호 길이

수리를 하면 곡선은 곡선의 호 길이와 같은 길이의 직선 세그먼트를 제공한다.

매개변수 θ의 함수로서 로그 나선형의 호 길이 s.

호 길이는 곡선의 한 단면을 따라 두 점 사이의 거리를 말한다.

불규칙한 호 세그먼트의 길이를 결정하는 것을 곡선의 정류라고도 한다. 극미량의 미적분의 출현은 경우에 따라 폐쇄형 해결책을 제공하는 일반적인 공식으로 이어졌다.

일반적 접근법

다중 선형 세그먼트에 의한 근사치

평면의 곡선은 선 세그먼트를 사용하여 곡선의 유한한 점 수를 연결하여 다각형 경로를 생성함으로써 근사치를 구할 수 있다. 각 선형 세그먼트의 길이를 계산하는 것이 간단하기 때문에(예를 들어 유클리드 공간의 피타고라스 정리를 사용하여), 각 선형 세그먼트의 길이를 합산하여 근사치의 총 길이를 찾을 수 있다. 근사치를 (누적) 화음 거리라고 한다.^[1]

곡선이 이미 다각형 경로가 아닌 경우 길이가 더 작은 세그먼트를 점진적으로 더 많이 사용하면 더 나은 근사치를 얻을 수 있다. 연속적인 근사치의 길이는 줄어들지 않고 무한정 증가할 수 있지만, 부드러운 곡선의 경우 세그먼트의 길이가 임의로 작아지기 때문에 유한한 한계가 있는 경향이 있다.

일부 곡선의 경우 다각형 근사치의 길이에 상한이 있는 $L$ 최소 숫자 $L$ $L$ 이(가) 있다. 이러한 곡선을 수정 가능하다고 하며 숫자 $L$ ${\displaystyle$ L $}$ 은 호 $L$ 길이로 정의된다.

부드러운 곡선에 대한 정의

$f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ : $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ [ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ , $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ → $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 주입식이고 연속적으로 다른 함수가 되도록 한다 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ . $f$ $f$ 에 의해 정의된 곡선의 길이는 세그먼트 수가 무한대에 근접함에 따라 $[a,b]$ [ $[a,b]$ , $[a,b]$ $[a,b]$ $[a,b]$ 의 정규 분할에 대한 선 세그먼트 길이의 합계의 한계로 정의할 수 있다 $f$ . 이 말은

{\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infit }\sum _{i=1}^{N}{{n}{\bigg }f(t_{i-1})-f(t_{i-1}}}{bigg }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

where $t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t$ for $i=0,1,\dotsc ,N.$ This definition is equivalent to the standard definition of arc length as an integral:

\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg  }f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg  }=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left {\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right \Delta t=\int _{a}^{b}{\Big  }f'(t){\Big  }\ dt.

위의 지난 평등이 수행합니다 때문에:평균 값 theorem에 의해(나는), f(t나는)− f(나는 1− t)Δ t=f′(나는 나는(나는 나는 1−지 −지 1+θ − t)),{\displaystyle{\frac{f(t_{나는})-f(t_{i-1})}{\Delta지}}=f'(t_{i-1}+\theta_{나는}(t_{나는}-t_{i-1})),}이 0<, θ 나는 < 1{\displaystyle 사실이다. 0<, \the강타 _{나는}< 1}[의심스러운 –을 논의하].말하므로 그것은 한결같이 연속적입니다, 그와 같은 긍정적인 진짜 기능 δ 긍정적인 진짜 ϵ의(ϵ){\displaystyle \delta(\epsilon)}{\displaystyle \epsilon}가Δ t<>δ(ϵ){\displaystyle \Delta t<, \delta(\epsilon)}i.은 f′{\displaystyle \left f'\right}의 끊임 없는 기능(ii)mplies $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ ( $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ - $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ + $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ i $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ ( $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ - $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ - $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ ) $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ - $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ ( $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ ) $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$ <. ${\displaystyle \left {\Big f'(t_{i-1}+\ta _{i}-t_{$ i-1}_ ${$ i-1}){ $i-1$ }\\\\\\\ $빅 }-{\Big }f'(t_{i}){\Big }\right <\epsilon .}}$ 이 말은 $\left|{\Big |}f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1})){\Big |}-{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\right|<\epsilon .$

\sum \sum _{i=1}^{N}\왼쪽 {\frac {f(t_{i}-f)(-f)({i-1}}}}{\Delta t-}}\right \Delta t-\sum _{i=1}^{{n}}{Big }}}\Delta}}}

$N>(b-a)/\delta (\epsilon ).$ > $N>(b-a)/\delta (\epsilon ).$ ( $N>(b-a)/\delta (\epsilon ).$ - $\epsilon (b-a)$ a $\epsilon (b-a)$ $N>(b-a)/\delta (\epsilon ).$ 에 대한 $\epsilon (b-a)$ \ $displaystyle \$ $N>(b-a)/\delta (\epsilon ).$ $(b-a$ $N>(b-a)/\delta (\epsilon ).$ 보다 작음 $[\displaystyle$ N $](b-a)/\delta (\epsilon$ ) $}$ 이는 $N>(b-a)/\delta (\epsilon ).$ 제한 $N\rightarrow \infty ,$ → $N\rightarrow \infty ,$ , ${\displaystyle N$ $\left|f'(t)\right|$ $rightarrow \infit ,}$ 에서 위의 $N\rightarrow \infty ,$ 왼쪽 항은 $\left|f'(t)\right|$ 항과 $\left|f'(t)\right|$ 것을 의미하며, 이 항은 $[a,b].$ , $[a,b].$ $[a,b].$ . ${\displaystyle$ $\left$ f $'($ $t)\$ $rimann의$ 적분일 뿐이다 $.$ $}}$ 이 호 $[a,b].$ 길이에 대한 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 는 $[a,b]$ [ $[a,b]$ $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ b $[a,b]$ ] → $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ n {\ $displaystyle$ $f:[$ $a,b]\$ $오른쪽$ 화살표 \ $mathb{R$ }{n $}}}}$ 의 길이가 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ $[a,b]$ 유한함을 $[a,b]$ 보여준다 $.$ 즉, 곡선은 언제나 바로 잡을 수 있다.

부드러운 곡선의 호 길이의 정의는 파생상품의 규범의 적분으로 정의된다.

L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg }f(t_{i}-f(t_{i-1}){\bigg }}}}}

여기서 supremum이 가능한 $[a,b].$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ a $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ = t $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ < $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ < t - $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ < t = $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ = $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ ${\displaystyle a=t_{0}<\dots <t_$ $[a,b].$ $N-1}<t_{N$ :1}}<t_ $[a,b].$ N $}=b$ }>의 $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ [ $a,b]$ 를 인수한다. $}$ $이$ 정의는 $[a,b].$ ^[2] f $f$ 이(가) 단지 연속적인 것일 $f$ 뿐 다를 수 없는 경우에도 유효하다.

곡선은 무한히 다양한 방법으로 매개변수를 나타낼 수 있다. $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ : $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ [ $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ , $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ → $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ [ c $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ , $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ 을(를) 연속적으로 다른 편견으로 만들자 $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ . Then $g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}$ is another continuously differentiable parameterization of the curve originally defined by $f.$ The arc length of the curve is the same regardless of the parameterization used to define the curve:

{\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big  }f'(t){\Big  }\ dt=\int _{a}^{b}{\Big  }g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big  }\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big  }g'(\varphi (t)){\Big  }\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case of }}\varphi {\text{ being non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big  }g'(u){\Big  }\ du\quad {\text{using integration by substitution}\\&=L(g)\end{정렬}}

통합하여 호 길이 찾기

쿼터 서클

$만약$ $\mathbb {R} ^{2}$ 2 $\mathbb {R} ^{2}$ {\ $displaystyle \mathb {R} ^{$ 2}}의 평면 $y=f(x),$ 이 $y=f(x),$ y = $y=f(x),$ ( $y=f(x),$ ) , $y=f(x),$ {\ $displaystyle$ y= $f(x)$ 등식으로 정의된다면 $\mathbb {R} ^{2}$ , $x=t$ 서 $y=f(x),$ f ${\displaystyle$ $f$ $}$ 는 $f$ $x=t$ $x=t$ = t ${\displaysty$ x $=t},$ $y=f(t).$ = $y=f(t).$ = $y=f(t).$ . ${\displaysty$ y $y=f(t).$ 인 파라메트릭 방정식의 특별한 경우일 뿐이다. $f$ 호 길이는 다음으로 주어진다.

s=\int _{a}^{b}{\sqrt{1+\왼쪽 \frac {dy}{dx}\오른쪽)^{2}\,}dx.

호 길이에 대한 닫힌 형태 해법이 있는 곡선에는 강직선, 원, 사이클로이드, 로그 나선형, 포물선, 반원형 포물선 및 직선이 포함된다. 타원호 및 쌍곡선의 호 길이에 대한 폐쇄형 폼 용액이 부족하여 타원형 적분법이 개발되었다.

수치적 통합

단순 곡선까지 포함한 대부분의 경우 호 길이에 대한 폐쇄형 형태 솔루션이 없으며 수치 통합이 필요하다. 호 길이 적분의 수치적 통합은 대개 매우 효율적이다. 예를 들어 호 길이 적분을 숫자로 통합하여 단위 원의 1/4 길이를 찾는 문제를 고려하십시오. The upper half of the unit circle can be parameterized as $y={\sqrt {1-x^{2}}}.$ The interval $x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]$ corresponds to a quarter of the circle. Since $dy/dx=-x/{\sqrt {1-x^{2}}}$ and $1+(dy/dx)^{2}=1/\left(1-x^{2}\right),$ the length of a quarter of the unit circle is

\int_{-{\sqrt{2}}/2}}^{{\sqrt{2}}/2}}{\sqrt{1}{1-x^{2}}\\,dx.

이 적분 1.570796326808177에 대한 15 포인트 가우스-크론로드 규칙 추정치는 실제 길이와 다르다.

{\big [}\arcsin x{\big ]}_{-{\sqrt{2}}/2}}^{\sqrt{2}}/2}}={\frac {\pi }2}}}

1.3×10으로⁻¹¹ 16점 가우스 4각 규칙 추정치 1.570796326794727은 실제 길이와 1.7×10으로⁻¹³ 차이가 난다. 이는 16개의 통합 및 평가만으로 거의 기계 정밀도에 대한 이러한 통합 평가가 가능하다는 것을 의미한다.

표면의 곡선

$\mathbf {x} (u,v)$ ( $\mathbf {x} (u,v)$ , v $\mathbf {x} (u,v)$ ) $\mathbf {x}(u,v)$ 을(를) 표면 매핑으로 $\mathbf {x} (u,v)$ 하고 $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ ( t $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ ) $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ = $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ ( $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ ) $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ , v $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ ( $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ ) $\mathbf {C}(t)=(u(t),v)$ 을(t $)$ 로 이 표면의 곡선으로 한다. 호 길이 적분 $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ ) $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ ( t $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ ) . ${\displaystyle \left \$ left $(\mathbf$ { $x} \circircle \mathbf {C} \right')\right .}$ 파생물을 평가하려면 $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ 벡터 필드에 대한 체인 규칙이 필요하다.

D(\mathbf {x} \circle \mathbf {C})=(\mathbf {x} _{u}_{v}{v}}{binom {u'}}}{v'}}={u}u'+\mathbf {x} _{v}v}_{v}

The squared norm of this vector is $\left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12$ $u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$ (where $g_{ij}$ is the first fundamental form coefficient), so the integrand of the arc length integral can be written as ${\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}$ (where ${\dis$ $Playstyle u^{1}=u}$ 및 $u^{1}=u$ $u^{2}=v$ $u^{2}=v$ = v $u^{2}=v$ $u^{2}=v$ .

기타 좌표계

$\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ ( $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ ) $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ = $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ ( $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ ( $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ ) , $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ ( $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ ) $\mathbf {C}(t)=(r(t),\teta(t)$ 은 극좌표로 표현된 곡선이 되도록 $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ 한다. 극좌표에서 직사각좌표로 변환하는 매핑은

\mathbf {x}(r,\theta )=(r\cos \cos \theta, r\sin \theta).

The integrand of the arc length integral is $\left \left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right .$ The chain rule for vector fields shows that ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf$ ${x} _{\theta }\theta '.}$ 따라서 $D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.$ 호 길이의 제곱합은

\left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.

극좌표로 표현된 곡선의 경우 호 길이는

\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .

Now let $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))$ be a curve expressed in spherical coordinates where $\theta$ is the polar angle measured from the positive $z$ -axis and $\phi$ is the azimuthal angle. 구형 좌표에서 직사각형 좌표로 변환하는 매핑은

\mathbf {x}(r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \coses \phi,r\cos \theta).

Using the chain rule again shows that $D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.$ All dot products $\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}$ w여기서 $i$ $i$ 과 $i$ $j$ $j$ 은 $j$ (는) 다르므로 이 벡터의 제곱된 표준은

\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.

따라서 구형 좌표로 표현된 곡선의 경우 호 길이는

\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.

매우 유사한 계산은 원통형 좌표로 표현된 곡선의 호 길이가

\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.

단순 사례

원호

길이(또는 크기)에 대한 라틴어가 주걱이기 때문에 호 길이는 s로 표시된다.

다음 선에서 $r$ $r$ 은 원의 반지름을 나타내고 $r$ , $d$ {\ $displaystyle$ d}은 $d$ (는) $C$ 이고,C {\ $displaystyle$ C}은 $($ 는 $C$ ) 원호의 $s$ $\theta$ 이며, { $\theta$ {\ $displaystyle \ta}$ 은 $\theta$ 원호의 중심에서 호가 하위되는 각도이다. $r,$ $d,$ $C,$ ${\displaystyle r,d,C,},$ $s$ $s$ 의 거리는 동일한 단위로 표현된다 $s$ .

$C=2\pi r,$ $C=\pi d.$ $C=2\pi r,$ = $C=2\pi r,$ $C=2\pi r,$ $C=2\pi r,$ , ${\displaystyle C=2\pi r,},$ C $C=2\pi r,$ $C=\pi d.$ = $C=\pi d.$ $C=\pi d.$ . ${\displaystyle$ C $=\pi$ d $.}$ 와 같은 값. $C=\pi d.$ 이 방정식은 $\pi .$ . $\pi .$ 의 정의 입니다.
호가 반원일 경우 $s=\pi r.$ = $s=\pi r.$ r $s=\pi r.$ . ${\displaystyle$ s $=\pi$ r $.}$
임의 원형 호의 경우:
- $\theta$ $\theta$ 이 $\theta$ (가) 라디안인 $s=r\theta .$ s $s=r\theta .$ = r $s=r\theta .$ . $s=r\theta.$ 이것은 $s=r\theta .$ 라디안의 정의다.
- If $\theta$ is in degrees, then $s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},$ which is the same as ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.$ $}$
- If $\theta$ is in grads (100 grads, or grades, or gradians are one right-angle), then $s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},$ which is the same as ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.$ $}$
- $\theta$ 이 차례대로(한 바퀴는 완전한 회전, 360° 또는 400 그라데이션, $2\pi$ 2 $2\pi$ $2\pi$ 라디안 $2\pi$ )인 $\theta$ 경우 $s=C\theta /1{\text{ turn}}$ = $s=C\theta /1{\text{ turn}}$ $s=C\theta /1{\text{ turn}}$ / $s=C\theta /1{\text{ turn}}$ $s=C\theta /1{\text{ turn}}$ ${\$

지구 위 위대한 원의 호

두 개의 길이 단위인 해리와 미터(또는 킬로미터)는 원래 지구 표면의 원호 길이가 단순히 숫자적으로 중심에서 하위 각도와 관련되도록 정의되었다. 단순 방정식 $s=\theta$ = $s=\theta$ $s=\theta$ 은(는) 다음과 같은 경우에 적용된다 $s=\theta$ .

$s$ $s$ 이 $s$ (가) 항해 마일이고 $\theta$ $\theta$ 이 $\theta$ (가) 아크분인 경우(½60도) 또는
$s$ $s$ 이 $s$ (가) 킬로미터이고, $\theta$ $\theta$ 이 $\theta$ (가) 센티그라드(/100 등급)인 경우.

거리 단위의 길이는 지구의 둘레를 4만 킬로미터 또는 21600해리 마일로 만들기 위해 선택되었다. 이 숫자는 한 바퀴를 완전히 돌 때 해당하는 각도 단위의 수입니다.

미터와 해도의 그러한 정의는 보다 정확한 정의로 대체되었지만, 원래의 정의는 여전히 개념적 목적과 일부 계산에 충분히 정확하다. 예를 들어, 그들은 1킬로미터가 정확히 0.54해리라는 것을 암시한다. 공식 현대 정의를 사용하면 1해리는 정확히 1.852km로 ^[3]1km는 약 0.53995680해리임을 의미한다.^[4] 이 현대적 비율은 원래 정의에서 10,000분의 1 미만으로 계산된 것과 다르다.

포물선 원호의 길이

역사적 방법

고대

수학의 많은 역사에서, 가장 위대한 사상가들 조차도 불규칙한 호의 길이를 계산하는 것은 불가능하다고 생각했다. 아르키메데스는 그의 "탈진 방법"으로 곡선 아래 지역을 찾는 방법을 개척했지만, 직선처럼 곡선이 일정한 길이를 갖는 것이 가능하다고 믿는 사람은 거의 없었다. 이 분야에서는 흔히 미적분학에서와 같이 근사치로 제1땅이 깨졌다. 사람들은 곡선에 다각형을 새기고 옆면의 길이를 계산하여 길이를 어느 정도 정확하게 측정하기 시작했다. 더 많은 세그먼트를 사용하고, 각 세그먼트의 길이를 줄임으로써, 그들은 보다 정확한 근사치를 얻을 수 있었다. 특히 여러 면의 다각형을 원형으로 새김으로써 π의 대략적인 값을 찾을 수 있었다.^[5]^[6]

17세기

17세기에는 탈진법이 여러 초월곡선의 기하학적 방법에 의해 정정을 이끌어냈다: 1645년 에반젤리스타 토리첼리의 로그 나선(일부 출처에서는 1650년대 존 월리스라고 한다), 1658년 크리스토퍼 렌의 사이클로이드, 1691년 고트프리드 라이프니츠의 카타레니제.

1659년 월리스는 윌리엄 닐이 비종교 대수곡선인 세미큐브 파라볼라의 첫 번째 정정을 발견했다고 인정했다.^[7] 첨부된 수치는 145페이지에 나온다. 91페이지에 윌리암 닐레는 굴리엘무스 넬리우스라고 언급되어 있다.

적분형식

미적분학의 완전한 공식적 발전 이전에, 호 길이에 대한 현대적 적분 형태의 기초는 헨드릭 판 후라엣과 피에르 드 페르마트에 의해 독자적으로 발견되었다.

1659년 판 후라에는 호 길이를 결정하는 문제가 곡선 아래 면적(즉 적분)을 결정하는 문제로 변형될 수 있다는 것을 보여주는 건축물을 발표하였다. 그의 방법의 예로, 그는 포물선 아래 영역을 찾아야 하는 반원형 포물선의 호 길이를 결정했다.^[8] 1660년 페르마트는 그의 De linearum curvarum cum lineis copulis compoundation proposalis compositiona (직선과 비교한 곡선에 대한 지질학 논문)에서 같은 결과를 담은 보다 일반적인 이론을 발표했다.^[9]

페르마의 호 길이 결정법

그의 이전 작품에서 접선을 사용한 Fermat은 곡선을 사용했다.

y=x^{\frac {3}{2}}\,

x에 접선하는 사람의 경사가 기울어진 사람.

{3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}:

탄젠트 라인이 방정식을 가질 수 있도록

y={3 \over2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a)

다음으로 그는 a를 소량 증가시켜 + ε으로 세그먼트 AC를 A에서 D까지의 곡선 길이에 대해 비교적 양호한 근사치로 만들었다. 세그먼트 AC의 길이를 찾기 위해 그는 피타고라스 정리:

{\reasoned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\&}\&=\varepsilon ^{2}+{9 이상 \4}a\varepsilon ^{2}\\\&=\varepsilon ^{2}\좌측(1+{9 이상 \a\right)\end{aigned}}}}}}}}}}}}

해결되면 산출되는 것

AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.

길이의 근사치를 위해 페르마트는 일련의 짧은 세그먼트를 요약할 것이다.

길이가 무한인 곡선

코흐 커브.

xsin(1/x)의 그래프.

위에서 언급했듯이 일부 곡선은 수정할 수 없다. 즉, 다각형 근사치의 길이에 상한이 없으며, 길이는 임의로 크게 만들 수 있다. 비공식적으로 그러한 곡선은 길이가 무한하다고 한다. 모든 원호(단일점 원호 제외)의 길이가 무한인 연속 곡선이 있다. 그러한 곡선의 예는 코흐 곡선이다. 무한 길이의 곡선의 또 다른 예로는 0을 구분자 중 하나로 하는 오픈 세트에 대해 f(x) = x sin(1/x)로 정의한 함수의 그래프와 f(0) = 0. 때로는 하우스도르프 치수와 하우스도르프 치수가 그러한 곡선의 크기를 정량화하는 데 사용된다.

(의사-)리만 다양체로의 일반화

$M$ $M$ 을(를) (pseudo-)리만 다지관, $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ : $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ [ $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ 1 $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ ] → $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ {\ $displaystyle$ $\gamma :[0,$ $g$ ]\오른쪽 $화살표 M}$ 을 $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ (를) M ${\$ $displaystystyle g}$ 메트릭 $g$ 텐서 커브로 한다 $M$ .

$\gamma$ $\gamma$ 의 길이는 다음과 같이 정의된다 $\gamma$ .

\ell(\floss )=\int_{0}^1}{\\sqrt {\pm g\left(\pm g\pm '(t),\pm '(t)\right)\}\}dt,

여기서 $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ ( $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ ) $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ ( $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ t $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ ) M $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ 은 $t$ . ${\displaystytle t.}$ 에서 $\gamma$ $\gamma$ ${\displaysty \gamma }$ 의 접선 벡터다 $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ . 제곱근의 부호는 주어진 곡선에 대해 한 번 선택되어 제곱근이 실제 숫자인 것을 보장한다. 양수 부호는 공간 같은 곡선에 대해 선택되며, 사이비-리만 다지관에서는 시간 단위 곡선에 대해 음수 부호를 선택할 수 있다. 따라서 곡선의 길이는 음수가 아닌 실제 수입니다. 일반적으로 부분적으로는 공간적인 것과 부분적으로는 시간적인 것으로 간주되는 곡선은 없다.

상대성 이론에서 시간 곡선(세계선)의 호 길이는 세계선을 따라 경과한 적절한 시간이며, 공간적인 곡선(우주선)의 호 길이는 곡선을 따라 적절한 거리를 말한다.

참고 항목

참조

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원천

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외부 링크

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곡률의 역사
Weisstein, Eric W. "Arc Length". MathWorld.
2007년 울프램 시연 프로젝트인 에드 페그 주니어의 아크 길이.
미적분 연구 가이드 – 호 길이(수정)
유명한 곡선 지수 MacTutor의 수학 기록 보관소
Chad Pierson, Josh Fritz, and Angela Sharp의 Arc Length 근사치, 울프램 시연 프로젝트.
원곡선 실험의 길이 - 원곡선 길이 찾기의 수치적 해답을 나타낸다.

[1] Ahlberg; Nilson (1967). The Theory of Splines and Their Applications. Academic Press. p. 51. ISBN 9780080955452.

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show v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수 규칙 및 분화 로그 유도화 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 호 길이 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클라우린 대수 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니즈 최소값 소수점 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션의 방법 기계식 이론의 방법
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