V-통계

V-통계학은 1947년 ^[1]기초 논문에서 점근 분포 이론을 개발한 리처드 폰 미제스의 이름을 딴 통계학 클래스이다.V-통계량은 ^[4]1948년 바실리 호핑이 도입한 U-통계^[2]^[3]('편향되지 않음'을 뜻하는 U)와 밀접한 관련이 있다.V-통계량은 확률 분포의 특정 통계 함수에 의해 정의된 (표본의) 통계 함수입니다.

통계 함수

경험적 분포 함수 $(F_{n})$ $(F_{n})$ $)$ 의 $T(F_{n})$ T $T(F_{n})$ $T(F_{n})$ n $T(F_{n})$ ) { $displaystyle$ T $(F_{n$ $})$ {displaystyle T(F_ ${n$ })}로 $T(F_{n})$ $(F_{n})$ 나타낼 수 $있는$ 통계는 통계 ^[5]함수라고 한다 $.$ 함수 T의 미분성은 폰 미제스 접근법에 중요한 역할을 하므로 폰 미제스는 미분 가능한 통계 ^[1]함수를 고려한다.

통계 함수의 예

k번째 중심 모멘트는 $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ T ( $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ F ) $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ δ ( $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ - $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ ) $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ F $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ ( $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$ ) {{ $displaystyle$ T $(F$ )=\ $int (x-\mu)^{k},dF(x$ 입니다. $\mu =E[X]$ 서 μ $\mu =E[X]$ [ $]$ \ $displaystyle$ \ $mu =E[X]$ 는 $\mu =E[X]$ X의 기대값입니다.관련된 통계 함수는 표본 k번째 중심 모멘트이다.
$T_{n}=m_{k}=T(F_{n})=sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x})^{k}}$
카이 제곱 적합도 통계량은 통계 함수 T(F_n)이며, 통계 함수에 해당한다.
${\displaystyle T(F)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\int _{A_{i}}, dF-p_{i}}^2}}{p_{i}}},$
여기서_i A는 k개의 셀이고_i p는 귀무 가설에서 지정된 셀의 확률입니다.
Cramér-von-Mises 및 Anderson-Darling 적합도 통계는 다음 항목에 기초한다.
$\displaystyle T(F)=\int(F(x)-F_{0}(x))^{2},w(x;F_{0}),dF_{0}(x),}$
여기서 w(x; F₀)는 지정된 가중치 함수₀, F는 지정된 늘 분포입니다.w가 항등함수인 경우 T(F_n)는 잘 알려진 Cramér–von-Mises 적합도 통계량입니다. $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ ( $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ ; $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ ) $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ [ $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ 0 $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ ( $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ ) $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ - $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ { $displaystyle$ w $(x; F_{0$ } $=$ [ $F_{0}(x$ )( $1-F_{0}(x$ )) >^{- $1}$ 그럼 $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ T_n(F)는 Anderson-Darling 통계량이다.

V-통계로서 표현

x, ..., x가_n 표본이라고 가정합니다₁.일반적인 애플리케이션에서 통계 함수는 V-통계로서 표현된다.

{\displaystyle V_{mn}=sum {i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_1},x_{2},\display,x_{i_{m}}}),

여기서 h는 대칭 커널 함수입니다.Serfling에서는^[6] 실제로 커널을 찾는 방법에 대해 설명합니다.V를_mn 도 m의 V-통계량이라고 합니다.

2차 대칭 커널은 함수 h(x, y) = h(y, x)가 h 영역의 모든 x 및 y에 대하여 h(x, y)인 함수 h(x, y)이다.샘플₁ x, ..., x의_n 경우 해당 V-통계정보가 정의됩니다.

V_{2,n}=sum frac {1}{n^{2}}\sum _{j=1}^{n}h(x_{i},x_{j}).

V-통계량 예제

2도 V-통계량의 예는 두 번째 중심 모멘트이다₂.h(x, y) = (x - y)/²2인 경우 해당 V-통계량은 다음과 같습니다.
${\displaystyle V_{2,n}=sum frac {1}{n^{2}\sum _{j=1}^{n}{\sum {1}{n}{{{j}}{2}=sum frac {1}{n}{n}{n}{{n}{n}\sum_sum$
분산의 최대우도 추정기입니다.동일한 커널에서 해당하는 U-통계량은 (편향되지 않은) 표본 분산입니다.
$s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ 2 $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ ( $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ 2 $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ ) - 1 $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ < $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ ( $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ i - $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ ) $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ - $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ i $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ n ( x $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ - $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ ) $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ ( \ $display style$ s $^{2} =$ { $n$ \ $choose$ 2) \ $sum$ _ { $i$ < $j$ } { \ $frac {$ } { x $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ _ 2 } $=$ { $x _$ j } } ^2 ^2 }

점근 분포

예제 1-3에서는 통계량의 점근 분포가 다릅니다. (1)에서는 정규 분포, (2)에서는 카이 제곱 변수, (3)에서는 카이 제곱 변수의 가중치 합입니다.

Von Mises의 접근방식은 ^[1]위의 모든 경우를 포괄하는 통합 이론입니다.비공식적으로, 통계 함수의 점근 분포 유형은 함수 T의 테일러 확장에서 사라지지 않는 첫 번째 항인 "퇴행"의 순서에 따라 결정된다.선형 항인 경우 한계 분포는 정규 분포입니다. 그렇지 않으면 (중심 한계 정리가 유지되는 적절한 조건 하에서) 고차 분포 유형이 발생합니다.

U-통계학의 ^[7]점근 이론과 평행한 사례의 계층이 있다.A(m)는 다음에 의해 정의되는 속성이라고 합니다.

A(m):

k < m의 경우₁ Var(h_k(X, ..., X) = 0, k = m의 경우 Var(h₁, ..., X_k) > 0,
nR은^m/2_mn (확률적으로) 0이 되는 경향이 있습니다.(R은_mn T에 대한 Taylor 급수의 나머지 항입니다.)

대/소문자 m = 1(비퇴화 커널):

A(1)가 참이면 통계량은 표본 평균이고 중심 한계 정리는 T(F_n)가 점근 정규 분포를 따른다는 것을 의미합니다.

분산 예 (4)에서 $(\mu _{4}-\sigma ^{4})/n$ m은₂ $\sigma ^{2}$ 이 2 $(\$ \ $displaystyle$ $(\mu _{4}-\sigma ^{4})/n$ $^{2})/$ $(\displaystyle$ \ $(\mu _{4}-\sigma ^{4})/n$ \displaystyle ^{ $4$ $}-\$ display $^{4}/$ n $(\mu _{4}-\sigma ^{4})/n$ 인 $\sigma ^{2}$ 점근적으로 정규 분포입니다. $\mu _{4}=E(X-E(X))^{4}$ 서 $\mu _{4}=E(X-E(X))^{4}$ $(\mu _{4}-\sigma ^{4})/n$ $=$ ( $-$ E ( $X$ $\mu _{4}=E(X-E(X))^{4}$ $\mu _{4}=E(X-E(X))^{4}$

대/소문자 m = 2(커널 퇴화):

A(2)가 true이고 $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ E [ $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ ( X $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ , $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ ) $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ ]< $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ 、 $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ h ( $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ , $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ 1 $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ ) $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ > < $、$ \ $displaystyle E$ [ h $^$ { 2 （ X _ { $1$ ） } ]<\ $infty$ $, E$ H ( X _ { $1$ , X _ { 1 ) } 、 \ $infty } 。$ 그런_2,n 다음 nV는 분포에서 독립 카이 제곱 변수의 가중 합계로 수렴합니다.

nV_{2,n}{\stackrel {d}{\longrightarrow}}}\sum _{k=1}^{\infty}\sumda _{k}Z_{k}^2

$Z_{k}$ 서 Z k $(\$ 는 $Z_{k}$ 독립 표준 정규 변수이고 $\lambda _{k}$ k(\ $displaystyle\lambda_{k})$ 는 $\lambda _{k}$ 분포 F와 함수 T에 의존하는 상수입니다.이 경우 점근 분포를 중심 가우스 랜덤 변수의 2차 형식이라고 합니다.통계_2,n V를 퇴화 커널 V-통계라고 합니다.Cramer-von Mises 함수^[1](예 3)와 관련된 V 통계는 퇴화 커널 V 통계의 ^[8]한 예입니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ ^a ^b ^c ^d 폰 미제스(1947)
^ 리(1990)
^ Koroljuk & Borovskich (1994)
^ 호핑 (1948년)
^ 폰 미제스(1947), 페이지 309; 농노(1980), 페이지 210.
^ 농노(1980년, 섹션 6.5)
^ 농노(1980년, 5장~6장), 리(1990년, 3장)
^ 커널 기능에 대해서는 Lee(1990, 페이지 160)를 참조하십시오.

레퍼런스

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Koroljuk, V.S.; Borovskich, Yu.V. (1994). Theory of U-statistics (English translation by P.V.Malyshev and D.V.Malyshev from the 1989 Ukrainian ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2608-3.
Lee, A.J. (1990). U-Statistics: theory and practice. New York: Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-8253-4.
Neuhaus, G. (1977). "Functional limit theorems for U-statistics in the degenerate case". Journal of Multivariate Analysis. 7 (3): 424–439. doi:10.1016/0047-259X(77)90083-5.
Rosenblatt, M. (1952). "Limit theorems associated with variants of the von Mises statistic". Annals of Mathematical Statistics. 23 (4): 617–623. doi:10.1214/aoms/1177729341. JSTOR 2236587.
Serfling, R.J. (1980). Approximation theorems of mathematical statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
Taylor, R.L.; Daffer, P.Z.; Patterson, R.F. (1985). Limit theorems for sums of exchangeable random variables. New Jersey: Rowman and Allanheld.
von Mises, R. (1947). "On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions". Annals of Mathematical Statistics. 18 (2): 309–348. doi:10.1214/aoms/1177730385. JSTOR 2235734.

[VM-1] 폰 미제스(1947)

[2] 리(1990)

[3] Koroljuk & Borovskich (1994)

[4] 호핑 (1948년)

[5] 폰 미제스(1947), 페이지 309; 농노(1980), 페이지 210.

[Serfling.a-6] 농노(1980년, 섹션 6.5)

[7] 농노(1980년, 5장~6장), 리(1990년, 3장)

[8] 커널 기능에 대해서는 Lee(1990, 페이지 160)를 참조하십시오.

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