범위(통계)

통계학에서 데이터 집합의 범위는 표본 최대값과 최소값을 뺀 결과인 가장 큰 값과 가장 작은 ^[1]값 사이의 차이입니다.데이터와 동일한 단위로 표시됩니다.

기술 통계에서 range는 모든 데이터를 포함하는 가장 작은 간격의 크기이며 통계적 산포를 나타냅니다.관측치 중 두 개에만 의존하므로 작은 데이터 ^[2]집합의 산포를 표현하는 데 가장 유용합니다.

연속형 IID 랜덤 변수의 경우

누적분포함수 G(x)와 확률밀도함수 g(x)를 갖는 n개의 독립적이고 동일한 분포의₁ 연속 랜덤₂ 변수 X, X_n, ..., X의 경우, T는 그 범위를 나타내도록 한다. 즉, T₁= max₂(X, X_n, ..., X)-min₂(X, X_n, ..., X)-(X)-(X₁, ..., X)-.

분배

범위 T에는 누적 분포^[3][4] 함수가 있습니다.

${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1},{\text{d}}x.}$

굼벨은 "이 공식의 아름다움은 일반적으로 G(x + t)를 G(x)로 표현할 수 없다는 사실과 수치 적분이 길고 지루하다는 사실로 인해 완전히 훼손되었다"고 말한다."^{[3]: 385}

각_i X의 분포가 오른쪽(또는 왼쪽)으로 제한되면 범위의 점근 분포가 가장 큰(가장 작은) 값의 점근 분포와 같습니다.보다 일반적인 분포의 경우 점근 분포는 베셀 ^[3]함수로 표현될 수 있습니다.

순간

평균 범위는 다음과^[5] 같습니다.

${\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}], {\text{d}}G}$

여기서 x(G)는 역함수입니다.각 X가_i 표준 정규 분포를 갖는 경우 평균 범위는 다음과 같습니다^[6].

$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty}(1-(1-\Phi(x)))^{n}-\Phi(x)^{n}, {\text{d}}x}.$

연속형 비 IID 랜덤 변수의 경우

누적 분포 함수₁ G(x), G₂(x), ..., G_n(x), ..., G(x) 및 확률₂ 밀도 함수 g(x), g(x), ..., g_n(x)를₁ 갖는 n개의 비동일 분포 독립 연속 랜덤 변수₁ X, X₂, ..., X의_n 경우 범위는 누적 분포 함수를 갖는다.

${\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty}^{i}(x)\display_{j=1,j\neq i}^{n}[G_{j}(x+t)-G_{j},{text}}}}.$

이산 IID 랜덤 변수의 경우

누적분포함수 G(x) 및 확률질량함수 g(x)를 갖는 독립적이고 동일한 분포의 이산 랜덤₁ 변수 X, X₂, ..., X의_n 범위는_i 분포함수 G(x)를 가진 모집단에서 n 크기의 표본 범위이다.일반성을 잃지 않고 각 X의_i 지지는 {1,2,3,N}이며, 여기서 N은 양의 정수 또는 ^[7][8]무한대라고 가정할 수 있다.

분배

범위에는 확률 질량^[7][9][10] 함수가 있습니다.

${\displaystyle f(t)=case{case}\sum _{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\[6pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\end{alignedat}\right)&t=1,2,3\ldots,N-1.\end {case}}$

예

g(x) = 1/N, 모든 x에 대한 이산 균일한 분포라고 가정하면 다음과^[9][11] 같이 됩니다.

${\displaystyle f(t)=flac {1}{N^{n-1}}&t=0\[4pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}\right]^{n}-2\frac{n}{n}}{n}{n}}}{n}}{n}}}{n}}}}{n}}}}{n}}}{n}}}{n}}}}}{n}}}}}}}{n}}}{\end {case}}$

파생

특정 범위 값 t를 가질 확률은 t에 의해 다른 두 표본과 두 극단 사이의 값을 갖는 다른 모든 표본의 확률을 더하여 결정할 수 있습니다.1개의 샘플 값이 x일 확률은 $n{\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$x $)\displaystyle$ ng$(x$입니다.다른 값이 x보다 클 확률은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle (n-1)g(x+t))}$

다른 모든 값이 이 두 극단 사이에 있을 확률은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(\int _{x+t}^{x}g(x),{\text{d}x\right)^{n-2}=\left(G(x+t)-G(x)\right)^{n-2}.}$

이 세 가지를 조합하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

${\displaystyle f(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }g(x)g(x+t)[G(x)]^{n-2},{\text{d}x}$

관련 수량

범위는 주문 통계 정보의 구체적인 예입니다.특히, 범위는 순서 통계량의 선형 함수이므로 L-추정의 범위에 포함됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 사분위간 범위
• 학습 범위

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