초타 모델

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이벤트는 확률적 또는 랜덤 프로세스가 임계값에 처음 도달했을 때 트리거되는 경우가 많습니다.임계값은 시스템의 장벽, 경계 또는 지정된 상태가 될 수 있습니다.어떤 초기 상태에서 시작하여 확률적 프로세스가 처음으로 역치에 도달하는 데 필요한 시간을 첫 번째 적중 시간이라고 한다.통계학에서 최초 적중 시간 모형은 생존 모형의 하위 클래스입니다.확률적 프로세스의 인스턴스에 대한 장벽 $B$의 첫 번째 적중 시간은 $확률적$ 프로세스가$B$에$$$처음{\displaystyle }$ 진입할 때까지의 시간입니다.

보다 구어적으로, 확률적 시스템에서의 첫 번째 통과 시간은 상태 변수가 특정 값에 도달하는 데 걸리는 시간입니다.이 측정 기준을 이해하면 관찰 대상인 물리적 시스템을 더욱 이해할 수 있으며, 경제학에서 ^[1]생태학까지 매우 다양한 분야의 연구 주제가 되어 왔다.

확률적 과정의 첫 번째 적중 시간이 사건의 발생 시간을 설명할 수 있다는 생각은 경제학에서 위너 확산 과정의 첫 번째 통과 시간에 대한 관심에서 시작해서 1900년대 ^[2][3][4]초에 물리학에 대한 관심에서 시작하여 오랜 역사를 가지고 있습니다.금융파탄의 확률을 첫 번째 통과시간으로 모델링하는 것은 ^[5]보험분야에서 초기에 적용되었다.20세기 ^{[6][7][8][9][10]}중후반부터 후반까지 생존 데이터 분석을 위한 최초 타격과 통계 모델 및 방법에 대한 관심이 꾸준히 나타났다.

예

첫 번째 히트 모델의 일반적인 예는 갬블러의 파멸과 같은 파멸 문제입니다.이 사례에서 기업(종종 도박사 또는 보험회사로 기술됨)은 시간에 따라 랜덤하게 변동하는 금액을 보유하고 있으며, 경우에 따라 변동할 수 있다.이 모형은 금액이 0에 도달한 사건을 파산을 나타내는 것으로 간주한다.모형은 이러한 현상이 한정된 시간 내에 발생할 확률 또는 발생할 때까지의 평균 시간과 같은 질문에 대답할 수 있습니다.

최초 타격 모델은 환자 또는 기계 장치의 예상 수명에 적용할 수 있다.프로세스가 처음으로 역 임계값 상태에 도달하면 환자가 사망하거나 장치가 고장납니다.

1D 브라운 입자의 첫 통과 시간

가장 단순하고 전존적인 확률 체계 중 하나는 브라운 입자의 1차원 확률 체계이다.이 시스템은 1차원 공간에서 확률적으로 움직이는 입자의 움직임을 묘사하며, 왼쪽이나 오른쪽으로 움직일 확률은 같다.브라운 운동은 보다 복잡한 현상을 이해하기 위한 도구로 자주 사용되기 때문에 브라운 입자의 첫 번째 통과 시간이 시작 위치에서 멀리 떨어진 위치에 도달할 확률을 이해하는 것이 중요하다.이것은 다음의 방법으로 행해집니다.

1차원의 입자에 대한 확률밀도함수(PDF)는 1차원 확산방정식을 풀어 구한다.(이 방정식은 위치 확률 밀도가 시간이 지남에 따라 외부로 확산됨을 나타냅니다.그것은 만약 크림이 처음에 작은 장소에 모두 들어있다면 커피 한 잔에 있는 크림과 유사하다.오랜 시간이 흐른 후 크림이 음료 전체에 골고루 퍼졌습니다.)즉,

${\displaystyle {\frac p(x,t\mid x_{0}}{\frac {\frac ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\frac x^{2}}}$

초기 $조건{\displaystyle }$p (${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mid }$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ ) $=$ ${\displaystyle {}_{}}$($$x${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ) { $style$p ($x$ , $t$${\displaystyle }$$=$ {$0 } \ mid$x _ { 0$\}$ ;${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$x ( $){$ $displaystyle$x ( $t)}$는 어떤 시점에서의 입자의 ${\displaystyle {위치}_{}}$이며$$x 0 { $display style$x_0$}$은 태그 부착되어 있습니다.확산 상수(S.I. ${\displaystyle {단위\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{\mathrm{s}}}$- 1 {\$displaystyle m^{2$}s$^{-1})($입자 속도의 간접 측정).순간 확률 인수의 막대는 조건부 확률을 나타냅니다.확산 방정식은 x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) {$display$ x$(t)}$ $위치$에서 입자를 찾을 확률의 시간에 따른 변화율이 해당 위치에서 그러한 확률의 거리에 대한 감속도에 따라 달라진다는 것을 나타냅니다.

1차원 PDF는

${\displaystyle p(x,t;x_{0})=syslogfrac {1}{\syslogrt {4\pi Dt}}\exp \leftfrac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right}.}$

이는 x${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$) {$displaystyle$ x$(t)}$에서 입자를 찾을 확률은 가우스이며 가우스의 폭은 시간에 따라 달라진다는 것을 나타냅니다.구체적으로는 FWHM(Full Width at Half Maximum)– 기술적으로는 시간이 독립 변수이므로 FWHM(Full Width at Half Maximum)은 다음과 같이 확장됩니다.

${\displaystyle {FWHM}}\sim {sqrt {t}}.}$

PDF를 사용하면 특정 함수 $L{\displaystyle }${\$displaystyle$ L$\}$의 평균값을 $시각{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$\}$에 도출할 수 있습니다.

$\displaystyle \langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)p(x,t),dx,}$

모든 공간(또는 적용 가능한 변수)에 걸쳐 평균을 구합니다.

First Passage Time Density(FPTD)란 입자가 정확한 시각$t{\displaystyle }${$displaystyle$ t$}($t$\displaystyle$ t$}$까지의 간격은 아님)에 처음 x$(\$})에 도달했을 확률입니다.이 확률 밀도는 생존 확률(통계학에서 더 일반적인 확률 측도)에서 계산할 수 있습니다.흡수 경계 $조건{\displaystyle }$p ( ${\displaystyle {}_{}{c}_{}}$ ,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$p ( x$_$ {$c$ ) =$0$} ($흡수점{\displaystyle {}_{}}$ x$$ { $displaystyle$ x$_$ {$c$ }의$$ 첨자 c는 많은 텍스트에서 흡수점에 비유하여 사용되는 절벽의 약어이다.)이 경계 조건을 만족시키는 PDF는 다음과 같습니다.

${{displaystyle p(x,t;x_{0},x_{c})=param frac {1}{\displayrt {4\pi Dt}}\left(\exp \x_{0})^{2}}-\exp \frac {xp {x-2_0}-{c})^{2}}{4Dt}}\right)\right)}}$

< c \ $displaystyle$x < $x$_ { $c$}。생존 확률, 즉 입자가 $최대{\displaystyle }$t$displaystyle$ t$\}$까지 $항상$ x< x c \ displaystyle x < $x$_ { $c$} 에 있을 확률은 다음과 같습니다.

$\displaystyle S(t)\equiv \int _{-\infty }^{x_{c}p(x,t;x_{0},x_{c}), ex=\operatorname {erf} \left\frac {x_{c} {x_{0}}} {2displayrt {Dt {Dt}}}}}}}},\right},$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 erf$$\$displaystyle \operatorname {erf}$는 오류 함수입니다.생존확률과 FPTD의 관계는 다음과 같습니다$.$ t(\$displaystyle$ t$)$와 t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ t$(\displaystyle$ t$+dt)$ 사이의$$ 시간 사이에 입자가 흡수점에 도달했을 $확률$은${\displaystyle f(}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle S(}$ ${\displaystyle t}$ + $)$ {$displaystyle f(t$) $= S$입니다.Roximation, FPTD의 정의는 다음과 같습니다).

${\displaystyle f(t)=-{\frac S(t)}{\partial t}}}$

확산 방정식을 사용하고 적분함으로써 명시적 FPTD는

${{displaystyle f(t)\equiv {x_{c}-x_{0}}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}\exp \left(-{\frac {(x_{c}-x_{0}})^{2}}{4Dt}}\right.}$

따라서 브라운 입자의 첫 번째 통과 시간은 레비 분포를 따릅니다.

$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle (\frac{}{}}$ ( ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$c - ${\displaystyle \frac{{}_{}{}^{}{0\mathrm{}}_{}}{}}$ )${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ 4$$ { $display style$ t$\g {$ ( $x$_ $c$) - $x$_ { $0$}^{ $4$$$}$D$ 위에서부터가 이어집니다.

${\displaystyle f(t)=black {\delta x}{\pi Dt^{3}}}}\sim t^{-3/2}$

여기서 ${\displaystyle \delta }$ x${\displaystyle \delta {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$c - ${\displaystyle {}_{}{}_{}}{\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$(\$displaystyle \Delta$x\$equiv x_{c}-x_{0}$ 이 방정식은 브라운 입자가 (위 단락에서 정의된) 오랜 시간에 첫 번째 통과를 달성할 확률은 점점 더 작아지지만 항상 유한함을 나타냅니다.

FPTD의 첫 번째 모멘트는 (이른바 헤비테일 분포이므로) 평균 FPT를 계산할 수 없기 때문에 FPTD가 최대(θ${\displaystyle }$f /${\displaystyle \mathrm{}\theta }$ t ${\displaystyle =}$ \ $display$style \ $f/\ terminal$ t$=$0 $$)인 전형적인 시간을 계산할 수 있습니다.

$(\displaystyle_{\rm {ty}}={Delta x^{2}}{6D})}$

확률적 프로세스의 많은 제품군에서 최초 적중 애플리케이션

첫 번째 적중 시간은 포아송 과정, 위너 과정, 감마 과정 및 마르코프 체인을 포함한 많은 확률적 과정 패밀리의 중심 특징입니다.확률적 과정의 상태는 예를 들어 물리적 시스템의 강도, 개인의 건강 또는 사업체의 재무 상태를 나타낼 수 있다.프로세스가 처음으로 임계값 상태에 도달했을 때 시스템, 개인 또는 기업에서 장애가 발생하거나 다른 중요한 엔드포인트가 발생합니다.치명적인 사건은 부정적인 사건(예: 장비 고장, 충혈 심부전 또는 폐암) 또는 긍정적인 사건(예: 질병으로부터의 회복, 퇴원, 출산 또는 외상 후 직장 복귀)일 수 있다.그러한 중대한 사건이 발생할 때까지의 시간의 경과는 일반적으로 '생존 시간'으로 해석됩니다.일부 애플리케이션에서는 임계값이 여러 상태의 집합이므로 장비 고장 또는 환자 사망의 경쟁 원인을 고려할 때처럼 세트의 첫 번째 임계값에 도달하기 위해 경쟁하는 첫 번째 타격 시간을 고려한다.

임계값 회귀: 최초 적중 시 회귀

첫 번째 타격 시간에 대한 이론 모델의 실제 적용에는 종종 회귀 구조가 포함됩니다.첫 번째 적중 시간 모델이 공변량 데이터를 수용하는 회귀 구조를 갖춘 경우, 우리는 그러한 회귀 구조 임계값 ^[11]회귀라고 부른다.분계점 상태, 공정의 모수 및 짝수 시간 척도는 해당하는 공변량에 따라 달라질 수 있습니다.사건 발생 시간 데이터에 적용되는 임계값 회귀는 금세기 초부터 나타났으며 2006년 조사 기사와 그 참고 자료에서 설명한 바와 같이 빠르게 증가했다.첫 번째 적중 시간에서 도출된 임계값 회귀 모델과 유비쿼터스 콕스 비례 위험 회귀 모델 사이의 연관성을 ^[14]에서 조사했다.역치 회귀의 적용 범위는 물리 및 자연과학, 공학, 사회과학, 경제 및 비즈니스, 농업, 보건 및 ^{[15][16][17][18][19]}의학을 포함한 여러 분야에 걸쳐 있다.

잠재력 vs 관찰 가능

많은 실제 애플리케이션에서 최초 타격(FHT) 모델에는 (1) 부모 확률 프로세스 $displaystyle$\{$X(t$ (2) 임계값(또는 장벽) 및 (3) 시간 척도의 세 가지 기본 구성요소가 있습니다.첫 번째 적중 시간은 확률적 프로세스가 임계값에 처음 도달하는 시간으로 정의됩니다.모공정의 표본 경로가 잠재되어 있는지(즉, 관측할 수 없음) 또는 관측 가능한지를 구별하는 것이 매우 중요하며, 그러한 구별은 FHT 모델의 특징이다.지금까지 잠재된 과정이 가장 일반적입니다.예를 들어 Wiener 프로세스 $\{{\displaystyle X}$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$、 ${\displaystyle t0}$ 0$}$ { $displaystyle$\ {$X$ ($t$ ) 、 t \ $geq$ 0 , \$$} 를 상위$$ 확률 프로세스로 사용할 수 있습니다.이러한 Wiener 프로세스는 평균 파라미터$μ(\displaystyle$\mu$$}, ,$$, , ), 분산 파라미터 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$2(\$displaystyle {2}},$ , , , $),$ 및 X ( ) > ( \ $displaystyle$X ( 0 ) =$x _$ 0 > $0$, 0 , 0 , , , , , , , , , , , , 로 정의할 수 있습니다.

운용 또는 분석 시간 척도

확률적 과정의 시간 척도는 달력 또는 시계 시간 또는 차량 주행 거리, 기계 구성 요소의 누적 마모 및 손상 또는 유독 가스에 대한 누적 노출과 같은 시간 진행의 더 많은 운영적 척도가 될 수 있다.많은 애플리케이션에서 시스템 상태를 설명하는 확률적 프로세스는 잠재되어 있거나 관측할 수 없으며, 그 특성은 검열된 사건 시간 데이터 및/또는 마커 프로세스와 같은 상관된 프로세스에 대한 시간 경과에 따른 판독치에서 간접적으로 추론되어야 한다.분계점 회귀 분석에서 '회귀'라는 단어는 모형 모수를 설명 변수 또는 공변량에 연결하기 위해 모형에 하나 이상의 회귀 구조가 삽입된 첫 번째 적중 시간 모형을 가리킵니다.회귀 구조가 주어진 매개변수는 확률적 과정, 임계값 상태 및/또는 시간 척도 자체의 매개변수가 될 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 생존 분석
• 비례 위험 모델

레퍼런스

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