위상 양자장 이론

게이지 이론과 수리 물리학에서 위상 양자장 이론(또는 위상장 이론, TQFT)은 위상 불변량을 계산하는 양자장 이론이다.

비록 TQFT가 물리학자에 의해 발명되었지만, 그것들은 수학적인 관심사이기도 하며, 특히 대수적 위상학의 매듭 이론과 4개의 매니폴드 이론, 대수적 기하학의 모듈리 공간 이론과 관련이 있다.도날드슨, 존스, 비튼, 그리고 콘체비치는 모두 위상장 이론과 관련된 수학적 연구로 필즈상을 수상했다.

응집 물질 물리학에서 위상 양자장 이론이란 부분 양자 홀 상태, 끈-망 응축 상태 및 기타 강하게 상관된 양자 액체 상태와 같은 위상 순서 상태의 낮은 에너지 유효 이론입니다.

역학에서 노이즈가 있든 없든 모든 연속 시간 동적 시스템은 위튼형 TQFT이며, 대응하는 위상 초대칭의 자발적 파괴 현상은 카오스, 난류, 1/f 및 균열 소음, 자체 조직화된 임계 등과 같은 잘 확립된 개념을 포함한다.

개요

위상장론에서, 상관 함수는 시공간 메트릭에 의존하지 않는다.이것은 이 이론이 시공간 형상의 변화에 민감하지 않다는 것을 의미한다. 시공간이 뒤틀리거나 수축해도 상관 함수는 변하지 않는다.결과적으로, 그것들은 위상 불변량이다.

위상장 이론은 입자 물리학에서 사용되는 평탄한 민코프스키 시공간에서는 그다지 흥미롭지 않다.민코프스키 공간은 한 점으로 축소될 수 있으므로, 민코프스키 공간에 적용된 TQFT는 사소한 위상 불변량을 낳는다.따라서 TQFT는 일반적으로 예를 들어 리만 표면과 같은 곡면 시공간에서 적용된다.알려진 위상장 이론의 대부분은 5차원 미만의 공간 시간으로 정의된다.몇 가지 고차원적인 이론이 존재하는 것 같지만 잘 이해되지^{[citation needed]} 않는다.

양자 중력은 (적절한 의미에서) 배경에 의존하지 않는 것으로 여겨지며, TQFT는 배경에 의존하지 않는 양자장 이론의 예를 제공한다.이로 인해 이 클래스의 모델에 대한 이론적 조사가 진행 중입니다.

(동굴:흔히 TQFT는 자유도가 매우 높다고 합니다.이것은 기본적인 속성이 아닙니다.물리학자와 수학자들이 연구하는 대부분의 예에서 그것은 사실이지만, 그럴 필요는 없다.위상 시그마 모델은 무한 차원 투영 공간을 대상으로 하며, 그러한 것을 정의할 수 있다면 무한히 많은 자유도를 가질 수 있습니다.)

특정 모델

알려진 위상장 이론은 두 가지 일반적인 분류로 나뉩니다.슈바르츠형 TQFT와 위튼형 TQFT. 위튼형 TQFT는 코호몰로지 필드 이론이라고도 불린다.(Schwarz 2000)을 참조해 주세요.

슈바르츠형 TQFT

슈바르츠형 TQFT에서 시스템의 상관함수 또는 분할함수는 메트릭 비의존 작용함수의 경로적분에 의해 계산된다.예를 들어 BF모델에서 시공간은 2차원 매니폴드 M이며, 관측가능성은 2형식 F, 보조 스칼라 B 및 그 도함수로 구성된다.액션(패스 적분을 결정함)은 다음과 같습니다.

S=\int\int_{M}BF

시공간 측정법은 이론 어디에도 나타나지 않기 때문에 이론에는 위상적으로 불변성이 명백하다.첫 번째 예는 1977년에 나타났으며 A에 기인한다. Schwarz의 액션 기능은 다음과 같습니다.

S=\int_{M}A\wedge dA.

또 다른 유명한 예는 매듭 불변성에 적용될 수 있는 체른-사이먼 이론이다.일반적으로 파티션 함수는 메트릭에 의존하지만 위의 예는 메트릭에 의존하지 않습니다.

비튼형 TQFT

위튼형 TQFT의 첫 번째 예는 1988년(위튼 1988a) 위튼의 논문에서 나타났다. 즉, 4차원의 위상 양-밀스 이론이다.동작 함수는 시공간 메트릭_αβ g를 포함하지만, 토폴로지적으로 뒤틀린 후 메트릭에 의존하지 않는 것으로 판명되었습니다.측정 기준으로부터 시스템의 응력 에너지 텐서^αβ T의 독립성은 BRST-연산자의 폐쇄 여부에 따라 달라진다.비튼의 예를 따라 끈 이론에서 많은 다른 예를 찾을 수 있다.

위튼 타입의 TQFT는 다음 조건이 충족되면 발생합니다.

TQFT의 $동작$ S $(\displaystyle$ S $)$ 는 $S$ 대칭성을 가지고 있습니다. 즉 $,$ $\delta$ { $displaystyle$ \ $displaystyle }$ 이 대칭 변환(예 $\delta$ : Lie 도함수)을 나타내면 $\delta S=0$ S $\delta S=0$ (\ $displaystyle \display$ S $=0)$ 이 $\delta S=0$ 유지됩니다.
대칭 변환은 정확합니다. 즉, $\delta ^{2}=0$ 2 $\delta ^{2}=0$ \ $displaystyle$ \ $displaystyle ^$ { 2 $\delta ^{2}=0$ = $0$ }
$i\in \{1,\dots ,n\}$ i $i\in \{1,\dots ,n\}$ { $i\in \{1,\dots ,n\}$ , $i\in \{1,\dots ,n\}$ $i\in \{1,\dots ,n\}$ } {\ $displaystyle$ $O_{1},\dots,O_{n}$ 에 대해 $\delta O_{i}=0$ $\delta O_{i}=0$ $i\in \{1,\dots ,n\}$ $=$ 0 {\ $displaystyle O_{i$ }= $0}$ 을 $\delta O_{i}=0$ 만족하는 기존 관측 $O_{1},\dots ,O_{n}$ $O_{1},\dots ,O_{n}$ $…,O_{n}$ 이 $O_{1},\dots ,O_{n}$ 있습니다 $i\in \{1,\dots ,n\}$
응력 에너지 방출(또는 유사한 물리량)은 임의의 $G^{\alpha \beta }$ $G^{\alpha \beta }$ $G^{\alpha \beta }$ 에 $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ $T$ $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ $=$ G $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ ${\$ T $^{\alpha \$ $displaystyle$ G $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ $^{\alpha$ \ $displa$ $G^{\alpha \beta }$ }}}의 $형태$ 이다 $G^{\alpha \beta }$

예(Linker 2015):operator 2 $\delta ^{2}=0$ $\delta ^{2}=0$ ( \ $displaystyle$ \ $displaystyle ^$ { 2 } = $0$ 을 만족하는 차분 $\delta$ {\ \ $displaystyle$ \ displaystyle ${displayB$ = \ $int$ \ { $M } B$ 가 대칭을 $갖는$ 경우 $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ ∫ $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ B $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ = $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ \ $displaystyle$ S \{m { M } $B$ \ $wed$ \ \ B \ $\delta B\wedge \delta B=0$ ifdelta if if if B $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ 。 $이후 ta$ B $=0$

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

S

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

∫

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

∧

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

） = ∫

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

B

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

+

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

M

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

B

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

B =

0

\

displaystyle

\

displaystyle

S = \

int

\

delta

( B \

wedge

\ B ) = \ delta \ delta \

delta

_ {

M

}

또한 다음과 같은 조건이 있습니다 $({{displaystyle\delta}$ 가 $\delta$ B $({displaystyleB})$ 에 $B$ 대해 독립적이며 함수 파생상품과 동일하게 동작하는 조건).

{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=-2\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B

\cape B+\int

\

wedge _{M}B\

wedge

\cape

B

^{\alpha \wedge }B=\int \cape

_

{M}{\frac

\

frac }{\cape B^{\int }}B\wedge B-int

\

ta

\m}

식 ${\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S$ ${\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S$ S $β$ S ${\displaystyle {\delta B^{\alpha$ \ $beta$ }} $S$ 는 ${\frac {\delta }{\delta B^{{\alpha \beta }}}}S$ $2$ $\delta G$ {\ $displaystyle \delta$ G $\delta G$ }에 $\delta G$ 비례하며, 또 다른 2형식G {\ $displaystyle$ G $}$ 이다.

이제 대응하는 Haar $\mu$ μ{ $i$ $}$ e $\left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ i $}$ $e$ ^{ $}$ 에 $\left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ $\mu$ $\left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ 관측치의 $\left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ 은 "표시 $\left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ $필드$ 및" $표시$ " 필드 $(\style$ $\displaystyle\display$ $\$ mu $O_$ { $i}\right\rangle:=\int$ d $\mu$ O_i}e $^{$ i})에서 $B$ 독립적입니다.

=

)=0

입니다.

세 번째 등식은 대칭 변환에서 $\delta O_{i}=\delta S=0$ $\delta O_{i}=\delta S=0$ $=$ $\delta O_{i}=\delta S=0$ S $\delta O_{i}=\delta S=0$ { $displaystyle$ \ displaystyle \ $displicate$ O_ ${i$ }=\ $delta$ S $=0}$ 이라는 $\delta O_{i}=\delta S=0$ 사실과 Haar 측정의 불변성을 이용한다. $\int d\mu O_{i}Ge^{iS}$ $\int d\mu O_{i}Ge^{iS}$ $\int d\mu O_{i}Ge^{iS}$ S $(\displaystyle\int d\mu O_{i}$ Ge^{ $iS$ 는 숫자에 불과하므로 그 Lie 도함수는 사라진다.

수학 공식화

최초의 아티야-세갈 공리

아티야는 위상 양자장론에 대한 시걸의 제안 공리 (그 후 시걸의 생각은 시걸(2001)에 요약되었다)와 비튼의 초대칭성에 대한 기하학적 의미 (1982)에서 영감을 얻어 일련의 공리들을 제안했다.아티야의 공리는 구별 가능한 (위상 또는 연속적인) 변환으로 경계를 붙임으로써 구성되는 반면, 세갈의 공리는 등각 변환을 위한 것이다.이러한 공리는 슈바르츠형 QFT의 수학적 처리에 비교적 유용하지만, 비텐형 QFT의 전체 구조를 포착하는 것은 명확하지 않다.기본 개념은 TQFT가 특정 코비즘 범주에서 벡터 공간 범주까지의 함수라는 것입니다.

사실 아티야 공리라고 할 수 있는 두 가지 다른 공리가 있다.이러한 공리는 기본적으로 단일 고정 n차원 리만 / 로렌츠 시공간 M에 정의된 TQFT 또는 모든 n차원 시공간에서 동시에 정의된 TQFT에 적용되는지 여부에 차이가 있다.

δ를 1과 교환 링이라고 가정합니다(거의 모든 실제 목적의 경우 δ = Z, R 또는 C).아티야는 원래 다음과 같이 접지 고리 δ 위에 정의된 차원 d에서 위상 양자장 이론(TQFT)의 공리를 제안했다.

각 방향성 닫힘 평활 d차원 매니폴드 δ(호모토피 공리에 대응)와 관련된 δ 모듈 Z(δ)가 최종적으로 생성된다.
각 지향성 평활(d+1) 차원 매니폴드(경계 포함) M(가법 공리에 대응)에 대응한 요소 Z(M) δ Z(δM)를 마련한다.

이러한 데이터에는 다음 공리가 적용됩니다(4과 5는 Atiyah에 의해 추가됨).

Z는 δ 및 M의 미분 동형을 보존하는 방향과 관련하여 기능적이다.
Z는 인벌리테이션이다. 즉, Z(δ*) = Z(δ)*. 여기서 δ*는 반대 방향의 δ이고 Z(δ)*는 이중 모듈을 나타낸다.
Z는 곱셈이다.
Z( $∅$ { $displaystyle \emptyset$ ) = D차원 빈 매니폴드의 경우 λ(display $\emptyset$ { $displaystyle \emptyset$ ) = (d + 1)차원 빈 매니폴드의 경우 1입니다.
Z(M*) = Z(M)(은둔자 공리).Z(M)를 은둔 벡터 공간 간의 선형 변환으로 볼 수 있도록 $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ M $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ 0 $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ \ $displaystyle$ \ $sigma$ M $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ = \ $Sigma$ _ { 0 * } \ $cup$ \ $Sigma$ _ {1 $}$ 이면 이는 $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ Z(M)가 인접하는 것과 같다.

비고. 닫힌 다양체 M에 대해 Z(M)를 수치 불변량으로 본다면, 경계가 있는 다양체에 대해서는 Z(M) z Z(δM)를 "상대적" 불변량으로 생각해야 한다.f : σ → σ an an an an an an an erving of of of of of of of of of of of f of of of of f f of of of of of of of of이것은 다양체 δ를_f 제공하며 우리의 공리는 다음을 의미한다.

Z(\Sigma _{f})=\operatorname {Trace} \\Sigma (f)

여기서 δ(f)는 Z(δ)의 유도 자기동형성이다.

비고. 경계 δ가 있는 매니폴드 M은 항상 닫힌 매니폴드인 $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ M $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ δ $M$ δ ${\Sigma }$ M $^{*}$ 을 $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ 형성할 수 있다.다섯 번째 공리는 을 보여준다.

Z\left(M\cup_{\Sigma}M^{*}\오른쪽)= Z(M)^{2}

여기서 오른쪽은 은둔자(무한) 메트릭으로 노름을 계산합니다.

물리학과의 관계

물리적으로 (2) + (4)는 상대론적 불변성과 관련이 있는 반면 (3) + (5)는 이론의 양자성을 나타낸다.

δ는 물리적 공간(일반적으로 표준 물리학의 경우 d = 3)을 나타내며, δ × I의 추가 차원은 "최소" 시간이다.공간 Z(δ)는 양자 이론의 힐버트 공간이며, 해밀턴 H와 함께 물리 이론은 시간 진화 연산자^itH e 또는 "상상 시간" 연산자^−tH e를 가질 것입니다.위상 QFT의 주요 특징은 H = 0이라는 것이다. 이는 실린더 δ × I를 따라 실제 역학이나 전파가 없음을 의미한다.단, $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ M $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ 0 $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ { $displaystyle \sigma$ _{ $0}^{*}\cup \Sigma$ _{ $1$ cup \ $Sigma$ _{1}의 매개 매니폴드 M을 통해 σ₀ σ σ₁ σ σ σ σ however an an however however however however however however however however however however however however however however however however however however however however however however however however however however M {\ an an an {\ {\ M = 0 $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ M을 통해 an ${\$ {\ {\ {\ {\ an an an {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\

δM = δ이면 힐베르트 공간 Z(δ) 내의 식별 벡터 Z(M)는 M에 의해 정의된 진공 상태로 간주된다.닫힌 매니폴드 M의 경우 숫자 Z(M)는 진공 기대치입니다.통계 역학과 유사하게 분할 함수라고도 합니다.

해밀턴이 0인 이론을 합리적으로 공식화할 수 있는 이유는 QFT에 대한 파인만 경로 적분 접근법에 있다.이것은 상대론적 불변성(일반 (d + 1)차원 "공간"에 적용됨)을 통합하고, 이론은 이론의 고전적인 영역의 함수인 적절한 라그랑지안에 의해 공식적으로 정의된다.라그랑지안은 시간의 첫 번째 도함수만 포함하면 공식적으로 0 해밀턴이 되지만, 라그랑지안 자체는 M의 위상에 관련된 사소한 특징이 없을 수 있다.

아티야의 예

1988년, M.아티야는 당시 고려되었던 위상 양자장 이론의 많은 새로운 예를 설명한 논문을 발표했다(Atiyah 1988).여기에는 몇 가지 새로운 아이디어와 함께 몇 가지 새로운 토폴로지 불변성이 포함되어 있습니다.카손 불변성, 도널드슨 불변성, 그로모프 이론, 플로어 호몰로지 및 존스-위튼 이론

d = 0

이 경우 δ는 완전히 많은 점으로 구성됩니다.우리는 벡터 공간 V = Z(점)와 n-배 텐서 곱 V = V ⊗ … v^⊗n V를 연관시킨다.대칭 그룹_n S는 V에 대해 작동합니다^⊗n.양자 힐버트 공간을 얻는 표준 방법은 고전적인 심플렉틱 다양체(또는 위상 공간)에서 시작하여 양자화하는 것입니다.S를 콤팩트한 Lie 군 G로 확장하고_n 심플렉틱 구조가 선다발에서 나오는 "적분 가능한" 궤도를 고려하자. 그리고 양자화는 G의 환원 불가능한 표현 V로 이어진다.이것은 보렐-바일 정리 또는 보렐-바일-보트 정리의 물리적 해석이다.이들 이론의 라그랑지안은 고전적인 작용이다.따라서 d = 0인 위상 QFT는 자연스럽게 Lie 그룹과 대칭 그룹의 고전적 표현 이론과 관련이 있다.

d = 1

콤팩트 심플렉틱 매니폴드 X의 닫힌 루프에 의해 주어지는 주기적인 경계 조건을 고려해야 한다.위튼(1980)과 함께 라그랑지안으로서 d = 0의 경우에 사용되는 루프는 해밀턴을 수정하기 위해 사용된다.닫힌 표면 M에 대하여, 이론의 불변 Z(M)는 그로모프의 의미에서 의사 정형 지도 f : M → X이다. (X가 켈러 다양체라면 그것들은 일반적인 정형 지도이다.)이 수가 무한대가 되는 경우, 즉 "모듈리"가 있는 경우 M에 대한 추가 데이터를 수정해야 합니다.이것은 일부 점_i P를 선택한 다음 f(P_i)가 고정된 초평면에 놓이도록 구속된 완전형 지도 f : M → X를 살펴봄으로써 수행될 수 있다.Witten(1988b)은 이 이론에 관련된 Lagrangian을 적었다.Floer는 엄격한 치료를 해왔습니다.플로어 호몰로지, 비튼의 모스 이론 사상에 기초한다.경계 조건이 주기적인 것이 아니라 간격을 넘는 경우, 경로의 초기점과 끝점은 두 개의 고정된 라그랑지안 서브매니폴드에 있다.이 이론은 그로모프-비텐 불변 이론으로 발전해 왔다.

또 다른 예는 홀모픽 컨포멀 필드 이론이다.힐베르트 공간은 무한 차원이기 때문에 당시에는 엄밀하게 위상 양자장 이론으로 간주되지 않았을 수 있습니다.컨포멀 필드 이론은 고전 위상이 루프 그룹(LG)의 중심 확장으로 구성된 콤팩트 라이 그룹 G와도 관련이 있습니다.이를 양자화하면 LG의 환원 불가능한(투영적) 표현 이론의 힐베르트 공간이 생성된다.그룹₊ Diff(S¹)가 대칭 그룹을 대체하여 중요한 역할을 합니다.결과적으로, 그러한 이론에서 분할 함수는 복잡한 구조에 의존하므로, 순수하게 위상적인 것은 아니다.

d = 2

존스-위튼 이론은 이 경우에 가장 중요한 이론이다.여기서 폐쇄면 δ와 관련된 고전적 위상공간은 δ 위의 평탄한 G-번들의 모듈리 공간이다.라그랑지안은 3-매니폴드의 G-접속 체른-시몬 함수의 정수배수입니다(이것은 "프레임화"되어야 합니다).수준이라고 불리는 정수 배수 k는 이론의 매개 변수이며 k → θ는 고전적인 한계를 제공합니다.이 이론은 d = 0 이론과 자연스럽게 결합되어 "정확한" 이론을 만들어 낼 수 있다.자세한 내용은 Witten에 의해 설명되었습니다.Witten은 3-sphere의 (프레임) 링크에 대한 파티션 함수가 적절한 통합 루트에 대한 Jones 다항식 값임을 보여 줍니다.이 이론은 관련 사이클로토믹 분야에 걸쳐 정의할 수 있습니다. Atiyah(1988) harvts 오류: 대상 없음: CITREFAtiyah1988(도움말)을 참조하십시오.경계와 함께 리만 표면을 고려함으로써, 우리는 d = 2 이론을 d = 0에 결합하는 대신 d = 1 등각 이론에 결합할 수 있다.이것이 Jones로 발전했습니다.위튼 이론과 함께 매듭 이론과 양자장 이론 사이의 깊은 연관성을 발견하게 되었다.

d = 3

도널드슨은 SU(2)-instantons의 모듈리 공간을 사용하여 매끄러운 4-매니폴드의 정수 불변성을 정의했습니다.이 불변량들은 두 번째 호몰로지 상의 다항식이다.따라서 4-매니폴드는 H. 위튼(1988a)의₂ 대칭대수로 구성된 추가 데이터를 가져야 한다. 위튼은 도널드슨 이론을 공식적으로 재현하는 초대칭 라그랑지안을 만들었다.비튼의 공식은 가우스-보네 정리의 무한 차원 유사체로 이해될 수 있다.나중에 이 이론은 더욱 발전하여 N = 2, d = 4 게이지 이론에서 SU(2)를 U(1)로 감소시키는 세이버그-비튼 게이지 이론이 되었다.이 이론의 해밀턴 버전은 플로어에 의해 3-매니폴드의 연결 공간 측면에서 개발되었다.Floer는 존스의 라그랑지안인 체른-사이먼 함수를 사용합니다.해밀턴을 수정하는 위튼 이론.자세한 내용은 Atiyah(1988) harvts error: no target: CITREFAtiyah1988(도움말)을 참조하십시오.위튼(Witten)은 또한 d = 3과 d = 1 이론을 결합하는 방법을 보여주었다. 이는 존스에서의 d = 2와 d = 0 사이의 결합과 매우 유사하다.위튼 이론

위상장론은 함수로 간주됩니다고정적인 차원이 아니라 모든 차원에 대해서요

시공간이 고정된 경우

M의 N차원 서브매니폴드 형태와 그러한 서브매니폴드의 경계에 연결된 구성요소가 Bord의 범주라고 하자_M.M의 서브매니폴드를 통해 균질한 두 가지 형태소 hBord를_M 형성할 경우 두 가지 형태소가 동등하다고 간주한다.hBord의_M 객체는 Bord의_M 객체이며, hBord의_M 몰피즘은 Bord의_M 몰피즘의 호모토피 등가 클래스입니다.M 위의 TQFT는 hBord에서_M 벡터 공간 범주까지의 대칭 모노이드 함수입니다.

만약 그들의 경계가 일치한다면, 새로운 보디즘을 형성하기 위해 함께 꿰매질 수 있다는 것에 주목하세요.이것은 코보디즘 범주의 형태론에 대한 구성 법칙이다.구성을 보존하기 위해서는 함수가 필요하기 때문에, 이것은 함께 봉합된 형태론에 대응하는 선형 지도는 각 조각에 대한 선형 지도의 구성일 뿐이라고 말한다.

2차원 위상 양자장 이론의 범주와 교환 프로베니우스 대수의 범주 사이에는 동등한 범주가 있다.

모든 n차원 공간 동시에

바지는 (1+1)차원 보디즘으로, 2차원 TQFT의 제품 또는 공동제작물에 해당합니다.

모든 스페이타임을 동시에 고려하기 위해서는 hBord를_M 더 큰 카테고리로 대체할 필요가 있습니다.따라서_n 보드는 보디즘의 범주, 즉 그 형태가 경계를 가진 n차원 다양체이고, 그 개체가 n차원 다양체 경계의 연결된 구성요소이다. (n-1)차원 다양체는 보디즘의_n 개체로 나타날 수 있다.)위와 같이, Bord의_n 두 형태소가 동질적인 경우에는 두 형태소가 동등하다고 간주하고, 몫 범주_n hBord를 형성한다.보드는_n 두 개의 보디즘을 그들의 분리된 결합으로 만들어진 보디즘에 매핑하는 작전의 단일 범주이다.n차원 다양체에 대한 TQFT는 hBord에서_n 벡터 공간의 범주에 이르는 함수로, 보디즘의 분리된 결합을 텐서 곱에 매핑한다.

예를 들어 (1 + 1)차원 보디즘(1차원 매니폴드 사이의 2차원 보디즘)의 경우, 바지와 관련된 지도는 경계 구성요소가 그룹화된 방법에 따라 제품 또는 공동 생산물을 제공합니다. 반면, 디스크와 연관된 지도는 국가(추적) 또는 단위(1차원 보디즘)를 제공합니다.경계 구성요소의 그룹화로 끝나기 때문에 (1+1)차원 TQFT는 프로베니우스 대수에 해당한다.

또, 상기의 보디즘에 관련하는 4차원, 3차원, 2차원 매니폴드를 동시에 고려할 수 있어 풍부하고 중요한 예를 얻을 수 있다.

추후 개발

위상 양자장 이론의 발전을 볼 때, 우리는 세이버그-비텐 게이지 이론, 위상 끈 이론, 매듭 이론과 양자장 이론 사이의 관계, 그리고 양자 매듭 불변성에 대한 그것의 많은 응용을 고려해야 한다.게다가, 그것은 수학과 물리학 모두에서 큰 관심을 불러일으켰다.또한 최근 중요한 관심사는 TQFT(Gukov & Kapustin (2013))의 비현지 사업자이다.스트링 이론이 기본이 되면 비 로컬 TQFT는 로컬 스트링 이론에 대한 계산적으로 효율적인 근사치를 제공하는 비물리적 모델로 간주될 수 있습니다.

Witten형 TQFT 및 동적 시스템

확률적(부분적) 미분방정식(SDE)은 양자 퇴행성 및 일관성의 척도를 초과하는 자연계의 모든 모델의 기초이며 본질적으로 위튼형 TQFT이다. 모든 SDE는 위상 또는 BRST 초대칭성을 가지며, 확률적 역학의 $\delta$ 에서 연산자 \ $delta$ \delta이다.확률적 진화 연산자와 가환적인 terior 도함수.이 초대칭성은 연속흐름에 의한 위상공간의 연속성을 유지하며, 지구 비대칭 지상상태에 의한 초대칭 자연파괴 현상은 카오스, 난류, 1/f, 균열음, 자기조직적 임계 등 잘 확립된 물리적 개념을 포함한다.모든 SDE에 대한 이론의 위상 영역은 위튼형 TQFT로 인식될 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

Atiyah, Michael (1988a). "New invariants of three and four dimensional manifolds". The Mathematical Heritage of Hermann Weyl. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 48. American Mathematical Society. pp. 285–299. doi:10.1090/pspum/048/974342. ISBN 9780821814826.
Atiyah, Michael (1988b). "Topological quantum field theories" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 68 (68): 175–186. doi:10.1007/BF02698547. MR 1001453. S2CID 121647908.
Gukov, Sergei; Kapustin, Anton (2013). "Topological Quantum Field Theory, Nonlocal Operators, and Gapped Phases of Gauge Theories". arXiv:1307.4793 [hep-th].
Linker, Patrick (2015). "Topological Dipole Field Theory". The Winnower. 2: e144311.19292. doi:10.15200/winn.144311.19292.
Lurie, Jacob (2009). "On the Classification of Topological Field Theories". arXiv:0905.0465 [math.CT].
Schwarz, Albert (2000). "Topological quantum field theories". arXiv:hep-th/0011260.
Segal, Graeme (2001). "Topological structures in string theory". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 359 (1784): 1389–1398. Bibcode:2001RSPTA.359.1389S. doi:10.1098/rsta.2001.0841. S2CID 120834154.
Witten, Edward (1982). "Super-symmetry and Morse Theory". Journal of Differential Geometry. 17 (4): 661–692. doi:10.4310/jdg/1214437492.
Witten, Edward (1988a). "Topological quantum field theory". Communications in Mathematical Physics. 117 (3): 353–386. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. doi:10.1007/BF01223371. MR 0953828. S2CID 43230714.
Witten, Edward (1988b). "Topological sigma models". Communications in Mathematical Physics. 118 (3): 411–449. Bibcode:1988CMaPh.118..411W. doi:10.1007/bf01466725. S2CID 34042140.

Search

위상 양자장 이론

네임스페이스

더

목차

개요