점근 이론(통계량)

통계학에서 점근 이론 또는 큰 표본 이론은 추정치와 통계 검정의 특성을 평가하기 위한 프레임워크이다.이 프레임워크 내에서 표본 $크기$ n이 무한히 증가할 수 있다고 가정하는 경우가 많다. 그런 다음 추정치와 검정의 특성은 n $\to$ µ이라는 $한계$ 하에서 평가된다.실제로 한계 평가는 큰 유한 표본 크기에도 ^[1]대략적으로 유효한 것으로 간주됩니다.

개요

대부분의 통계 문제는 $크기$ n의 데이터 집합에서 시작됩니다.점근 이론은 (원칙적으로) 추가 데이터를 계속 수집할 수 있다고 가정함으로써 진행되며, 따라서 표본 크기가 무한히 커진다. 즉, $n$ $\to$ δ.가정하에서는 유한한 크기의 샘플에는 사용할 수 없는 많은 결과를 얻을 수 있다.큰 수의 약칙이 그 예입니다.이 법칙은 독립적이고 균등하게 분포된(IID) 랜덤 $변수 1$ X $, X 2$ , $...$ 의 시퀀스에 대해 각 랜덤 변수에서 하나의 값을 추출하고 첫 $번째$ n개 값의 평균을 $X$ 로_n 계산하면 X가_n 확률적으로 모집단 $평균$ E $[X i]$ 에 n → $\to$ ^[2] 129로 수렴한다는 것을 명시한다.

점근 이론에서, 표준 접근법은 n $\to δ$ 이다.일부 통계 모형의 경우, 약간 다른 점근적 접근법이 사용될 수 있다.예를 들어 패널 데이터의 경우 일반적으로 데이터의 한 차원은 고정된 상태로 유지되고 다른 차원은 증가한다고 가정합니다. $T$ = $상수$ $및$ N $\to$ δ 또는 ^[2]그 반대입니다.

점근증에 대한 표준 접근법 외에도 다른 대안 접근법이 존재한다.

국소 점근 정규성 프레임워크 내에서, 모델에서 "참 매개변수"의 값이 n에 $따라$ 약간 다르다고 가정하여, n번째 $모델$ 은_n θ = $θ$ + h $/ θn$ 에 해당한다. 이 접근방식을 통해 추정기의 규칙성을 연구할 수 있다.
귀무 가설에 가까운 대안과 구별하기 위해 통계 테스트를 연구할 때, 이는 소위 "국소 대안" 프레임워크 내에서 수행된다. 귀무 $가설$ 은₀ H: = = +이고 대안은 $H 1 :$ $θ$ $= θ 0 0$ + h $/ n$ 이다. 이 접근방식은 단위 근원 테스트에서 특히 인기가 있다.
관측치가 많을수록 모델에 더 많은 구조적 효과를 적용할 수 있다는 사실을 반영하여 매개변수 공간 $δ$ 의_n 치수가 n과 $함께$ 서서히 확장되는 모델이 있다.
커널 밀도 추정 및 커널 회귀에서는 $대역폭h$ 라는 추가 파라미터가 상정됩니다.이러한 모델에서는 일반적으로 h → $0$ 을 n $\to$ $δ$ 로 간주한다.다만, 컨버전스 레이트는 주의 깊게 선택할 필요가 있습니다( $통상$ 은 h $µn -1/5$ ).

많은 경우, 유한 표본에 대한 매우 정확한 결과는 수치적 방법(즉, 컴퓨터)을 통해 얻을 수 있다. 그러나 그러한 경우에도 점근 분석은 유용할 수 있다.이 점은 Small(2010년, §1.4)에 의해 다음과 같이 제시되었다.

점근 분석의 주요 목표는 정량적 도구에 대한 보다 깊은 질적 이해를 얻는 것이다.점근 분석의 결론은 종종 수치적 방법으로 얻을 수 있는 결론을 보완한다.

랜덤 변수의 수렴 모드

점근 특성

견적자

일관성.

추정할 모수의 실제 값으로 확률이 수렴되는 경우 일련의 추정치는 일관성이 있다고 합니다.

{\displaystyle\hat\theta}_{n}\xrightarrow\{p}\theta_{0}\.}

즉, 대략적으로 말하면 추정기(추정 생성 공식)는 ^[2]추정되는 모수에 대한 정확한 결과를 제공할 것이 거의 확실하다.

점근 분포

랜덤하지 않은 상수 { $a n$ $},$ { $b n$ }( $가능성$ 이₀ 있음) 및 비퇴행 $분포$ G의 시퀀스를 찾을 수 있는 경우 다음과 같이 됩니다.

b_{n}({\hat {theta }}_{n}-a_{n})\{xrightarrow {d}}\G,

$\textstyle {\hat {\theta }}_{n}$ $\textstyle {\hat {\theta }}_{n}$ \ $displaystyle$ \ $textstyle$ \ $hat$ \ $theta$ } $_$ { $n$ } 의 $\textstyle {\hat {\theta }}_{n}$ 시퀀스는 점근 분포 G 를 갖는다고 한다.

실제로 발생하는 추정치는 대부분 점근 정규 분포이며, 이는 점근 분포가 a = $δ 0$ , $b n$ $= δn$ , $G$ $= N$ ( $0,$ $V)$ 인 $정규 n$ 분포임을 의미한다.

{sqrt {n}({hat {theta }}_{n}-\theta _{0})\xrightarrow {d}\{mathcal {N}(0,V)

점근 신뢰 영역

점근 정리

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레퍼런스

^ Höpfner, R. (2014), 점근 통계, Walter de Gruyter.286 페이지. ISBN 3110250241, ISBN 978-3110250244
^ ^a ^b ^c A. DasGupta(2008), 점근 통계 및 확률 이론, 스프링거.ISBN 0387759700, ISBN 978-0387759708

참고 문헌

Balakrishnan, N.; Ibragimov, I. A. V. B.; Nevzorov, V. B., eds. (2001), Asymptotic Methods in Probability and Statistics with Applications, Birkhäuser, ISBN 9781461202097
Borovkov, A. A.; Borovkov, K. A. (2010), Asymptotic Analysis of Random Walks, Cambridge University Press
Buldygin, V. V.; Solntsev, S. (1997), Asymptotic Behaviour of Linearly Transformed Sums of Random Variables, Springer, ISBN 9789401155687
Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics (2nd ed.), Springer
Dawson, D.; Kulik, R.; Ould Haye, M.; Szyszkowicz, B.; Zhao, Y., eds. (2015), Asymptotic Laws and Methods in Stochastics, Springer-Verlag
Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter
Lin'kov, Yu. N. (2001), Asymptotic Statistical Methods for Stochastic Processes, American Mathematical Society
Oliveira, P. E. (2012), Asymptotics for Associated Random Variables, Springer
Petrov, V. V. (1995), Limit Theorems of Probability Theory, Oxford University Press
Sen, P. K.; Singer, J. M.; Pedroso de Lima, A. C. (2009), From Finite Sample to Asymptotic Methods in Statistics, Cambridge University Press
Shiryaev, A. N.; Spokoiny, V. G. (2000), Statistical Experiments and Decisions: Asymptotic theory, World Scientific
Small, C. G. (2010), Expansions and Asymptotics for Statistics, Chapman & Hall
van der Vaart, A. W. (1998), Asymptotic Statistics, Cambridge University Press

[1] Höpfner, R. (2014), 점근 통계, Walter de Gruyter.286 페이지. ISBN 3110250241, ISBN 978-3110250244

[ONE-2] A. DasGupta(2008), 점근 통계 및 확률 이론, 스프링거.ISBN 0387759700, ISBN 978-0387759708

[1]

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목차

개요

랜덤 변수의 수렴 모드

점근 특성

견적자

일관성.

점근 분포

점근 신뢰 영역

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