변동 미적분 개념
수학 분석의 한 분야인 변동의 미적분학 에서 함수 도함수 (또는 변동 [1] 도함수 )는 함수 의 변화와 함수가 의존하는 함수 의 변화를 관련짓는다.
변동의 미적분학에서, 함수는 보통 함수, 그들 의 주장, 그리고 그들 의 도함수의 적분 으로 표현된다. 함수의 적분 θf 함수 거듭제곱 함수
예를 들어, 다음과 같은 기능을 고려합니다.
J [ f ] = ∫ a b L ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) d x , {\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(,x,f(x),'(x)',dx\,} 여기 '(x ) ≡ df/df f에 함수 θf 적분 (x, f +θf, '+θf ')θf f J값 [1] [Note 1] δ J = ∫ a b ( ∂ L ∂ f δ f ( x ) + ∂ L ∂ f ′ d d x δ f ( x ) ) d x = ∫ a b ( ∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ ) δ f ( x ) d x + ∂ L ∂ f ′ ( b ) δ f ( b ) − ∂ L ∂ f ′ ( a ) δ f ( a ) (\displaystyle J=\int _{a}\frac {\partial f}+{\frac {\frac L}{\partial f'}{\frac {d}\frac f(x)\right},\frac,={a}\frac {\frac}\frcr}\frcont l좌측면 왼쪽 f(x) Rtial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)}, 여기서 도함수의 변화량 θ를 변동량(θf ) θ의 도함수로 고쳐 쓰고 부품별 적분 을 사용했다.
정의. 이 절에서는 함수파생물이 정의된다. 그런 다음 함수 미분이라는 관점에서 함수 미분이라고 정의됩니다.
함수 미분 (연속 /평활 ) 함수 θ 경계 조건 등)를 나타내는 매니폴드 M과 다음과 같이 정의된 함수
F : M → R 또는 F : M → C , {\displaystyle F\colon M\to\mathbb {R}\quad F\colon M\text{or}\quad F\colon M\tathbb {C}\,} "F /,"표시 된 F[]] 의 함수 도함수는 다음과 같이 정의된다[2]
∫ δ F δ ρ ( x ) ϕ ( x ) d x = 림 ε → 0 F [ ρ + ε ϕ ] − F [ ρ ] ε = [ d d ε F [ ρ + ε ϕ ] ] ε = 0 , {\displaystyle {rho}\int {\frac F}{\delta \rho }}{\frac \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho]{\varepsilon =}\frechi (x) 여기 {\ displaystyle phi } ε (\displaystyle\varepsilon\phi) ρ
바꿔 말하면
ϕ ↦ [ d d ε F [ ρ + ε ϕ ] ] ε = 0 \displaystyle \phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0} 는 선형 함수이므로 Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리 를 적용하여 이 함수를 어떤 측정에 대한 적분으로 나타낼 수 있습니다. 그 F 라돈-니코다임 도함수 로 정의된다.
함수 'F /'F 점 가 F
∫ δ F δ ρ ( x ) ϕ ( x ) d x (\displaystyle\int\frac\delta\rho}}(x)\phi(x)\;dx) θ θ 벡터 미적분과 유사하게, 구배를 갖는 내부곱은 방향 도함수를 준다.
기능적 차이 기능 ] displaystyle left rho right
δ F [ ρ ; ϕ ] = ∫ δ F δ ρ ( x ) ϕ ( x ) d x . \displaystyle \rho ;\phi ]=\int {\frac \delta \rho }}(x)\phi(x)\dx.} 휴리스틱하게 보면, (\displaystyle phi) display (\ rho (\displaystyle phi =\rho (\displaystyle ρ …) 전체 미분 과 유사합니다. d F = ∑ i = 1 n ∂ F ∂ ρ i d ρ i , {\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho _{i}}\d\rho _{i}\,} 여기서 1 2 ..., n displaystyle \rho 1}, rho 2}, \rho {n} 마지막 두 방정식을 비교하면 함수 도함수 f display ( displaystyle delta delta rho ( x display display display partial rho ( ) 역할 . e 합계 인덱스 \displaystyle . [4]
특성. 함수의 도함수와 마찬가지로 함수 도함수는 다음 특성을 만족한다. 여기 [θ ] 와 G[θ ] 는 [Note 3]
선형성:[5] δ ( λ F + μ G ) [ ρ ] δ ρ ( x ) = λ δ F [ ρ ] δ ρ ( x ) + μ δ G [ ρ ] δ ρ ( x ) , {\displaystyle {\frac F+\mu G}{\frho (x)}=\frac \rho (x)}{\frac \rho (x)}+mu {\frac G[\rho }{\frho (x)} 여기서 μ 는 상수이다. 제품 규칙:[6] δ ( F G ) [ ρ ] δ ρ ( x ) = δ F [ ρ ] δ ρ ( x ) G [ ρ ] + F [ ρ ] δ G [ ρ ] δ ρ ( x ) , {\displaystyle {\frac (FG)[\rho]}{\frac \rho (x)}={\frac \rho (x)}G[\rho ]+ F[\rho]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},} 체인 규칙: F가 함수 경우 [7] δ F [ G [ ρ ] ] δ ρ ( y ) = ∫ d x δ F [ G ] δ G ( x ) G = G [ ρ ] ⋅ δ G [ ρ ] ( x ) δ ρ ( y ) . {\displaystyle {\frac F[\rho]}{\int dx frac {\delta G(x)}{G=G[\rho]}\cdot {\frac G[\rho](x)}{\frac.y} G가 일반 미분 가능 함수(로컬 함수) g 경우 [8] δ F [ g ( ρ ) ] δ ρ ( y ) = δ F [ g ( ρ ) ] δ g [ ρ ( y ) ] d g ( ρ ) d ρ ( y ) . {\displaystyle {\frac F[g(\rho)}{\frac \rho(y)}={\frac F[g(\rho)]{\frac g[\rho(y)] }}\{{frac {dg(\rho)}{d\rho(y)}}\ .} 함수 파생상품 결정 공통의 함수 클래스의 함수 미분을 결정하기 위한 공식은 함수 및 그 미분의 적분으로 기재할 수 있다. 이것은 오일러-라그랑주 방정식 의 일반화이다: 실제로 함수 도함수는 라그랑주 역학의 최소 작용의 원리 (18세기)에서 두 번째 종류의 라그랑주 방정식의 파생 내에 도입 되었다. 아래의 첫 번째 세 가지 예 는 밀도 함수 이론(20세기)에서 따온 것 이고, 네 번째 예는 통계 역학(19세기)
공식 특정 기능
F [ ρ ] = ∫ f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ) d r , {\displaystyle F[\rho]=\int ffbold\boldsymbol {r}},\rho(\boldsymbol {r}),\boldsymbol {r}),\rho\boldsymbol {r}, 그리고 이전 섹션 의 정의에서 통합 영역의 경계에서 사라지는 함수 δ ∫ δ F δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = [ d d ε ∫ f ( r , ρ + ε ϕ , ∇ ρ + ε ∇ ϕ ) d r ] ε = 0 = ∫ ( ∂ f ∂ ρ ϕ + ∂ f ∂ ∇ ρ ⋅ ∇ ϕ ) d r = ∫ [ ∂ f ∂ ρ ϕ + ∇ ⋅ ( ∂ f ∂ ∇ ρ ϕ ) − ( ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ ) ϕ ] d r = ∫ [ ∂ f ∂ ρ ϕ − ( ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ ) ϕ ] d r = ∫ ( ∂ f ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ ) ϕ ( r ) d r . {\displaystyle{\begin{정렬}\int{\frac{\delta F}{\delta \rho({\boldsymbol{r}})}}\,\phi({\boldsymbol{r}})\,d{\boldsymbol{r}}&=\left[{\frac{d}{d\varepsilon}}\int f({\boldsymbol{r}},\rho +\varepsilon\phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi)\,d{\boldsymbol{r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&, =\int \left({\frac{\partial f}{\partial. \rho}}) ,\phi +{\frac{\partial f}{\nabla \rho\partial}}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol{r}}\\&, =\int \left[{\frac{\partial f}{\partial \rho}}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac{\partial f}{\partial \nabla \rho}}\,\phi\right)-\left(\nabla \cdot{\frac{\partial f}{\partial \nabla \rho}}\right)\phi\right]d{\boldsymbol{r}}\\&,=\int \left.[{\frac \phi - \left ( \ phi - \ cdot ) \ phi \ right \ phi \ bold symbol { r } \ = \ int \ frac \ frac f f 、 \ la cd f 。 \end { aligned}}
두 번째 선은 전체 도함수 를 사용하여 구합니다. 여기서 "f [Note 4] 벡터에 대한 스칼라 도함수 입니다.
세 번째 줄은 분리에 대한 곱셈 규칙 을 사용하여 구했다. 네 번째 선은 발산 정리와 적분 영역의 경계에서 θ 0 이라는 조건을 사용하여 구했다. θ 변동의 미적분의 기본 보조항목 을 적용하면, 함수 도함수는 다음과 같다.
δ F δ ρ ( r ) = ∂ f ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ (\displaystyle {\frac F}{\delta \rho(\boldsymbol {r}}}})=cdot(\frac\frac\rho})-\cdot(\frac\frac\rho}})
여기 = ρ (r 및 f (r ρ ∇) 이다.이 공식은 이 섹션의 첫머리에서 F[]] 에 의해 주어진 함수 형식의 경우에 대한 것입니다. 다른 함수형태의 경우 함수파생물의 정의를 그 결정의 시작점으로 사용할 수 있다. (쿨롱 퍼텐셜 에너지 기능의 예 를 참조해 주세요).
함수파생물에 대한 위의 방정식은 고차원 및 고차파생물을 포함하는 경우에 일반화 될 수 있다. 기능은 다음과 같습니다.
F [ ρ ( r ) ] = ∫ f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) , ∇ ( 2 ) ρ ( r ) , … , ∇ ( N ) ρ ( r ) ) d r , {\displaystyle F[\rho({\boldsymbol {r}})]=\int fho\boldsymbol {r}},\rho({\boldsymbol {r}}),\rho({\boldsymbol {r}),\la^{rho(n})})
여기서 벡터 δ n R 및 (i ) θ는 n개의 성분 i i차수
[ ∇ ( i ) ] α 1 α 2 ⋯ α i = ∂ i ∂ r α 1 ∂ r α 2 ⋯ ∂ r α i 어디에 α 1 , α 2 , ⋯ , α i = 1 , 2 , ⋯ , n . \displaystyle \left [\cdots ^{i}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}=cdots r_{\alpha _{1}\cdots r_{{2}}\cdots r_{i}\qadcdtextq} [주 5]
함수 파생상품 수율의 정의에 대한 유사한 적용
δ F [ ρ ] δ ρ = ∂ f ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ ρ ) + ∇ ( 2 ) ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ ( 2 ) ρ ) + ⋯ + ( − 1 ) N ∇ ( N ) ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ ( N ) ρ ) = ∂ f ∂ ρ + ∑ i = 1 N ( − 1 ) i ∇ ( i ) ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ ( i ) ρ ) . {\displaystyle}{\frac\rho}{\frac\rho}=\frac\frac\frho}-\cdot\frac\frho{\cdla\frho}}}+\cdla ^(2)\froc }}\\&{}=paramfrac {\param \rho }+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot \frac \left(\paramla ^{(i)\rho right)}}}}\end frac {{naligned}
마지막 f (i) n개i f 의 편도함수 f .
[ ∂ f ∂ ( ∇ ( i ) ρ ) ] α 1 α 2 ⋯ α i = ∂ f ∂ ρ α 1 α 2 ⋯ α i 어디에 ρ α 1 α 2 ⋯ α i ≡ ∂ i ρ ∂ r α 1 ∂ r α 2 ⋯ ∂ r α i , \displaystyle \left [ { \ frac \ right （ \ flac ^ { ( i ) \ right } ]_{\alpha _ {1} \alpha _ { cdots \ alpha _ { i } = flac \rho _ { \ { \ right } } \ rho _ { { \ cdi} } \ cdiots _ { \ light } _{1}},\cdots r_{\alpha _{2}}\cdots \cdots r_{\alpha _{i}}}\,} 텐서 스칼라 곱은 ∇ ( i ) ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ ( i ) ρ ) = ∑ α 1 , α 2 , ⋯ , α i = 1 n ∂ i ∂ r α 1 ∂ r α 2 ⋯ ∂ r α i ∂ f ∂ ρ α 1 α 2 ⋯ α i . \displaystyle \displayla ^{(i)}\cdot\frac\displayla ^{(i)}\rho \오른쪽 }=\sum _{\alpha _{1},\cdots,\alpha _{i}=1}^{n}\frac {\frac r_{\alpha _{1},\cdots \frac r_{\alpha _{2}},\cdots r_{{\alpha _{{i}}}}}\frcdots r_{{{{f}}}}}{{{f}}}}}}{f}}}}{f}}}}}\f}}{f}}} [주6]
예 토마스-페르미 운동 에너지 함수 토마스- 1927년의 페르미 모델은 전자 구조의 밀도 함수 이론의 첫 번째 시도에서 비상호작용 균일한 전자 가스에 대해 운동 에너지 함수를 사용했다.
T T F [ ρ ] = C F ∫ ρ 5 / 3 ( r ) d r . \displaystyle T_{\mathrm {TF}[\rho]=C_{\mathrm {F}}\int \rho^{5/3}(\mathbf {r}),d\mathbf {r},} T[]] 의TF 적분도는 δ (r T[]] 의TF 함수 유도체는 다음과 같다.[9] δ T T F δ ρ ( r ) = C F ∂ ρ 5 / 3 ( r ) ∂ ρ ( r ) = 5 3 C F ρ 2 / 3 ( r ) . {\displaystyle {\frac T_{\mathrm {TF}}{\frac \rho {\boldsymbol {r}}}}{\frac \rho ^5/3}(\frac \rf {r}}}{\frac {\frho\f}}} \end { aligned}}
쿨롱 퍼텐셜 에너지 기능 전자핵 퍼텐셜에 대해 토마스와 페르미는 쿨롱 퍼텐셜 에너지 함수를 사용했다.
V [ ρ ] = ∫ ρ ( r ) r d r . {\displaystyle V[\rho]=\int {frac {rho {\boldsymbol {r}}} {\boldsymbol {r}}} {\boldsymbol {r}}}. }
함수파생물의 정의를 적용하여
∫ δ V δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = [ d d ε ∫ ρ ( r ) + ε ϕ ( r ) r d r ] ε = 0 = ∫ 1 r ϕ ( r ) d r . {\displaystyle{\begin{정렬}\int{\frac{V\delta}{\delta \rho({\boldsymbol{r}})}})\phi({\boldsymbol{r}})\ d{\boldsymbol{r}}&{}[{\frac{d}{d\varepsilon}}\int{\frac{\rho({\boldsymbol{r}})+\varepsilon \phi({\boldsymbol{r}})}{{\boldsymbol{r}}}})d{\boldsymbol{r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&,{}=\int{\frac{1}{{\boldsym.bol{r}} },\phi({\boldsymbol {r}})\d'boldsymbol {r}', \end { aligned}} 그렇게, δ V δ ρ ( r ) = 1 r . {\displaystyle {\delta \rho({\boldsymbol {r}}})}={{\boldsymbol {r}}}}\ .}
전자-전자 상호작용 의 고전적인 부분을 위해, 토마스와 페르미는 쿨롱 전위 에너지 함수를 사용했다.
J [ ρ ] = 1 2 ∬ ρ ( r ) ρ ( r ′ ) r − r ′ d r d r ′ . {\displaystyle J[\rho]=mathfrac {1}{2}}\int {frho (\mathbf {r} ')\rho (\mathbf {r} -\mathbf {r} '}, d\mathbf {r} d\mathbf {r}, } 함수파생물의 정의 로부터, ∫ δ J δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = [ d d ϵ J [ ρ + ϵ ϕ ] ] ϵ = 0 = [ d d ϵ ( 1 2 ∬ [ ρ ( r ) + ϵ ϕ ( r ) ] [ ρ ( r ′ ) + ϵ ϕ ( r ′ ) ] r − r ′ d r d r ′ ) ] ϵ = 0 = 1 2 ∬ ρ ( r ′ ) ϕ ( r ) r − r ′ d r d r ′ + 1 2 ∬ ρ ( r ) ϕ ( r ′ ) r − r ′ d r d r ′ ({displaystyle {d\frac J}\int {\delta \rho {\boldsymbol {r}}}}\phi(\boldsymbol {r}})dboldsymbol {r}= left[{\frac {d\}{d\closilon}}}},J[\rho +\hi\phi\phi\phi}) {\boldsymbol {r}=\left[{\frac {d\}{d\ilon },\left\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho {\boldsymbol {r}}}+\ilon \phi({\boldsymbolmbol {r}}}}}})], \rho {\lflfrac {{\}}}, {\epsilon =0}\\&,{}={\frac{1}{2}}\iint{\frac{\rho({\boldsymbol{r}}')\phi({\boldsymbol{r}})}{{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}'}}\,d{\boldsymbol{r}}d{\boldsymbol{r}}'+{\frac{1}{2}}\iint{\frac{\rho({\boldsymbol{r}})\phi({\boldsymbol{r}}')}{{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}'}}\,d{\boldsymbol{r}}d{\boldsymbol{r}}'\\\end{권투 선수 muhammedali는.gned }}} 마지막 방정식의 오른쪽에 있는 첫 번째 항과 두 번째 항은 같습니다. 두 번째 항의 r과 교환 그러므로, ∫ δ J δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = ∫ ( ∫ ρ ( r ′ ) r − r ′ d r ′ ) ϕ ( r ) d r \displaystyle \int {\frac J}{\delta \rho {\boldsymbol {r}}}}}\phi {\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {rho {\boldsymbol {r}}}) {\boldsymbol {r}}}}. 전자-전자 쿨롱 전위 에너지 함수 ρ ]의 함수 유도체는 다음과 같다.[10] δ J δ ρ ( r ) = ∫ ρ ( r ′ ) r − r ′ d r ′ . {\displaystyle {\delta \rho {\boldsymbol {r}}=int {\frac {rho {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}}}}}: {\boldsymbol {r}}}}, }
두 번째 함수 미분은
δ 2 J [ ρ ] δ ρ ( r ′ ) δ ρ ( r ) = ∂ ∂ ρ ( r ′ ) ( ρ ( r ′ ) r − r ′ ) = 1 r − r ′ . (\displaystyle {\frac ^{2}J[\rho]}{\displaystyle \rho (\mathbf {r})\displaystyle \rho (\mathbf {r})}}=displayfrac \rac \rho (\mathbf {r} {r} {\f} {\f}}}}}}
바이제커 운동 에너지 함수 1935년 폰 바이제커 는 토마스-페르미 운동 에너지 기능에 경사 보정을 추가하여 분자 전자 구름에 더 잘 적합하도록 제안했다.
T W [ ρ ] = 1 8 ∫ ∇ ρ ( r ) ⋅ ∇ ρ ( r ) ρ ( r ) d r = ∫ t W d r , (\displaystyle T_{\mathrm {W}}[\rho]=parc frac {1}{8}}\int {frac {\mathbf {r}\cdot \sla \rho(\mathbf {r})}{\rho(\mathbf {r})}}}}}}\mathbf {int int} 어디에 t W ≡ 1 8 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ 그리고. ρ = ρ ( r ) . {\displaystyle t_{\mathrm {W}\equiv {frac {1}{8}}{\frac {rho}}{\rho}}{\qquad {text{and}}\\rho =\rho {\boldsymbol {r}}\}}. 함수 유도체에 대해 이전에 도출 된 공식을 사용하여 δ T W δ ρ ( r ) = ∂ t W ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ t W ∂ ∇ ρ = − 1 8 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ 2 − ( 1 4 ∇ 2 ρ ρ − 1 4 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ 2 ) 어디에 ∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ , {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\delta T_{\mathrm{W}}}{\delta \rho({\boldsymbol{r}})}}&={\frac{\partial t_{\mathrm{W}}}{\rho\partial}}-\nabla \cdot{\frac{\partial t_{\mathrm{W}}}{\nabla \rho\partial}}\\&, =-{\frac{1}{8}}{\frac{\nabla \rho\cdot \nabla \rho}{\rho ^{2}}}-\left(}{\frac{\nabla ^{2}\rho}{\frac{1}{4}{\rh.시}}-{\f rac {1}{4}{\frac {\rho \cdot \rho \rho }{\rho ^{2}}\right}\qquad {text}\\\cdot \cdot \,\end{aligned}}}} 그 결과,[11] δ T W δ ρ ( r ) = 1 8 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ 2 − 1 4 ∇ 2 ρ ρ . {\displaystyle {\frac T_{\mathrm {W}}{\frac \rho(\boldsymbol {r}}}}=\, {\frac {1}{8}{\frac\frac \rho \rho }-{\frac1}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}}{\frac}{\frac}{\frac}{\frho}{\frac}}}
엔트로피 이산 랜덤 변수의 엔트로피는 확률 질량 함수의 함수입니다.
H [ p ( x ) ] = − ∑ x p ( x ) 로그. p ( x ) {\displaystyle H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)} 따라서, ∑ x δ H δ p ( x ) ϕ ( x ) = [ d d ϵ H [ p ( x ) + ϵ ϕ ( x ) ] ] ϵ = 0 = [ − d d ε ∑ x [ p ( x ) + ε ϕ ( x ) ] 로그. [ p ( x ) + ε ϕ ( x ) ] ] ε = 0 = − ∑ x [ 1 + 로그. p ( x ) ] ϕ ( x ) . {\displaystyle {displaystyle} \sum _{x} {\delta p(x}}},\phi(x)=\left[{\frac {d}{d\silon }}H[p(x)+\epsilon \phi(x)\right] {\epsilon = 0\\&{}=\left[-, {\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x},[p(x)+\varepsilon \phi(x)]\log[p(x)+\varepsilon \phi(x)\right]_{varepsilon=0}\left} \end { aligned}} 따라서, δ H δ p ( x ) = − 1 − 로그. p ( x ) . (\displaystyle\frac H(x)}=-1-\log p(x). }
지수 허락하다
F [ φ ( x ) ] = e ∫ φ ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle F[\varphi(x)]=e^{\int \varphi(x)g(x)f}. }
델타 함수를 테스트 함수로 사용하여
δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( y ) = 림 ε → 0 F [ φ ( x ) + ε δ ( x − y ) ] − F [ φ ( x ) ] ε = 림 ε → 0 e ∫ ( φ ( x ) + ε δ ( x − y ) ) g ( x ) d x − e ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ε = e ∫ φ ( x ) g ( x ) d x 림 ε → 0 e ε ∫ δ ( x − y ) g ( x ) d x − 1 ε = e ∫ φ ( x ) g ( x ) d x 림 ε → 0 e ε g ( y ) − 1 ε = e ∫ φ ( x ) g ( x ) d x g ( y ) . {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta \varphi(y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac{F[\varphi())+\varepsilon \delta(x-y)]-F[\varphi(x)]}{\varepsilon}}\\&,{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac{e^{\int(\varphi())+\varepsilon \delta(x-y))g())dx}-e^{\int \varphi())g())dx}}{\varepsilon}}\\&,{}=e^{\int. \varphi())g x) lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int (x-y)g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)}-1}{\int \varepsilon 0to frac}\lim _\frac {\frac} \end { aligned}}
따라서,
δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( y ) = g ( y ) F [ φ ( x ) ] . {\displaystyle {\frac F[\varphi (x)}{\display \varphi (y)}}=g(y) F[\varphi(x)] }
이것은 양자장 이론 의 분할 함수로부터 상관 함수 를 계산할 때 특히 유용합니다.
함수의 함수 미분 함수는 함수와 같은 적분 형태로 작성될 수 있습니다. 예를들면,
ρ ( r ) = F [ ρ ] = ∫ ρ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) d r ′ . \displaystyle \rho({\boldsymbol {r}})= F[\rho ]=\int \rho({\boldsymbol {r}})\signmbol {r})\signmbol {r}', d'boldsymbol {r}' } integrand는 θ 의 도함수에 의존하지 않기 때문에 θ (r )의 함수 도함수는 다음과 같다. δ ρ ( r ) δ ρ ( r ′ ) ≡ δ F δ ρ ( r ′ ) = ∂ ∂ ρ ( r ′ ) [ ρ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) ] = δ ( r − r ′ ) . {\displaystyle {r}{\frac \rho {\boldsymbol {r}}}}{\equiv \frac {\boldsymbol {r}}}{\delta \rho({\boldsymbol {r}}}}}}}{\equiv {\frac {\frho}}{\frho}}}}{\frho {\frho}}}{\frho {\boldsymboldsymb \&=\boldsymbol {r}-{\boldsymbol {r}}'). \end { aligned}}
반복 함수의 함수 유도체 반복 함수 ( f x displaystyle (f(x)}
δ f ( f ( x ) ) δ f ( y ) = f ′ ( f ( x ) ) δ ( x − y ) + δ ( f ( x ) − y ) displaystyle(f(x) }{\context f(y)}=f'(f(x)\context (x-y)+\context (f(x)-y)} 그리고. δ f ( f ( f ( x ) ) ) δ f ( y ) = f ′ ( f ( f ( x ) ) ( f ′ ( f ( x ) ) δ ( x − y ) + δ ( f ( x ) − y ) ) + δ ( f ( f ( x ) ) − y ) \displaystyle {\frac f(f(x)}{\fac f(y)}=f'(f(f(x))\fac(x-y)+\fac(f(x)-y) +\color (f(x)-y)}
일반적으로:
δ f N ( x ) δ f ( y ) = f ′ ( f N − 1 ( x ) ) δ f N − 1 ( x ) δ f ( y ) + δ ( f N − 1 ( x ) − y ) {\displaystyle {\frac f^{N}(x)}{\delta f(y)}=f'(f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta f(x)y)}
N = 0 을 대입
δ f − 1 ( x ) δ f ( y ) = − δ ( f − 1 ( x ) − y ) f ′ ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle {\frac f^{-1}(x)}{\frac f(y)}=-{\frac (f^{-1}(x)}{f'(x)} }}}
델타 함수를 테스트 함수로 사용 물리학에서는 함수 유도체 y점 x ) 디락 델타 함수 x y ) displaystyle \phi x-y )} 이것 부분 미분으로서 함수 유도체 전체의 점임). 경사도의 nent):[12]
δ F [ ρ ( x ) ] δ ρ ( y ) = 림 ε → 0 F [ ρ ( x ) + ε δ ( x − y ) ] − F [ ρ ( x ) ] ε . {\displaystyle {\frac F[\rho (x)}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon (x)}-F[\rho (x)]}{\varepsilon (x)}}{\frac {\frho (x)} } }
이는 F ( x f x displaystyle [\rho x)+\varepsilon ( x 공식적 {\ displaystyle \varepsilon } 경우 공식 엄밀 . elta(x-y)]}
전항의 정의는 모든 테스트 함수 displaystyle \phi (x 유지 ( x displaystyle \phi (x)} 그러나 후자는 유효한 테스트 함수가 아닙니다(적절한 함수도 아닙니다).
정의에서 함수파생물은 함수 전체 f ) displaystyle rho ]{ displaystyle rho } displaystyle [\ x)} " x displaystyle rho ( displaystyle } 간격 델타 함수에 의해 주어진 특정 형태의 섭동을 사용하면 " x displaystyle \rho (x) displaystyle } 점 ( x displaystyle rho (x)
메모들 ^ Giaquinta & Hildebrandt( 1996년) 페이지 18에 따르면, 이 표기법은 물리 문헌 에서 관례적이다.^ (Parr & Yang 1989, 페이지 246), (Courant & Hilbert 1953, 페이지 186), (Gelfand & Fomin 2000, 페이지 11, § 3.2)에서는 변동 또는 첫 번째 변동 으로 불린다 . ^ 여기 표기법 δ F δ ρ ( x ) ≡ δ F δ ρ ( x ) {\displaystyle {F} {\delta \rho }(x)\equiv {frac {delta {F} {\delta \rho (x)} 도입되었습니다. ^ 3차원 데카르트 좌표계의 경우, ∂ f ∂ ∇ ρ = ∂ f ∂ ρ x i ^ + ∂ f ∂ ρ y j ^ + ∂ f ∂ ρ z k ^ , (\displaystyle {\frac f} {\frac f} {\frac f} {\frac f} {\frac f} {\hot {x}} + {\frac f} {\rho} \mathbf {j} + {\frac frhot} {\frho} {\frho} {\f} ) 여기 ρx= ∂ x y y = zy = = z displaystyle \rho {x} = frac {\rho }{\rho rho}, \rho _rz, aystyle \mathbf {j k ^ displaystyle \mathbf {k}} ^ 예를 들어, 3차원(n = 3) 및 2차 도함수(i 2 )의 경우 텐서 (2) θ는 성분을 가진다. [ ∇ ( 2 ) ] α β = ∂ 2 ∂ r α ∂ r β 어디에 α , β = 1 , 2 , 3 . \displaystyle \left[\displaystyle ^{(2)\right]_{\alpha \displayfrac {\display r_{,2}},\display r_{\display },\qquad \qquad \text{where},\displays =1,2,3. } ^ 예를 들어, n 3 2 인 경우 텐서 스칼라 곱은 다음과 같다. ∇ ( 2 ) ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ ( 2 ) ρ ) = ∑ α , β = 1 3 ∂ 2 ∂ r α ∂ r β ∂ f ∂ ρ α β 어디에 ρ α β ≡ ∂ 2 ρ ∂ r α ∂ r β . \displaystyle \cdot ^{(2)\cdot\frac\flac\left(\cdla ^{(2)}\rho\right) =\sum _{\alpha } {\frac =1}^{3}\frac r_{\alpha },\frac r_{\frac r}{\frac r_{\frho }{\frac f} {\frac \f}\qquad \text } \rho {\equad \equiv } \f} \frho {\f} ^ a b (Giaquinta & Hildebrandt 1996 , 18페이지) ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 246, Eq. A.2). ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 246, Eq. A.1). ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 246). ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 247, Eq. A.3). ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 247, Eq. A.4). ^ (Greiner & Reinhardt 1996 , 페이지 38, Eq.6). ^ (Greiner & Reinhardt 1996 , 페이지 38, Eq.7). ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 247, Eq. A.6). ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 248, Eq. A.11). ^ (Parr & Yang 1989, 페이지 247, Eq. A.9). ^ Greiner & Reinhardt 1996 , 37페이지
레퍼런스 를 클릭합니다Courant, Richard ; Hilbert, David (1953). "Chapter IV. The Calculus of Variations". Methods of Mathematical Physics . Vol. I (First English ed.). New York, New York: Interscience Publishers , Inc. pp. 164–274. ISBN 978-0471504474 MR 0065391 . Zbl 0001.00501 . 를 클릭합니다Frigyik, Béla A.; Srivastava, Santosh; Gupta, Maya R. (January 2008), Introduction to Functional Derivatives (PDF) , UWEE Tech Report, vol. UWEETR-2008-0001, Seattle, WA: Department of Electrical Engineering at the University of Washington, p. 7, archived from the original (PDF) on 2017-02-17, retrieved 2013-10-23 . 를 클릭합니다Gelfand, I. M. ; Fomin, S. V. (2000) [1963], Calculus of variations Dover Publications , ISBN 978-0486414485 MR 0160139 , Zbl 0127.05402 를 클릭합니다Giaquinta, Mariano ; Hildebrandt, Stefan (1996), Calculus of Variations 1. The Lagrangian Formalism , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 310 (1st ed.), Berlin: Springer-Verlag , ISBN 3-540-50625-X MR 1368401 , Zbl 0853.49001 를 클릭합니다Greiner, Walter ; Reinhardt, Joachim (1996), "Section 2.3 – Functional derivatives" , Field quantization , With a foreword by D. A. Bromley, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. 36–38 , ISBN 3-540-59179-6 MR 1383589 , Zbl 0844.00006 Parr, R. G.; Yang, W. (1989). "Appendix A, Functionals". Density-Functional Theory of Atoms and Molecules ISBN 978-0195042795 외부 링크
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정리 연산자 알헤브라 미해결 문제 적용들 상세 토픽
![{\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f\,'(x)\,)\,dx\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68be973ffd7b1b84391c61f2dcacd0ecf74ca766)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e1da8f763ed918cb58f7d83cd4c108acc888f)
임의 함수입니다.
양을 ![{\displaystyle \phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1ada65ccea3070c2f498355c7e01f1a82b1fb7)
![{\displaystyle F\left[\rho \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f2b97341e91c7e096b9fdb0cfa2cd7294b2afc)
![{\displaystyle \delta F[\rho ;\phi ]=\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7e377793bd3f8a8deb912eb0199638f4c2975a)
독립 변수입니다.마지막 두 방정식을 비교하면 함수 도함수 
같은 
![{\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3855d2be1b75c59c9da233cf9c8c71eeed66eaf)
![{\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0421ecdfb105f4b62dcbd729c20e8ca587bda2)
![{\displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89c5a56528b98b95ed70e2011242b78e9cadf91)
![{\displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fbcc664f79881c08549ade9a45a74d13db3dce)
![{\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984500e18fa20fadb9f03147b92b046a166aafc7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364480cb1cb7bbad967750d4f4c2b2baa061f134)
![{\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d2a74e6ffc8d130e6540ae052afa4431152535)
![{\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d037aa2a7b100d82e701c7c784e8fc1c4db99f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e309ee6857a3699070ebbbb3e9380ededa6572d)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a055a108cb726caf3543357d6e379254a09dbf)
![{\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805e085a9d15321704c17fcea9c5c2f3a1f8924b)
![{\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1593ae52b426aa72244fda7d98ac6aab5a6fd4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5feda7981e551ab3ef736601c97d676b5c93eeb)
![{\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ff0a58eecdab9b69e1da85dc506f029c9b65b3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ea4497d6c3471c141f5882e3e91e4c80e36c5f)
![{\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6863a6705ea4606b99eda69a687aacb21964bc2)
![{\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eafe31ae78208f4c75df2c3147f18c61ed02e29)
![{\displaystyle H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5badc001355f04544f4992a05020910fadf0d19d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3d7804d80847c74e11341f823e94d5f1176333)
![{\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf62da868a4878d3d5c56043e0e7947d1a3789f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4bb807430d52bf84582815526969c5182132bb)
![{\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78f30af55466f2e117b3dc25af74e86a2db308c)
![{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a462a8d7648c751791e624f6bb5abdfa985733)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1583fde0b7d6e164506aced9aa3781e502395d53)
사용하는 것이 일반적이다(![{\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01a2033e8c8afc08ec56de9981c0e29042885f6)
![F[\rho(x)+\varepsilon f(x)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b979a338aa9020b6c02e0bcae441aaa605ec2a20)
![F[\rho(x)+\varepsilon\delta(x-y)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659a52b75b432c570f6c2a7415fc5b4334bf3618)
일반적으로 정의되지 않습니다. 
![{\displaystyle F[\rho (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fab43f9b14ba7f5581e7767857988b966692be)
의해 함수 F [
x, y, z 축을 따르는 단위 벡터입니다.![{\displaystyle \left[\nabla ^{(2)}\right]_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha ,\beta =1,2,3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cbff2c145d8b1d793a8318a07d6f72883d2f3d)
