로그파생상품

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에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

수학에서, 특히 미적분과 복잡한 분석에서, 함수 f의 로그파생물은 공식으로 정의된다.

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}$

여기서 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 f의 파생어다.^[1] 직관적으로 이것은 f의 극미미한 상대적 변화, 즉 f의 극미미한 절대적 변화$,$ 즉${\displaystyle {}^{}}$f의 현재 값에 의해 크기가$$ 조정되는 $f$의 극미미한 절대적 $변화$다.^{[citation needed]}

f가 실제 변수 x의 함수 f(x)이고 실질적이고 엄격히 양의 값을 갖는 경우, 이는 ln(f)의 파생어 또는 f의 자연 로그와 같다. 이는 체인 규칙에서 직접 다음과 같다.

${\dplaystyle {\frac {d}{dx}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}{dx}}}}$^[1][2]

기본 속성

실제 로그의 많은 속성은 함수가 양의 실제 값을 취하지 않더라도 로그 파생상품에도 적용된다. 예를 들어, 제품의 로그는 인자의 로그의 합이기 때문에, 우리는

$[\displaystyle (\log uv)]=(\log u+\log v)=(\log u')+(\log v)].\!}$

따라서 양의 실제 가치 함수의 경우, 제품의 로그 파생상품은 인자의 로그 파생상품의 합이다. 하지만 우리는 또한 제품의 파생상품에 라이프니즈 법칙을 사용할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {(uv')}{uv}={\frac {uv+uv'}{uv}={\frac {u'}+{\frac {v'}{v}}}}}.\!}$

따라서 제품의 로그파생상품이 인자의 로그파생상품의 합계(이들이 정의된 경우)라는 것은 어떤 기능에 대해서도 사실이다.^{[2][verification needed]}

이에 대한 유의적인 사항은 함수의 역수에 대한 로그파생상품이 함수의 로그파생상품의 부정이라는 것이다.

${\displaystyle {\frac {(1/u')}{1/u}={\frac {-u'/u^{2}}:{1/u}=-{\frac {u'},\!}$

양의 실제 숫자의 역수의 로그가 그 숫자의 로그의 부정이듯이.^{[citation needed]}

더 일반적으로, 지수의 로그파생상품은 배당금과 차등의 로그파생상품의 차이다.

${\displaystyle {\frac {(u/v)}{u/v}={\frac {('uv-uv')/v^{2}}:{u/v}={\frac {u'}-{v'},\!}$

지수의 로그가 배당금과 배당금의 로그의 차이인 것처럼.^{[2][verification needed]}

다른 방향으로 일반화하면(실제 지수를 일정하게 갖는) 한 세력의 로그파생물은 기준의 지수와 로그파생물의 산물이다.

${\displaystyle {\frac {(u^{k})}{u^{k}}}={\frac {k-1}{u^}}=k{\frac {u'},\!}$

마치 힘의 로그가 지수의 산물인 것처럼, 기초의 로그도 마찬가지다.^{[2][verification needed]}

요약하면, 파생상품과 로그 모두 제품 규칙, 상호 규칙, 지수 규칙 및 전력 규칙(로그 ID 목록 비교)을 가지고 있다. 각 규칙 쌍은 로그 파생상품을 통해 관련된다.^{[2][verification needed]}

로그파생상품을 이용한 일반파생상품 계산

로그파생상품은 제품 규칙이 필요한 파생상품의 연산을 단순화하는 동시에 동일한 결과를 산출할 수 있다. 절차는 다음과 같다. ƒ(x) = u(x)v(x)이고 ƒ'(x)를 계산하려고 한다고 가정해 보십시오. ƒ' = u' v + v' u'로 직접 계산하는 대신 로그파생물을 계산한다. 즉, 우리는 다음을 계산한다.

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}+{\frac {v'}}.}$

ƒ에 의한 곱하기 계산 ƒ:

${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}{u}+{\frac {v'}\오른쪽).}$

이 기법은 ƒ이 다수의 인자의 산물일 때 가장 유용하다. 이 기법은 각 요인의 로그파생물을 계산하여 ƒ'을 계산하고, 합계하여 ƒ'을 곱하여 계산할 수 있게 한다.^{[2][verification needed]}

For example, we can compute the logarithmic derivative of ${\displaystyle e^{x^{2}}{\frac {(x-2)^{3}(x-3)}{x-1}}}$ to be ${\displaystyle 2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}}$.^[2]

통합 요인

로그 파생 아이디어는 1차 미분 방정식의 통합 인자 방법과 밀접하게 연결되어 있다. 연산자 용어로 쓰기

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle }$

그리고 M은 주어진 함수 G(x)로 곱셈 연산자를 나타낸다. 그러면.

${\displaystyle M^{-1}DM}$

라고 쓸 수 있다(제품 규칙에 의해).

${\displaystyle D+M^{*}}$

여기서 $∗{\$은(는) 이제 로그파생물에 의한 곱셈 연산자를 나타낸다.

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}$

실제로 우리는 다음과 같은 연산자를 받는다.

$(\displaystyle D+F=L}$

그리고 방정식을 풀기를 원한다.

$L(h)=f}$

함수 h에 대해, 주어진 f. 그러면 해결로 감소한다.

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$

해결책이 되는

${\displaystyle \exp \textstyle(\int F)}$

F의 무기한 ^{[citation needed]}적분으로

복합분석

주어진 공식은 더 광범위하게 적용될 수 있다. 예를 들어 f(z)가 meromorphic 함수라면 f가 0도 극도 없는 z의 모든 복잡한 값에서 타당하다. 또한, 0 또는 극에서 로그 파생상품은 특정 사례의 관점에서 쉽게 분석되는 방식으로 동작한다.

zⁿ

정수 n, n ≠ 0으로. 로그파생물은 그 다음이다.

n/z;

그리고 f meromorphic의 경우, f의 로그파생물의 특이점은 모두 단순한 극이며, 순서의 0에서 n, 순서의 극에서 잔류물 -n이 나온다는 일반적인 결론을 도출할 수 있다. 논거 원리를 참조하라. 이 정보는 윤곽선 통합에 악용되는 경우가 많다.^{[3][4][verification needed]}

In the field of Nevanlinna Theory, an important lemma states that the proximity function of a logarithmic derivative is small with respect to the Nevanlinna Characteristic of the original function, for instance ${\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$.^{[5][verification needed]}

승수군

로그파생상품의 사용 뒤에는 GL에₁ 관한 두 가지 기본적인 사실, 즉 실수나 다른 분야의 승수집단이 있다. 차동 연산자

${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}$

불변 팽창(상수에 대해 X를 aX로 대체) 그리고 미분형

dX/X

마찬가지로 불변하다. 함수 F에 대해 GL₁, 공식

dF/F

그러므로 불변형식의 후퇴다.^{[citation needed]}

예

• 기하급수적인 성장과 지수적인 붕괴는 일정한 로그파생물을 갖는 과정이다.^{[citation needed]}
• 수학 금융에서 그리스 λ은 기초 가격에 관한 파생상품 가격의 로그 파생상품이다.^{[citation needed]}
• 수치 분석에서 조건 번호는 입력의 상대적 변화에 대한 출력의 최소 상대적 변화로, 따라서 로그 파생상품의 비율이다.^{[citation needed]}

참조

참고 항목

• 로그 분화