입지규모가족

확률 이론에서, 특히 수학 통계학에서, 위치 척도 패밀리(Location-scale family)는 위치 모수와 음이 아닌 척도 모수에 의해 매개변수화된 확률 분포의 패밀리입니다. 확률 분포 함수가 이러한 패밀리에 속하는 임의의 랜덤 변수 $X {\displaystyle$ X$}$에 대하여, $Y$ = ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ +${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {$d}{=}$a$ + b X}의 분포 함수도 패밀리에 속합니다(여기서 = d {\displaystyle {\d}{=}}는 "분포의 equal" 즉, "과 동일한 분포를 갖습니다.")

즉, 확률 분포의 클래스$$ω ${\$displaystyle$$\Omega }는 모든 누적 분포 $함수$$$ ∈ ω${\$displaystyle F\$in$ \Omega } 및 임의의 실수에 대하여 ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} 및 b > 0 {\displaystyle b>0}일 경우 위치 척도 패밀리입니다. 분배 기능 $G{\displaystyle (x)}$ = F${\displaystyle (a}$ $+$ b x ) $displaystyle$ G(x) = F(a + bx)}도 ω {\displaystyle \Omega}의 멤버입니다.

• If ${\displaystyle X}$ has a cumulative distribution function ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$, then ${\displaystyle Y{=}a+bX}$ has a cumulative distribution function ${\displaystyle F_{Y}(y)=$$F_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$.
• $X$ ${\displaystyle X}$가 확률 질량 함수 $p$ X ${\displaystyle {}_{}x)}$ = P ${\displaystyle (X}$ =${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{X}(x$) = $P(X$ = $x)}$인 이산 확률 변수인 경우$,$ $그러면$ Y = ${\displaystyle a}$+$$b X $displaystyle$ Y{=}a$+bX$}는 확률 질량 함수 p Y (y ) = p X (y - a b ) {\displaystyle p_{Y}(y) = p_{X}\left({\frac {y-a}{b}\right)}를 갖는 이산 확률 변수입니다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$가 확률 밀도 함수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$인 연속 랜덤 변수인 경우$,$ ${\displaystyle 그러면}$ Y = a${\displaystyle }$+$$b X $displaystyle$ Y{=}a$+bX$}는 확률 밀도 함수 f Y (y ) = 1 b f X (y - a ) {\displaystyle f_{Y}(y) = {\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}를 갖는 연속 랜덤 변수입니다.

또한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$와 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$가 분포 함수가 패밀리의 구성원인 두 개의 랜덤 변수이고, X${\displaystyle }${\$displaystyle$ X$}$가 존재하고 X {\displaystyle X}가 평균 및 단위 분산이 0이라고$$ 가정할 때, then ${\displaystyle Y}$ can be written as ${\displaystyle Y{\stackrel {d}{=}}\mu _{Y}+\sigma _{Y}X}$ , where ${\displaystyle \mu _{Y}}$ and ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ are the mean and standard deviation of ${\displaystyle Y}$.

의사 결정 이론에서 의사 결정자가 사용할 수 있는 모든 대체 분포가 동일한 위치 척도 계열에 있고 처음 두 순간이 유한한 경우 2모멘트 의사 결정 모델을 적용할 수 있으며 의사 결정은 평균과 분포의 분산 측면에서 구성될 수 있습니다.^[1][2][3]

예

종종 위치 규모 가족은 모든 구성원이 동일한 기능 형태를 갖는 가족으로 제한됩니다. 대부분의 위치 척도 패밀리는 모두는 아니지만 일변량입니다. 가족 전체에 분포의 기능적 형태가 일치하는 잘 알려진 가족은 다음과 같습니다.

• 정규분포
• 타원 분포
• 코시 분포
• 균일 분포(연속적)
• 균일분포(이산)
• 로지스틱 분포
• 라플라스 분포
• 학생의 t-분포
• 일반화된 극값 분포

단일 분포를 위치 규모 패밀리로 변환

다음은 분포의 "표준" 버전에 대한 기능만 사용할 수 있는 통계 패키지 또는 프로그래밍 환경에서 위치 척도 패밀리를 구현하는 방법을 보여줍니다. R용으로 설계되었지만 모든 언어와 라이브러리에 일반화되어야 합니다.

여기의 예는 학생의 t-분포로, 일반적으로 표준 형태로만 제공되며, 단일 자유도 모수를 사용합니다. df. 아래 버전은 다음과 같습니다. _ls 임의의 위치 매개변수를 사용하여 일반화된 학생 t-분포로 일반화하는 방법을 보여줍니다. mu 및 척도 모수 sigma.

확률 밀도 함수(PDF):	dt_ls(x, df, mu, sigma) =	1/sigma * dt((x - mu)/sigma, df)
누적 분포 함수(CDF):	pt_ls(x, df, mu, sigma) =	pt((x - mu)/sigma, df)
분위수 함수(CDF 역):	qt_ls(prob, df, mu, sigma) =	qt(prob, df)*sigma + mu
랜덤 변수 생성:	rt_ls(df, mu, sigma) =	rt(df)*sigma + mu

일반화 함수는 표준 편차가 없습니다. sigma 표준 t 분포는 표준 편차가 1이 아니기 때문입니다.

참고문헌

외부 링크

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html