거입니다.)

테일러 공식에 대한 부분적 역전도 존재한다. 보렐의 보조 법칙과 휘트니 확장 정리를 참조하라.

역함수 정리 및 잠수 정리

${\displaystyle C^{}}$ k$(\$ C$^{$$k})$ - $맵$과 C$$k(\$displaystyle$ C$^{$k}) - inverse는$$ ${\displaystyle C^{}}$ k$(\$ C$^{k})$ -diffeomorphism이라고$$ $불립니다{\displaystyle {}^{}}$.따라서$x점$에서의 가설을$$ 만족시키는 $지도{\displaystyle }$ f${$$displaystyle$ f$\}$에 대해$$f{$displaystyle$ f$$$}$는${\displaystyle }$x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $.{displaystyle$ x$,f(x)}$에 $가까운{\displaystyle }$ 미분동형이다. 증명에 대해서는 역함수 정리 ① 연속 근사를 이용한 증명을 참조한다.

- 그래 - 그래 - 그래 - 그래 - nbsp; - 그래 -{n) -{n1}:0){n2}(를)(를)(를)(를)(를)(를) ( (a, 엑스테네요.$b)})$ 및$$ b$({displaystyle$ b$}$에서 y ${\displaystyle f}$f (${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle y}$ )$${$displaystyle$y \$mapsto$f ($a$ ,$y$ )}의 도함수는 반전 가능하며, 미분 가능한 $맵{\displaystyle }$g : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ g$:$$일부$ $근린{\displaystyle }$ U${\displaystyle ,}$${\displaystyle }$${\displaystyle V}$ (${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="U,\; V"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7681409ec5fffdb272f536757c1211fe0151a9b2"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:4.604ex;\; height:2.509ex;">}}$, ${\displaystyle g}$(${\displaystyle x}$ )$=$ ${\displaystyle 0}$ { $displaystyle$ f$(x , g$ ( x ) $=$ 0$\}$ 이 되는 $a$의$$V $(\$$displaystyle$U ,$$$V$ )$$。정리는 역함수 정리에 따라 달라집니다.역함수 정리 § 암묵적 함수 정리를 참조하십시오.

또 다른 결과는 잠수정리이다.

유클리드 공간의 적분 함수

간격${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ $]$ {$displaystyle$ [$a, b$$]$ {$displaystyle$ t_{$0}$ \$leq \leq t_{1$} \leq \$leq$ \$leq$ t_{k$} =$b$\}$의 파티션은$d형식{\displaystyle }$ $파티션{\displaystyle }$$$$$P {$displaystyle$ p$}$의 ${\displaystyle {유한\mathrm{}}_{}}$ $시퀀스$입니다.}}은$($는$)$ $D$의 $측면{\displaystyle }$ $파티션$으로 구성됩니다.$즉{\displaystyle ,}$ D$=$ ${\displaystyle {display}_{}\underset{}{\overset{}{}}}$1 ${\displaystyle {}_{}}$ [${\displaystyle {}_{}{a}_{}}$,$$b $i$ ]{ $display$ D = \$prod$ _ ${ 1$n } [ a$_ i$, b _ { i$$$}$ ${\displaystyle {}_{}}$$$$P$ _ ${\displaystyle 1_{}}$ $}$、$$。$on$ [ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ , b i$]{ style$[ a$_$ { $i$, b$_$ { i } }$$^[10]} $。{\displaystyle }$

D ${\displaystyle$ D$\}$의 $함수{\displaystyle }$$$f {\$displaystyle$ f$}$가 주어지면, 그 상한 리만 합계를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle U(f,P)=\sum _{Q\in P}(\sup _{Q}f)\operatorname {vol}(Q)}$

어디에

• ${\displaystyle }$${\displaystyle Q{}_{}{}_{}{}_{\mathrm{}}{}_{{}_{}}{}_{}}$$(\displaystyle$ Q$)$는 $P{\displaystyle }$$(\displaystyle$ P$)$의 $파티션{\displaystyle }$ 요소입니다.즉, Q $=$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ $= 1$ [ ${\displaystyle t_{}}$i , ${\displaystyle {j_{}}_{}{i_{}}_{}}$ , ${\displaystyle {{}_{}i}_{}}$ , j + $](\displaystyle$ Q=\$prod$_ { $i }^{n$} [ $t_i, j_i,$ {i} p_${i$} )입니다$.$$cdots \leq t_{i,k_{i}=b_{i$}}는$$ [$]{displaystyle [a_{i$},$b_{i$^[11]의 파티션입니다.
• Q$({displaystyle$Q$})$의 $볼륨$${\displaystyle }$δ$displaystyle$\$operatorname {$$vol}(Q)}$은(는) 일반적인 유클리드 ${\displaystyle \mathrm{볼륨}}$입니다. 즉, 볼륨${\displaystyle \delta (}$Q) $=$†${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$(${\displaystyle {t\mathrm{i}{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ $)$ {vol$}($는) {$pro\d} {d}_1$

f ${\displaystyle$ f$}$의 리만 $합계{\displaystyle }$L (${\displaystyle f}$ ,$P ){$$displaystyle$L $( f$ , P $){$displaystyle \$sup$$}$을$($를) $inf$로 ${\displaystyle 대체}$하여 정의합니다. 마지막으로, f {\$displaystyle$ f$}$가 경계되고 {${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (f}$ ${\displaystyle ,}$P)${\displaystyle =\}}$이${\displaystyle (}$를) sup {${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$\displaystyle\inf }로 대체하여 정의됩니다${\displaystyle .}$$playstyle \sup\{L(f,P)\mid$ P$\}=\inf\{U(f,P)\mid$ P$\backslash \}.$ 이 경우 공통값은${\displaystyle {}_{}}$"${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$ $\displaystyle \int$ _${D}f,dx"$^[12]로 표시됩니다.

{nmathbb}:{n1}:{n1}:{n2}, (를) 또는 μm)을 수 있습니다.스플레틸렌$e \sum _{i}\operatorname {vol}(D_{i})$$<\aphilon .}$

중요한 정리는

다음 정리는 함수의 적분을 한 변수에서 함수의 적분의 반복으로 계산할 수 있도록 합니다.

특히, 통합 순서를 변경할 수 있습니다.

마지막으로 M ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n$$\ $displaystyle$M \ $subset$\$mathbb${$R }$ ^ {$n$ } 이$$ 유계 오픈 서브셋이고$f{\displaystyle }$ { \ $displaystyle$$$f } 이$$$$M { \ $displaystyle$ M$$} 위의 $함수$인 $경우{\displaystyle }$$,{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ M ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x : ${\displaystyle {}_{}}$ D$$ D f x$${ ${\displaystyle \mathrm{display}}$ style \ d $int$int } { d$int int$ int : int : int int $int$= { d : int : int : int : $int$ int int int int int inte는$$M$({$$displaystyle$ M$}$ 및$$ $({$$displaystyle$ $\chi$ _${M})$을 $포함$합니다. 즉, ${\displaystyle M_{}x)}$$$${\displaystyle =}$ $(x)$의 경우 $(\$$displaystyle$$\chi$ _${$$M}($$x$) $= 0$$($xisplaystyle)의 $특성{\displaystyle }$ 함수입니다.${\displaystyle {②}_{}}$ M$f$ \$displaystyle$ \$chi$_ {$M}$ f 는$$ ^[15]통합 ${\displaystyle {\mathrm{가능}}_{}}$합니다.

표면적분

$3$의 $경계{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $표면{\displaystyle }$M$({displaystyle$ $\mathbb {R}$^{$3})$이 $도메인{\displaystyle }$D(\$displaystyle$ D$)$와 함께 r ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}$($u$, v$$)(\$displaystyle {r$} =$displaytextbf$ {r$} u$, v)로 $파라미터{\displaystyle }$ 지정되면 F$(\displaystyle$ F$)$에서 $측정{\displaystyle }$ 가능 $함수$의 표면 적분)으로 파라미터 지정됩니다.}은$($는) 다음과 같이 정의 및 표시됩니다.

$\displaystyle \int _{M}F,dS:=\int \int _{D}(F\circ {textbf {r}}_{u}\times {textbf {r}}_{v}} {,440v}$

${\displaystyle F}$: M ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ {\$displaystyle$F:$M\to \mathbb {R}^{3}}$은 벡터 값이며, 그 후 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \int _{M} F\cdot dS:=\int _{M} (F\cdot {textbf {n}}),dS}$

$여기$서$$n {\$displaystyle$ ${n}$은 M$${\$displaystyle$ M$\}$에 $대한{\displaystyle }$ 외부 단위 정규 벡터입니다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{r_{}}{}}$u × ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{r_{}{}_{}}{}}$ × ${\displaystyle \frac{r_{}}{}}$ x r r r v${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}${ \ $displaystyle${ $textbf { n$} =$rc$frac { \$textbf$ { $r } _ r }$ { times$}$ { times } { $textbf$ { $times$} { $times$ }

$\displaystyle \int _{M}F\cdot dS=\int \int _{D}(F\circ {textbf {r}_{u}\times {textbf {r}_{v}}, sv=\int \int _{D}\circ})$

벡터 분석

접선 벡터 및 벡터 필드

$c{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1]\to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ c$:[0,1]\to \mathbb {R}^{n}$을 미분 곡선으로 한다.다음으로$$t {$displaystyle$ t$}$의 $곡선{\displaystyle }$$$c {$displaystyle$ c$}$에 대한 접선 벡터는 c$)$ {$displaystyle$ c$(t)}$ $지점$의 $벡터{\displaystyle }$v {$displaystyle$ v$}$이며, 구성요소는 다음과 같습니다.

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}{}_{}^{}}$ t ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle }$t$$) { $displaystyle$ v= ( c _ {$1}$ ' ( t ) 、 \$displaystyle$ , c$_$ { $n$} ' ($t$ )$$^[16]。

예를 들어 c( ) ( δ () , δ () , t) , > ,> 0 ( a \$cos$ ($t$ ) ,$a$ \$sin$ ($t$ , b ) = ($a$ \ cos ( t ) , $a > 0$ ,$b$> 0 )인 $경우,$ t 에서의 탄젠트 벡터 t는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle c'(t)=sin(t),a\cos(t),b).}$

이것은 나선의 점이 일정한 속도로 위로 이동한다는 직감에 해당합니다.

M ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n$$\ $display M \ subset$ \ $mathbb {$R } ^ { $n$}인$$ $경우{\displaystyle }$, p 지점의 M$${ $display$ m $}$에 $대한{\displaystyle }$ 접선 공간은 c${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$] ${\displaystyle \to M}$$${ $displaystyle$ c : [$0$ , $1$] \ $to$P$$}에 대한 모든 접선 $벡터$의 집합입니다.

벡터 필드 X는 M 내의 각 점 p에 대한 p에서의 탄젠트 $벡터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$p {\$displaystyle X_{p$}}에 대한 할당이 매끄럽게 변화하도록 한다.

미분 형식

벡터장의 이중 개념은 미분 형식이다.R ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathbb {R}$^{$n$$\}\}$의 열린 $서브셋{\displaystyle }$M {\$displaystyle$ M$}$의 정의상 차분 1-폼(종종 1개 형식) ${\$ {\$displaystyle$ $\mega}$은 M$${\$displaystyle$ M$}$의 선형 함수$$ p$${\$displaystyle\p}$에 대한 할당입니다$.$배정이 $부드럽게$ 변화하도록 T $M$에서 M$(디스플레이$$$ 스타일 $T_{$$p}$ $M$$)$까지의 접선 $공간{\displaystyle {}_{}}$$.$(실제 또는 복소수) $평활함수{\displaystyle }$ f${displaystyle$ f$\}$의 $경우{\displaystyle }$ p${displaystyle$ p$\}$의 접선 $벡터{\displaystyle }$ v${displaystyle$ v$}$에 대해 1-form ${\displaystyle d}$ f${displaystyle$ df$}$를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle df_{p}(v)=v(f)}$

(예: (x)의 방향(예:x)의 방향(예:x)를 나타내는 경우 (x]를 참조).놀다$tyle dx_{i,p}(v)=v_$${$$i$ 즉, ${\displaystyle {}_{}}$ $,$ ${\displaystyle p_{}}$ {$displaystyle dx_{i$,p$$$}$는 $(\displaystyle T_{p$$}$$M$의 표준$$ 베이스에 대한 듀얼 베이스입니다.그러면 모든 차분 $1-폼$은$$고유하게 $기술$할 수 있습니다$.$

${\displaystyle \mega = f_{1}, param_{1}+\cdots + f_{n}, param_{n}}$

M {\$displaystyle$ $M$$}$의 일부 부드러운 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {f1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$n {{$1},\dots,$f_${n$}의$$ 경우($모든{\displaystyle }$ $점$p {\$displaystyle$ p$\}$에 대해 선형 함수 ${\displaystyle p_{}}$p {\$displaystyle \obe$ _${p$$}$는 $}$한 선형 조합이므로).보다 일반적으로 미분 k-form은$$$m의$$$$p점$$,$ $k$의 $p점$, $k$의 ${\displaystyle {p점}_{}}$, $k의$p점$,$ k의$$ p점$,$ k의 p점, k의 $p점$,${\displaystyle \stackrel{}{}{K}_{}^{}}$의 p점,$M의$$p점$$, bigwedge ^{k}$에 대한 할당이다.${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$의$$${p$}{{p$}M$의 T_${p}{*}$M의 T_${p}{{*}M$$}$이(가) ^[17]매끄럽게 할당이 변화하도록 $한다$.특히 0 형식은 부드러운 함수와 동일합니다.또한 k$(\displaystyle$ k$)$ - $form$ ${\(\displaystyle \obega)$는 다음과 같이 고유하게 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mega =\sum _{i_{k1}<\cdots <i_{1}\cdots i_{k}}, cdots \cdots dx_{i_{k}}}, cdots \cdots dx_{i_{k}}}$

smooth $functions{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{fi\mathrm{}}_{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ $(\$^[17]입니다.

부드러운 함수처럼 미분 형태를 구분하고 통합할 수 있습니다.f$${\$displaystyle$ f$}$가 매끄러운 $함수$인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ d f {\$displaystyle$ ^[18]df$}$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\frac x_{i}},{frac_{i}},{frac_{frac}$

v $=$ v$=\$$display$ $x$${$$p$${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ $_{p$${\displaystyle \}<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; v=\backslash partial\; /\backslash partial\; x\_\{j\}|\_\{p\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/69afba3aaa90cbcd553faba47f401f016a386d06"\; style="vertical-align:\; -1.171ex;\; width:11.97ex;\; height:3.176ex;">}$의 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle {df}_{}}$(${\displaystyle v)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{{dxi}_{}}{}}$ (${\displaystyle v)}$ $=$ ${\displaystyle {dxi}_{}}$ ($)$ frac $f$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}v}$) $dxi$ $v$) $frac$가 $있습니다{\displaystyle }$.$v$ 위의 식에서 왼쪽(오른쪽)은 ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ x$$(\$display x_{1},\dots,x_{n$과 독립되어 있습니다.이 속성을 미분 불변성이라고 부릅니다.

$연산{\displaystyle }$ d$\displaystyle$d는$$ 외부 도함수라고 하며, 요구 사항에 따라 유도적으로 차동 형태로 확장됩니다(라이브니츠 규칙).

$\displaystyle d(\alpha \displays \displays )=d\alpha \displays +(-1)^{p}\alpha \displays d\displays .}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$α,$$β(\$displaystyle \alpha,\display)$는 p형식 및 q형식입니다.

외부 도함수는 d ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle d$=$$0 { $displaystyle$ d = 0$$} 즉, 차동 $형식{\displaystyle }$ d$$ { \ $displaystyle$ d$}$의 외부 $도함수{\displaystyle }$d { $displaystyle$ d$}$가 0이라는 중요한 특성을 $가집니다{\displaystyle }$.이 속성은 2차 파생상품의 대칭성의 결과이다(혼합부분은 동일).

경계 및 방향

원은 시계방향 또는 시계반대방향으로 배치할 수 있습니다.수학적으로 연속적으로 변화하는 M$({displaystyle$M})에 대한 정규 벡터의 일관된 선택이 있는 경우, $(\$})의 $서브셋{\displaystyle }$ M$(\displaystyle$ M$)$은 방향을 향하고 있다고 합니다.예를 들어, 원 또는 보다 일반적으로 n-sphere는 방향을 지정할 수 있습니다. 즉, 방향을 지정할 수 있습니다.한편, 뫼비우스 스트립(사각형의 반대쪽 두 변에 의해 뒤틀린 방식으로 식별된 표면)은 방향을 잡을 수 없다. 만약 우리가 정규 벡터로 시작해서 스트립 주위를 이동한다면, 끝의 정규 벡터는 반대 방향을 가리킬 것이다.

그 명제는 우리가 책 형태로 오리엔테이션을 할 수 있게 해주기 때문에 유용하다.

미분 형식의 통합

${\displaystyle \mathrm{display}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle }$display${\displaystyle \mathrm{display}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$n \ $displaystyle$ \$omega = f, cdots$\ cdots \ cdots $dx$_ { $n$} 이$$ R$$ \ $displaystyle$\$mathbb${ $R }^$ {$n$ $$} 의 $열린{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 서브셋 M 위의 미분 n 형식인 경우$,$ $mystystyle$M 을 $통한{\displaystyle }$ 통합

${\displaystyle \int _{M}\otha =\int _{M}f,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

M이 표준 방향과 반대 방향일 경우${\displaystyle {}_M}$ ${\$ { $displaystyle \int$_ { $M$} \ $obega$}는$$ 오른쪽의 음수로 정의됩니다.

다음으로 외부 파생 및 통합에 관한 기본 공식을 제시합니다.

여기 ^[19]그 공식의 증거 스케치입니다.f$${\$displaystyle$ f$$$}$가 콤팩트 서포트를 ${\displaystyle {}^{}}$ R$$n \$displaystyle \mathbb {$R$}$ ^{n$$$}$의 부드러운 함수인 $경우{\displaystyle }$ 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle \int d(f\obega)=0}$

(미적분학의 기본정리에 의해, 위는 지지대를 포함한 집합의 경계에서 평가될 수 있기 때문이다.)반면에,

$\displaystyle \int d(f\obea)=\int df\backets \mega +\int f,d\obe .}$

${$$displaystyle$f$\}$가$M$의 $특성{\displaystyle }$ 함수에 접근하면 오른쪽의 두 번째 항은 M ${\displaystyle d}$ ${\$ { $displaystyle \int$_ {$M } d$\ obega가$$ 됩니다.첫 번째 항은 ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$-\$int${ \ $partial$M$$}\$obe$가 됩니다.이 c의 기본 정리를 증명합니다.알큘러스$◻$

그 공식은 다변수 미적분학의 스토크스의 정리뿐만 아니라 미적분의 기본 정리를 일반화한다.실제로 M ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle }$a , $]$ { $displaystyle$ M ${\displaystyle =}$ [$a$ , $b$] { $displaystyle$ \$opega = f$}인 $경우{\displaystyle }$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f}$ x { $displaystyle$ d$\ope$=$f',$f' , f' , f' )$$} the$$ ${\displaystyle \mathrm{the}}$ the the the the indeed indeed indeed indeed indeed 。 indeed indeed indeed indeed 。

${\displaystyle {}_{}}$§ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$† ${\displaystyle d}$ x${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle b}$ ) -${\displaystyle }$f${\displaystyle }$( $a$) {$displaystyle$ \$int _$ { $M }$f ' ,$dx$= $f$( b ) - f ($a$) ${\displaystyle {\}}_{}}$

$마찬가지$로$,$ M {\$displaystyle$M}이$$R 3 ${\displaystyle \mathbb${R}$^{3$} $및{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$ {\$displaystyle \ope$ + $, dy$+ $h$, dz$\}$의 방향 유계면이라면${\displaystyle ,}$ $d{\displaystyle }$ (${\displaystyle f}$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{dflash}}$ ${\displaystyle \mathrm{dx}}$${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{\mathrm{}}{}}$ dy ${\displaystyle \frac{\mathrm{flash}}{}}$ dx dx dy dy dy ${\displaystyle dy\frac{}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{dy}}$ dy dy dy ${\displaystyle \mathrm{dy}}$ dx ${\displaystyle =}$ dy dy dy dy dy dx dx dy dy dx dy dy dy dx fx $partial$ f$}{\partial$ y$}, dy\wedge$ dx$+{\frac${\$partial$ f$}{\$$partial$ z},$$dz$$$\wedge$ dx} 및$$ $g$dy$)$의 $경우$와 마찬가지로, d($g$ dy$)$의 경우, $용어$를 수집하면 $다음$과 같이 $됩니다.$

$(\displaystyle d\mega =\frac {\frac y}-{\frac g}{\frac z}\frac dz+\frac z}-{\frac {\frac h}\frac dz+\frak g}-{\fright})$

다음으로,${\displaystyle {}_{}}$$display$ { $displaystyle$\ times F $}$${\displaystyle \mathrm{ation}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$(${\displaystyle {}_m}$×${\displaystyle F}$ )${\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle d}$ S$$( \ $displaystyle \int$_ {$M$ }$d$ \ $obega$ ${\displaystyle =}$ \$int$_ { M$$} ( \ $nabla$\$times$ F $)\ cdot dS$${\displaystyle \mathrm{where<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \_\{M\}d\backslash omega\; =\backslash int\; \_\{M\}(\backslash nabla\; \backslash times\; F)\backslash cdot\; dS\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1f75cac87e8d0f8cb9ce5c5090b800aafc1a2c4d"\; style="vertical-align:\; -2.338ex;\; width:25.371ex;\; height:5.676ex;">}}$ ${\displaystyle 、F}$、$)(\$} {\$frac y},$ {\$frac {\frac z$ 따라서 Stokes의 공식은

$\displaystyle \int _{M}(\nabla \times F)\cdot dS=\int _{\display M}(f,dx+g,dy+h,dz),}$

스토크스 정리의 일반적인 형태입니다.그린의 정리 또한 스톡스 공식의 특별한 경우이다.

Stokes의 공식은 또한 Cauchy의 적분 공식의 일반적인 버전을 산출한다.이를 기술하고 증명하기 위해, 복소 ${\displaystyle \mathrm{변수}}$ z ${\displaystyle =}$ + ${\displaystyle i}$y { $displaystyle$ z$=x$ + $iy}$ 및$$ $켤레{\displaystyle \stackrel{}{}}$ z$${\ { $displaystyle {z$에 대해 연산자를 소개합니다.

${\displaystyle {\frac z}=frac {1}{\frac x}}-ifrac {\frac}{\frac}{\fright},{\frac}{\frac}{\frac}{\fright}=frac {\frac1}{\frclash}}$

이러한 표기법에서 $\displaystyle$f는$$ f${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{f\stackrel{}{}}}$z$$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \frac {\display style$ {z}} $=$ 0인 경우에만 정칙(복소수)이다(코시-리만 방정식).또, 다음과 같은 것이 있습니다.

${{displaystyle df=mariable f}dz+{\frac f}{\fariable f}}dbar {z}}.}$

{\ c ep { & in \ ={ns <{n2}}:{n1}:{n1}: ={n1}: (를(를(를) , - 네, 엑스테네요. -네.

${\displaystyle d}$( ${\displaystyle \frac{f}{}}$z - ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{dz}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$ f ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{z\stackrel{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{dz}}{}}$ d d ${\displaystyle \frac{}{}}$ - ${\displaystyle \frac{{z\mathrm{}}_{}}{}}$ 0 \ $displaystyle d\$ left$dfac${ $f}$ { z \$right$} =$frfrac frac$ { df} { \ $flac {$ \$bar${ z$}$ } {\ d d { \ $frac$ { $0$}

스톡스의 공식에 따르면

$\displaystyle \int _{D_{\epsilon}}{\frac {\frac {\f}}{\frac {dfar {z}}{z-z_{0}}=\left(\int_{z_0}=r}-\int_z_{z_0}\fright} =\flac {z}}$

${\displaystyle \mathrm{ϵ}}$ ${\displaystyle \to }$0 { $displaystyle$\ $ilon$\ $to$ 0$$}으로$$ 하면 다음과 같이 ^[20][21]됩니다.

$({displaystyle 2\pi i,f(z_{0})=\int _{z-z_{0}=r}{\frac {f}{z-z_{0}}dz+\int _{z-z_{0}{\leq r}{\frac f}{\frac f}{\frac f}{{\f}{z}{\f}{\f}{\f}{z}{\f}{f}{f}{f}{frac frac f}{f}}{z_z}{}$

와인딩 넘버와 푸앵카레 레무마

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$미분형식{\displaystyle }$ ${\$ { $displaystyle$\ $omega$$$$= 0$이면 닫힘형식$${\ { $displaystyle$ d \$$$omega$ = d \$$ }($종종$ 전위형식 \$eta)$은 닫힘형식$=$ ${\displaystyle d}$ $displaystyle$ \ =$$d$\eta }$이면 정확하게 호출됩니다.d ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ d$\display$ d=$0$이므로 정확한 형식이 닫힙니다.그러나 그 반대는 일반적으로 유지되지 않습니다.정확하지 않은 닫힌 형식이 있을 수 있습니다.이러한 형식의 전형적인 예는 다음과 같습니다.^[22]

$(\displaystyle$$$$}}+{\frac {x}{x^{2}+y$$^{2}$$\}\}\}\}\}\},$

이는 R ${\displaystyle {}^{}}$- 0$({displaystyle \mathbb {R}$^{2}-$0$의 미분$$ $형식$입니다. ${\displaystyle \mathrm{극좌표}}$로 전환한다고 ${\displaystyle \mathrm{가정}}$합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cos }$ ⁡ $、$ y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r\sqrt{{}^{}}}$ sin ⁡ ${ display$ x$=$ $rcos$ \theta$$、 $y =$$$ \ $theta$ } =$rstyle$ {$rstyle$ }$\}\}\}\}\}.$ 그럼

$(\displaystyle \Omega =r^{-2)(-r\sin \theta \,cos \theta \,dy)=d\theta .}$

$이$는 ${\$ { $displaystyle$\ $obega$}가$$ 정확한 것을 보여주지 않습니다.문제는 ${\$ { $displaystyle \theta$}가 $R$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle 2}$ -$$$$（ \ $displaystyle$\ $mathbb${ $R$} ^ {$2$$}$^ { $display$ $style$ $f$$$$}$ { { {$${ { { { { { { { { { { { { {\ {\ {\ {\ {\ $this{\displaystyle }$ this { this this on on on on on on on on on on on on on on on on on on on on on { on$${\$displaystyle$ df$=\omega}$은$($는) $상수적$으로 {\$displaystyle \theta}$과(와) 다릅니다. 즉$,$ {\$displaystyle \omega}$는 정확하지 않습니다.그러나 계산 결과$,$ $예$를 들어 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ $}({$ $displaystyle$ \$mathbb$ {$R} ^{2}-\{x=0\})$에서는 = ${\displaystyle \arctan }$( (${\displaystyle y}$ /${\displaystyle x}$) { $displaystyle \ta =$ \$arctan(x/y$$)}$ { displaystyle $\tan$}이$$ 정확함을 알 수 있습니다.

닫힌 형식이 정확함을 보장하는 조건을 제공하는 결과(Poincaré lema)가 있습니다.이를 설명하기 위해서는 토폴로지의 개념이 필요합니다.${\displaystyle {}^{}}$ m${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$\$displaystyle \mathbb {R}$^{$m},$ \$mathbb {R} ^{n}($또는 보다 일반적으로 위상 공간)의 서브셋 사이에 2개의 연속 $맵{\displaystyle }$f,${\displaystyle g}$$:$ ${\displaystyle X}$ {$displaystyle$ f$,$ $g:to$ Y$}$가 주어질 때 f$:\$$style$ $homotopopyle{\displaystyle }$ g${\displaystyle :}$ $연속$ 함수이다.$aystyle$ H$:X\times$ [$0,1]\to$ Y$.$ $f$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =H}$ (${\displaystyle \mathrm{x}}$ , 0$$) {$displaystyle$ f$(x$) $=$$H(x,0)}$ 및$$ $g{\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle H(\mathrm{x},}$ 1)$${$displaystyle$ g$(x$)=$H(x,1$ 직감적으로 호모토피는 기능 간에 연속적으로 변화하는 것입니다.$X$의 루프({$displaystyle$ X$$$})$는 시작점이 끝점과 일치하는 곡선입니다. 즉${\displaystyle ,}$ $c{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$] ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}${ $display$ c : [ $0$, 1$$] ${\displaystyle =c}$ ( ${\displaystyle 1}$) { $displaystyle$c ( $0$) $= c$ ($1$ )$\}$ 입니다.모든 루프가 일정한 함수와 동질적인 경우에는 ${\displaystyle {}^{}}$n \$displaystyle \mathbb {R}$^{$n}$의 서브셋을 단순히 연결이라고 부릅니다.단순하게 연결된 세트의 일반적인 예로는 $디스크{\displaystyle }$ D${\displaystyle =}$ {${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y )${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}^{}}}$x ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ + ${\displaystyle \sqrt{{y\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ r${\displaystyle }$}${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$R 2 { \ $displaystyle$ D = \ { ( $x$, y ) \ mid { $sqrt${ $x$^ { $2$} + $y^$ { $2$ }가 있습니다.$}}\leq r\}\mathbb$ {R} $^\{$$2$${\displaystyle \}\}.}$ $실제로{\displaystyle \mathrm{루프}}$ c$:[$ $1$ $→$ ${\displaystyle \mathrm{D}}$$([0,$1]\to D$)$에 대해 $호모토피{\displaystyle \mathrm{H}:[0{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$] ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle H(x,}$ t${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle t}$(${\displaystyle \mathrm{x}}$ ) ${\displaystyle (}$x ${\displaystyle )}$가 있습니다${\displaystyle .}$$isplaystyle$c($0$ 반면 펑크가 난 디스크는 단순히 연결되어 있지 않습니다.

원곡선 및 표면의 형상

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무빙 프레임

$3$의 $벡터{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $필드{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 3$(\displaystyle E_$${1},\dots$$,$ $E_{3})$은 각 점에서 서로 직교하는 경우 프레임 필드(${\displaystyle {즉}_{}}$, E ${\displaystyle {}_{}}$ Ej ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ⋅ ${\displaystyle i_{}}$ $（$ \ $displaystyle$ E_${$$$$})$라고 불립니다.기본적인 예는 표준 $프레임{\displaystyle {}_{}}$ $(\$ $U_{i})$입니다.즉, $x)$는 R ${\displaystyle {}^{}}$의$각$ $(\displaystyle$$\mathbb {R}^{3$의 표준$$ 베이스입니다.또 다른 예는 원통형 프레임입니다.

$\displaystyle E_{1}=\cos \theta U_{2}+\sin \theta U_{2}=-\sin \theta U_{1}+\cos \theta U_{2},,E_{3}=U_{3}}$^[24]

곡선의 기하학적 구조를 연구할 때 사용하는 중요한 프레임은 단위 속도 $곡선{\displaystyle }$β의 Frenet $프레임{\displaystyle }$ T${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle N,}$ $(\displaystyle$ T,$N, B)$입니다. : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $(\$\displaystyle \$b):$$I\to \mathbb {R}^{$3$$$}:$

가우스-보네 정리

가우스-보넷 정리는 표면의 위상과 그 기하학적 구조를 관련짓는다.

변분법

라그랑주 승수법

$g{\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}1}$ (${\displaystyle }$0$$) { $display$ g^ { - $1 }$ ( 0 )는$$ 보통 구속이라고 불립니다.

예:^[27]$원{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ({$displaystyle$ x$^{2}+y^{2$}=$1})$과${\displaystyle }$선 ${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle \mathrm{y}}$ $=$ 4 ({$displaystyle$ x$+y=4$ 사이의 최소 거리를 구한다고 가정합니다.$즉{\displaystyle }$, f${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y,}$u, ${\displaystyle v)}$ $=$ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -{}^{}{u\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$2${\displaystyle }$+ (${\displaystyle y}$ - ${\displaystyle v}$ )$$ {{$style$ f$(x, y$,$u$$,$v) =($x-u)^$2}+($y-v$$2}}$ 의 점(${\displaystyle x}$ $)$과 점${\displaystyle (u}$$)$ ${\displaystyle \mathrm{사이}}$의 제곱 거리를 최소화해야 합니다$.$${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2 -${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle }$u +${\displaystyle v}$ -${\displaystyle 4}$)({ $displaystyle$ g$=(x^{2}+y^{2}-1,$u+$v-4$ 다음과 같습니다.

$(\displaystyle \displayla f=(2(x-u), 2(y-v), 2(x-u), 2(y-v)).}$

$\displaystyle \displayla g_{1}=(2x,2y,0,0),\displayla g_{2}=(0,0,1,1)입니다.}$

$g$의$$Jacobian 행렬 {\$displaystyle$ g$}$은 g${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}1}$ ( 0 $){displaystyle$ g$^{-1}(0$에서 모두 2등급이므로 Lagrange 승수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle x-u=\displayda _{1}x,y-v=\displayda _{1}y,2(x-u)=-\displayda _{2},2(y-v)=-\displayda _{2}.}$

${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$\$displayda$_ {1} =$0$이면 x ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle v}$\ $displaystyle$ x$=u, y=$v$\}$는 $불가능합니다.$따라서 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}0}$ 0$${ $style$\ $lambda$_ {1} \$neq$0 입니다$$.

${\displaystyle x=syslogfrac {x-u}{\syslogda _{1}},,y=syslogfrac {y-v}{\syslogda _{1}}}.}$

여기서 x ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle y=}$ ${\displaystyle 1}$/$({$ x$=y1/{\displayrt$${$$2}})$ $및$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle =}$$$ v$=$ ${\displaystyle 2}$$($$displaystyle u=$v2$})$가 되기 쉬우므로 최소 거리는$$($최소 거리$)이다.

선형대수에 ^[28]대한 응용이 여기에 있다.$V{\displaystyle }${\$displaystyle$ V$}$를 유한 차원 실 벡터 공간이고${\displaystyle }$T : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ T$:$자기접속 연산자 V$\to$ V$.$V$({$$displaystyle$$$V$\})$의 치수에 따라 유도하여 V$({$$displaystyle$ V$})$$$에 T$({$$displaystyle$$$T$}$는 대각선화 $가능{\displaystyle }$)의 고유 벡터로 구성된 기초가 있음을 V({$displaystyle$ V$})$에 대해 $보여{\displaystyle }$ 줍니다$.$ V $=$ $({$에서 $기초$를 선택할 수 있습니다.$및{\displaystyle }$T {\$displaystyle$T$\}{\displaystyle }$는 ${\displaystyle {행렬}_{}}$ [$j]$ {$displaystyle [a_{$ij$\}\}$로 표시됩니다. $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle T}$x ,${\displaystyle x}$) { $displaystyle$f ( x ) = ( $Tx , x$ ) $\}$ (여기서 괄호는 내부 제품을 의미합니다.${\displaystyle 그}$ 후${\displaystyle \mathrm{}2}$ f${\displaystyle =}$ 2${\displaystyle }$( ${\displaystyle i_{}}$ a ${\displaystyle 1_{}}$i x i , ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle n_{}{i}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ i$$) {$style$ \ $display$ \ $sla$ f $= 2$${\displaystyle {}_{}^{}}$( \ $sum$ a _ {$1$i $}$${\displaystyle \mathrm{x}}$$$_ {$i }$ $).$ 반면 g $=$ 1 ($$\ $sum$ a _ { ni }$x$ ${\displaystyle {\_}_{}^{}}$ { $i$} )$x$^{ style }g${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$의 점$u$$${\$displaystyle$u$$}$$($)$ {{$displaystyle$ g$^{-1}(0$)}. lagrange 승수에 의해 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle =2}$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$) {$displaystyle \displaystyle$ g $= 2$ ($x_{1},$\displaystyle$,$ $x_{n$이래 $2$이므로$, displaystyle 2$가 표시됩니다$.$$displaystyle$ 2$\sum$ _${i}a_{i}=2\displayda u_{j},1\leq j\leq$ n$}$ 그러나$$ 이는 ${\displaystyle T}$ u ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ Tu→$\lambda$u$)$를 의미합니다. 귀납 가설에 따르면 자기점 $연산자{\displaystyle }$T : ${\displaystyle W}$ $W$(\$styledisplaystyle$ t$):$$W\to$ W$,$ $\displaystyle$u의$직교{\displaystyle }$ $보어$는 고유 $벡터$로 구성됩니다$.$이것으로 끝입니다.$◻$ ${\displaystyle$ \square$\}.$

취약파생상품

측정 영점 세트까지는 다른 기능(테스트 함수라고 함)과의 통합을 통해 두 기능이 동일한지 여부를 결정할 수 있습니다.즉, 다음과 같은 것들은 때때로 변분법의 기본 보조법이라고 불린다.

$연속함수{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ f$\}$가 주어졌을 때, 연속미분이 가능한 $함수{\displaystyle }$u {\$displaystyle u$}는$$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{다음}}{}}$과 같은 경우에 한해$i$x ${\displaystyle i}$ $=$ f { f { $f$ } 입니다$.$

$\displaystyle\int\frac{\fracx_{i}}\varphi,varphi=\int f\varphi,varphi$

,${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle M}$) \ $displaystyle$$\$ $varphi$\ $in$ C_{$c$}^{ \ $in$ fyty$$} ($M)$. 단, 부품별 적분에 의해$$$u$의 $왼쪽{\displaystyle }$ 부분 도함수는$${\ \ $displaystyle$ \ $varphi$$}$ ;e로 이동할 수 있습니다.

${\displaystyle -\int uvarphi }{\displayx_{i}},sys=\int f\varphi,sys}$

${\${ $display$ \ $varphi$ $}$는 $콤팩트$하게 지원되므로 경계항이 없습니다.여기서 중요한 것은 이 표현은$u$가 반드시 미분할 수 있는 것은 아니기 때문에 이러한 함수의 도함수에 의미를 부여하는 데 사용할 수 있다고 $해도{\displaystyle }$ 의미가 있다는 것입니다.

각 로컬 적분 가능 $함수{\displaystyle }$u {$displaystyle$$u$}는 C${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( M$$)에 선형 함수 $\phi {\displaystyle u}$ u u u display ${\displaystyle d}$ x \ $displaystyle$\$$$varphi$\ $map sto u$ \ $varphi$$$\ , $dx$$}$를 정의하고 있습니다.$또한$ 로컬 적분 $가능$ 함수는 이러한 선형 함수와 식별할 수 있습니다.lemma. 따라서 ${\displaystyle {일반적}_{}^{}}$으로$$u$$$displaystyle C_$${c$$}^{\$$infty$$\})($$M)$의 선형 함수인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{{}_{}}}$${\displaystyle (xi)\frac{\mathrm{}}{}}$를 선형 $함수$로서 정의합니다${\displaystyle .}$$-\left,{\frac \varphi$}{\$frac x_{$i$$$}\right$\$rangle$$$}. 여기서 ${\displaystyle \mathrm{괄호}}$는${\displaystyle }$α$,$ $=$α ($)$를 $의미$합니다.\$displaystyle$ \$clangle$= \$alpha$( \$varphi$)$$$。$그러면 $ustyledisplaystyle$$$displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplayu는$$연속적으로 미분 가능하며, 그 약한 도함수는 일반 도함수와 일치한다.즉, 선형 함수${\displaystyle \frac{\mathrm{}u}{}}$ $x$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$i { \ $display$ style $u$ } { \ $display style$ $u$$}$는 ${\displaystyle x_{}}$에 $대한{\displaystyle {}_{}}$ $일반적$인 부분 도함수에 의해 결정되는 선형 함수와 같다$.$$displaystyle x_{i$ 보통 도함수는 종종 고전 도함수라고 불립니다.${\displaystyle C_{}^{}}$ c${\displaystyle {}_{}^{}}$δ ( ${\displaystyle M}$)$$（ { $displaystyle$ C _ { $c$}^{ \ $infty }(M)$} )의$$ $선형함수$가 ${\displaystyle C_{}^{}}$ c${\displaystyle {}_{}^{}}$δ (${\displaystyle }$M$$)의 특정 토폴로지에 대해 연속되어 있는 경우, 이러한 선형함수는 분포라고 하며, 일반함수의 예이다.

약한 파생상품의 고전적인 예로는 (${\displaystyle 0}$,${\displaystyle \mathrm{})}$ $)(\displaystyle (0,\infty$^[30] 간격의 특성 함수인 헤비사이드 $함수{\displaystyle }$H(\$displaystyle$ H$)$가 있습니다.모든 테스트 $함수{\displaystyle }$ ${\\displaystyle \varphi$ $\}$에 대해 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle \rangle H', \varphi \rangle =-\int _{0}^{\infty }\varphi ',varphi=\varphi(0).}$

「\$displaystyle \delta$ _${a}」$는$,$ Dirac 델타 함수라고 불리는 $선형$ $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle 「」(「}$displaystyle $\varphi \mapsto \varphi (a$를 나타냅니다(정확히 함수는 아닙니다).위의 내용은 다음과 같습니다.

${\displaystyle H'=\delta_{0}.}$

코치의 적분 공식은 약한 도함수 측면에서 유사한 해석을 가지고 있다.복합 $변수{\displaystyle }$ z ${\displaystyle =x}$ + ${\displaystyle i}$ {\$displaystyle$ z$=x+iy$의 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{z\mathrm{}}_{}}_{}}$0 (${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{\mu }}$ (${\displaystyle \frac{z}{}}$ - ${\displaystyle \frac{{z\mathrm{}}_{}}{}}$0 )$${ $display E_{z_{0}}$=$snarfrac {1}$ {\$pi$$(z-z_{0$$\}\}\}\}$ $\}$ $} 。$테스트 $함수$는 다음과 ${\displaystyle 같습니다.}$$Cauchy의$적분 공식에 따르면 $다음$과 같은 것이 있습니다$.$

${\displaystyle \varphi (z_{0})={1 \over 2 \pii}\int {\frac {\bar {z}}{\frac {dz\bar {z}}}{z-z_{0}}}}.}$

${\displaystyle d}$ z ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle d\stackrel{}{}}$ z ${\displaystyle \stackrel{}{¯}}$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle xd}$ d ${\displaystyle y}${ \ $displaystyle dz$ \ $display bar$ { z } = - 2$idx$\ $display$dy$$} : : -: 、 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle \varphi (z_{0})=-\int E_{z_{0}}{\frac \varphi }{\frac {z}}}{\frac E_{0}}{\frac E_{z}}{\fright}}}{\frac\fl}}{\fl}}{\frac E_{\fl}}}}}}}}{\fi\frak E_rac E\fi\fi\fi\fi\frang$

또는

${\displaystyle\frac E_{z_{0}}{\partial\bar {z}}={z_{0}}}$^[31]

일반적으로, 일반화 함수는 연산자의 적용이 Dirac 델타일 경우 선형 편미분 연산자의 기본해라고 불린다.따라서 위에서는 E ${\displaystyle {{z\mathrm{}}_{}}_{}}$ 0$(\$이 차분 연산자${\displaystyle "/"\mathrm{}}$ $"(\$의 기본 $솔루션$이라고 합니다.

해밀턴-야코비 이론

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다양체상의 미적분

다양체의 정의

이 섹션에서는 일반적인 토폴로지에 대한 약간의 배경이 필요합니다.

다양체는 유클리드 공간에 의해 국소적으로 모델링된 하우스도르프 위상 공간이다.정의상 위상 $공간{\displaystyle }$ M$(\displaystyle$ M$)$의 아틀라스는 지도 세트이다. ${\displaystyle i_{}}$i : ${\displaystyle U_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$\ $displaystyle$\ $varphi$_ {$$$i$ :$U_{i}\to \mathbb {R}^{n$ 차트라고 부릅니다.이렇게 하면

• $(\$})는$$ M$(\displaystyle$ M$)$의 $열린{\displaystyle }$ 커버입니다. 즉, 각 $(\$})가 열려 $있고{\displaystyle }$ M $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $(\$ M=\$cup$ _${$$i$})가 열려 있습니다.$U_{i$
• $Ui$$$$U_{i}\to \varphi$ _${i}(U_{i})$는 호메오몰리즘입니다.
• ${\displaystyle j_{}}$ j${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ : ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$ $j$ ( ${\displaystyle {Ui}_{}}$∩ ${\displaystyle U_{}}$j ) \${\displaystyle {}_{}}$displaystyle \ $varphi _$ {$j$ } \ $varphi$_ { i }^{ - 1 : \ $varphi _${ i } （$$U _ { i }\ $cap U _ j$） $to$ \ $varphi$（ U _ { j ）

정의에 따르면, 다양체는 최대 지도책(미분 구조라고 함)을 가진 두 번째로 셀 수 있는 하우스도르프 위상 공간이다; "최대 지도책"은 그것이 엄격히 더 큰 지도책 안에 포함되지 않는다는 것을 의미한다.$매니폴드$ M$(\$displaystyle M$)$의 치수는 모델 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n(\$displaystyle \mathbb {R} ^{n$의 치수이며$,$ 즉 n(\$displaystyle$ n$)$의 경우 매니폴드를 n-매니폴드라고 한다.${\displaystyle {}_{}}$$M의$$$함수는 f U ${\displaystyle {\circ }^{}}$ -$$ { $display style f$_ {$U$}\$circ \varphi ^$ {-$1}$이($가$$)$ 각${\displaystyle }$$차트{\displaystyle }$: : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$U\to \mathbb {R}$^{$n$$}$ 。

다양체는 파라콤팩트이며, 이는 주어진 개방형 커버에 종속된 단일성의 분할을 허용한다는 것을 암시합니다.

${\displaystyle {}^{}}$ n$$\$displaystyle$$\mathbb {R$$}$$$$^{n}$이(가) 위쪽 $반공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $n$으로 대체되면 다지관 경계 개념을 얻게 됩니다.차트에서 H$n$의 $경계$에 매핑되는 점의 집합은$since$ M$(\$displaystyle$\mathbb$${H} ^{n})$으로 표시되며$$M(\$displaystyle$M$)$의 경계로 불리며, 이 ${\displaystyle {}^{}}$는 H$(\$ M$)$ 내부 $이후$로 M$(\displaystyle$ M$)$의 위상 경계가 아닐 수 있습니다.$aystyle \mathbb$ ${$$H}$^{$n$$}$은 R$$ ${\displaystyle$ \$mathbb${R}$^{$n$\}\}$과 미분형상이며, 매니폴드는 경계가 비어 있는 매니폴드입니다.

다음 정리는 다양체의 많은 예를 제공한다.

예를 들어, ={n2}}: + 1 ={n1}:{n2};{n2};{n2};{n1}:{n1}:{n1}:{n2}x) = 아, 맞다$yle$ p$}$ $in$ g -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ( ${\displaystyle 0}$) { $displaystyle$ g^ { - $1$} ( $0$)$$。따라서 $n-sphere{\displaystyle {}^{}}$g -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle 0}$ $){displaystyle$ g$^{-1}(0)}$은 n-매니폴드이다.

그 정리는 역함수 정리의 결과로서 증명되었다.

많은 익숙한 매니폴드는 R$$ \$displaystyle \mathbb {R}$^{$n$의 서브셋입니다.이론적으로 중요한 다음 결과는 다른 종류의 다양체는 없다는 것이다.몰입은 미분(differential)이 주입식인 매끄러운 지도입니다.매립은 이미지와 동형(따라서 미분형)인 몰입입니다.

매니폴드가 일부 N에 대해 R $(\$^{$N})$에 삽입될 수 있다는 증거는 상당히 쉽고 여기에서 쉽게 제시될 수 있다.다양체는^{[citation needed]} 유한한${\displaystyle }$아틀라스 { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ : ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaystyle 1}$≤ ${\displaystyle i}${\ r$$}({$displaystyle$\{\$varphi _{$i}):$U_{i}\to \mathbb {R}^{n}\mid$ 1$\leq$i\$leq$ r$\}.$${\displaystyle i_{}}$i { $displaystyle \leq$ r \$$}. Sup${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle i_{}}$i )${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$i \ $display$ \$operatorname${ $Supp }$ ( \ ${\displaystyle {display}_{}}$ $da$_$$$i$} )${\displaystyle }${ { { ${\displaystyle {}_{}}$$$ $and$ { i } { i } { su } { i } } { su _ su$$$$ } } } } and { { { { { { { { {unity) 맵을 고려합니다.

${\displaystyle f=(\displaystyle _{1}\varphi _{1}\displayda _{1},\displayda _{r}):M\to \mathbb {R}^{(k+1)r}$

f$(디스플레이$ 스타일 $f)$가 주입식 몰입임을 $쉽게{\displaystyle }$ 알 수 있습니다.내장물이 아닐 수도 있습니다.이를 수정하기 위해 다음을 사용합니다.

$\ displaystystyle(f,g):M\to \mathbb {R}^{(k+1)r+1}$

$여기$서 g$\displaystyle$g는$$ 매끄러운 적절한 맵입니다.매끄러운 적절한 지도의 존재는 통일성의 분할의 결과이다.몰입의 경우 나머지 증거는 [1]을 참조하십시오.$◻$

내쉬의 임베딩 정리에 따르면 M$(\displaystyle$ M$)$이 리만 메트릭을 갖춘 $경우{\displaystyle }$ 임베딩은 ${\displaystyle \mathrm{2k}}$(\$displaystyle$ 2k$)$의 비용으로 등각도로 간주할 수 있습니다. 이에 대해서는 이 T를 참조하십시오. 타오의 블로그.

튜브형 근방과 횡단성

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기술적으로 중요한 결과는 다음과 같습니다.

이는 $매니폴드{\displaystyle }$ M$({$$displaystyle$$$M$\})$에 Riemannian 메트릭을 적용함으로써 입증할 수 있습니다. 실제로 메트릭을 선택하면 표준 $번들{\displaystyle {}_{}}$ i { $displaystyle$ \$nu$_ ${$i$$$\}$가$TN$의 보완 번들이 됩니다. 즉, ${\displaystyle T}$ $(\$})은$$의 $직접{\displaystyle }$ 합입니다.${\displaystyle n_{}}$ N$$\ $displaystyle$\$nu$_ { $N$} then,,,, 、 ${\displaystyle U\to }$ \ $displaystyle \$$exp$ :$일반$ 번들 ${\displaystyle n_{}}$N$$\ $displaystyle$ N$$$$\ $displaystyle$ U$$\$$displaystyle M \$$$displaystyle$$N$$$\ $displaystyle$ V$$$some$ hood N \ displaystyle V some$$$$some some some some some some some $u{\displaystyle }$ u u u u$$u u u U \ $displaystyle$ V \ displaystyle V$$someiveiveiveiveive here here here here here 。여기서 지수맵은 삽입은 삽입은 삽입이 아닙니다만 가능합니다.(따라서 미분형) U$({displaystyle$U})$$를 축소합니다(현재는 [2] 참조).

다지관 및 분포 밀도에서의 통합

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다지관 통합의 주제에 대한 출발점은 다지관에 함수를 통합하는 불변의 방법이 없다는 것이다.유한 차원 실벡터 공간에서의 함수 통합이란 무엇인가?라고 묻는다면, 이것은 명백할 것이다.(반대로, 다양체는 정의상 미분 가능한 구조를 가지고 있기 때문에 미분하는 불변의 방법이 있다.)통합 이론을 매니폴드에 도입하는 방법에는 다음과 같은 몇 가지가 있습니다.

• 차등 형식을 통합합니다.
• 어느 정도와 비교하여 통합을 실시합니다.
• 매니폴드에 리만 메트릭을 장착하고 해당 메트릭에 대해 통합을 수행합니다.

예를 들어 다지관이 유클리드 ${\displaystyle {}^{}}$ R n$$\$displaystyle \mathbb {R}$^{$n$에 포함되어 있는 경우, 주변 유클리드 공간으로부터 르베그 측정 제한치를 획득하고 두 번째 접근법이 작동합니다.첫 번째 접근법은 많은 상황에서 괜찮지만 다지관의 방향이 필요하다(그리고 병리학적이지 않은 방향성이 없는 다지관이 있다).세 번째 접근방식은 일반화되어 밀도의 개념을 낳습니다.

일반화

무한 차원 표준 공간에 대한 확장

미분 가능성과 같은 개념은 규범화된 공간까지 확장됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 표면의 미분 지오메트리
• 섬유에 따른 통합
• 루신의 정리
• 다지관상의 밀도

메모들

인용문

레퍼런스

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• Edwards, Charles Henry (1994) [1973], Advanced Calculus of Several Variables, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-68336-2
• Folland, Gerald, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.)
• Cartan, Henri (1971), Calcul Differentiel (in French), Hermann, ISBN 9780395120330
• Hirsch, Morris (1994), Differential Topology (2nd ed.), Springer-Verlag
• Hörmander, Lars (2015), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Classics in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN 9783642614972
• Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (1968), Advanced Calculus, Addison-Wesley (1990년 개정판, Jones and Bartlett; 2014년 전재, World Scientific) [이 텍스트는 특히 밀도에 대해 설명합니다]
• O'Neill, Barrett (2006), Elementary Differential Geometry (revised 2nd ed.), Amsterdam: Elsevier/Academic Press, ISBN 0-12-088735-5
• Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), New York: McGraw Hill, pp. 204–299, ISBN 978-0-07-054235-8
• Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.