쌍곡기하학

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기하학.
구를 평면에 투영하기
개요 히스토리(타임라인)
나뭇가지 유클리드적 비유클리드 타원형 구면 쌍곡선 비-아키메데스 기하학 프로젝티브 아핀 합성한 분석적 대수학 산술학 디오판토스 미분 리만어 심플렉틱 이산 미분 복잡한 유한 이산형/조합 디지털. 볼록한 계산 프랙탈 인크루시브 비상호기하학 비상호 대수기하학
컨셉트 특징들 치수 직선형 및 나침반 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 평행선 꼭짓점 일치 유사성 대칭성
영차원 포인트
일차원 선 부분 광선 길이
이차원 비행기 지역 다각형 삼각형 고도 빗변 피타고라스 정리 평행사변형 광장 직사각형 마름모과 롬비드속 사변형 사다리꼴 연 원형 지름 둘레 지역
삼차원 용량 큐브 직육면체의 실린더 십이면체 정이십면체 팔면체 피라미드 플라토닉 솔리드 구 사면체
4차원/기타차원 테서랙트 초구
기하학자
이름으로 아이다 아리아바타 아메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 보드하야나 볼라이 브라마굽타 카르탕 콕서터 데카르트 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 호이겐스 예하데바 카티야나 카얌 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메쉬바라 푸앵카레 리만 사카베 시즈지 알투시 베블렌 비라세나 양희 알야사민 장 기하학자 목록
시기별로 BCE 아메스 보드하야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1–20분의 1 장 카티야나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시즈지 카얌 알야사민 알투시 양희 파라메쉬바라 1400년대~1900년대 예하데바 데카르트 파스칼 호이겐스 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700년대~1900년대 가우스 로바체프스키 볼라이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탕 베블렌 콕서터 현재 아티야 그로모프
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수학에서 쌍곡기하학(, )은 비유클리드 기하학의 하나로, 로바체프스키 기하학() 또는 볼라이-로바체프스키 기하학().유클리드 기하학의 평행 공준은 다음으로 대체됩니다.

R 위에 있지 않은 임의의 주어진 선 R과 점 P에 대해, 선 R과 점 P를 모두 포함하는 평면에서 R과 교차하지 않는 두 개의 구별된 선이 P를 통과합니다.

(위의 내용을 유클리드의 평행선 공준의 현대판인 플레이페어의 공리와 비교해 보십시오.)

쌍곡면은 모든 점이 안장점인 평면입니다.쌍곡 평면 형상은 또한 가우스 곡률이 일정한 유사 구면의 형상입니다.안장 표면은 적어도 일부 영역에서 음의 가우스 곡률을 가지며, 이 영역에서 국부적으로 쌍곡면과 유사합니다.

쌍곡 기하학의 현대적인 사용은 특수 상대성 이론, 특히 민코프스키 모형에 있습니다.

기하학자들이 그들이 표준 유클리드 기하학이 아닌 다른 것으로 작업하고 있다는 것을 처음 깨달았을 때, 그들은 많은 다른 이름으로 그들의 기하학을 묘사했습니다; 펠릭스 클라인은 마침내 피실험자에게 현재 거의 사용되지 않는 수열 타원 기하학(구면 기하학), 포물선 기하학(유클리드 지오메트리)에 포함시키기 위해 쌍곡 기하학이라는 이름을 주었습니다.metry), 쌍곡 기하학 등이 있습니다.구소련에서는 발견자 중 한 명인 러시아의 기하학자 니콜라이 로바체프스키의 이름을 따서 보통 로바체프스키 기하학이라고 불립니다.

이 페이지는 주로 2차원(평면형) 쌍곡 기하학과 유클리드와 쌍곡 기하학의 차이점과 유사점에 관한 것입니다.3차원 이상으로 확장된 쌍곡 기하학에 대한 자세한 내용은 쌍곡 공간을 참조하십시오.

특성.

유클리드 기하학과의 관계

쌍곡 기하학은 보이는 것보다 유클리드 기하학과 더 밀접한 관련이 있습니다. 유일한 공리적 차이는 평행 공준입니다.평행 공준을 유클리드 기하학에서 제거하면 결과적인 기하학이 절대 기하학이 됩니다.절대기하학에는 유클리드와 쌍곡이라는 두 종류가 있습니다.유클리드의 원소들 중 제1권의 처음 28개 명제를 포함한 모든 절대기하학의 정리는 유클리드 기하학과 쌍곡기하학에서 유효합니다.유클리드의 요소 중 제1권의 명제 27과 28은 평행선/비교차선의 존재를 증명합니다.

유클리드 기하학에서 동등한 개념은 쌍곡 기하학에서는 동등하지 않으며 새로운 개념을 도입할 필요가 있습니다.또한, 평행각 때문에 쌍곡 기하학은 거리와 각도 측정 사이의 관계인 절대 척도를 갖습니다.

줄들

쌍곡 기하학의 단일 선은 유클리드 기하학의 단일 직선과 정확히 동일한 속성을 갖습니다.예를 들어 두 점이 고유하게 선을 정의하고 선 세그먼트를 무한히 확장할 수 있습니다.

교차하는 두 선은 유클리드 기하학에서 교차하는 두 선과 같은 속성을 갖습니다.예를 들어, 두 개의 구별되는 선은 한 점 이하에서 교차할 수 있고, 교차하는 선은 동일한 반대 각도를 형성하며, 교차하는 선의 인접한 각도는 보충적입니다.

세 번째 선이 도입되면 유클리드 기하학에서 교차하는 선과 다른 교차하는 선의 속성이 발생할 수 있습니다.예를 들어, 두 개의 교차하는 선이 주어졌을 때 주어진 선 중 어느 하나도 교차하지 않는 선이 무한히 많습니다.

이러한 특성은 선이 근본적으로 다르게 보일 수 있는 경우에도 모두 사용되는 모델과 독립적입니다.

비교차/평행선

쌍곡 기하학에서 교차하지 않는 선은 유클리드 기하학에서 교차하지 않는 선과 다른 특성을 갖습니다.

선 R과 R 위에 있지 않은 점 P에 대해, 선 R과 점 P를 포함하는 평면에는 R과 교차하지 않는 두 개의 뚜렷한 선이 P를 통과합니다.

이는 P를 통해 R과 교차하지 않는 무한한 수의 공면선이 있음을 의미합니다.

교차하지 않는 이 선들은 두 개의 클래스로 나뉩니다.

• 두 개의 선(그림에서 x와 y)은 극한 평행선(때로는 임계 평행, 호로 평행 또는 그냥 평행이라고도 함)입니다. R의 "끝"에 있는 각각의 이상점의 방향으로 하나가 있으며, 점근적으로 R에 접근하여 항상 R에 가까워지지만 결코 만나지 않습니다.
• 교차하지 않는 다른 모든 선들은 최소 거리의 점을 가지고 그 점의 양쪽에서 발산하며, 평행하거나 때로는 비교차라고 불립니다.

어떤 기하학자들은 단순히 "평행선을 제한한다"는 의미로 "평행선"이라는 단어를 사용하고, 초평행선은 단지 교차하지 않는다는 의미입니다.

이러한 제한 평행선은 PB와 각도 θ를 만듭니다. 이 각도는 평면의 가우스 곡률과 거리 PB에만 의존하며 평행도 각도라고 합니다.

초평행선의 경우, 초평행선 정리는 쌍곡선 평면에 각 쌍의 초평행선에 수직인 고유한 선이 있음을 나타냅니다.

원과 디스크

쌍곡 기하학에서 반지름 r인 원의 원둘레는 2 π ${\displaystyle 2\pir$보다 $큽니다$.

$R$ = ${\displaystyle 1\frac{\sqrt{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\sqrt{K}}{}}${\$displaystyle$ R = {\$frac {1}{\sqrt${-$K$라 $하고$, 여기서$K$ {\$displaystyle$ K$}$는 평면의 가우스 곡률입니다.쌍곡 기하학에서 K ${\displaystyle$ K$}$은(는) 음수이므로 제곱근은 양수입니다.

그러면 반지름 r인 원의 원둘레는 다음과 같습니다.

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,}$

동봉된 디스크의 면적은 다음과 같습니다.

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}-1\right)\,}$

따라서 쌍곡 기하학에서 원의 원둘레와 반지름의 비율은 항상 2$$π {\$displaystyle$ 2$\pi$보다 엄격하게 크나, 충분히 작은 원을 선택하여 임의로 가깝게 만들 수 있습니다.

평면의 가우스 곡률이 -1이면 반지름 원 r의 지오데틱 곡률은 1 ${\displaystyle \frac{\tanh }{}}$⁡ (${\displaystyle \frac{r}{}}$)$${\$displaystyle${\$frac {1}{\tanh(r)}}$

하이퍼사이클 및 호루사이클

쌍곡 기하학에서는 점이 모두 다른 선과 동일한 선이 없습니다.대신, 주어진 선으로부터 동일한 직교 거리를 갖는 점들은 하이퍼사이클이라고 불리는 곡선 위에 놓여 있습니다.

또 다른 특별한 곡선은 정상 반경(직각선)이 모두 서로 평행하게 제한되는 곡선인 호로사이클입니다(모두 동일한 이상점, 즉 호로사이클의 중심으로 한 방향으로 점근적으로 수렴됨).

모든 점들을 통해 두 개의 순환 고리가 있습니다.호로사이클의 중심은 그들 사이의 선분의 수직 이등분선의 이상적인 점입니다.

임의의 세 개의 구별되는 점이 주어지면, 그것들은 모두 선, 하이퍼사이클, 호로사이클 또는 원 위에 놓여있습니다.

선분의 길이는 두 점 사이에서 가장 짧은 길이입니다.두 점을 연결하는 하이퍼사이클의 호 길이는 선분의 호 길이보다 길고 같은 두 점을 연결하는 호 순환의 호 길이보다 짧습니다.두 점을 연결하는 두 개의 호 순환의 호 길이는 같습니다.두 점 사이의 원의 호 길이는 두 점을 연결하는 호 순환의 호 길이보다 큽니다.

평면의 가우스 곡률이 -1이면, 호로사이클의 측지선 곡률은 1이고 하이퍼사이클의 측지선 곡률은 0과 ^[1]1 사이입니다.

트라이앵글

각도가 항상 1/2 라디안(180°, 직선각)까지 합해지는 유클리드 삼각형과 달리 쌍곡 기하학에서 쌍곡 삼각형의 각도의 합은 항상 1/2 라디안(180°, 직선각)보다 작습니다.그 차이를 결점이라고 합니다.

쌍곡 삼각형의 면적은 라디안 단위의 결함에 R을² 곱하여 주어집니다.결과적으로, 모든 쌍곡 삼각형은 Rθ보다² 작거나 같은 면적을 갖습니다.세 각도가 모두 0°인 쌍곡 이상 삼각형의 넓이는 이 최대치와 같습니다.

유클리드 기하학에서와 같이, 각각의 쌍곡 삼각형은 원형을 갖습니다.쌍곡기하학에서, 세 꼭짓점이 모두 호로사이클이나 쌍곡선 위에 놓여 있다면 삼각형은 외접원이 없습니다.

구면 및 타원 기하학에서와 같이 쌍곡 기하학에서는 두 삼각형이 유사한 경우에는 반드시 일치해야 합니다.

정각류

쌍곡 기하학에서 특별한 다각형은 무한한 수의 변을 가진 균일한 다각형인 정다각형입니다.

유클리드 기하학에서, 그러한 다각형을 구성할 수 있는 유일한 방법은 측면 길이를 0으로 만들고 원각형을 원과 구별할 수 없도록 하거나, 내부 각도를 180도로 하고 원각형을 직선에 가깝게 만드는 것입니다.

그러나 쌍곡 기하학에서, 일반적인 어각형은 어떤 길이의 변을 갖습니다(즉, 다각형으로 남아 있음).

측면과 각도 이등분선은 측면 길이와 측면 사이의 각도에 따라 제한되거나 평행하게 발산됩니다(위의 선 참조).이등분선이 평행하게 제한되어 있는 경우, 동심원 호로사이클에 의해 아페리오곤이 내접 및 외접될 수 있습니다.

이등분선이 평행하게 발산하는 경우 유사점(아페리오곤과 구별되게 다른)을 쌍곡선으로 새겨 넣을 수 있습니다(모든 꼭짓점은 선의 동일한 거리, 축, 측면 세그먼트의 중점도 동일한 축과 동일한 거리입니다).

테셀레이션

유클리드 평면과 마찬가지로 정다각형을 면으로 하는 쌍곡면 테셀레이션도 가능합니다.

슈바르츠 삼각형(pq r)을 기준으로 무한한 수의 균일한 타일링이 존재하며, 여기서 p, q, r은 기본 도메인 삼각형의 세 점에서 반사 대칭의 각 순서이며, 대칭 그룹은 쌍곡 삼각형 그룹입니다.또한 슈바르츠 삼각형에서 생성할 수 없는 균일한 타일링이 무한히 많습니다. 예를 들어 4각형을 기본 ^[2]도메인으로 요구하는 경우도 있습니다.

표준화 가우스 곡률

쌍곡 기하학은 일정한 음의 가우스 곡률을 갖는 모든 표면에 적용되지만, 곡률 K가 -1인 척도를 가정하는 것이 일반적입니다.

이로 인해 일부 수식이 더 간단해집니다.다음과 같은 예가 있습니다.

• 삼각형의 면적은 라디안 단위의 각도 결점과 같습니다.
• 호로사이클릭 섹터의 면적은 호로사이클릭 아크의 길이와 같습니다.
• 한 끝점에서 접선하는 선이 다른 끝점을 통과하는 반지름과 평행하게 제한되도록 하는 호 순환의 호입니다.^[3]
• 두 동심원의 두 반지름 사이의 호 길이의 비(horocycle이 1만큼 떨어져 있는 경우): 1.^[3]

직각좌표계

쌍곡기하학에서, 4각형의 각도의 합은 항상 360도 미만이고, 쌍곡 직사각형은 등거리 선이 없기 때문에 유클리드 직사각형과 크게 다릅니다. 따라서 적절한 유클리드 직사각형은 두 개의 선과 두 개의 쌍곡선으로 둘러싸여 있어야 합니다.이 모든 것들은 복잡한 좌표계입니다.

그러나 쌍곡면 기하학에는 서로 다른 좌표계가 있습니다.모든 것은 선택한 방향선(x축)에서 점(원점)을 선택하는 것을 기반으로 하며, 그 후에는 많은 선택 사항이 존재합니다.

Lobachevski 좌표 x와 y는 x축에 수직으로 떨어트려서 구합니다.x는 수직의 발 부분의 라벨이 될 것입니다.y는 발(한 쪽은 양수, 다른 쪽은 음수)로부터 주어진 점의 수직을 따라 있는 거리가 됩니다.

다른 좌표계는 점에서 시작점까지의 거리를 (${\displaystyle 0,}$ +${\displaystyle }$θ$){\displaystyle (0,$ +\$infty)}$중심으로$$ 측정하고 이 ^[4]시계를 따른 길이를 측정합니다.

다른 좌표계는 아래에 설명된 클라인 모델 또는 푸앵카레 디스크 모델을 사용하고 유클리드 좌표를 쌍곡선으로 사용합니다.

거리

방향 쌍곡면 위의 데카르트 유사^{[citation needed]} 좌표계 (x, y)는 다음과 같이 구성됩니다.쌍곡선 평면에 있는 선과 이 선의 방향 및 원점 o를 함께 선택합니다.그러면:

• 점의 x좌표는 원점까지의 선(점에서 선까지의 수직 세그먼트의 발)에 대한 투영의 부호화 거리입니다.
• y좌표는 점에서 선까지의 부호 거리이며, 점이 방향선의 양 또는 음의 방향에 있는지에 따라 부호가 표시됩니다.

이 좌표계에서 (x_i, y_i), i=1,2로 표시되는 두 점 사이의 거리는

이 공식은 쌍곡 삼각형에 대한 공식에서 도출할 수 있습니다.

해당 메트릭 텐서 필드는 ${\displaystyle 다음}$과 같습니다$.$ ( ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle {cosh}^{}}$ 2 ⁡${\displaystyle y}$ ( ${\displaystyle d{}^{}}$x )${\displaystyle 2^{}}$+ (${\displaystyle {dy}^{}}$ ) 2$${\$displaystyle (\mathrm {d}$ s$)^{2$} =\$cosh ^{2}$ y$\,$ (\$mathrm {d}$ x$)^{2}$ + (\$mathrm {d}$ y$)^{2$ 입니다.

이 좌표계에서 직선은 다음과 같은 형태 중 하나를 취합니다((x₀, y는 선 상의 한 점이고₀, x, y, A 및 α는 매개변수입니다).

x축에 대하여 극도로 평행한

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

부정적인 면에서 점근적으로 평행한

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

긍정적인 면에서 점근적으로 평행한.

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

수직으로 교차하는

${\displaystyle x=x_{0}}$

각도 α로 교차하기

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha)\sinh(x-x_{0})}$

일반적으로 이러한 방정식은 (x 값의) 유계 영역에서만 유지됩니다.해당 도메인의 가장자리에서 y의 값은 ±무한까지 불어납니다.쌍곡면#극좌표계에 대한 좌표계도 참조하십시오.

역사

기원전 300년경 유클리드의 원소가 출판된 이래로, 많은 기하학자들은 평행선 가설을 증명하기 위한 시도를 했습니다.어떤 사람들은 그것의 부정을 가정하고 모순을 도출하려고 노력함으로써 그것을 증명하려고 했습니다.이들 중 가장 중요한 것들은 프로쿠스, 이븐 알 하이탐 (알하센), 오마르 카얌,^[5] 나세르 알둔 알투시, 비텔로, 게르소니데스, 알폰소, 그리고 후에 지오바니 제롤라모 사케리, 존 왈리스, 요한 하인리히 람베르,^[6] 그리고 레전드레였습니다.그들의 시도는 실패할 수밖에 없었지만(우리가 지금 알고 있듯이, 평행 공준은 다른 공준으로부터 증명할 수 없습니다), 그들의 노력은 쌍곡 기하학의 발견으로 이어졌습니다.

이븐 알하이탐-람베르트 4각형과 카얌-사케리 4각형을 포함한 4각형에 대한 알하센, 카얌, 알투시의 정리는 쌍곡 기하학에 대한 최초의 정리였습니다.쌍곡 기하학에 대한 그들의 연구는 위텔로, 게르소니데스, 알폰소, 존 월리스, 사케리를 ^[7]포함한 후기 유럽의 기하학자들 사이에서 그것의 발전에 상당한 영향을 미쳤습니다.

18세기에, Johann Heinrich Lambert는 쌍곡함수를^[8] 소개했고 쌍곡삼각형의 ^[9]넓이를 계산했습니다.

19세기의 발전

19세기에 쌍곡 기하학은 니콜라이 이바노비치 로바체프스키, 야노스 볼라이, 칼 프리드리히 가우스, 프란츠 타우리누스에 의해 광범위하게 탐구되었습니다.유클리드 기하학의 공리에서 평행선 공준을 제거하고 싶었던 전임자들과는 달리, 이 저자들은 새로운 ^[10][11]기하학을 발견했다는 것을 깨달았습니다.가우스는 프란츠 타우리누스에게 보낸 1824년 편지에서 그가 그것을 만들었다고 썼지만, 가우스는 그의 작품을 출판하지 않았습니다.가우스는 그것을 "비유클리드 기하학"^[12]이라고 불렀고, 몇몇 현대 작가들이 "비유클리드 기하학"과 "쌍곡 기하학"을 동의어로 계속 생각하게 만들었습니다.타우리누스는 1826년 쌍곡 삼각법에 대한 연구 결과를 발표하고 쌍곡 기하학은 자기 일관성이 있지만 여전히 유클리드 기하학의 특별한 역할을 믿는다고 주장했습니다.쌍곡 기하학의 완전한 체계는 1829/1830년에 로바체프스키에 의해 출판되었고, 볼라이는 그것을 독립적으로 발견하여 1832년에 출판되었습니다.

1868년, 에우제니오 벨트라미는 쌍곡 기하학의 모델(아래 참조)을 제공했고, 이것을 이용해 유클리드 기하학이 일치하는 경우에만 쌍곡 기하학이 일치한다는 것을 증명했습니다.

"쌍곡 기하학"이라는 용어는 1871년 ^[13]펠릭스 클라인에 의해 소개되었습니다.Klein은 Arthur Cayley의 계획을 따라 등각을 만들기 위해 투영 기하학의 변환을 사용했습니다.이 아이디어는 원뿔 단면 또는 사칙을 사용하여 영역을 정의하고, 교차 비율을 사용하여 메트릭을 정의했습니다.원추형 단면 또는 사변형 안정성을 남기는 투영 변환은 등각형입니다."클라인은 케일리 절대곡선이 실제 곡선이라면 내부의 투영면 부분은 쌍곡면과 등각형이라는 것을 보여주었습니다."^[14]

역사에 대한 자세한 내용은 비유클리드 기하학에 대한 기사를 참조하고 콕서터와 밀너를 ^[16]참조하십시오^[15].

철학적 결과

쌍곡 기하학의 발견은 중요한 철학적 결과를 가져왔습니다.발견 이전에 많은 철학자들(예: 홉스와 스피노자)은 유클리드의 에우클리드의 에우클리드의 에우클리드의 에우클리드의 에우클리드에 사용된 추론 방법을 언급하면서 "기하학적 방법"의 관점에서 엄격함을 보았습니다.

순수이성비판에서 칸트는 (유클리드 기하학에서) 공간과 시간은 세계의 객관적인 특징으로서 인간에 의해 발견되는 것이 아니라 우리의 ^[17]경험을 조직하기 위한 피할 수 없는 체계적인 틀의 일부라는 결론에 도달했습니다.

가우스는 자신의 수학 왕자(라틴어로 "수학자의 왕자")^[18]의 지위를 망칠 "보이아인들의 분노"를 두려워하여 쌍곡 기하학에 대해 아무 것도 발표하지 않았다고 합니다.보이오티아인들의 열광은 수학적인 엄격함, 분석적인 철학, 논리의 큰 발전을 촉진시켰습니다.쌍곡 기하학은 마침내 일관성이 입증되었으며 따라서 또 다른 유효한 기하학입니다.

우주의 기하학(공간 치수만 해당)

유클리드 기하학, 쌍곡 기하학, 타원 기하학은 모두 일치하기 때문에, 어떤 것이 공간의 실제 기하학이고, 만약 쌍곡 또는 타원형이라면, 그것의 곡률은 얼마인가라는 질문이 제기됩니다.

로바체프스키는 이미 시리우스의 시차를 측정하고 시리우스를 평행각의 이상점으로 취급함으로써 우주의 곡률을 측정하려고 했습니다.그는 그의 측정이 정확하지 않다는 것을 깨달았고, 우주의 기하학이 쌍곡선이라면, 절대 길이는 지구 궤도 지름의 최소 백만 배(2000,000 AU, 10 파섹)^[19]라는 결론에 도달했습니다.어떤 사람들은 그의 측정이 방법론적으로 ^[20]결함이 있었다고 주장합니다.

앙리 푸앵카레는 그의 구세계 사고 실험을 통해 일상적인 경험이 반드시 다른 기하학을 배제하는 것은 아니라는 결론에 도달했습니다.

기하학화 추측은 우리 공간의 기본 기하학에 대한 8가지 가능성의 완전한 목록을 제공합니다.어떤 것이 적용되는지를 결정하는 문제는, 최종적인 답에 도달하기 위해서, 우리는 지구나 심지어 우리 은하계의 ^[21]어떤 것보다 훨씬 더 큰, 매우 큰 모양을 볼 수 있어야 한다는 것입니다.

우주의 기하학 (특수상대성이론)

특수 상대성 이론은 공간과 시간을 동등한 기반 위에 놓아서 공간과 시간을 ^[22][23]따로 고려하는 대신 통일된 시공간의 기하학을 고려합니다.민코프스키 기하학은 갈릴레이 기하학(갈릴레이 상대성 ^[24]이론의 시간을 가진 3차원 유클리드 공간)을 대체합니다.

상대성 이론에서 유클리드, 타원 및 쌍곡 기하학을 고려하기보다는 각각 0, 양 및 음 곡률에 해당하는 민코프스키 공간, 드 시터 공간 및 반 드 시터 ^[25][26]공간을 고려하는 적절한 기하학입니다.

쌍곡기하학은 속도를 나타내는 신속성을 통해 특수 상대성 이론으로 들어가 쌍곡각으로 표현됩니다.이 속도 기하학에 대한 연구는 운동학적 기하학이라고 불립니다.상대론적 속도의 공간은 3차원 쌍곡 기하학을 가지며, 거리 함수는 "근접" 지점(속도)^[27]의 상대적 속도로부터 결정됩니다.

쌍곡면의 물리적 구현

유클리드 공간에는 일정한 음의 가우스 곡률의 유한한 면적을 가진 다양한 의사구가 존재합니다.

힐베르트 정리에 의해, 완전한 쌍곡면(일정한 음의 가우스 곡률의 완전한 규칙면)을 3차원 유클리드 공간에 등각적으로 몰입시키는 것은 불가능합니다.

쌍곡 기하학의 다른 유용한 모델은 메트릭이 보존되지 않는 유클리드 공간에 존재합니다.의사권에 기초한 특히 잘 알려진 논문 모델은 윌리엄 서스턴에 의한 것입니다.

크로셰 기술은 쌍곡 평면을 시연하기 위해 사용되었으며(수학 및 섬유 예술 § 뜨개질 및 크로셰 참조), 다이나 타이미사에 의해 처음으로 이러한 시연이 이루어졌습니다.

2000년에 키스 헨더슨은 "하이퍼볼 축구공"(정확히는 잘린 순서-7 삼각형 타일링)^[29][30]이라고 불리는 빠르게 만드는 종이 모델을 시연했습니다.

헬라만 퍼거슨(^[31]Helaman Ferguson)이 디자인한 쌍곡 이불을 만드는 방법에 대한 지침서가 제프 ^[32]위크스(Jeff Weeks)에 의해 제공되었습니다.

쌍곡면 모형

다양한 의사구(음의 가우스 곡률이 일정한 표면)는 표준 유클리드 미터법에 따라 3차원 공간에 내장될 수 있으므로 유형의 물리적 모델로 만들 수 있습니다.이 중에서 트랙토이드(흔히 의사권이라고 함)가 가장 잘 알려져 있습니다. 트랙토이드를 쌍곡면의 모델로 사용하는 것은 원뿔이나 원기둥을 유클리드 평면의 모델로 사용하는 것과 유사합니다.그러나 이러한 방식으로 쌍곡면 전체를 유클리드 공간에 내장할 수 없으며, 다른 다양한 모델이 쌍곡 기하학을 추상적으로 탐구하는 데 더 편리합니다.

쌍곡 기하학에 일반적으로 사용되는 모델은 클라인 모델, 푸앵카레 디스크 모델, 푸앵카레 반평면 모델, 로렌츠 또는 쌍곡선 모델 등 네 가지입니다.이 모델은 쌍곡 기하학의 공리를 만족시키는 쌍곡 평면을 정의합니다.그들의 이름에도 불구하고, 위에서 언급된 첫 세 개는 푸앵카레나 클라인이 아닌 벨트라미에 의해 쌍곡 공간의 모델로 소개되었습니다.이 모든 모델은 보다 다양한 차원으로 확장할 수 있습니다.

벨트라미-클라인 모델

벨트라미-클라인 모형()은 에우제니오 벨트라미와 펠릭스 클라인의 이름을 딴 것으로, 투영 원반 모형, 클라인 원반 모형, 클라인 모형으로도 알려져 있습니다.

2차원에서 이 모델은 완전한 쌍곡면에 대해 단위 원의 내부를 사용하며, 이 원의 코드는 쌍곡선입니다.

더 높은 차원을 위해 이 모델은 유닛 볼의 내부를 사용하며, 이 n-볼의 코드는 쌍곡선입니다.

• 이 모델은 선이 직선이라는 장점이 있지만 각도가 왜곡되고(매핑이 등각이 아님), 원이 원으로 표현되지 않는다는 단점이 있습니다.
• 이 모델의 거리는 아서 케일리가 투영 기하학에서 도입한 교차 비율의 로그의 절반입니다.

푸앵카레 디스크 모델

등각 디스크 모델로도 알려진 푸앵카레 디스크 모델은 단위 원의 내부를 사용하지만 선은 경계 원과 직교하는 원의 호와 경계 원의 직경으로 표시됩니다.

• 이 모델은 각도를 보존하므로 등각입니다.따라서 이 모델 내의 모든 등각성은 뫼비우스 변환입니다.
• 원의 유클리드 중심이 원의 쌍곡 중심보다 원의 중심에 더 가깝더라도 원 안에 있는 원은 모두 원으로 남아 있습니다.
• 호로사이클(horocycle)은 디스크 내에서 경계원과 접하며 접점을 뺀 원을 말합니다.
• 하이퍼사이클(hypercycles)은 디스크 내에서 비직교각으로 경계원에서 끝나는 개방형 코드 및 원형 아크입니다.

푸앵카레 반평면 모델

푸앵카레 반평면 모델은 평면의 선 B로 경계를 이루는 유클리드 평면의 1/2을 쌍곡면 모델로 삼습니다.B 라인은 모델에 포함되어 있지 않습니다.

유클리드 평면은 데카르트 좌표계가 있는 평면으로 할 수 있으며 x축은 선 B로 하고 반평면은 이 평면의 상반(y > 0)입니다.

• 쌍곡선은 B와 직교하는 반원이거나 B와 수직인 광선입니다.
• 광선의 간격 길이는 로그 측정으로 주어지므로 호모토틱 변환 )↦ ( λ x,λy λ > {\$displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda$ x$,\lambda$ day$),\quad \lambda$>$0.}$
• 푸앵카레 디스크 모델과 마찬가지로, 이 모델은 각도를 보존하므로 등각입니다.따라서 이 모델 내의 모든 등각성은 평면의 뫼비우스 변환입니다.
• 반평면 모델은 푸앵카레 디스크 모델의 한계이며, 그 경계는 같은 점에서 B와 접하며 디스크 모델의 반지름은 무한대가 됩니다.

쌍곡선모형

하이퍼볼로이드 모델 또는 로렌츠 모델은 3차원 민코프스키 공간에 내장된 2차원 회전 하이퍼볼로이드를 사용합니다.이 모델은 일반적으로 푸앵카레의 것으로 여겨지지만^[33], 레이놀즈는 빌헬름 킬링이 1885년에 이 모델을 사용했다고 말합니다.

• 이 모델은 특수 상대성 이론에 직접 적용됩니다. 민코프스키 3-공간은 시공간에 대한 모델이기 때문에 하나의 공간 차원을 억제합니다.일반적인 사건에서 시작하여 다양한 관성 이동 관측자가 고정된 적절한 시간에 도달할 사건(공간 시간 내 위치)을 나타내기 위해 하이퍼볼로이드를 취할 수 있습니다.
• 쌍곡선 상의 두 점 사이의 쌍곡선 거리는 대응하는 두 관찰자 사이의 상대적인 속도로 식별될 수 있습니다.
• 모델은 추가 차원으로 직접 일반화됩니다. 쌍곡 3-공간 3차원 쌍곡 기하학은 민코프스키 4-공간과 관련이 있습니다.

반구 모델

반구 모델은 그 자체로 모델로 자주 사용되지는 않지만 다른 모델 간의 변환을 시각화하는 데 유용한 도구로 기능합니다.

반구 모델은 단위 구의 상반부를 사용합니다: + + = > $.$ {\$displaystyle$ x$^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2$} = $1, z$ > $0.}$

쌍곡선은 반구의 경계와 직교하는 반원입니다.

반구형 모델은 리만 구의 일부이며, 다른 투영은 쌍곡면의 다른 모델을 제공합니다.

• (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ - ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle (0, 0, -1)}$에서 평면 z =$0${\$displaystyle$ z =$$0}(으)로 입체 투영하면 Poincaré 디스크 모델에 해당하는 점이 투영됩니다.
• (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ - ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle (0, 0,$ - $1)}$에서 2 + - = - > {\$displaystyle$ x$^{2}$ + $y^{2}$ - $z^{2$} = - $1, z>0}$에서 하이퍼볼로이드 모델에 해당 지점을 투영합니다.
• $평면$ x = ${\displaystyle 1}$${\displaystyle x$= 1 {\$displaystyle$ x 1 1$}$에서 Poincaré 반평면 모델의 해당 점을 투영하는 입체 투영법
• $평면$ z = ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ z = C}에 대한 정사 투영은 Beltrami-Klein 모델에 해당하는 점을 투영합니다.
• 구의 중심에서 $평면$ z = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ z = $1}$에 해당하는 점을 Gans 모델에 투영합니다.

자세한 내용: 모델 간 연결(아래)

간스 모델

1966년 데이비드 간스(David Gans)는 American Mathematical ^[34]Monthly지에 평평한 쌍곡선 모형을 제안했습니다.하이퍼볼로이드 모델을 xy 평면에 정사 투영한 것입니다.이 모델은 다른 모델처럼 널리 사용되지는 않지만 쌍곡 기하학을 이해하는 데 상당히 유용합니다.

• 클라인이나 푸앵카레 모델과는 달리, 이 모델은 유클리드 평면 전체를 활용합니다.
• 이 모형의 선은 쌍곡선의 ^[35]가지로 표시됩니다.

밴드모델

밴드 모델은 두 평행선 ^[36]사이에 유클리드 평면의 일부를 사용합니다.밴드의 중간을 지나는 한 선을 따라 거리가 유지됩니다.대역이 { ∈ : ⁡ <π / 2 {\$displaystyle$\{$z\in \mathbb {C}$: \$operatorname {Im}$ z <\$pi$/$2$로 주어졌다고 가정하면 메트릭은 ${\displaystyle \mathrm{dz}}$ sec ⁡ (${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ⁡${\displaystyle z}$ )$${\$displaystyle$dz \$sec (\operatorname {Im}$z $)\}$로 주어집니다.

모형간의 연결

모든 모델은 기본적으로 동일한 구조를 설명합니다.이들 사이의 차이점은 동일한 메트릭 공간에 배치된 서로 다른 좌표 차트, 즉 쌍곡면을 나타낸다는 것입니다.쌍곡면 자체의 특징은 사용되는 좌표 차트와 무관한 일정한 음의 가우스 곡률을 갖는다는 것입니다.측지학도 마찬가지로 불변합니다. 즉, 측지학은 좌표 변환 하에서 측지학에 매핑됩니다.쌍곡 기하학은 일반적으로 측지학과 ^[37]쌍곡면에서의 교차점으로 소개됩니다.

일단 우리가 좌표 차트("모델" 중 하나)를 선택하면, 우리는 항상 같은 차원의 유클리드 공간에 그것을 내장할 수 있지만, 내장은 분명히 등각이 아닙니다(유클리드 공간의 곡률이 0이므로).쌍곡 공간은 무한히 많은 다른 차트로 표현될 수 있지만, 이 네 개의 특정 차트로 인한 유클리드 공간의 임베딩은 몇 가지 흥미로운 특성을 보여줍니다.

네 모형이 동일한 메트릭 공간을 설명하므로 각각을 다른 메트릭 공간으로 변환할 수 있습니다.

예를 들어 다음을 참조하십시오.

• 벨트라미-클라인 모형과 하이퍼볼로이드 모형의 관계,
• Beltrami-Klein 모델과 푸앵카레 디스크 모델의 관계,
• 그리고 푸앵카레 디스크 모델과 하이퍼볼로이드 모델의 관계.

쌍곡면의 등각성

쌍곡면 자체의 모든 등각(변환 또는 운동)은 최대 3개의 반사의 구성으로 실현될 수 있습니다.n차원 쌍곡선 공간에서는 최대 n+1개의 반사가 필요할 수 있습니다.(이것들은 유클리드 기하학과 구형 기하학에도 적용되지만, 아래 분류는 다릅니다.)

쌍곡면의 모든 등각은 다음과 같은 부류로 분류할 수 있습니다.

• 방향 보존
  • 아이덴티티 아이소메트리 - 아무것도 움직이지 않고 반사가 없으며 자유도가 0입니다.
  • 한 점(반회전)을 통한 반전 — 주어진 점을 통과하는 서로 수직인 선을 통과하는 두 반사, 즉 그 점을 중심으로 180도 회전, 두 자유도.
  • 정상점 주위의 회전 – 주어진 점을 통과하는 선을 통과하는 두 개의 반사(특수한 경우에는 반비례), 점들이 중심 주위의 원 위에서 이동, 세 개의 자유도.
  • 이상점(horolation) 주위의 "점" – 이상점으로 이어지는 선을 통한 두 개의 반사; 점들이 이상점 중심의 순환을 따라 이동; 두 개의 자유도.
  • 직선을 따른 병진 – 주어진 선에 수직인 선을 통과하는 두 개의 반사; 주어진 선에서 떨어진 점들이 하이퍼사이클을 따라 이동; 세 개의 자유도.
• 방향 전환
  • 선을 통한 반사—하나의 반사; 두 개의 자유도.
  • 선을 통한 복합 반사와 동일한 선을 따른 번역 - 반사와 번역이 통근합니다. 3개의 반사가 필요합니다. 3개의 ^{[citation needed]}자유도.

쌍곡기하학

M. C. Esher의 유명한 판화 Circle Limit III과 Circle Limit IV는 등각 디스크 모델(Poincaré disk model)을 꽤 잘 보여주고 있습니다.III의 하얀 선들은 측지선(hypercycles)은 아니지만, 그것들에 가깝습니다.삼각형과 사각형의 각도의 합에 대한 효과를 통해 쌍곡면의 음의 곡률을 매우 명확하게 볼 수도 있습니다.

예를 들어, 원 한계 III에서 모든 꼭지점은 세 개의 삼각형과 세 개의 사각형에 속합니다.유클리드 평면에서, 그들의 각도는 450°, 즉 원과 사분의 일입니다.이로부터 쌍곡면에 있는 삼각형의 각도의 합은 180°보다 작아야 함을 알 수 있습니다.눈에 보이는 또 다른 특성은 기하급수적인 성장입니다.예를 들어, Circle Limit III에서는 중심으로부터 n 거리 이내에 있는 물고기의 수가 기하급수적으로 증가하는 것을 볼 수 있습니다.물고기들은 같은 쌍곡면을 가지고 있기 때문에 반지름 n의 공의 면적은 n에서 지수함수적으로 증가해야 합니다.

크로셰의 기술은 쌍곡면(위 사진)을 보여주기 위해 사용되었으며, 그의 책 "쌍곡면과 함께하는 크로셰팅 모험"은 2009년 올해의 ^[38]가장 이상한 책으로 베스트 셀러/다이어그램 ^[28]상을 수상한 다이나 타이미사에 의해 처음 만들어졌습니다.

하이퍼로그(HyperRogue)는 쌍곡선 평면의 다양한 타일링을 배경으로 한 로그(roug)와 같은 게임입니다.

고차원

쌍곡 기하학은 2차원으로 제한되지 않으며, 더 높은 모든 차원에 쌍곡 기하학이 존재합니다.

균질구조

차원 n의 쌍곡 공간은 비압축형 리만 대칭 공간의 특별한 경우이며, 이는 몫과 동형이기 때문입니다.

${\displaystyle \mathrm {O}(1,n)/(\mathrm {O}(1)\times \mathrm {O}(n)).}$

직교군 O(1, n)는 민코프스키 공간^1,n R에 대한 노름 보존 변환에 의해 작용하고, 노름 1 벡터의 두 시트 하이퍼볼로이드에 대해 과도적으로 작용합니다.원점을 통과하는 타임라이크 선들(즉, 양의 노름 접선을 가진 선들)은 쌍곡선의 반모달 점들을 통과하므로 이러한 선들의 공간은 쌍곡선 n-공간의 모델을 산출합니다.임의의 특정 선의 안정화는 직교군 O(n)과 O(1)의 곱과 동형이며, 여기서 O(n)은 쌍곡선의 점의 접공간에 작용하고 O(1)은 원점을 통해 선을 반사합니다.쌍곡 기하학의 많은 기본 개념은 선형 대수학 용어로 설명될 수 있습니다. 측지 경로는 원점을 통과하는 평면과의 교차로, 쌍곡면 사이의 다면체 각도는 법선 벡터의 내부 산물로 설명될 수 있으며 쌍곡 반사 그룹은 명시적인 행렬 실현이 제공될 수 있습니다.

작은 차원에서 쌍곡 공간의 대칭을 고려하는 추가적인 방법을 제공하는 Lie 그룹의 예외적인 동형이 있습니다.예를 들어, 차원 2에서, 동형화 SO(1, 2) ≅ PSL(2, R) ≅ PSU(1, 1)는 상위 반평면 모델을 몫 SL(2, R)/SO(2)로 그리고 푸앵카레 디스크 모델을 몫 SU(1, 1)/U(1)로 해석할 수 있게 합니다.두 경우 모두 대칭 그룹은 리만 구의 각 부분 공간의 PGL(2, C)에서 방향 보존 안정화이기 때문에 부분 선형 변환에 의해 작용합니다.케일리 변환은 쌍곡면의 한 모델을 다른 모델로 가져갔을 뿐만 아니라 대칭군의 동형을 더 큰 그룹의 컨쥬게이션으로 실현합니다.차원 3에서, 리만 구에 대한 PGL(2, C)의 분수 선형 작용은 동형 사상 O(1, 3) ≅ PGL(2, C)에 의해 유도된 쌍곡 3-공간의 등각 경계에 대한 작용과 식별됩니다.이를 통해 대표적인 복소 행렬의 스펙트럼 특성을 고려하여 쌍곡 3-공간의 등각을 연구할 수 있습니다.예를 들어, 포물선 변환은 상위 반공간 모델에서 경직된 변환에 적합하며, 그들은 정확히 무능한 상위 삼각 행렬로 표현될 수 있는 변환입니다.

참고 항목

메모들

참고문헌

• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) 쌍곡 기하학에 관한 참고, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1-182, IRMA 수학 및 이론 물리학 강의, Vol. 18, Zürich: 유럽 수학 학회(EMS), 461페이지, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171-105
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• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. Vol. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co.
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• Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Athanase Papadopoulos 지음, 유럽수학의 유산, Vol. 4. Zürich: 유럽수학학회(EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
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• 레이놀즈, 윌리엄 F., (1993) 쌍곡 기하학 쌍곡기하학, 미국 수학 월간지 100:442-455
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. Vol. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697.
• Samuels, David, (2006년 3월) 니트 이론 발견 잡지, 제27권, 제3호
• James W. Anderson, 쌍곡 기하학, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
• 제임스 W. 캐넌, 윌리엄 J.Floyd, Richard Kennyon, Walter R. Parry (1997) 쌍곡 기하학, MSRI 출판사, 31권

외부 링크

• 뉴멕시코주 쌍곡 기하학 대학의 Poincaré 디스크 모델에서 스케치를 작성하기 위한 자바스크립트 프리웨어
• "쌍곡 기하학 노래" 유튜브에서 볼 수 있는 쌍곡 기하학의 기본에 대한 짧은 뮤직비디오.
• "Lobachevskii geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Gauss–Bolyai–Lobachevsky Space". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Geometry". MathWorld.
• 일리노이 대학교 어바나 샴페인(Urbana-Champaign)의 다양한 모델 간의 변환을 위한 영화 및 방정식을 포함한 쌍곡 기하학에 대한 더 많은 정보
• 쌍곡 보로노이 다이어그램은 쉽게 만들었습니다, 프랭크 닐슨
• Stothers, Wilson (2000). "Hyperbolic geometry". maths.gla.ac.uk. University of Glasgow.Stothers, Wilson (2000). "Hyperbolic geometry". maths.gla.ac.uk. University of Glasgow.대화형 교육 웹사이트.
• 쌍곡 평면 테셀레이션
• 쌍곡면 모형