자기회귀조건이성

계량경제학에서 자기회귀 조건부 이질성(ARCH) 모형은 현재 오차항 또는 혁신의 분산을 이전 기간의 ^[1]오차항의 실제 크기 함수로 설명하는 시계열 데이터의 통계 모델이다. 종종 그 분산은 이전 혁신의 제곱과 관련이 있다.ARCH 모형은 시계열의 오차 분산이 자기 회귀(AR) 모형을 따를 때 적합합니다. 오차 분산에 대해 자기 회귀 이동 평균(ARMA) 모형을 가정하면 해당 모형은 일반화 자기 회귀 조건부 이색 탄성(^[2]GARCH) 모형입니다.

ARCH 모델은 시간 변동 변동성 및 변동성 군집화를 나타내는 재무 시계열 모델링에 일반적으로 사용된다. 즉, 비교적 조용한 기간 사이에 나타나는 변동 기간이다.ARCH 유형 모델은 때때로 확률적 변동성 모델의 계열로 간주되지만, 이는 시간 t에 따라 변동성이 완전히 사전 결정(결정론적)^[3]되기 때문에 완전히 부정확하다.

모델 명세

ARCH 프로세스를 사용하여 시계열을 모델링하려면 § $~\epsilon _{t}~$ {\ $displaystyle$ ~\ $epsilon _{$ t}~}을 $~\epsilon _{t}~$ (를) 오차항(평균 프로세스에 대한 반환 잔차), 즉 시계열 항을 나타냅니다.이 $~\epsilon _{t}~$ t $~\epsilon _{t}~$ \ $displaystyle$ ~ \ $epsilon$ _ { $t$ } ~는 $~\epsilon _{t}~$ 확률적 $z_{t}$ z $z_{t}$ \ $displaystyle z_{t}$ 및 $z_{t}$ 시간 의존적 표준 편차 ${\$ t \ $displaystyle$ \ $sigma _{$ t $\sigma _{t}$ }로 분할되어 다음과 같이 용어의 일반적인 크기를 특징짓습니다.

~\ilon _{t}=\display_{t}z_{t}~

랜덤 $z_{t}$ $z_{t}$ t $(\$ 는 $z_{t}$ 강력한 백색 노이즈 처리입니다. $\sigma _{t}^{2}$ § $\sigma _{t}^{2}$ (\ $displaystyle \sigma$ _ ${t}^2})$ 는 $\sigma _{t}^{2}$ 다음과 같이 모델화되어 있습니다.

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

t 2

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

=

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

+ α

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

t -

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

1 +

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

-

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

2 = 1

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

-

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

2

( \ display

style

_ {

t

}^{ t }

=

\

alpha

_ {

0

} + {

t-1}^{ cdots }

+

q

）

_

+ t - 。

~\alpha _{0}>0~

서

~\alpha _{0}>0~

0

~\alpha _{0}>0~

>

~\alpha _{0}>0~

{\

displaystyle ~\alpha

_

{0}

>

0

~}

\alpha _{i}\geq 0,~i>0

\alpha _{i}\geq 0,~i>0

i

\alpha _{i}\geq 0,~i>0

0 , i

\alpha _{i}\geq 0,~i>0

>

\alpha _{i}\geq 0,~i>0

{

displaystyle \alpha

_

{i}

\

geq

0 , ~

i > 0

} 。

ARCH(q) 모형은 일반 최소 제곱을 사용하여 추정할 수 있습니다.라그랑주 승수 테스트를 사용하여 잔차 $\epsilon _{t}$ t $\epsilon _{t}$ \\ $displaystyle$ \ $epsilon _{$ t $\epsilon _{t}$ }이 시간 변동성 이형 탄성을 보이는지 테스트하는 방법은 Engle(1982)에 의해 제안되었다.이 순서는 다음과 같습니다.

최적의 자기 회귀 모델 AR(q) $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ 0 + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ 1 $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ - $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ y $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ i $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ a $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ t - i + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ t { $displaystyle$ y _ { $t$ } $= a$ _ { $0$ } + a $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ _ { 0 + a $_$ t - 1 \ $cdots }$ + $cdots$
${\hat {\epsilon }}^{2}$ ${\hat {\epsilon }}^{2}$ $({$ epsilon $}}^{2})$ 의 ${\hat \epsilon }^{2}$ 제곱을 구하여 일정값과 q 지연값으로 회귀시킵니다.
${\hat }_{t}^2=hat {alpha }_{0}+{sum _{i=1}^q}{\hat {\hat {\hat}_{t-i}^2$

여기서 q는 ARCH 지연의 길이입니다.
귀무 가설은 ARCH 성분이 없는 경우 $i=1,\cdots ,q$ i $i=1,\cdots ,q$ 1, $i=1,\cdots ,q$ , $i=1,\cdots ,q$ q(\ $displaystyle$ i $=1,\cdots,q$ 에 대해 $\alpha _{i}=0$ i $\alpha _{i}=0$ (\ $displaystyle \$ $alpha$ _ ${$ $i$ }= $0)$ 을 $\alpha _{i}=0$ 갖는다는 것이다. 대안 가설은 ARCH 성분이 존재하는 경우 $\alpha _{i}$ 된 $\alpha _{i}$ i $display$ style _ ${\$ cdots } $개$ 의 $\alpha _{i}$ 계수 중 적어도 하나여야 한다는 것이다.중대한.ARCH 오류가 없다는 귀무 가설 하의 T 잔차 표본에서 검정 통계량 T'R²는 q 자유도를 갖는 $\chi ^{2}$ 2 $($ 스타일 \ $chi$ ^{ $2})$ 분포를 $\chi ^{2}$ 따른다. $T'$ 서 Tδ { $T'=T-q$ $T'=T-q$ 는 $T'$ 잔차 대 T - style T - $T'=T-q$ style $T'=T-q$ T - $style$ T - $style$ T - display $')$ 에 맞는 모델의 방정식의 수이다.}). $T'=T-q$ T'R²가 카이-제곱 테이블 값보다 크면 귀무 가설을 기각하고 ARMA 모델에 ARCH 효과가 있다는 결론을 내립니다 $.$ T'R²가 카이-제곱 표 값보다 작으면 귀무 가설을 기각하지 않습니다.

GARCH

오차 분산에 대해 ARMA(자기 회귀 이동 평균 모형)를 가정하면, 이 모형은 일반화 자기 회귀 조건부 이색 탄성(^[2]GARCH) 모형입니다.

이 경우 GARCH(p, q) 모델(p는 GARCH 용어 $(\$ $~\$ $sigma$ ^{ $2$ 의 순서, q는 $~\epsilon ^{2}$ 용어 $~\epsilon ^{2}$ (\ $displaystyle ~\epsilon$ ^{ $~\epsilon ^{2}$ 2})의 순서)는 다음과 같습니다.

$y_{t}=x'_{t}b+\ilon_{t$

$\displaystyle \epsi _{t}\sim {t-1}\sim {n}}(0,\sigma _{t}^2})$

$\displaystyle _{t}^{2}=\alpha _{1}\cdots _\cdots _{q}+\ilon _{t-q}^{2}+\cdots _{1}^{2}+\cdots _{p}\cdots _{p=2}^{p-2}\cdisplaystylon _{t}$

일반적으로 계량 모형에서 이색 탄성을 테스트할 때 가장 좋은 테스트는 흰색 검정입니다.그러나 시계열 데이터를 처리할 때는 ACH 및 GARCH 오류를 검정해야 합니다.

지수 가중 이동 평균(EWMA)은 별도의 지수 평활 모형 클래스의 대안 모형입니다.GARCH 모델링의 대안으로, 이것은 보다 최근의 관측치에 더 큰 가중치와 같은 몇 가지 매력적인 특성을 가지고 있지만, 추정에 주관성을 도입하는 임의 붕괴 인자와 같은 단점도 가지고 있다.

GARCH(p, q) 모델 사양

GARCH(p, q) 프로세스의 지연 길이 p는 다음 3단계로 확립됩니다.

최적 적합 AR(q) 모형 추정
$y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ t $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ 0 + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ - $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ y t - $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ t $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ a $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ y t $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ - i + ${\$ t t t t t \ $display y$ _ { t } = $a$ _ { $0$ } + $a$ _ { $cdots$ + $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ a _ { $t-1}$ + $cdots$ + a _ { $q }$ { $tilon$ } _ tilon _ tilon }
§ $(\$ ^{ $2})$ 의 $\epsilon ^{2}$ 자기 상관을 다음과 같이 계산하고 플롯합니다.
${\displaystyle\rho=sum_{t=i+1}^{T}({\hat {t}_{t}^2}-{hat {t}_{t}^2}-{hat {t-1}^2}-{hat {t}_{t-1}^2})\over {{sum _ {t=1}^{t}{{t}{t}^2}{{\hat } } } } }$
점근적, 즉 큰 샘플의 경우 $\rho (i)$ ( $i)$ \displaystyle $\rho (i)$ 의 $\rho (i)$ 표준편차는 1 $(\$ 1 $/{\sqrt {T$ 이며, 이보다 큰 값은 GARCH 오류를 나타낸다.총 시차 수를 추정하려면 시차 값이 예를 들어 10%보다 작을 때까지 Ljung-Box 검정을 사용하십시오.Ljung-Box Q-statistic은 잔차 $\epsilon _{t}^{2}$ 이 t $\epsilon _{t}^{2}$ ({ $displaystyle \epsilon$ _ ${t}^2})$ 인 $\epsilon _{t}^{2}$ 경우 자유도를 갖는 $\chi ^{2}$ § $\chi ^{2}$ (\ $displaystyle \chi$ ^{2 $})$ $\chi ^{2}$ 를 $\chi ^{2}$ 따릅니다.최대 T/4 값 n을 고려할 것을 권장합니다.귀무 가설은 ARCH 또는 GARCH 오류가 없음을 나타냅니다.따라서 null을 거부한다는 것은 이러한 오류가 조건부 분산에 존재한다는 것을 의미합니다.

NGARCH

나가치

비선형 비대칭 GARCH(1,1)(NAGARCH)는 다음과 같은 ^[6]^[7]규격의 모형입니다.

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

t 2

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

=

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

+

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

(

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

t

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

-

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

-

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

-

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

)

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

+

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

-

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

2 \

displaystyle

~\

display

_ {

t

}^{ 2 = ~\

opha

+ ~\ alpha ( ~\

explacilon

_ {

t-1}

- \

t-1}

) 、 {\

t2

、、。

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

서 α

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

0 , β

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

0 ,

β

0 0 ,

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

, \

displaystyle ~\

alpha \

geq

0

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

, ~\

display \geq

0

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

) ,

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1

(

1

+

~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1

2

~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1

) +

β

<

1

\

displaystyle

~\

alpha

( 1 + \

theta

^ {2

}

) + \

~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1

。이는 분산 프로세스의 비음성 및 스테이션성을 보증합니다.

주식수익률의 경우 파라미터 ${\({displaystyle ~\theta})$ 는 $~\theta$ 보통 양으로 추정되며, 이 경우 일반적으로 "레버리 효과"라고 불리는 현상을 반영하여 음의 수익률이 같은 ^[6]^[7]규모의 양의 수익률보다 미래의 변동성을 크게 증가시킨다는 것을 나타낸다.

이 모델은 1992년 ^[8]Higgins와 Bera가 도입한 NGARCH 확장과 함께 NARCH 모델과 혼동해서는 안 된다.

IGARCH

Integrated Generalized Autorgressive Conditional Hetheroskedicity(IGARCH)는 GARCH 모델의 제한된 버전으로, 여기서 영속적인 파라미터의 합계는 최대 1이 되며 GARCH 프로세스에서 단위 루트를 Import합니다.이 조건은

$\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ i $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ = $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ β i + $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ ∑ $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ = $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ i $=$ 1 { $displaystyle$ \ $sum _$ { i $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ = $1$ } ~ \ $sum$ _ { i } + \ $sum _$ { $i$ = 1 }^{ $q }$ ~ \ $alpha$ _ { i = 1 $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ } $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ = 1 $\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ }

EGARCH

Nelson & Cao(1991)에 의한 지수 일반화 자기회귀 조건부 헤테로스케사스틱(EGARCH) 모델은 GARCH 모델의 또 다른 형태이다.형식적으로 EGARCH(p,q):

$\displaystyle \log _{t}^{2}=\osema +\sum _{k=1}^{q}\sum _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sum _{t-k}^{2}}$

여기서 $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ g ( $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ t ) $=$ $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ Z $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ + $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ （ Z $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ ）{ $displaystyle$ g ( $Z$ { t ) $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ =\ $theta Z_{t}+\lambda$ ( Z $_$ { t $}$ - E ( $Z$ _ { $t$ ） $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ } 、 $\sigma _{t}^{2}$ t $\sigma _{t}^{2}$ 、 $displaystyle$ \ { $\omega$ $\sigma _{t}^{2}$ _ { $t$ }^{ t } $\sigma _{t}^{2}$ } 。\ $displaystyle \theta }$ 및 $\theta$ $"\displaystyle \theta"$ 는 $\lambda$ 계수입니다 $.$ $Z_{t}$ t $\$ 는 $Z_{{t}}$ 표준 정규 변수이거나 일반 오차 분포에서 얻을 수 있습니다.g $g(Z_{t})$ ( $g(Z_{t})$ ) { $displaystyle$ g ( Z _ { t ) $g(Z_{t})$ } $g(Z_{t})$ the the 、 $Z_{t}$ t \ $displaystyle Z$ _ { $t$ }의 $Z_{{t}}$ 기호와 크기가 변동성에 별도의 영향을 미칠 수 있습니다.이는 자산가격 책정 ^[9]^[10]상황에서 특히 유용합니다.

log $\log \sigma _{t}^{2}$ $\log \sigma _{t}^{2}$ { $style \log \sigma$ _ ${t}^$ 2}는 $\log \sigma _{{t}}^{{2}}$ $\log \sigma _{t}^{2}$ 음수일 수 있으므로 $\log \sigma _{t}^{2}$ 에 대한 부호제한은 없습니다.

GARCH-M

GARCH-in-mean(GARCH-M) 모형은 평균 방정식에 이색 탄성 항을 추가합니다.사양은 다음과 같습니다.

$\displaystyle y_{t}=~\display x_{t}+~\displayda~\display _{t}+~\ilon _{t}$

나머지 \ $\$ _ ${t}$ 은 $~\epsilon _{t}$ 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle ~\silon _{t}=~\silon _{t}~\times z_{t}$

QGARCH

Sentana(1995)의 2차 GARCH(QGARCH) 모델은 양의 충격과 음의 충격의 비대칭 효과를 모델링하는 데 사용된다.

GARCH(1,1) 모델의 예에서는 잔여 프로세스 $\$ _ ${t}$ 는 $~\sigma _{t}$ 다음과 같습니다.

$\displaystyle ~\ilon _{t}=~\displays _{t}z_{t}$

$z_{t}$ 서 z t $\$ 는 $z_{t}$ i.i.d.입니다.

$~\phi}^{2}=K+~\alpha~\ilon_{t-1}^{2}+~\filon_{t-1$

GJR-GARCH

QGARCH와 마찬가지로 Glosten, Jaganathan 및 Runkle(1993)의 GJR-Runkle GARCH(GJR-GARCH) 모델도 ARCH 프로세스의 비대칭을 모델링한다. $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ , $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ t $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ t t t _ { $t$ } = , t t $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ t t _ { t } = ~ \ $display style$ $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ _ { $t$ } $z$ _ { $t$ } ,,,,, $。$ 서 ${t}$ 는 $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ $z_{t}$ i.i.d 입니다.

$~\delta ~\delta ~\delta ~\delta ~\delta ~\delta _{2}+~\alpha ~\ilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\ilon _{t-1}^2}I_{t-1}$

$~\epsilon _{t-1}<0$ 서 I t $I_{t-1}=0$ - $I_{t-1}=0$ $I_{t-1}=0$ $~\epsilon _{t-1}\geq 0$ - $~\epsilon _{t-1}\geq 0$ 0 { $display style$ ~ $\ illon$ _ { $t-1$ $~\epsilon _{t-1}\geq 0$ } \ $geq$ 0 $~\epsilon _{t-1}\geq 0$ $I_{t-1}=1$ 、 $I$ - 1 $~\epsilon _{t-1}<0$ $=$ $~\epsilon _{t-1}<0$ t - 1 < $0 style$ $display style$ $~\epsilon _{t-1}<0$ ~ \ $ilon _$ 0 - 1 $~\epsilon _{t-1}<0$

TGARCH 모델

Zakoian(1994)의 Threshold GARCH(TGARCH) 모델은 GJR GARCH와 유사하다.사양은 조건부 분산이 아닌 조건부 표준편차에 관한 것이다.

$\displaystyle ~\delta _{t}=K+~\delta _{t-1}+~\alpha _{t-1}^{+}~\ilon _{t-1}^{-}~\alpha _{t-1}^{-}~\ilon _{t-1}^{-}}$

만약ϵ지 − 1>어디 ϵ 1{\displaystyle ~\epsilon_{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}−};0{\displaystyle ~\epsilon_{t-1}>. 0}일 경우,ϵ지 − 1+=0{\displaystyle ~\epsilon_{t-1}^{+}=0}만약ϵ지 − 1≤ 0{\displaystyle ~\epsilon_{t-1}\leq 0}. 마찬가지로,ϵ지 − 1−=− 1+)ϵ지 하루에 500파운드. ϵ지 $~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}$ $~\epsilon _{t-1}\leq 0$ $~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}$ \ $displaystyle$ ~ \ $ipsilon$ _ { t - $}^{$ - } $~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}$ $=$ ~ \ $ipsilon$ _ { t - $~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}$ $~\epsilon _{t-1}\leq 0$ $~\epsilon _{t-1}\leq 0$ \ $ipsilon$ _ { t - $~\epsilon _{t-1}^{-}=0$ } \ $leq$ 0 $~\epsilon _{t-1}\leq 0$ , 、 $~\epsilon _{t-1}^{-}=0$ t $~\epsilon _{t-1}>0$ t - 1 - $~\epsilon _{t-1}^{-}=0$ $0$ \ $displaystyle$ ~\ $ipsilon$ _ { $~\epsilon _{t-1}>0$ - 1 $~\epsilon _{t-1}>0$ }^{ t - 1 $~\epsilon _{t-1}>0$ }^{ t - 0 $~\epsilon _{t-1}^{-}=0$ } } $0style1$ >

하드웨어

패밀리 GARCH라고도 불리는 헨첼의 fGARCH ^[11]모델은 APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH 등을 포함한 다양한 인기 대칭 및 비대칭 GARCH 모델을 내포한 옴니버스 모델입니다.

톱니바퀴

2004년 Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner 및 Ross Maller는 이산 시간 GARCH(1,1) 프로세스의 연속 시간 일반화를 제안했다.아이디어는 GARCH(1,1) 모델 방정식으로 시작하는 것입니다.

{\displaystyle_{t}=\display_{t}z_{t}

\displaystyle _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\ilon _{t-1}^{2}+\alpha _{1}=\alpha _{0}+\alpha _{t-1}^{1}=\alpha _{t-1}^{t-1}_{t-1}_{{{{{1}\alpha}_{{{{{{{\alfilon}}_{{{{\alfilon}}}}_{{{{{{{{1}}}}}}

다음으로 강력한 백색 노이즈 $z_{t}$ z $z_{t}$ {\ $displaystyle z_{t}$ 를 $z_{t}$ Levy $(L_{t})_{t\geq 0}$ $(L_{t})_{t\geq 0}$ t $(L_{t})_{t\geq 0}$ 0 { $\mathrm {d} L_{t}$ $displaystyle (L_{t)_{t}$ 의 ${\mathrm {d}}L_{t}$ $z_{t}^{2}$ 최소 $\mathrm {d} L_{t}$ $\mathrm {d} L_{t}$ L t $\mathrm {d} L_{t}$ { $d}$ 로 대체하고 노이즈 제곱 $z_{t}^{2}$ z $z_{t}^{2}$ {\ $display$ style $z_{t}$ 을 0 $(L_{t})_{t\geq 0}$ 로 바꿉니다. $\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }$ d $\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }$ [ $\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }$ , L $\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }$ ] $\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }$ d $\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }$ d \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $d }$ [ $L$ , $L ] _$ { $t$ }^{ \ $mathrm$ { $d }$ } 。

[L,L]_{t}^{\mathrm {d} =\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,

L\ $displaystyle$ L $L$ \ $is$ 2차 변동 프로세스의 순수 불연속 부분. 그 결과는 다음과 같은 확률 미분 방정식 시스템입니다.

\mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-},\mathrm {d} L_{t}

\mathrm {d} \mathrm {d}^{2}=(\display - \eta \meta _{t}^{2}),\mathrm {d},\mathrm {d},\mathrm {d

여기서 양의 $\beta$ β(\ $displaystyle \beta$ $\eta$ $\alpha _{1}$ $(\$ $displaystyle$ $\eta$ \ $eta$ $)$ 및 ${\(\displaystyle$ $\alpha$ _ ${$ $0$ $\alpha _{0}$ $\alpha _{1}$ 1(\ $displaystyle \alpha$ _ ${$ $1$ $\alpha _{0}$ $\beta _{1}$ (\ $displaystyle \beta$ _{1 $\beta _{1}$ 에 $\alpha _{0}$ 결정됩니다.초기 조건 $(G_{0},\sigma _{0}^{2})$ 0 $,$ 0 0, $(G_{0},\sigma _{0}^{2})$ $(G_{0},\sigma _{0}^{2})$ , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 。 $)({displaystyle (G_{0},\$ $sigma$ _ ${$ $0}^{$ 2 $}),$ 위의 시스템에는 경로별 고유 솔루션 $(G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}$ t $(G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}$ $t$ t $(G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}$ 2) $(G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}$ 0({ $t}, 0)$ 이 $(G_{t},\sigma _{t}^{2})_{{t\geq 0}}$ 있으며, 이후 연속시간 GARCH $($ COGARCH 모델)^[12]로 불리고 있습니다 $(G_{0},\sigma _{0}^{2})$

ZD-GARCH

GARCH 모델과 달리, Li, Zhang, Zhu 및 Ring(2018)의 ZD-GARCH( $Zero-Drift$ GARCH) 모델은 1차 GARCH 모델에서 드리프트 $~\omega =0$ $~\omega =0$ (\displaystyle $~\Omega =0)$ 을 $~\omega =0$ 허용한다.ZD-GARCH 모델은 $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ t $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ t $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ t \ $displaystyle$ _ { t } = ~\ $displaysilon _$ { t } z $_$ { $t$ ,, $。$ 는 i $z_{t}$ .i.d 입니다.

$~\displaystyle _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\ilon _{t-1}^{2}+~\display_{t-1}^{2}.$

ZD-GARCH 모델은 $~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1$ + $~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1$ 1 $=$ $~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1$ ${\displaystyle$ ~\ $alpha _{$ 1}+~\ $display_{1}=1$ 을 $~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1$ 로 하지 않으므로 지수 가중 이동 평균(EWMA) 모델을 "RiskMetrics"에 포함시킨다.표류항 $~\omega =0$ $~\omega =0$ 0 { $displaystyle ~\obega$ = $0$ 이므로 ZD-GARCH 모델은 항상 비정상이며 통계적 추론 방법은 기존의 GARCH 모델과 상당히 다르다.이력 데이터를 바탕으로 $~\alpha _{1}$ 1 $({$ _ ${1$ })과 β $~\beta _{1}$ 1({ $displaystyle$ ~\ $beta _{$ 1})을 $~\beta _{1}$ $~\alpha _{1}$ QMLE 방법으로 추정할 수 있다.

공간 GARCH

Otto, Schmid 및 Garthoff(2018)에 의한 공간 GARCH 프로세스는 시간적 일반화 조건부 이질성(GARCH) 모델과 공간적 등가물로 간주된다.이전 기간에 대한 전체 정보가 주어진 분포가 알려진 시간적 ARCH 모델과 대조적으로, 인접한 공간 위치 간의 상호의존성 때문에 분포는 공간적 및 시공간적 설정에서 간단하지 않다. $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ 은 $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ ( $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ i ) $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ ( $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ ) $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ ( $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ i $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ ){ displaystyle $~\ilon$ ( $s$ _ { i ) = $~\display$ ( s $_$ { i $)$ z ( s _ { i $}$ )로 $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ $표시$ 됩니다.

~\display (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^n}\rho w_{iv}\ilon (s_{v}^2

$~s_{i}$ 서 s $(\$ 는 $~s_{i}$ i $(\displaystyle$ i)의 $i$ 공간 위치를 $w_{ii}=0$ w $(\$ $w_$ ${iv$ })는 $~w_{iv}$ 공간 가중치 매트릭스의 $(\displaystyle$ iv $)$ 의 $iv$ 0 $($ $=$ , $~i=1,...,n$ $w_i$ $~i=1,...,n$ 을 나타냅니다 $w_{ii}=0$ $.$ 공간 가중치 매트릭스는 인접한 것으로 간주되는 위치를 정의합니다.

가우스 프로세스 구동 GARCH

다른 맥락에서, 기계 학습 커뮤니티는 GARCH ^[15]체계를 얻기 위해 가우스 프로세스 회귀 모델의 사용을 제안했다.이는 비모수 모델링 체계를 만들어, (i) 모델이 베이지안 추론 근거 하에서 추론을 수행하기 위해 매개 변수를 무시하기 때문에, 그리고 (ii) 모델 ^{[citation needed]}복잡성을 증가시키지 않고 고도로 비선형적인 의존성을 포착할 수 있게 한다.

레퍼런스

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⁶ In the case of analyzing stock returns, the positive value of [theta] reflects the empirically well known leverage effect indicating that a downward movement in the price of a stock causes more of an increase in variance more than a same value downward movement in the price of a stock, meaning that returns and variance are negatively correlated
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추가 정보

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v t 확률적 과정
이산 시간	베르누이 과정 분기 프로세스 중식당 과정 골턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 마르코프 연쇄 모란법 랜덤 워크 루프 소거 자기 회피 편향된 최대 엔트로피
연속 시간	가법법 베셀법 출생-사망 과정 순생 브라운 운동 다리 Excursion(익스커전) 프랙셔널 기하학 굽이굽이 코시 과정 연락 프로세스 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산 과정 경험적 과정 펠러법 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크스 과정 헌트 프로세스 상호작용 입자계 이토 확산 이토 과정 점프 확산 점프 프로세스 레비 과정 현지 시간 마르코프 가법 과정 맥킨-블라소프 과정 오른스타인움렌벡법 포아송 과정 컴파운드 비균질 슈람-뢰너 진화 세미마트게일 시그마 마티게일 안정된 프로세스 슈퍼프로세스 전신 처리 분산 감마 과정 위너법 위너 소시지
둘다요.	분기 프로세스 갈베스-뢰체르바흐 모형 가우스 과정 숨겨진 마르코프 모델(HM) 마르코프 과정 마티게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 랜덤 다이내믹 시스템 재생 프로세스 갱신 프로세스 가변 길이의 메모리를 가진 확률적 연쇄 화이트 노이즈
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모델 이징 모형 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트만-요르 과정 포인트 프로세스 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤 그래프
시계열 모델	자기 회귀 조건부 이색 탄성(ARCH) 모형 자기 회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 모형 자기 회귀(AR) 모형 자기 회귀 이동 평균(ARMA) 모델 GARCH(Generalized Autrogressive Conditional Hetheroskedasticity) 모델 이동평균(MA) 모델
재무 모델	이항 옵션 가격 설정 모형 블랙-더맨-장난감 블랙-카라신스키 블랙-숄즈 Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders(CKLS) 첸 일정 탄성 분산(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) 가르만-콜하겐 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 헤스톤 호리 헐-흰색 LIBOR 시장 렌들먼-바터 SABR의 변동성 바시체크 윌키
보험 수리 모델	뷸만 크라메르-룬드베르크 리스크 프로세스 스파르앤더슨
큐잉 모델	벌크 유체 범용 큐잉 네트워크 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	카들라그 패스 계속되는 연속 경로 에르고딕 교환 가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 부분적 결정론 예측 가능한 점진적 측정 가능 자기유사 문방구 시간 되돌리기 가능
한계 정리	중심 한계 정리 돈스커의 정리 두브 마티게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프의 정리 제로-1 법칙(Blumenthal , Borel-Cantelli, Engelbert-Schmidt, Hewitt-Savage, Kolmogorov, Levy )
불평등	버크홀더-데이비스-건디 두브마티게일 두브가 업크로스 하고 있다. 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	카메론-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌리안 데이드 지수 두브 분해 정리 두브-마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 다이킨 공식 파인만-케이크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 이토 적분 이토의 보조군 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로호로프 메트릭 말리아빈 미적분 마티게일 표현 정리 선택적 정지 정리 프로호로프의 정리 이차 변동 반사원리 스코로호트 적분 스코로호트의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률 미분 방정식 다나카 정지 시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 통상 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
부문	보험 수리 수학 제어 이론 계량경제학 에르고딕 이론 극치가론(EVT) 대편차 이론 수리금융 수리통계학 확률론 큐잉 이론 갱신 이론 파멸론 신호 처리 통계 정보 확률적 분석 시계열 분석 기계 학습
토픽 리스트 카테고리

v t 변동성
모델링 휘발성	잠재 변동성 변덕스러운 미소 변동성 클러스터링 국지적 변동성 확률적 변동성 점프 확산 모델 아치 및 GARCH
거래 변동성	변동성 차익거래 스트래들 변동성 스왑 IVX VIX

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