브라운 운동

브라운 운동은 매질(액체 또는 기체)^[2]에 매달린 입자의 무작위 운동입니다.

이 운동 패턴은 일반적으로 유체 서브 도메인 내에서 입자의 위치가 무작위로 변동한 후 다른 서브 도메인으로 이동하는 것으로 구성됩니다. 각각의 이전은 새로운 폐쇄 볼륨 내에서 더 많은 변동이 뒤따릅니다. 이 패턴은 주어진 온도로 정의되는 열 평형 상태의 유체를 설명합니다. 이러한 유체 내에는 우선적인 흐름 방향이 없습니다(수송 현상에서와 같이). 좀 더 구체적으로 말하면, 유체의 전체 선형 및 각운동량은 시간이 지남에 따라 널(null)로 유지됩니다. 분자 브라운 운동의 운동 에너지와 분자 회전 및 진동 에너지는 유체 내부 에너지의 열량 성분까지 합합니다(등분할 정리).

이 움직임은 식물학자 로버트 브라운의 이름을 따서 지어졌는데, 로버트 브라운은 1827년 물에 잠긴 클라키아 풀첼라 식물의 꽃가루를 현미경으로 관찰하면서 이 현상을 처음 기술했습니다. 1900년, 프랑스 수학자 루이 바슐리에는 앙리 푸앵카레의 감독 아래 준비된 그의 박사 논문인 추측 이론(Théorie de la spéculation)에서 브라운 운동이라고 불리는 확률적 과정을 모델링했습니다. 그 후 1905년 이론 물리학자 알버트 아인슈타인은 꽃가루 입자의 움직임을 개별 물 분자에 의해 움직이는 것으로 모델링한 논문을 발표하여 그의 첫 번째 주요 과학적 공헌 중 하나를 만들었습니다.^[3]

원자폭격의 힘의 방향은 지속적으로 변하고, 다른 시간에 입자가 다른 쪽보다 한 쪽에 더 많이 부딪혀 겉보기에는 무작위적인 운동의 특성으로 이어집니다. 브라운 운동에 대한 이 설명은 원자와 분자가 존재한다는 설득력 있는 증거로 작용했고 1908년 장 페랭에 의해 실험적으로 더 검증되었습니다. 1926년 페린은 물질의 불연속적인 구조에 대한 연구로 노벨 물리학상을 수상했습니다.^[4]

브라운 패턴을 산출하는 다체 상호작용은 관련된 모든 분자를 설명하는 모델로 해결될 수 없습니다. 따라서 분자 집단에 적용되는 확률적 모델만 사용하여 설명할 수 있습니다.^[5] 아인슈타인과 스몰루쇼스키로 인한 통계역학의 두 가지 모델이 아래에 제시되어 있습니다. 또 다른 순수 확률적 모델 클래스는 확률적 프로세스 모델 클래스입니다. 브라운 운동에 수렴하는 (한계 내에서) 더 단순하고 더 복잡한 확률적 과정의 시퀀스가 모두 존재합니다(랜덤 워크 및 돈스커 정리 참조).^[6][7]

역사

로마 철학자이자 시인인 루크레티우스의 과학시 "사물의 본질에 관하여" c.(기원전 60년)는 제2권의 113절부터 140절까지 먼지입자의 운동에 대한 놀라운 묘사를 하고 있습니다. 그는 이것을 원자의 존재에 대한 증거로 사용합니다.

햇빛이 건물 안으로 들어와 그늘진 곳을 비추면 어떤 일이 일어나는지 관찰하세요. 수많은 작은 입자들이 다양한 방식으로 뒤섞여 있는 것을 볼 수 있을 것입니다. 그들의 춤은 우리 눈에 보이지 않는 물질의 근본적인 움직임을 보여주는 것입니다. 그것은 스스로 움직이는 원자에서 비롯됩니다. 그러면 원자의 추진력에서 가장 덜 제거된 작은 화합물체들은 보이지 않는 타격과 약간 더 큰 물체에 대한 대포의 충격에 의해 작동하게 됩니다. 그래서 그 움직임은 원자들로부터 점점 올라가 우리의 감각 수준으로 올라갑니다. 그래서 우리가 태양 광선에서 볼 수 있는 그 몸들이 보이지 않는 상태로 남아있는 타격에 의해 움직이도록 말이죠.

먼지 입자들의 섞임과 텀블링 운동은 주로 기류에 의해 발생하지만, 작은 먼지 입자들의 반짝임과 흔들림 운동은 주로 진정한 브라운 역학에 의해 발생합니다. 루크레티우스는 "잘못된 예로 브라운 운동을 완벽하게 설명하고 설명합니다.^[9]

1785년 Jan Ingenhousz가 알코올 표면의 석탄 먼지 입자의 불규칙한 움직임을 묘사한 반면, 이 현상의 발견은 종종 1827년 식물학자 Robert Brown의 공으로 여겨집니다. 브라운은 물에 매달린 클라키아 풀첼라 식물의 꽃가루 알갱이들을 현미경으로 연구하던 중 꽃가루 알갱이들에 의해 분출되는 미세한 입자들이 신경질적인 움직임을 보이는 것을 관찰했습니다. 무기물의 입자를 이용한 실험을 반복함으로써 그 운동의 기원은 아직 설명되지 않았지만, 그는 그 운동이 생명과 관련이 있다는 것을 배제할 수 있었습니다.

브라운 운동 뒤에 숨겨진 수학을 처음으로 묘사한 사람은 소발드 N입니다. 1880년에 발표된 최소제곱법에 관한 논문에서 티엘. 이는 1900년 루이스 바슐리에가 박사학위 논문인 "투기론"에서 독립적으로 이어졌는데, 그는 주식과 옵션 시장에 대한 확률적 분석을 제시했습니다. 주식 시장의 브라운 운동 모델이 종종 인용되지만, Benoit Mandelbrot는 부분적으로 불연속적이라는 이유로 주가 운동에 대한 적용을 거부했습니다.^[10]

알베르트 아인슈타인(1905년 논문 중 한 편)과 마리안 스몰루쇼스키(1906년)는 이 문제의 해결책을 물리학자들의 관심에 가져왔고, 원자와 분자의 존재를 간접적으로 확인하는 방법으로 제시했습니다. 브라운 운동을 설명하는 그들의 방정식은 이후 1908년 장 밥티스트 페랭의 실험 작업에 의해 검증되었습니다.

통계역학 이론

아인슈타인의 이론

아인슈타인의 이론에는 두 부분이 있습니다. 첫 번째 부분은 브라운 입자에 대한 확산 방정식의 공식으로 구성되어 있으며, 첫 번째 부분은 확산 계수가 브라운 입자의 평균 제곱 변위와 관련되어 있고, 두 번째 부분은 확산 계수와 측정 가능한 물리량과 관련되어 있습니다.^[11] 이 방법으로 아인슈타인은 기체의 원자의 크기와 1몰에 몇 개의 원자가 있는지, 즉 분자량을 결정할 수 있었습니다.^[12] 아보가드로의 법칙에 따르면 이 부피는 모든 이상기체에 대해 동일하며, 이는 표준 온도와 압력에서 22.414리터입니다. 기체의 몰질량을 아보가드로상수로 나누면 후자가 얻어지기 때문에, 이 부피에 포함된 원자의 수를 아보가드로수라고 하는데, 이 수를 정하는 것은 원자의 질량을 아는 것과 마찬가지입니다.

아인슈타인의 주장의 첫 번째 부분은 주어진 시간 간격에서 브라운 입자가 얼마나 멀리 이동하는지를 알아내는 것이었습니다.^[3] 브라운 입자가 대략 초당 10번의¹⁴ 충돌 정도의 엄청난 수의 충격을 받기 때문에 고전역학은 이 거리를 측정할 수 없습니다.^[2]

그는 1차원(x) 공간(원점이 입자의 초기 위치에 있도록 선택된 좌표를 사용하여)에서 시간$$τ {\displaystyle $\$tau}의 입자 위치 증가를 확률${\displaystyle \mathrm{밀도}}$함수 φ(δ) {\displaystyle \Delta }와 함께 랜덤$$(δ$displaystyle$ \Delta })로 간주했습니다.$(\Delta )}$ (즉,$$$φ$($δ$)) {\displaystyle$$\varphi(\Delta )}는 $크기$$δ$ {\displaystyle \Delta }의 점프에 대한 확률 밀도입니다. 즉, 시간$간격$ τ${\$displaystyle \tau})에서 $입자$의 $위치$가 x ${\displaystyle$ x$}$에서 $x{\displaystyle }$+ δ ${\displaystyle$ x$+\$Delta }로 증가할 확률 밀도입니다. 또한 그는 입자 수 보존을 가정하여 테일러 급수에서 $시간 t +$τ {\displaystyle t+\tau}에서 수 밀도${\displaystyle }$ρ${\displaystyle (}$x$,$t + τ) {\$displaystyle$\rho (x, t+\tau )}($x$$displaystyle{\displaystyle x}$} $주변$의 $단위$부피당 입자 수)를 확장했습니다.

여기서 두 번째 동일성은$$φ $displaystyle$\varphi}의 정의에 의해 결정됩니다. 첫 번째 항의 적분은 확률의 정의에 의해 1과 같고 두 번째 및 다른 짝수 항(즉, 첫 번째 및 다른 홀수 순간)은 공간 대칭 때문에 사라집니다. 남은 것은 다음과 같은 관계를 발생시킵니다.

Laplacian 다음의 계수, 변위 확률의 두 번째 순간$$δ${\displaystyle$\Delta }은 질량 확산도 D로 해석됩니다.

그러면 시간 t에서 x 지점에서 ρ 브라운 입자의 밀도는 확산 방정식을 만족합니다.

초기 시간 t = 0에서 N개의 입자가 원점에서 시작한다고 가정할 때, 확산 방정식은 해를 갖습니다.

(평균 $\mu$ = ${\$displaystyle$$\mu = 0} 및 분산 σ 2 = 2 $Dt$ {\displaystyle \sigma ^{2} = 2 Dt} 일반적으로 브라운 운동 Bt {\displaystyle B_{t}}라고 불리는 이 표현을 사용하여 아인슈타인은 순간을 직접 계산할 수 있었습니다. 첫 번째 순간은 사라지는 것으로 보이는데, 이것은 브라운 입자가 오른쪽으로 움직이는 것과 마찬가지로 왼쪽으로 움직일 가능성이 있다는 것을 의미합니다. 하지만 두 번째 순간은 사라지지 않는 것입니다.

이 식은 평균 제곱 변위를 경과 시간과 확산도로 표현합니다. 이 표현에서 아인슈타인은 브라운 입자의 변위는 경과된 시간에 비례하는 것이 아니라 제곱근에 비례한다고 주장했습니다.^[11] 그의 주장은 브라운 입자의 "앙상블"에서 "단일" 브라운 입자로의 개념적 전환에 기초하고 있습니다. 우리는 브라운 입자가 특정 지점에 도달하는 데 걸리는 시간뿐만 아니라 단일 순간의 입자의 상대적인 수에 대해 말할 수 있습니다.^[13]

아인슈타인 이론의 두 번째 부분은 확산 상수와 주어진 시간 간격에서 입자의 평균 제곱 변위와 같이 물리적으로 측정 가능한 양과 관련이 있습니다. 이 결과는 아보가드로 수와 그에 따른 분자의 크기를 실험적으로 결정할 수 있게 해줍니다. 아인슈타인은 대립하는 힘들 사이에 성립되는 동역학적 평형을 분석했습니다. 그의 주장의 장점은 최종 결과가 동적 평형을 설정하는 데 어떤 힘이 개입되는지에 달려 있지 않다는 것입니다.

아인슈타인은 원래 치료에서 삼투압 실험을 고려했지만 다른 방법으로도 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

예를 들어 중력장의 점성 유체에 매달린 입자를 생각해 보세요. 중력은 입자를 정착시키는 경향이 있는 반면, 확산은 입자를 균질화하는 작용을 하여 농도가 더 낮은 영역으로 몰아갑니다. 중력의 작용 하에서 입자는 아래쪽으로 v=μmg의 속도를 얻게 되는데, 여기서 m은 입자의 질량, g는 중력에 의한 가속도, μ는 유체 내 입자의 이동도를 의미합니다. George Stokes는 반지름이 r인 구형 입자의 $이동도$가 μ = ${\displaystyle \frac{16}{}}$π ηr {\$displaystyle$ \mu = {\tfrac {1}{6\pi \etar}}이며, 여기서 η는 유체의 동적 점도입니다. 동역학적 평형상태에서 등온유체의 가정하에서 입자들은 기압분포에 따라 분포하게 됩니다.

여기서 ρ - ρ는 높이 $차이$로 분리된 입자의 밀도 ${\displaystyle \mathrm{차이}}$로 ${\displaystyle {}_{}}$ = z - z o {\displaystyle h = z-z_{o${\displaystyle \}\},}$ k는 볼츠만 상수(보편기체 상수 R과 아보가드로 상수 N의 비), T는 절대온도입니다.

동적 평형은 입자가 중력에 의해 아래로 당겨질수록 입자가 저농도의 지역으로 이동하는 경향이 커지기 때문에 성립됩니다. 플럭스는 픽의 법칙에 의해 주어집니다.

where J = ρv. ρ의 공식을 소개하면,

동적 평형 상태에서는 이 속도도 v = μmg와 같아야 합니다. v에 대한 두 식은 모두 mg에 비례하며, 이는 유도가 고려된 힘의 유형과 무관함을 반영합니다. 마찬가지로, 크기가 E인 균일한 전기장에서 전하 q의 동일한 하전 입자에 대해 동등한 공식을 도출할 수 있으며, 여기서 mg은 정전기력 qE로 대체됩니다. 이 두 표현식을 동일시하면 mg 또는 qE 또는 다른 그러한 힘과 무관하게 확산도에 대한 아인슈타인 관계가 생성됩니다.

여기서 첫 번째 등식은 아인슈타인 이론의 첫 번째 부분에서 따오고, 세 번째 등식은 볼츠만 상수의 정의에서 k = R / N으로 따지고, 네 번째 등식은 이동성에 대한 스톡스의 공식에서 따옵니다. 보편기체상수 R, 온도 T, 점도 η, 입자반지름 r과 함께 시간 간격에 따른 평균 제곱 변위를 측정하면 아보가드로상수 N을 구할 수 있습니다.

아인슈타인이 제안한 동적 평형의 유형은 새로운 것이 아니었습니다. 1903년 5월 J. J. Thomson은^[14] 이전에 예일 대학교에서 일련의 강의에서 피크의 법칙에 의해 주어진 농도 구배에 의해 생성된 속도와 이온이 운동할 때 발생하는 분압의 변화에 의한 속도 사이의 동역학적 평형이 "우리에게 결정하는 방법을 제공한다"고 지적한 바 있습니다. 분자의 모양이나 크기, 또는 분자가 서로 작용하는 방식에 대한 어떤 가설과도 무관한 아보가드로 상수."^[14]

확산 계수에 대한 아인슈타인의 공식과 동일한 표현은 1888년^[15] 발터 네른스트에 의해서도 발견되었는데, 그는 확산 계수를 마찰력과 그것이 발생하는 속도의 비율에 대한 삼투압의 비율로 표현했습니다. 전자는 반 호프의 법칙과 동일시되었고 후자는 스톡스의 법칙에 의해 주어졌습니다. 그는 확산 계수 k'에 $대해$ k${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ = ${\displaystyle {po}_{}}$/ k {\$displaystyle$ k' = p_{o}/k'라고 적습니다. 여기서 po {\displaystyle p_{o}}는 삼투압이고 k는 점도에 대한 스톡스 공식으로 주어진다고 가정하는 분자 점도에 대한 마찰력의 비율입니다. 삼투압에 대한 단위 부피당 이상적인 기체 법칙을 도입하면 공식은 아인슈타인의 공식과 같아집니다.^[16] 네른스트의 경우는 물론 아인슈타인이나 스몰루초프스키의 경우에도 스톡스의 법칙을 사용하는 것은 평균자유행로에 비해 구의 반지름이 작은 경우에는 적용되지 않기 때문에 엄밀하게 적용할 수 없습니다.^[17]

처음에 아인슈타인의 공식에 대한 예측은 1906년과 1907년에 예측된 값의 4~6배에 달하는 입자의 변위를 제공한 스베드베리의 일련의 실험과 1908년에 아인슈타인의 공식이 예측한 것보다 3배 더 큰 변위를 발견한 앙리의 실험에 의해 겉보기에는 반박된 것처럼 보였습니다.^[18] 그러나 아인슈타인의 예측은 1908년 샤우다이게스와 1909년 페린이 수행한 일련의 실험에서 최종적으로 확인되었습니다. 아인슈타인의 이론의 확인은 열의 운동 이론에 대한 경험적 진보를 구성했습니다. 본질적으로 아인슈타인은 열 평형의 운동 모델로부터 직접 운동을 예측할 수 있다는 것을 보여주었습니다. 이 이론의 중요성은 열역학 제2법칙에 대한 운동론의 설명을 본질적인 통계 법칙으로 확인했다는 데 있습니다.^[19]

스몰루쇼스키 모형

스몰루쇼스키의 브라운 운동 이론은 아인슈타인과 같은 전제에서 출발하여 시간 t에서 x를 따라 브라운 입자의 변위에 대해 동일한 확률 분포 ρ(x, t)을 도출합니다. 따라서 그는 평균 제곱 변위에 대해 다음과 같은 표현을 얻습니다:$$(${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$δ$$x ) 2 ¯ {\$displaystyle${\$overline$Delta x)^{2}}}. 그러나 그가 그것을 스토크스 법칙에 의해 지배되는 마찰력의 $결과$인 속도$$u {\display u$}$로 움직이는 질량 m의 입자와 관련시킬 때, 그는 이를 발견합니다.

${\displaystyle {\overline {(\Delta x)^{2}}}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},}$

여기서 μ는 점도 계수이고 ${\displaystyle a}$는 입자의 반지름입니다. 운동 에너지 ${\displaystyle {mu\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$를 열 에너지 RT/N과 연관시키면 평균 제곱 변위에 대한 표현은 아인슈타인이 발견한 것의 64/27배입니다. 아놀드 소머펠트는 스몰루쇼스키에 대한 그의 신학에서 "아인슈타인의 수치 계수는 스몰루쇼스키와 27/64 차이가 난다"고 언급했습니다.^[21]

Smoluchowski는^[22] 브라운 입자를 전후 방향으로 타격할 확률이 동일한데 왜 더 작은 입자의 폭격으로 대체해야 하는지에 대한 질문에 답하려고 시도합니다. m개의 이득과 n - m개의 손실이 이항 분포를 따르는 경우,

${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$

1/2의 동일한 선험적 확률로 평균 총 이득은

${\displaystyle {\overline {2m-n}}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.$

스털링의 근삿값을 다음과 같은 형태로 사용할 수 있을 정도로 n이 큰 경우

${\displaystyle n!\approx \left ({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$

그러면 예상되는 총 이익은 다음과^{[citation needed]} 같습니다.

${\displaystyle {\overline {2m-n}}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi}}}$

전체 인구의 제곱근으로 증가함을 보여줍니다.

질량 M의 브라운 입자가 속도 u로 이동하는 질량 m의 가벼운 입자로 둘러싸여 있다고 가정해 보자. 그러면 스몰루쇼스키가 주변 입자와 브라운 입자 사이의 충돌에서 후자로 전달되는 속도는 mu/M이 될 것입니다. 이 비율은 10cm⁻⁷/s 정도입니다. 하지만 우리는 또한 기체 안에서 1초에 10번¹⁶ 이상의 충돌이 일어날 것이고, 액체 안에서 1초에 10번의²⁰ 충돌이 일어날 것으로 예상된다는 것도 고려해야 합니다. 이러한 충돌 중 일부는 브라운 입자를 가속시키는 경향이 있고, 다른 일부는 입자를 감속시키는 경향이 있습니다. 한 종류의 충돌이 평균적으로 초과되거나 다른 종류의 충돌이 1초 동안 10⁸~10번¹⁰ 정도의 충돌이 발생할 경우 브라운 입자의 속도는 10~1000cm/s 사이일 수 있습니다. 따라서, 비록 전방 충돌과 후방 충돌에 대한 동일한 확률이 있지만, 투표 정리가 예측하는 것처럼 브라운 입자를 계속 작동시키는 순 경향이 있을 것입니다.

이러한 크기의 순서는 가속 및 감속 경향이 있는 충돌에 따라 달라지는 브라운 입자 U의 속도를 고려하지 않기 때문에 정확하지 않습니다. U가 클수록 브라운 입자의 속도가 한계 없이 증가할 수 없도록 지연시키는 충돌이 더 커질 것입니다. 그러한 과정이 일어날 수 있다면, 그것은 두 번째 유형의 영구 운동과 같습니다. 그리고 동일한 에너지 분할이 적용되기 때문에 브라운 입자의 운동 에너지인 ${\displaystyle {MU\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}{}^{}}$/ 2$${\$displaystyle MU^{2}/2$는 평균적으로 주변 유체 입자의 운동 에너지인 ${\displaystyle {mu\mathrm{}}^{}2\mathrm{}}$/ 2 {\displaystyle $mu^{2}/2}$와 같습니다$.$

1906년 스몰루쇼스키는 브라운 운동을 하는 입자를 설명하기 위한 1차원 모델을 발표했습니다.^[23] 이 모델은 M ≫ m과의 충돌을 가정합니다. 여기서 M은 시험 입자의 질량이고 m은 유체를 구성하는 개별 입자 중 하나의 질량입니다. 입자 충돌은 한 차원에 국한되며 시험 입자가 오른쪽과 마찬가지로 왼쪽에서 부딪힐 가능성이 있다고 가정합니다. 또한 모든 충돌은 항상 동일한 크기의 δV를 부여한다고 가정합니다. N이 오른쪽에서 충돌한 횟수이고 N이 왼쪽에서 충돌한 횟수이면 N이 충돌한 후 입자의 속도는 δV(2N - N)만큼 변하게 됩니다. 그러면 다중성은 다음과 같이 간단히 주어집니다.

${\displaystyle {\binom {N}{N_{\rm {R}}}}={\frac {N!}{N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

그리고 가능한 총 상태 수는^N 2로 주어집니다. 따라서 입자가 오른쪽 N번부터_R 맞을 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle P_{N}(N_{\rm {R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

그 단순성 때문에 스몰루쇼스키의 1D 모델은 브라운 운동을 정성적으로만 묘사할 수 있습니다. 유체 속에서 브라운 운동을 하는 현실적인 입자의 경우 많은 가정이 적용되지 않습니다. 예를 들어, 입자가 운동하고 나면 평균적으로 오른쪽에서 왼쪽에서 같은 수의 충돌이 발생한다는 가정은 무너집니다. 또한, 현실적인 상황에서 항상 하나만 사용하는 것이 아니라 다양한 가능한 δV의 분포가 있을 것입니다.

편미분방정식을 이용한 다른 물리학 모형

확산 방정식은 물리적 정의에 따라 브라운 운동 하에 있는 입자의 위치와 관련된 확률 밀도 함수의 시간 진화의 근사치를 산출합니다. 근삿값은 짧은 시간 척도에서 유효합니다.

브라운 입자의 위치 자체의 시간 진화는 용매의 열 변동이 입자에 미치는 영향을 나타내는 무작위 힘장을 포함하는 방정식인 랑게빈 방정식을 사용하여 가장 잘 설명됩니다. 랑게빈 동역학과 브라운 동역학에서 랑게빈 방정식은 강력한 브라운 성분을 나타내는 분자 시스템의 동역학을 효율적으로 시뮬레이션하기 위해 사용됩니다.

브라운 운동을 하는 입자의 변위는 적절한 경계 조건에서 확산 방정식을 풀고 해의 rms를 구함으로써 얻어집니다. 이것은 변위가 (선형이 아닌) 시간의 제곱근으로 변한다는 것을 보여줍니다. 이것은 브라운 입자의 속도에 관한 이전의 실험 결과가 말도 안 되는 결과를 제공한 이유입니다. 선형 시간 의존성이 잘못 가정되었습니다.

그러나 매우 짧은 시간 규모에서는 입자의 운동이 관성에 의해 지배되고 변위는 시간에 선형적으로 의존합니다. δx = v δt. 따라서 브라운 운동의 순간 속도는 v = δx/δt로 측정할 수 있습니다. 이때 δt << τ, 여기서 τ은 운동량 완화 시간입니다. 2010년 브라운 입자(광학 핀셋으로 공기 중에 갇힌 유리 마이크로스피어)의 순간 속도를 측정하는 데 성공했습니다.^[24] 속도 데이터는 맥스웰-볼츠만 속도 분포와 브라운 입자에 대한 등분율 정리를 검증했습니다.

천체물리학: 은하 내의 항성 운동

항성 역학에서, 거대한 천체(별, 블랙홀 등)는 주변 항성으로부터의 중력에 반응하면서 브라운 운동을 경험할 수 있습니다.^[25] 질량 M의 질량을 가진 물체의 $rms$ 속도 V는 배경별의 rms 속도 v$$⋆ ${\displaystyle$ v_{\star}}과 관련이 있습니다.

${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star}^{2}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $m$≪ M ${\displaystyle$m\ll M}은 배경 별들의 질량입니다. 이 거대한 물체의 중력은 근처의 별들을 다른 별들보다 더 빠르게 움직이게 $하고$, 이로 인해 v$$⋆이 {\$displaystyle$v_{\star}}와 V 모두 증가합니다. 이 공식으로부터 우리 은하 중심에 있는 초거대 블랙홀인 Sgr A*의 브라운 속도는 1 kms⁻¹ 미만으로 예측됩니다.^[26]

수학

수학에서 브라운 운동은 노버트 위너를 기리기 위해 명명된 연속 시간 확률 과정인 위너 과정에 의해 설명됩니다. 이것은 가장 잘 알려진 Levy 과정 중 하나이며(정지된 독립적인 증분이 있는 확률적 과정) 순수 및 응용 수학, 경제 및 물리학에서 자주 발생합니다.

위너 프로세스 W는_t 다음과 같은 네 가지 사실로 특징지어집니다.^[27]

1. W = 0
2. W는_t 거의 확실하게 연속적입니다.
3. W는_t 독립적인 증분을 갖습니다.
4. ${\displaystyle W_{}}$- ${\displaystyle W_{}}$~ ${\displaystyle N\mathcal{}}$ ${\displaystyle (0,}$ ${\displaystyle t}$- s${\displaystyle }$) ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,$ t - $s)}($$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$ 0$\leqs\leq$ t$})$입니다.$$

${\displaystyle \mathcal{N}(\mu ,}$ 2) ${\displaystyle {\mathcal${N$}}(\mu,\sigma$^{2})}은 기대값 ${\displaystyle \mathcal{\mu }}$와 분산 σ을 갖는 정규 분포를 나타냅니다. The condition that it has independent increments means that if ${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$ then ${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$ and ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$ are independent random 변칙적인 것 In addition, for some filtration ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$, ${\displaystyle W_{t}}$ is ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ measurable for all ${\displaystyle t\geq 0}$.

위너 프로세스의 대안적인 특성은 이른바 레비 특성화로, 위너 프로세스는 W = 0 및 2차 변형$$[$,$ Wt] = t {\displaystyle [W_{t,W_{t}] = t}를 갖는 거의 확실한 연속 마팅게일이라고 말합니다.

세 번째 특성은 위너 프로세스가 계수가 $독립적$인 N${\displaystyle (0,}$ 1${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0, 1)}$개의$$ 랜덤 변수인 사인 급수로 스펙트럼 표현을 한다는 것입니다. 이 표현은 Kosambi-Karhunen-Loève 정리를 사용하여 얻을 수 있습니다.

위너 프로세스는 임의 보행 또는 정지된 독립 증분이 있는 다른 이산 시간 확률적 프로세스의 스케일링 한계로 구성될 수 있습니다. 이것은 돈스커의 정리라고 알려져 있습니다. 랜덤 워크와 마찬가지로 위너 프로세스는 1차원 또는 2차원에서 반복적이지만(원점의 고정된 이웃으로 무한히 자주 되돌아옴을 의미함) 3차원 이상에서는 반복적이지 않습니다. 랜덤 워크와 달리 스케일 불변입니다.

브라운 입자의 위치 자체의 시간 진화는 대략적으로 랑게빈 방정식으로 설명될 수 있는데, 이 방정식은 용매의 열 변동이 브라운 입자에 미치는 영향을 나타내는 무작위 힘장을 포함합니다. 긴 시간 척도에서 수학적 브라운 운동은 랑게빈 방정식으로 잘 설명됩니다. 작은 시간 척도에서, 관성 효과는 랑게빈 방정식에서 널리 퍼집니다. 그러나 수학적 브라운 운동은 그러한 관성 효과를 배제합니다. 관성 효과는 Langevin 방정식에서 고려되어야 합니다. 그렇지 않으면 방정식이 단수가 됩니다.^{[clarification needed]} 따라서 단순히 이 방정식에서 관성항을 제거하는 것은 정확한 설명을 산출하는 것이 아니라 입자가 전혀 움직이지 않는 특이한 행동을 산출할 수 있습니다.^{[clarification needed]}

통계학

브라운 모션은 무작위 보행으로 모델링할 수 있습니다.^[28]

일반적인 경우, 브라운 운동은 마르코프 과정이며 확률적 적분 방정식으로 설명됩니다.^[29]

레비 특성화

프랑스 수학자 폴 레비는 연속적인 R-값ⁿ 확률 과정 X가 실제로 n차원 브라운 운동이 되기 위한 필요충분조건을 주는 다음과 같은 정리를 증명했습니다. 따라서 실제로 레비의 조건은 브라운 운동의 대안적 정의로 사용될 수 있습니다.

X = (X, ..., X)를 R의 값을 취하는 확률 공간 (σ, ω, P)에 대한 연속 확률 과정이라고 가정합니다. 그렇다면 다음은 동등합니다.

1. X는 P에 대한 브라운 운동입니다. 즉, P에 대한 X의 법칙은 n차원 브라운 운동의 법칙과 동일합니다. 즉, 푸시포워드 측도 X(P)는 C([0, + ∞; R)에 대한 고전적인 위너 측도입니다.
2. 둘다요.
   1. X는 P(및 자체 천연 여과)에 대한 마팅게일입니다.
   2. 모든 1 ≤ i, j ≤ n, X(t)X(t) - δt는 P(및 자체 천연 여과)에 대한 마팅게일이며, 여기서 δ은 크로네커 델타를 나타냅니다.

스펙트럼 함량

확률적 프로세스 ${\displaystyle {Xt}_{}}$ ${\$의 스펙트럼 함량은 공식적으로 다음과 같이 정의되는 전력 스펙트럼 밀도로부터 알 수 있습니다$$.

여기서 $E{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 기대 값을 나타냅니다$$. 브라운 운동의 파워 스펙트럼 밀도는^[30]

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}$는 ${\displaystyle {Xt}_{}}$ ${\$의 확산 계수입니다$.$ 자연 발생 신호의 경우 스펙트럼 내용은 단일 구현의 전력 스펙트럼 밀도에서 찾을 수 있으며, 사용 가능한 시간은 제한됩니다.

브라운 운동 궤적의 개별적 실현을 위해 기대값 ${\displaystyle {\mathrm{\mu BM}}_{}}$(ω, T) ${\displaystyle$\mu_{$BM}(\omega,$ T)}을 갖는 것으로 밝혀졌습니다.

및 분산${\displaystyle {}_{}^{}}$σ BM $($ω, T) ${\displaystyle \sigma_{BM}^{$2}(\omega, T)}

충분히 긴 실현 시간 동안 단일 궤적의 전력 스펙트럼의 예상 값은 공식적으로 정의된 전력 스펙트럼 밀도 $S{\displaystyle (}$ω) {\$displaystyle$S$(\backslash$omega)}에 수렴합니다. 그러나 그 변동 계수 γ $$= σ 2 / μ {\displaystyle \gamma ={\sqrt {\sigma ^{2}}/\mu}는 5 / 2 {\displaystyle {\sqrt {5}}/2} 경향이 있습니다. 이는 무한 시간 제한에서도 S(1)(ω, T) {\displaystyle S^{(1)}(\omega, T)}의 분포가 광범위함을 의미합니다.

리만 다양체

이 섹션은 대부분의 독자가 이해하기에는 너무 기술적일 수 있습니다. 기술적인 세부 사항을 제거하지 않고 비전문가들이 이해할 수 있도록 개선할 수 있도록 도와주시기 바랍니다. (2011년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기에 대해 알아보기)

R에 대한 브라운 운동의 무한소 생성기(따라서 특성 연산자)는 ½ δ로 쉽게 계산되며, 여기서 δ는 라플라스 연산자를 나타냅니다. 이미지 처리 및 컴퓨터 비전에서 라플라시안 연산자는 블롭 및 에지 탐지 등 다양한 작업에 사용되어 왔습니다. 이 관찰은 m차원 리만 다양체(M, g)에 대한 브라운 운동을 정의하는 데 유용합니다. M에 대한 브라운 운동은 로컬 좌표 x$,$ 1 ≤ i ≤ m의 특성 $연산자$ A {\$displaystyle {\mathcal {A}}$가 ½ δ에 의해 주어진 M에 대한 확산으로 정의됩니다. 여기서 δ는 현지 좌표로 주어진 라플라스-벨트라미 연산자입니다.

${\displaystyle \Delta_{\mathrm {LB}}={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}\sum_{i=1}^{m}{\frac {\partial x_{i}}\left ({\sqrt {\det(g)}\sum_{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}\right),}$

여기서 [g] = [g]는 정방행렬의 역수를 의미합니다.

구사일생

좁은 탈출 문제는 생물학, 생물물리학 및 세포 생물학에서 어디에서나 볼 수 있는 문제입니다. 브라운 입자(이온, 분자 또는 단백질)는 탈출할 수 있는 작은 창을 제외하고 반사 경계에 의해 제한된 영역(구획 또는 세포)으로 제한됩니다. 좁은 탈출 문제는 평균 탈출 시간을 계산하는 문제입니다. 이 시간은 창이 축소됨에 따라 분산되므로 계산이 특이한 섭동 문제가 됩니다.

참고 항목

참고문헌

더보기

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• Perrin, J. (1909). "Mouvement brownien et réalité moléculaire" [Brownian movement and molecular reality]. Annales de chimie et de physique. 8th series. 18: 5–114.
  • 페랭의 책 "Les Atomes" (1914)도 참고하세요.
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• Svedberg, T. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen.
• 테일, T.N.
  • 덴마크어 버전: "Om Anvendelseaf mindste Kvadraters Methode i nogle Tilf ælde, hvoren Komplikation af visse Slags suensartede tilf ældige Fejlkilder giver Fejlen 'systematisk' Karakter".
  • 프랑스어 버전: "Surla compensation de quelques erres quasi-systématiques parla méthodes de moindre carés" 비덴스크에서 동시에 출판되었습니다. 셀스크. Skr. 5. Rk., naturvid. 오그매트 Afd., 12:381–408, 1880.

외부 링크

• 브라운 운동에 관한 아인슈타인
• 브라운의 원래 관찰에 대한 역사, 식물학 및 물리학에 대해 비디오와 함께 논의합니다.
• "아인슈타인의 예측이 마침내 한 세기 후에 목격되었습니다": 브라운 운동의 속도를 관찰하기 위한 실험
• 대규모 브라운 운동 시연