굿맨과 크러스칼의 감마선

통계에서 Goodman과 Kruskal의 감마는 순위 상관관계의 척도, 즉 각 수량별로 순위를 매겼을 때 데이터의 순서가 유사하다는 것이다.두 변수가 모두 순서형 수준에서 측정될 때 교차표 데이터의 연관성 강도를 측정한다.테이블 크기나 타이를 조정하지 않는다.값은 -1(100% 음의 연관성 또는 완전 반전)부터 +1(100% 양의 연관성 또는 완전합치)까지 다양하다.값이 0이면 연관성이 없음을 나타낸다.

이 통계량(굿맨과 크러스칼의 람다와는 구별된다)은 1954년부터 1972년까지 일련의 논문에서 이를 제안한 레오 굿맨과 윌리엄 크러스칼의 이름을 따서 명명되었다.^[1][2][3][4]

정의

감마선 G의 추정치는 다음 두 가지 수량에 따라 달라진다.

• N_s, 두 변수에 대해 동일한 순서로 순위가 매겨진 사례 쌍의 수(상호 일치 쌍의 수)
• N_d, 두 변수에 대해 역순으로 순위가 매겨진 사례 쌍 수(역행 쌍의 수)

여기서 "타이" (쌍의 두 변수 중 하나가 동일한 경우)가 삭제된다.그러면

${\displaystyle G={\frac {N_{s}-N_{d}{N_{d}}{N_{s}+N_{d}}\.}$

이 통계량은 이론적 수량 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$에 대한 최대우도 추정기로 간주할 수 있다$.$

${\displaystyle \gamma ={\frac {P_{s}-P_{d}}{P_{s}+P_{d}}\,}$

여기서 P와_s P는_d 랜덤하게 선택된 관측치 쌍이 두 변수별로 순위가 매겨졌을 때 각각 동일하거나 반대 순서로 배치될 확률이다.

감마 통계량에 대한 임계값은 때때로 근사치를 사용하여 발견된다. 여기서 변환된 값으로 통계의 t를 학생^{[citation needed]} t 분포로 참조한다.

${\displaystyle t\약간 G{\sqrt {\frac {N_{s}+N_{d}}{n(1-G^{2})}}\,}$

여기서 n은 관측치의 수(쌍의 수가 아님):

${\displaystyle n\neq N_{s}+N_{d}.\,}$

율의 Q

굿맨과 크러스칼의 감마선의 특별한 경우는 율의 Q로, 2×2 행렬에 특유한 율 계수로도 알려져 있다.^[5]각 값이 사건 빈도의 카운트인 경우 다음 사건 발생 분할표를 고려하십시오.

	네	아니요.	합계
긍정적인	a	b	a+b
네거티브	c	d	c+d
합계	a+c	b+d	n

Yule의 Q는 다음과 같다.

${\displaystyle Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}\ .}$

굿맨과 크러스칼의 감마와 같은 방식으로 계산되지만 명목 척도와 서수 척도의 구분이 이분법적 구분에 대해 자의적으로 라벨을 붙이는 문제가 되기 때문에 조금 더 넓은 해석을 가지고 있다.따라서 Q가 양수인지 음수인지 여부는 분석가가 일치한다고 간주하는 쌍에 따라 달라지지만 그렇지 않으면 대칭이다.

Q는 -1에서 +1. -1은 전체 음의 연관성을 반영하고, +1은 완전한 양의 연관성을 반영하며, 0은 연관성을 전혀 반영하지 않는다.부호는 분석가가 처음에 일치한다고 간주했던 쌍에 따라 달라지지만, 이 선택은 규모에 영향을 미치지 않는다.

승산비 OR의 관점에서 Yule의 Q는 다음과 같다.

${\displaystyle Q={\frac {{OR}-1}{{OR}+1}\ .}$

그래서 Yule의 Q와 Yule의 Y는

${\displaystyle Q={\frac {2Y}{1+Y^{2}}}\,}$

${\displaystyle Y={\frac {1-{\sqrt{1-Q^{2}}:{Q}\}$

참고 항목

• Kendall tau 순위 상관 계수
• 굿맨과 크러스칼의 람다
• 응고 계수라고도 하는 율의 Y

참조

추가 읽기

• Sheskin, D.J. (2007) 파라메트릭 및 비모수 통계 절차 핸드북.채프먼 & 홀/CRC, ISBN 9781584888147