가속 수명 모델

생존 분석의 통계 영역에서 가속 수명 모델(AFT 모델)은 일반적으로 사용되는 비례 위험 모델에 대한 대안을 제공하는 모수 모델이다.비례 위험 모델은 공변량의 효과가 위험에 일정 상수를 곱하는 것이라고 가정하는 반면, AFT 모델은 공변량의 효과가 질병의 수명을 일정 상수로 가속화 또는 감속하는 것이라고 가정한다.이는 '질병'이 알려진 중간 단계의 순서가 있는 기계적 과정의 결과인 기술적 맥락에서 특히 매력적이다.

모델 명세

일반적으로 가속 수명 모델은 다음과 같이 지정할^[1] 수 있습니다.

\displaystyle \theta ( t \theta )=\theta \theta _{0}(\theta t)}

$\theta$ 서 ${\$ { $displaystyle \theta }$ 는 $\theta$ 공변량의 결합 효과를 나타냅니다. 일반적으로 $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ exp $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ - $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ [ $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ 1 + $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ + + $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ $p$ ] $）$ { $displaystyle \theta$ = \ $exp$ ] [ \ $exp$ } + \ $cdots$ + \ $cdots$ _ ${p$ } X_ ${p$ } } } } efficients _ {p } . {p $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ } efficients { p } } （ cdots _ {p ）））。바이벌 타임(vival time)은 단순한 부호 규칙일 뿐이며, 음의 부호가 없으면 위험이 증가합니다.)

이벤트의 확률 밀도 함수가 f $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ ) $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ 0 $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ \ $theta$ ) = \ $theta f_{0}((theta$ t $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ 인 경우, 이는 충족된다. 그런 다음 $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ ( $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ ) ) $=$ $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ 0 $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ ) \ $tyle$ S $(ta$ ) \ $ta$ \ $ta$ \ta \ta \ta \ta \ta \ta }인 $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ 함수가 된다. $S_{0}(\theta$ t $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ 여기서 모델레이트된 $수명$ T(\ $displaystyle$ T\theta)가 $T$ T $(\displaystyle$ T\ $theta)$ 와 $T\theta$ 비모델레이트된 $T_{0}$ T $(\$ T_ ${0$ })의 $T_{0}$ 분포가 $T\theta$ 을 쉽게^{[citation needed]} 알 수 있습니다. $\log(T)$ 로그 $\log(T)$ ( $\log(T)$ ) { $displaystyle \log$ ( $T$ )는 $\log(T)$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\displaystyle \log(T)=-\log(\theta)+\log(T\theta):=-\log(\theta)+\ilon }

여기서 마지막 항은 log $\log(T_{0})$ ( $\log(T_{0})$ T 0 $\log(T_{0})$ ) \ $displaystyle \log$ ( $\log(T_{0})$ $\log(T_{0})$ )로 배포됩니다 $.즉$ , "\ $displaystyle$ \theta $\theta$ }"와는 무관하게 가속 수명 모델을 회귀 분석(일반적으로 선형 모델)으로 축소합니다 $-\log(\theta )$ 서 - log $θ$ ( $)$ ) \ displaystyle - log ( \ta )는 $-\log(\theta )$ 고정 $\epsilon$ 를 $나타냅니다.$ $\displaystyle \ipsilon }$ 은 $\epsilon$ (는) 노이즈를 나타냅니다. $§의$ 분포가 다르면 $0$ 의 $T_{0}$ 가 다르며 $T_{0}$ 즉 $생존$ 시간의 베이스라인 분포가 다르다는 것을 의미합니다 $.$ 일반적으로 생존 위험 상황에서 많은 관찰이 검열됩니다. 우리는 $T_{i}=t_{i}$ $T_{i}=t_{i}$ $ti$ t_ ${i$ $}$ = $t_{i$ 가 $T_{i}=t_{i}$ $T_{i}>t_{i}$ > $t_{i$ }만 알고 있습니다. 실제로 전자의 경우는 생존을 나타내며, 후자의 경우는 후속 조치 동안의 사건/사망/사건을 나타냅니다. $T_{0}$ 우측 관측 중단 관찰은 T $T_{0}$ 0 $(표시$ $스타일$ T_{0})의 분포가 비정상적일 경우 모델을 추정하는 데 기술적인 어려움을 초래할 수 있다.

가속 수명 모델에서 $§(\displaystyle \theta)$ 의 $\theta$ 해석은 $\theta =2$ . § $\theta =2$ (\ $displaystyle \theta = 2$ )는 $\theta =2$ 개인의 관련 인생사에서 모든 일이 2배 더 빠르게 일어난다는 것을 의미합니다.예를 들어, 모델이 종양의 발생과 관련된 경우, 이는 모든 사전 단계가 노출되지 않은 개인보다 두 배 빠르게 진행된다는 것을 의미하며, 이는 임상 질환이 발생할 때까지의 예상 시간이 기준 시간의 0.5임을 의미한다.단, 위험함수 $\lambda (t|\theta )$ ( $\lambda (t|\theta )$ $\lambda (t|\theta )$ $)(\displaystyle$ \ $lambda$ ( t \theta $))$ 가 $\lambda (t|\theta )$ 항상 두 배 높은 것은 아니다. 이는 비례 위험 모델이다 $.$

통계상의 문제

에서 콕스semi-parametric 비례 위험 모델 보다 넓은 매개 변수 모델보다 사용된다 비례 위험 모델과 달리 항공 화물 터미널 모델 압도적으로 완전히 즉 확률 분포 로그 ⁡(T 0){\displaystyle \log(T_{0})}에 지정되어 있다.(버클리와 James[2]았지만semi-parametric이 제안한 매개 변수 있다. 사용하다Wei는^[3] 1992년 논문에서 Buckley-James 모델이 이론적 정당성이 없고 견고성이 부족하다고 지적하고 대안을 검토했다.)기준선 수명 분포를 모델링하기 위해 어느 정도의 현실적인 세부 사항이 필요한 경우 이는 문제가 될 수 있다.따라서 이 방향의 기술적 발전은 매우 바람직할 것이다.

비례 위험 모형과 달리 AFT 모형의 회귀 모수 추정치는 생략된 공변량에 대해 강력합니다.또한 확률 ^[4]^[5]분포 선택에 영향을 덜 받습니다.

AFT 모델의 결과는 쉽게 ^[6]해석할 수 있습니다.예를 들어, 사망률을 종말점으로 하는 임상 시험의 결과는 대조군에 비해 새로운 치료법의 미래 기대 수명이 일정 비율 증가하는 것으로 해석될 수 있다.따라서 환자는 새로운 치료를 받으면 15% 더 오래 살 수 있다는 것을 알 수 있습니다.위험률은 일반인의 용어로 설명하기가 어려울 수 있다.

AFT 모델에 사용되는 분포

로그 로지스틱 분포는 가장 일반적으로 사용되는 AFT 모델을 제공합니다.Weibull 분포와는 달리, 이것은 초기에 증가하고 나중에 감소하는 비단조 위험 함수를 나타낼 수 있다.모양은 대수 정규 분포와 비슷하지만 꼬리가 더 무겁습니다.로그 로지스틱 누적 분포 함수는 단순 닫힌 형태를 가지며, 관측 중단으로 데이터를 적합시킬 때 계산적으로 중요합니다.관측 중단 관찰의 경우 누적 분포 함수의 보완인 생존 함수가 $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ 하다. 즉 $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ S ( $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ ) ) $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ - F ( $)$ ) \ $displaystyle S$ ( t \theta ) = $1$ - $F$ ( t \theta $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ ) $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ } 를 $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ 할 수 있어야 한다.

와이불 분포(특별한 경우로서 지수 분포 포함)는 비례 위험 모델 또는 AFT 모델로 매개변수화할 수 있으며, 이 속성을 가진 유일한 분포 패밀리이다.따라서 Weibull 모형을 적합시킨 결과는 어느 프레임워크에서도 해석할 수 있습니다.단, 이 모델의 생물학적 적용가능성은 위험함수가 단조롭다는 사실, 즉 감소 또는 증가라는 사실에 의해 제한될 수 있다.

AFT 모델에 적합한 다른 분포에는 로그 정규 분포, 감마 분포 및 역 가우스 분포가 포함되지만, 부분적으로 누적 분포 함수가 닫힌 형태를 가지지 않기 때문에 로그 로지스틱보다 덜 인기가 있다.마지막으로, 일반화 감마 분포는 Weibull, 로그 정규 분포 및 감마 분포를 특수한 경우로 포함하는 3-모수 분포이다.

레퍼런스

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추가 정보

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Hougaard, Philip (1999), "Fundamentals of Survival Data", Biometrics, 55 (1): 13–22, doi:10.1111/j.0006-341X.1999.00013.x, PMID 11318147
Collett, D. (2003), Modelling Survival Data in Medical Research (2nd ed.), CRC press, ISBN 978-1-58488-325-8
Cox, David Roxbee; Oakes, D. (1984), Analysis of Survival Data, CRC Press, ISBN 978-0-412-24490-2
Marubini, Ettore; Valsecchi, Maria Grazia (1995), Analysing Survival Data from Clinical Trials and Observational Studies, Wiley, ISBN 978-0-470-09341-2
Martinussen, Torben; Scheike, Thomas(2006), 생존 데이터를 위한 동적 회귀 모델, Springer, ISBN 0-387-20274-9
Bagdonavicius, Vilijandas, Nikulin, Michail(2002), 가속화된 인생 모델.모델링 및 통계분석, Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-186-0

[1] Kalbfleisch & Prentice (2002). The Statistical Analysis of Failure Time Data (2nd ed.). Hoboken, NJ: Wiley Series in Probability and Statistics.

[2] Buckley, Jonathan; James, Ian (1979), "Linear regression with censored data", Biometrika, 66 (3): 429–436, doi:10.1093/biomet/66.3.429, JSTOR 2335161

[3] Wei, L. J. (1992). "The accelerated failure time model: A useful alternative to the cox regression model in survival analysis". Statistics in Medicine. 11 (14–15): 1871–1879. doi:10.1002/sim.4780111409. PMID 1480879.

[4] Lambert, Philippe; Collett, Dave; Kimber, Alan; Johnson, Rachel (2004), "Parametric accelerated failure time models with random effects and an application to kidney transplant survival", Statistics in Medicine, 23 (20): 3177–3192, doi:10.1002/sim.1876, PMID 15449337

[5] Keiding, N.; Andersen, P. K.; Klein, J. P. (1997). "The Role of Frailty Models and Accelerated Failure Time Models in Describing Heterogeneity Due to Omitted Covariates". Statistics in Medicine. 16 (1–3): 215–224. doi:10.1002/(SICI)1097-0258(19970130)16:2<215::AID-SIM481>3.0.CO;2-J. PMID 9004393.

[6] Kay, Richard; Kinnersley, Nelson (2002), "On the use of the accelerated failure time model as an alternative to the proportional hazards model in the treatment of time to event data: A case study in influenza", Drug Information Journal, 36 (3): 571–579, doi:10.1177/009286150203600312

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