스피어맨의 순위 상관계수

통계에서 Charles Spearman의 이름을 따서 그리스 $\rho$ ρ ${\$ displaystyle \rho $rho$ ) 또는 $rs$ $displaystyle$ r_{s}}로 표시되는 Spearman의 순위 상관 계수 또는 Spearman의 ρ는 순위 상관(두 변수의 순위 간의 통계적 의존성)의 비모수 측정입니다. 단조 함수를 사용하여 두 변수 간의 관계를 얼마나 잘 설명할 수 있는지 평가합니다.

두 변수 간의 Spearman 상관 관계는 두 변수의 순위 값 간의 Pearson 상관 관계와 같으며, Pearson의 상관 관계는 선형 관계를 평가하는 반면, Spearman의 상관 관계는 단일 관계(선형 관계든 아니든)를 평가합니다. 반복되는 데이터 값이 없으면 각 변수가 다른 변수의 완전한 단조 함수일 때 +1 또는 -1의 완전한 스피어맨 상관이 발생합니다.

직관적으로 두 변수 사이의 관측치 순위(즉, 변수 내 관측치의 상대적 위치 레이블: 1차, 2차, 3차 등)가 유사할 때 두 변수 사이의 스피어맨 상관은 높습니다. 관측치가 두 변수 사이에 서로 다른(또는 -1의 상관 관계에 대해 완전히 반대) 순위를 가질 때 낮음.

스피어맨의 계수는 연속형 및 이산형 순서형 변수 모두에 적합합니다.^[2]^[3] Spearman의 $\rho$ ρ ${\$ displaystyle \rho}와 $\tau$ 의 $\tau$ τ ${\displaystyle$ \tau}는 모두 보다 일반적인 상관 계수의 특수한 경우로 공식화할 수 있습니다.

정의 및 계산

Spearman 상관 계수는 순위 변수 간의 Pearson 상관 계수로 정의됩니다.^[4]

크기가 n인 표본의 경우 $X_{i},Y_{i}$ $X_{i},Y_{i}$ ${\$ 의 원시 점수를 매깁니다. $Y_{i}}$ 는 $\operatorname {R} ({X_{i}}),\operatorname {R} ({Y_{i}})$ $⁡$ $($ ), $R$ $⁡$ (Yi) {\ $displaystyle \operatorname$ {R}({ $X_$ {i $}),\operatorname$ {R}({ ${$ i})}, $rs {\display$ r_{s}}의 순위로 변환됩니다.

{\displaystyle r_{s}=\rho_{\operatorname {R}(X),\operatorname {R}(Y)}={\frac {\operatorname {cov}(\operatorname {R}(X),\operatorname {R}(Y)}{\sigma_{\operatorname {R}(X)}\sigma_{\operatorname {R}(Y)}},

어디에

ρ {\displaystyle

\rho}는 일반적인 피어슨 상관 계수를 나타내지만 순위 변수에는 적용됩니다.

\operatorname {cov} (\operatorname {R} (X),\operatorname {R} (Y))

⁡

(

R

⁡ (X)

\operatorname {cov} (\operatorname {R} (X),\operatorname {R} (Y))

R ⁡ (Y) {\displaystyle \operatorname {cov}(\operatorname {R} (X),\operatorname {R} (Y)}는 순위 변수의 공분산입니다.

\sigma _{\operatorname {R} (X)}

R

\sigma _{\operatorname {R} (X)}

⁡(

X

)

\sigma _{\operatorname {R} (X)}

{\displaystyle

\sigma

_{\

operatorname {R}(X

\sigma _{\operatorname {R} (X)}

} 및

\sigma _{\operatorname {R} (X)}

σ R ⁡(Y) {\displaystyle \sigma _{\operatorname {R}(Y)}는 순위 변수의 표준 편차입니다.

모든 n개의 순위가 서로 다른 정수일 경우에만 일반 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}},

어디에

d_{i}=\operatorname {R} (X_{i})-\operatorname {R} (Y_{i})

=

R ⁡

(Xi)

d_{i}=\operatorname {R} (X_{i})-\operatorname {R} (Y_{i})

- R ⁡ (Yi) {\displaystyle d

d_{i}=\operatorname {R} (X_{i})-\operatorname {R} (Y_{i})

{i} =\operatorname {R} (X_{i})-\operatorname {R} (Y_{i})은 각 관측치의 두 순위 사이의 차이입니다.

n은 관측치의 개수입니다.

[증명]

해당 순위(R(X i), R(Y i)) = (R(X i), R(Y i)) {\ $displaystyle$ (x_ ${i},$ $y_$ ${i$ $}),\,$ i=1\ dots,n}를 갖는 이변량 $(x_{i},y_{i}),\,i=1\dots ,n$ ( $(x_{i},y_{i}),\,i=1\dots ,n$ $(x_{i},y_{i}),\,i=1\dots ,n$ $(x_{i},y_{i}),\,i=1\dots ,n$ $(x_{i},y_{i}),\,i=1\dots ,n$ ), $(x_{i},y_{i}),\,i=1\dots ,n$ i=1\displaystyle (R(X_{i}),R(Y_{i}) = (R_{i,S_{i})}를 고려합니다. $그러면$ x $,$ $y$ ${\displaystyle$ x $,y}$ 의 스피어맨 상관 계수는 $x,y$

r_{s}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}S_{i}-{\overline {R}}\,{\overline {S}}}{\sigma _{R}\sigma _{S}}},

${\overline {R}}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}$ 서 ${\overline {R}}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}$ ¯ = ${\overline {S}}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}$ ${\overline {R}}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}$ ${\overline {S}}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}$ ∑ i = 1 $n Ri {\$ displaystyle {\overline { $R}}$ = $\textstyle$ {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}}, S ¯ = 1 n ∑ i = 1 n Si {\displaystyle {\overline {S}}=\textstyle {\frac {1}{n}\textstyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}, $\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R}})^{2}$ R $\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R}})^{2}$ = $1$ n $\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R}})^{2}$ ∑ i = 1 n (Ri $\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R}})^{2}$ - R ¯) 2 {\displayst $\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R}})^{2}$ sigma _{R $\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R}})^{2}$ ^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}\textstyle \su $\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R}})^{2}$ _{i=1}^{n}(R_{i}-{\overline {R})^{2}}, 그리고 σ S 2 = 1 n $\sigma _{S}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(S_{i}-{\overline {S}})^{2}$ ∑ $\sigma _{S}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(S_{i}-{\overline {S}})^{2}$ i = $1$ $\sigma _{S}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(S_{i}-{\overline {S}})^{2}$ (Si - S ¯) $2$ {\displaystyle \sigma _{S}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}\textstyle \sum _{i=1}^{n}(S_{i}-{\overline {S})^{2}},

$r_{s}$ ${\display r_{s}}$ 는 순수하게 $d_{i}:=R_{i}-S_{i}$ := $d_{i}:=R_{i}-S_{i}$ - $d_{i}:=R_{i}-S_{i}$ ${\display d_{i}$ 로 표현될 수 있음을 보여줍니다. $=$ R_{i $}-S_{i$ 각 표본 내에 연관성이 없다고 가정하면,

이 가정 하에서 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 우리는 $S$ {\ $displaystyle$ R $,S$ $U$ 를 { $,…,$ n} {\ $displaystyle \{1,2,\$ ldots $,n$ \}에서 균일한 분포의 랜덤 변수 $U$ 처럼 분포된 랜덤 변수로 볼 수 있습니다 $R,S$ $\{1,2,\ldots ,n\}$ Hence ${\overline {R}}={\overline {S}}=\mathbb {E} [U]$ and $\sigma _{R}^{2}=\sigma _{S}^{2}=\mathrm {Var} (U)=\mathbb {E} [U^{2}]-\mathbb {E} [U]^{2}$ , $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ 서 $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ [ U $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ ] = 1 $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ ∑ $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ = $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ n i = $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ ( $\mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}$ + 1 ) $2$ ${\displaystyle \mathbb$ {E} [U] = $\textstyle$ {\frac {1}{ $n}}\textstyle \sum$ _{i=1}^{n $}i$ = $\textstyle$ {\ $frac$ {(n+1)}{2 $}}}$ $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ [ $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ 2 $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ ] $=$ $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ $∑$ $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ $=$ 1 n i $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ $=$ $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ ( $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ n + $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ ) ( $2 n$ + 1 ) 6 {\displaystyle \mathbb {E} [U^{2}] $=$ \textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i $=$ 1}^{n}i^{2} $=$ \textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)} {6 $}}}$ 따라서 $\mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}$ $\mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left(\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}$ ( $\mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left(\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}$ $=$ $\mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left(\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}$ ( $\mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left(\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}$ + $\mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left(\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}$ 1 $\mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left(\textstyle {\frac {(n+1)}{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}$ ) $(2$ n + 1 ) 6 - (n + 1 ) 2 $=$ n 2 - 112 {\displaystyle \mathrm {Var} (U) $=$ \textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)} {6}-\left(\textstyle {\frac {(n+1)} {2) $}}\right)^{2}=\textstyle$ {\frac {n^{2}-1}{12}}. (이 합계는 삼각수와 사각뿔수에 대한 공식 또는 이산 수학의 기본 합계 결과를 사용하여 계산할 수 있습니다.)

지금 관찰해 보세요.

{\begin{aligned}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}S_{i}-{\overline {R}}{\overline {S}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}(R_{i}^{2}+S_{i}^{2}-d_{i}^{2})-{\overline {R}}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}-{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2}\\&=({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2})-{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\&=\sigma _{R}^{2}-{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\&=\sigma _{R}\sigma _{S}-{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\\end{aligned}}

이 모든 것을 종합하면 결과가 나옵니다.

r_{s}={\frac {\sigma _{R}\sigma _{S}-{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{\sigma _{R}\sigma _{S}}}=1-{\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{2n\cdot {\frac {n^{2}-1}{12}}}}=1-{\frac {6\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}.

동일한 값은 일반적으로^[5] 값의 오름차순으로 지정된 위치의 평균과 동일한 부분 순위이며, 이는 가능한 모든 순열에 대한 평균과 동일합니다.

데이터 집합에 타이가 있는 경우 위의 단순화된 공식은 잘못된 결과를 산출합니다. 두 변수 모두에서 모든 순위가 다른 경우에만 $\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X))}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (Y))}=(n^{2}-1)/12$ σ $\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X))}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (Y))}=(n^{2}-1)/12$ R ⁡ $\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X))}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (Y))}=(n^{2}-1)/12$ (X $\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X))}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (Y))}=(n^{2}-1)/12$ σ $\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X))}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (Y))}=(n^{2}-1)/12$ R ⁡ (Y) = Var ⁡ (R $\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X))}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (Y))}=(n^{2}-1)/12$ ⁡ (X)) = Var ⁡ (R ⁡ (Y)) = (n 2 - 1 ) / 12 {\displaystyle \sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)} =\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X) $}=$ \ $operatorname$ {Var} {(\operatorname {R}(Y)} $=$ (n^{2}-1)/12}(편의 분산에 따라 $calcul$ 됨). 첫 번째 방정식(표준 편차로 정규화)은 변환 및 선형 스케일링 모두에 민감하지 않기 때문에 순위가 [0, 1]("상대 순위")로 정규화된 경우에도 사용될 수 있습니다.

단순화된 방법은 데이터 세트가 잘린 경우에도 사용해서는 안 됩니다. 즉, 상위 X 레코드에 대해 스피어맨의 상관 계수가 필요할 때(변경 전 순위 또는 변경 후 순위 또는 둘 다), 사용자는 위에 주어진 피어슨 상관 계수 공식을 사용해야 합니다.^[6]

해석

양 및 음의 스피어맨 순위 상관 관계

양의 스피어만 상관 계수는 X와 Y 사이의 단조 증가 추세에 해당합니다.

음의 스피어만 상관 계수는 X와 Y 사이의 단조 감소 추세에 해당합니다.

Spearman 상관 관계의 부호는 X(독립 변수)와 Y(종속 변수) 사이의 연관 방향을 나타냅니다. X가 증가할 때 Y가 증가하는 경향이 있으면 스피어만 상관 계수는 양수입니다. X가 증가할 때 Y가 감소하는 경향이 있으면 스피어만 상관 계수는 음수입니다. 스피어만 상관 관계가 0이면 X가 증가할 때 Y가 증가하거나 감소하는 경향이 없음을 나타냅니다. 스피어맨 상관관계는 X와 Y가 서로 완벽하게 단조로운 함수에 가까워질수록 크기가 증가합니다. X와 Y가 완벽하게 단조적으로 연관되어 있을 때 스피어만 상관 계수는 1이 됩니다. 완전한 단조 증가 관계는 임의의 $두 i$ 데이터 $값 j$ $X i,$ Y, $Y$ 에_j $대하여 i$ X - $X$ 와_j $Y i$ - $Y$ 가_j 항상 같은 부호를 갖는다는 것을 의미합니다. 완전한 단조 감소 관계는 이러한 차이가 항상 반대의 부호를 갖는다는 것을 의미합니다.

스피어만 상관 계수는 종종 "비모수"로 설명됩니다. 이것은 두 가지 의미를 가질 수 있습니다. 첫째, X와 Y가 어떤 단조 함수에 의해 연관되어 있을 때 완벽한 스피어맨 상관관계가 도출됩니다. X와 Y가 선형 함수로 연관되어 있을 때만 완벽한 값을 제공하는 Pearson 상관과 대조합니다. Spearman 상관 관계가 비모수적이라는 또 다른 의미는 X와 Y의 합동 확률 분포에 대한 지식(즉, 모수를 아는 것)을 필요로 하지 않고 정확한 표본 분포를 얻을 수 있다는 것입니다.

예

이 예제에서는 아래 표에 있는 임의의 원시 데이터를 사용하여 사람의 IQ와 주당 TV 앞에 머무르는 시간의 상관관계를 계산합니다(사용된 가상 값).

IQ, $X_{i}$ ${\$	주당 TV 시청시간, $Y_{i}$ ${\$
106	7
100	27
86	2
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

먼저 evaluate $d_{i}^{2}$ 2 {\ $displaystyle$ d_{i $}^{2}}.$ 이를 위해 아래 표에 표시된 다음 단계를 사용합니다 $.$

첫 번째 열( $X_{i}$ ${\$ 로 데이터를 정렬합니다. $X_{i}$ 새 열 $x_{i}$ ${\$ 를 생성하고 $x_{i}$ 순위 값 1, 2, 3, ..., n을 할당합니다.
그런 다음 두 번째 열( $Y_{i}$ ${\$ 을 기준으로 증강( $x_{i}$ ${\$ 된 데이터를 정렬합니다. $Y_{i}$ 네 번째 열 $y_{i}$ ${\$ 를 생성하고 $y_{i}$ 순위 값 1, 2, 3, ..., n을 유사하게 할당합니다.
두 랭크 열( $x_{i}$ ${\$ 및 $x_{i}$ $y_{i}$ ${\$ 사이의 차이를 유지할 $d_{i}$ 다섯 번째 열 $d_{i}$ ${\$ 를 만듭니다. $y_{i}$
하나의 $d_{i}^{2}$ 열 $d_{i}^{2}$ 2 {\ $displaystyle d_{i}^{$ 2}}를 $d_{i}^{2}$ $d_{i}$ 하여 열 $d_{i}$ di {\ $displaystyle$ d_ ${i$ } 제곱 $d_{i}$ 값을 유지합니다.

IQ, $X_{i}$ ${\$	주당 TV 시청시간, $Y_{i}$ ${\$	$x_{i}$ $x_{i}$ i ${\$	$y_{i}$ $y_{i}$ ${\$	$d_{i}$	$d_{i}^{2}$
86	2	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

$d_{i}^{2}$ $d_{i}^{2}$ $d_{i}^{2}$ 가 발견된 상태에서 $\sum d_{i}^{2}=194$ 을 추가하여 $\sum d_{i}^{2}=194$ ∑ di $\sum d_{i}^{2}=194$ = $194$ {\displaystyle \sum d_{i}^{2}= 194}를 찾습니다. n의 값은 10입니다. 이제 이 값들을 다시 방정식에 대입할 수 있습니다.

\rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}

드리다

{\displaystyle \rho = 1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},

ρ = $-29/$ 165 = -0 $.$ 175757575로 평가됩니다... p-값 = 0.627188(t-distrib 분포 사용)을 사용합니다.

그 값이 0에 가깝다는 것은 비록 음의 값은 텔레비전을 보는 시간이 길수록 아이큐가 낮아진다는 것을 암시하지만, 아이큐와 TV를 보는 시간 사이의 상관관계가 매우 낮다는 것을 보여줍니다. 원래 값의 동점일 경우 이 공식을 사용해서는 안 되며, 대신 순위(위에서 설명한 바와 같이 동점일 경우)에서 피어슨 상관 계수를 계산해야 합니다.

신뢰구간

Spearman의 ρ에 대한 신뢰 구간은 de Carvalho and Marques(2012)의 Jackknife 유클리드 우도 접근법을 사용하여 쉽게 구할 수 있습니다. 레벨 $\alpha$ $\alpha$ 의 신뢰 구간은 후자의 논문에서 주어진 Wilks' 정리를 기반으로 $\alpha$ 하며, 다음과 같이 주어집니다.

\left\{\theta :{\frac {\{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )\}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )^{2}}}\leq \chi _{1,\alpha }^{2}\right\},

여기서 $\chi _{1,\alpha }^{2}$ χ $\chi _{1,\alpha }^{2}$ 1, α 2 ${\displaystyle \chi_$ {1 $,\alpha$ }^{2 $}}$ 는 자유도가 1인 카이-제곱 분포의 α ${\displaystyle$ \alpha } $Z_{i}$ 이고 $Zi$ {\ $displaystyle$ Z_{i}}는 $Z_{i}$ 잭나이프 의사 값입니다. 이 접근 방식은 R 패키지 스피어맨에서 구현됩니다.CI.

유의성 판단

관측된 ρ 값이 0과 유의하게 다른지(r은 항상 -1 ≤ r ≤ 1을 유지함)를 검정하는 한 가지 방법은 순열 검정을 사용하여 귀무 가설이 주어졌을 때 관측된 r보다 크거나 같을 확률을 계산하는 것입니다. 이 접근법의 장점은 표본에 포함된 데이터 값의 수와 순위 상관 관계를 계산할 때 처리되는 방식을 자동으로 고려한다는 것입니다.

또 다른 접근법은 Pearson 곱-모멘트 상관 계수의 경우 Fisher 변환을 사용하는 것과 유사합니다. 즉, 모집단 값 ρ와 관련된 신뢰 구간 및 가설 검정은 Fisher 변환을 사용하여 수행할 수 있습니다.

F(r)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}=\operatorname {artanh} r.

F(r)가 r의 피셔 변환이고, 표본 스피어만 순위 상관 계수이고, n이 표본 크기이면,

z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)

는 r에 대한 z-점수이며, 이는 통계적 독립성의 귀무 가설(ρ =0) 하에서 표준 정규 분포를 대략 따릅니다.

다음을 사용하여 유의성을 테스트할 수도 있습니다.

t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}},

귀무 가설 하에서 $n$ - $2$ 자유도를 갖는 대략적으로 학생의 t-분포로 분포됩니다.^[12] 이 결과에 대한 정당성은 순열 인수에 의존합니다.^[13]

스피어만 계수의 일반화는 조건이 3개 이상이고, 각 조건에서 여러 개의 피험자가 모두 관측되며, 관측치가 특정 순서를 가질 것으로 예측되는 경우에 유용합니다. 예를 들어, 여러 피험자에게 동일한 작업에서 각각 3번의 재판이 주어질 수 있으며, 재판에서 재판까지 수행 능력이 향상될 것으로 예측됩니다. 이 상황에서 조건 간 추세의 유의성 검정은 E. B. Page에^[14] 의해 개발되었으며 일반적으로 순서 대안에 대한 Page의 추세 검정이라고 합니다.

Spearman의 s에 의한 대응분석

고전적 대응 분석은 두 개의 명목 변수의 모든 값에 점수를 부여하는 통계적 방법입니다. 이러한 방법으로 이들 사이의 피어슨 상관 계수가 최대화됩니다.

Spearman의 ρ 또는 Kendall의 τ을 최대화하는 등급 대응 분석이라고 하는 이 방법과 동등한 것이 있습니다.

하천에서 스피어맨의 ρ에 대한 근사치

스트리밍 데이터로부터 스피어맨의 순위 상관 계수를 근사화하는 두 가지 기존 접근 방식이 있습니다.^[16]^[17] The first approach^[16] involves coarsening the joint distribution of $(X,Y)$ . For continuous $X,Y$ values: $m_{1},m_{2}$ cutpoints are selected for $X$ and $Y$ respectively, 무작위 변수들을 분별하는 것입니다. Default cutpoints are added at $-\infty$ and $\infty$ . A count matrix of size $(m_{1}+1)\times (m_{2}+1)$ , denoted $M$ , is then constructed where ${\displaystyle M[i,$ $j]}$ 에는 $M[i,j]$ ( $(i,j)$ ${\display(i,j$ 에 $(i,j)$ 의해 인덱싱된 2차원 셀에 속하는 관측치의 수가 저장됩니다. 스트리밍 데이터의 경우, 새로운 관측치가 도착하면 해당 $M[i,j]$ [ $M[i,j]$ {\ $displaystyle$ M $[i,j]$ 요소가 $M[i,j]$ 증분됩니다. 그런 다음 선형 대수 연산을 $M$ 사용하여 카운트 행렬 $M$ ${\displaystyle$ M $}$ 을 기반으로 스피어맨의 순위 상관을 계산할 수 있습니다(알고리즘 2^[16]). 이산 랜덤 변수의 경우 이산화 절차가 필요하지 않습니다. 이 방법은 대용량 데이터 세트뿐만 아니라 고정 스트리밍 데이터에도 적용 가능합니다. Spearman의 순위 상관 계수가 시간이 지남에 따라 변경될 수 있는 비정규 스트리밍 데이터의 경우 동일한 절차를 적용할 수 있지만 이동하는 관찰 창에 적용할 수 있습니다. 움직이는 창을 사용할 때 메모리 요구 사항은 선택한 창 크기에 따라 선형적으로 증가합니다.

스트리밍 데이터로부터 스피어맨의 순위 상관 계수를 근사화하는 두 번째 방법은 Hermite 시리즈 기반 추정기를 사용하는 것입니다.^[17] 이러한 추정기는 Hermite 다항식을 기반으로 단변량 및 이변량의 경우 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 순차적으로 추정할 수 있습니다. 이변량 Hermite 시리즈 밀도 추정기와 일변량 Hermite 시리즈 기반 누적 분포 함수 추정기는 순차적 Spearman 상관 추정기를 제공하기 위해 Spearman의 순위 상관 계수 추정기의 대규모 표본 버전에 연결됩니다. 이 추정기는 계산 효율성을 위한 선형 대수 연산(식 (8)과 알고리즘 1 및^[17] 2)로 표현됩니다. 이러한 알고리즘은 연속형 랜덤 변수 데이터에만 적용할 수 있지만 이 설정에서 카운트 행렬 접근법에 비해 특정 이점이 있습니다. 첫 번째 장점은 많은 수의 관측에 적용할 때 정확도가 향상된다는 것입니다. 두 번째 장점은 움직이는 창에 의존하지 않고 고정되지 않은 스트림에서 스피어맨의 순위 상관 계수를 계산할 수 있다는 것입니다. 대신, Hermite 시리즈 기반 추정기는 지수 가중치 체계를 사용하여 스트리밍 데이터에서 시간 변동 스피어먼의 순위 상관 관계를 추적합니다. 이는 "효과적인" 이동 창 크기와 관련하여 일정한 메모리 요구 사항을 가지고 있습니다. 이러한 Hermite 시리즈 기반 알고리즘의 소프트웨어 구현이 존재하며 소프트웨어 구현에서 논의됩니다.

소프트웨어 구현

R의 통계 기본 패키지는 "stats" 패키지에 테스트를 구현합니다(또한). cor(x, y, method = "spearman") 될 겁니다. 패키지 창잡이CI는 신뢰 구간을 계산합니다. 패키지 헤르미터는^[18] 순차적 추정치(즉, 새로운 관측치가 통합됨에 따라 온라인/ 증분 방식으로 업데이트되는 추정치)와 함께 스피어만 상관관계의 빠른 배치 추정치를 계산합니다.
Stata 구현: spearman varlist varlist의 모든 변수에 대한 모든 쌍별 상관 계수를 계산합니다.
MATLAB 구현: [r,p] = corr(x,y,'Type','Spearman') 어디에 r 스피어맨의 순위 상관 계수입니다 p 는 p-값이고, x 그리고. y 벡터입니다.^[19]
Python은 스피어맨 상관 통계의 많은 다른 구현을 가지고 있습니다: 그것은 다음의 스피어맨 함수로 계산될 수 있습니다. sci.py.stats 모듈 및 DataFrame.corr(method='spearman') 판다 도서관의 방법과 corr(x, y, method='spearman') pingouin 통계 패키지의 함수입니다.

참고 항목

켄달 타우 순위 상관 계수
체비셰프의 총 부등식, 재배열 부등식(이 두 논문은 스피어만 ρ의 수학적 성질을 조명할 수 있습니다.)
거리상관
폴리코릭 상관

참고문헌

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외부 링크

작은 표본을 사용한 유의성에 대한 ρ의 임계 값 표
Spearman's Rank Correlation Coefficient – Excel Guide: Royal Geographic Society에서 개발한 Excel의 샘플 데이터 및 공식.

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