역함수 규칙

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에 관한 일련의 기사의 일부
미적분학.
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차동 정의들 도함수(일반화) 차동 극소수의 함수의 총 개념 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련 요금 테일러의 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 로피탈의 법칙 역 라이프니츠 장군 파디 브루노의 공식 레이놀즈.
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벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 녹색의 스토크스 발산 일반화 스토크스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 편도함수 다중 적분 라인 적분 표면적분 볼륨 적분 야코비안 헤시안
고급. 유클리드 공간의 미적분 분배의 한계
특화된 프랙셔널 말리아빈 확률적 바리에이션
여러가지 종류의 계산 전 역사 용어집 토픽 리스트 인테그레이션 분석.
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미적분학에서 역함수규칙은 f의 도함수 f의 도함수 f의 역함수 f의 도함수를 f의 도함수로 표현하는 공식이다.보다 정확하게는$$f(${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="f"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.279ex;\; height:2.509ex;">})}$ ${\displaystyle =}$($x$)$$= y(\$displaystyle$f$($$x$)$$$= y$인 경우에만${\displaystyle }$f$$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}(y}$) $=$ ${\displaystyle x}$(x$)$로 표시되는 경우 $f$의 역함수 규칙은 Lagrange 표기법에 있습니다.

${\displaystyle {[{}^{}}^{}}$ - ${\displaystyle {1^{}}^{}}$]${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle a}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f{\prime }^{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{{}^{}f{}^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}{1}^{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{a}{}}$ $){$ $displaystyle \left$[$f^$ { - $1$} \ $right$]' ( a ) =$specfrac${1} {$f'$ \$left$ ($a$) \ right }$\}$

이 공식은 f${$$displaystyle$ f$}$가 간격 I에서 연속적이고 주입적이며 ${$$style$ f$}$는$(a$${\displaystyle )}$ ($iable{\displaystyle {}^{}}$ I {\$displaystyle$ \$in$I$\})$에서 미분 가능하며 f-$($-${\displaystyle {}^{}{\mathrm{I}}^{}}$${\$$displaystyle$ \$in$ I}),$a)$는 0$(a$ )에서 미분 가능합니다.같은 공식은 다음 식과 동등합니다.

${\displaystyle {D}\left[f^{-1}\right]=param frac {1}{{\mathcal {D}}f}\circ \left(f^{-1}\right)}}},$

$여기$서 D$(\$ {D$})$는 (함수 공간의) 단항 미분 연산자를 나타내고,$${\(\$displaystyle\circ)$는 함수 구성을 나타냅니다.

기하학적으로 함수와 역함수는 y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ y$=x$ $행$에 반사 그래프를 가진다.이 반사 연산은 모든 선의 구배를 ^[1]역수로 변환합니다.

f${displaystyle$ f$}$가 ${displaystyle$x} 근방에 역수를 $가지며{\displaystyle }$ 그 점에서의 도함수가 0이 아니라고 가정할 때, 그 역수는$$x{$displaystyle$x$$}에서 미분 가능하며 위의 공식에서 주어진 도함수를 갖는 것이 보증된다.

역함수 규칙은 라이프니츠의 표기법으로도 표현될 수 있다.그 표기법에서 알 수 있듯이

$\displaystyle\frac{dy},\cdot,{\frac{dy}=1.}$

이 관계는 x의 $관점$에서${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$( ${\displaystyle y}$ ) $=$ x {\$displaystyle f^{-1$}($y)=$x$$} 등식을 미분하고 연쇄 규칙을 적용하여 다음과 같이 구한다.

${\displaystyle {frac} {dy},\cdot},{\frac {frac}=frac {fac} {fac} {fac}}$

x에 대한 x의 도함수가 1이라는 점을 고려하면

파생

$f{\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$를 반전(생략적) 함수$,$ x {\$displaystyle$ x$}$를$$f {\$displaystyle$f$\}$의 $영역$에$,$ y {\$displaystyle$ y$}$를$$f {\$displaystyle$ f$\}$의 $코드{\displaystyle }$ 도메인에 $두겠습니다{\displaystyle }$.

이는$$y가 $({$$$f$^{-1$ $도메인$에 있고 x$({displaystyle$x})가$({$ f$^{-1$의 코드 도메인에 $있음$을 의미합니다.

(sidenote: f는 bijectionive 함수 ${displaystyle$f$}$의 코드 $도메인{\displaystyle }$ f{$displaystyle$ f$\}$에 있으므로 y{$displaystyle$ y$}$가 함수 ${displaystyle$ f$}$의 범위 내에 있음을 $의미$합니다.)

$f{\displaystyle }$$${\$displaystyle$ f$}$는 가역함수이므로 f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle y}$) $= y$ { \ $displaystyle f$ ( f ^ { - 1 ( y ) $=$ y$$ }${\displaystyle {}^{}}및{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$( x ) $=$ ${\displaystyle x}$ { $displaystyle$ f^ { - 1 ($f$ ( x )$）$$=x}$

도출에는 어떤 방정식을 사용해야 합니까?엄밀히 말하면$,$ $f$와$f-1$은 반전이기 $때문$에 어느쪽이든 동작합니다만, f$\displaystyle$$f$와$\$ f$^{-1$의 $인스턴스$를 교환하는 조작을 신중하게 실시할 수 있기 때문에, 혼동을 일으킬 가능성이 있습니다.그렇다면, 어떤 방정식을 사용해야 할까요?

두 방정식을 모두 살펴보면 유용한 일을 하기 위해서는 선택된 방정식의 양쪽을 미분해야 할 것 같습니다.중첩된 함수가 있기 때문에 체인 규칙도 사용됩니다.우리는 다른 함수에 관한 것이 아니라 역함수($y\style$ y$)$에 대한 입력에 관한 역함수의 도함수를 구하는 최종식을 원한다.따라서, 연쇄 법칙이 어떻게 작용하는지 생각해 보면, 우리는 "내부"의 도함수에 곱해야 한다는 것을 알고 있습니다.첫 번째 방정식${\displaystyle ({}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$f -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle =}$ ( \ $displaystyle$$$f ( $f ^$ { - 1 ) $= y$ $$) )를 사용하면, 「f${\displaystyle {」}^{}}$함수는${\displaystyle {}^{}}$f -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ($y )$이 $됩니다{\displaystyle {}^{}}$.사슬 규칙에 따르면, ($f$- 1 )${\displaystyle {}^{}{\prime \mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle }$y )$$（ \ $prime$ styleme ( $f$ - 1 ^ { 1$}$ } ）$$。그럼 시작합시다.

${\displaystyle\signed}&f(f^{-1)(y)&=y\{\text{}y&\&\frac {mathrm {d}{\mathrm {d} y}f(f^{-1}(y)에 대한 양변 구분&={\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}는 y}}y\\{\text{왼쪽에 있는 연쇄 법칙을 사용하여}}&&&\\&, \iff&{\dfrac{\mathrm{d}\left(f(f^{-1}(y))\right)}{\mathrm{d}\left(f^{-1}(y)\right)}}{\dfrac{\mathrm{d}\left(f^{-1}(y)\right)}{\mathrm{d}는 y}}&={\dfrac{\mathrm{d}는 y}{\mathrm{d}는 y}}\\&, \iff &,{\dfrac{\mathrm{d}f(f^{-1}(y))}{\mathrm {d} f^{-1}(y)}{\dfrac {mathrm {d} f^{-1}(y)}{\mathrm {d} y}}&=sqdfrac {d} y}{\&\mathrm {d} y}\f^{\prime}\left(y)&\\&\frame&(f^{-1}^{\prime}(y)&=frac {1}{\prime}\left(f^{-1}(y)\right)}}\end{aligned}}}$

좋습니다! 변수로서$$\$displaystyle$a를$$ $사용$하는 대신 $(\$ f$^{-1$의 입력으로$\displaystyle$a를$$ $사용$하여 이 방정식을 다시 ^[2]쓰면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle (f^{-1)^{\prime }(a)=preak {1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(a)\right)}}}$

예

• ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =}$ $($양수 $x$의 경우$)$는 ${\displaystyle 역x\sqrt{}}$ $=$ y({$displaystyle$ x$=sqrt$ {y$\})$입니다.

${\displaystyle {\frac {dy}}=2xfracmbox{}{\mbox{}}{\mbox{}};{\mbox{}}{\mbox{}}{\mbox{}}{\mbox{}}}{\frac{dy}}}}}{\frac{\frac{\frac{\frac}}}}}{\frac{\frac}}}}{{frcrcrcrc}}}}}}}}}}}}}{\frac{\frac{$

$\displaystyle\frac {dy},\cdot,{\frac {dy}=2x\cdot\frac {1}{2x}=1.}$

$그러나{\displaystyle }$ x ${\displaystyle =}$({$displaystyle x=$0$\})$에는 문제가 있습니다. 즉, 제곱근 함수의 그래프가 제곱근 함수의 수평 접선에 해당하는 수직이 됩니다.

• ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle e^{}}$ x$${\$displaystyle$ y$=e^{x}($실제 x의 경우)는 $역x{\displaystyle }$ $= ln$ y$${\$displaystyle$x=\$ln {y$$\}($$y$의 경우)입니다.

${\displaystyle {\mbox{}=e^{x}}{\mbox{}}{\mbox{}}}{\mbox{}}{\mbox{}}}{\mbox{}}{\mbox{}}}}{\mbox{}}}}{\mbox{\mbox{}}}}{\mbox{\mbox{\frac{}}}}}}}}}}}}{\frac{{\frac{\frac{\frac{{\frac{\}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {dy},\cdot,{\frac {dy}=e^{x}\cdot {frac {1}{y}=cdot {e^{x}=1}$

기타 속성

• 이 관계를 통합함으로써

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {fac {1}{f'({f^{-1}})(x)}, {dx}+C.}$

이는 적분이 존재하는 경우에만 유용합니다.특히 f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ f' ($x$ )는 통합$$ 범위 전체에서 0이 아니어야 $합니다{\displaystyle {}^{}}$.

따라서 연속 도함수를 갖는 함수는 도함수가 0이 아닌 모든 점의 근방에 역수를 갖는다.파생상품이 연속적이지 않다면 이것이 사실일 필요는 없다.

• 또 다른 매우 흥미롭고 유용한 속성은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \int f^{-1}(x), {dx}=param^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C}$

$여기$서$$F {\$displaystyle$ F$}$는 f$${\$displaystyle$ f$\}$의 반파생수를 나타냅니다.

• f(x)의 도함수의 역도도 관심사인데, 이는 Legendre 변환의 볼록성을 보여주는 데 사용되기 때문이다.

z ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ z$=f'$ (${\displaystyle x)\mathrm{0<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; z=f\text{'}(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6f64ceaefe74ddd062ca0ec6a24823f4e9f47673"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.331ex;\; height:3.009ex;">}}$0 {$displaystyle$ f$`(x)\neq$ 0$\}$을 가정하면 $다음$과 같습니다.

이는 이전 $표기법{\displaystyle }$ y ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle x}$ $){displaystyle$ y$=f(x$를 사용하여 표시할 수 있습니다.그 후 다음과 같이 됩니다.

그 때문에,

${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}=param frac {dy}{dz}}{\frac {fac}{dy}}}=param frac {f'(x)'}{f'(x)'=frac {f}{fac}{f}{f}{f}$

유도까지, 우리는 어떠한 정수 n1{\displaystyle n\geq 1}≥에, z)f(n)()){\displaystyle z=f^{(n)}())}, f())의 n번째 파생 상품, y=f(n− 1)()){\displaystyle y=f^{(n-1)}())}과, 0<>에 f(나는)())≠ 0을 가정해;나는 ≤ n+1{\displaystyle f^{(나는)}(x. 이 결과 일반화할 수 있)\n$eq$ 0$text$ text { $for$}}0$<i\leq$ n$+1$}$:$

${{displaystyle {d(f^{(n)}^{-1}(z)}{dz}}=black {1}{f^{(n+1)}(x)}}$

상위 파생상품

위에 제시된 연쇄 규칙은 $항등식{\displaystyle {}^{}}$f${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle =}$ $x$ {\displaystyle $f^{-1$}($f(x))$를 미분하여 구한다.x에 대한 $=x$$}.$더 높은 파생상품에 대해서도 동일한 과정을 계속할 수 있다.x에 대해 두 번 아이덴티티를 구별하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle {frac {d^{2}y},\cdot},{\frac {dy}}+{\frac {d}},\cdot},\cdot,\frac {dy},\right},\frac\frac {d},0,\frac {d}$

연쇄규칙에 의해 더욱 단순화된다.

${\displaystyle {frac {d^{2}y},\cdot {\frac {dy}}+{\frac {dy2}x},\cdot },\frac {dy},\frac {dy}},\frac {dy},\frac {dy}=0.}$

첫 번째 도함수를 치환하면, 앞에서 얻은 동일성을 사용하여 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {d^{2}y}=-{\frac {d^2}x}{dy^{2}},\cdot,\left\frac {dy}{dy}}}\right}^3}.$

마찬가지로 세 번째 파생상품의 경우:

${\displaystyle {d^{3}y}=-{\frac {d^3}x}{dy^{3}},\cdot,\cdot,\left\frac {dy}{right}^4}-3cdfrac {d^{2}{dy^{2}},\frac {d},{d}, {d}}, {frac}}, {frac},$

2차 도함수에 대한 공식을 사용해서

$({displaystyle {d^{3}y}=-{\frac {d^3}x}{dy^{3}}},\cdot,\cdot,\left\frac {dy}{bright}^4}+3\frac {dy}{dy2}{cd2}\cd2}\cdot},\cdot},\cdot},\cdot},\{{{{{{{\cd})$

이 공식들은 파디 브루노의 공식에 의해 일반화된다.

이러한 공식은 라그랑주 표기법을 사용하여 작성할 수도 있습니다.f와 g가 역수일 경우

${\displaystyle g`(x)=param frac {-f`(g(x))}{[f'(g(x)]^{3}}}}}$

예

• ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}${\$displaystyle$ y$=e^{$$x$$\}\}$는 $역x{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ $ln y$입니다. 역함수의 2차 도함수에 대한 공식을 사용하여

${\displaystyle {\frac {dy}{dy}}=flac {d^{2}y}=yflacmbox{}}{\mbox{}}{\mbox{}}{\mbox{}};{\mbox{}}}}{\mbox{\frbox{}}}}{\frac{\frac{\frac}}}}}}}}}}{frac{\frac{\frac{{\frac}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

하도록

${\displaystyle \frac{{d\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ d ${\displaystyle \frac{{y\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \cdot \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle y{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =0}$ ; ${\displaystyle \frac{{d\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ {$display$ \ $frac${ $d^$ { $d^$ { $2 }$ , \ $cdot$ , y$}$ + y$$=$0 scdot$mbox {$}$} { \ $mbox${ \ $mbox {$} } } $}$ }

직접 계산과 일치합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 미적분학.
• 역함수
• 연쇄 규칙
• 역함수 정리
• 암묵적 함수 정리
• 역함수의 적분

레퍼런스

• Marsden, Jerrold E.; Weinstein, Alan (1981). "Chapter 8: Inverse Functions and the Chain Rule". Calculus unlimited (PDF). Menlo Park, Calif.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-6932-5.