산술 평균

수학과 통계학에서 산술 평균( /ˌˌɛɛmɛtɪk mimiːn/air-ith-MET-ik) 또는 산술 평균(문맥이 명확할 경우)은 ^[1]숫자 집합을 집합의 개수로 나눈 합이다.수집은 종종 실험 또는 관찰 연구의 결과 집합이거나 종종 설문 조사의 결과 집합입니다."산술 평균"이라는 용어는 기하 평균과 조화 평균과 같은 다른 평균과 구별하는 데 도움이 되기 때문에 수학과 통계의 일부 맥락에서 선호된다.

산술평균은 수학과 통계학 외에도 경제학, 인류학, 역사 등 다양한 분야에서 많이 사용되고 있으며 어느 정도 모든 학문 분야에서 사용되고 있다.예를 들어, 1인당 소득은 한 국가 인구의 산술 평균 소득이다.

산술 평균은 종종 중심 경향을 보고하는 데 사용되지만 강력한 통계량은 아니며, 즉 특이치(대부분의 값보다 매우 크거나 작은 값)의 영향을 많이 받습니다.소수 국민의 소득이 대부분의 국민보다 실질적으로 큰 소득의 분포와 같은 치우친 분포의 경우, 산술 평균은 "중간"의 개념과 일치하지 않을 수 있으며, 중앙값과 같은 강력한 통계는 중심 경향을 더 잘 설명할 수 있다.

정의.

$데이터$ $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ X $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ { $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ 1 , $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ , $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ n $}$ { $displaystyle$ X = \ { x $_$ {1} , $\ldots$ , x $_$ { $n$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ } $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ } ${\bar {x}}$ （ $x$ \ $displaystyle$ x $x$ $}bar$ $)$ 는 n{\ $displaystyle$ ${\bar {x}}$ x $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 1 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ }의 $n$ 평균입니다 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $,\ldots$ , $x_{$ n $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ^[2] 입니다.

산술 평균은 데이터 집합에서 가장 일반적으로 사용되며 쉽게 이해할 수 있는 중심 경향의 척도입니다.통계학에서 평균이라는 용어는 중심 성향을 나타내는 모든 척도를 가리킵니다.관측된 데이터 집합의 산술 평균은 각 관측치의 수치 합계를 관측치의 총 수로 나눈 값으로 정의됩니다. $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 으로 a 1, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 2, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ${\$ }, $a_{2},\ldots, a_{n$ 값으로 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 된 데이터 세트가 있는 경우 산술 $평균$ A{\ $displaystyle$ A $}$ 는 $A$ 다음 공식으로 정의됩니다.

{{displaystyle A=param frac {1}{n}\sum _{i}^{n}a_{i}=param frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}}}}

^[3]

(합계 연산자의 설명에 대해서는, 「합계」를 참조해 주세요).

예를 들어 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2650, 2600, 2400 등 회사의 직원 10명의 월급을 고려합니다.산술 평균은

{2500+2700+2300+2550+2750+2450+2450+2600+2400}{10}=2530.

데이터 세트가 통계 모집단(즉, 일부만이 아니라 모든 가능한 관측치로 구성됨)인 경우, 해당 모집단의 평균을 모집단 평균이라고 하며, $\mu$ 문자 $μ(\displaystyle$ \mu $\mu$ })로 나타낸다. 데이터 세트가 통계 표본(모집단의 일부)인 경우, 통계 분석을 호출한다.이 계산에서 샘플 평균(데이터 $세트$ X의 경우 X a $(\$ ${X})$ 로 $X$ 표시됨)

산술 평균은 스칼라 값뿐만 아니라 다차원 벡터에 대해서도 비슷하게 정의할 수 있습니다. 이것은 종종 중심이라고 합니다.보다 일반적으로 산술평균은 볼록한 조합(계수 합계는 1)이기 때문에 벡터 공간뿐만 아니라 볼록한 공간에서도 정의할 수 있습니다.

동기 부여 속성

산술 평균은 특히 중심 경향을 측정하는 데 유용한 몇 가지 속성을 가지고 있습니다.여기에는 다음이 포함됩니다.

$숫자$ $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ x 1, $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ n(\ $displaystyle x_{1},\dotsc,x_{$ $n$ ${\bar {x}}$ 의 $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ ${\bar {x}}$ 이 x ${\bar {x}}$ $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ - $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ + $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ + $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ - $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ = ） $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ $0$ { $display style$ ( x $_ {$ 1} - { $\ bar$ { $x$ $}$ ) + { x _ { n } } } $}$ e 주어진 숫자에서 평균으로 이 속성을 해석하는 한 가지 방법은 평균 왼쪽에 있는 숫자들이 평균 오른쪽에 있는 숫자와 균형을 이룬다는 것입니다.평균은 잔차(추정치로부터의 편차)의 합이 0이 되는 유일한 단일 숫자입니다.
$x_{1},\dotsc ,x_{n}$ 1, $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ n $(\$ 의 기존 $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ 에 대해 "표준" 값으로서 단일 숫자를 사용해야 하는 경우, 숫자의 산술 평균은 표준 값으로부터의 편차의 제곱 합을 최소화하는 의미에서 이 작업을 가장 잘 수행합니다. $(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ ( $(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ - ${\$ ) $(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ { $n$ $}$ 의 합계입니다. $tyle (x_{i}-{\bar {x}})^{2$ (따라서 표본 평균은 가장 낮은 루트 평균 제곱 오차를 갖는 의미에서 최상의 단일 예측 변수이기도 합니다.)^[2]숫자 모집단의 산술 평균이 필요한 경우, 치우치지 않은 산술 평균은 모집단에서 추출한 표본의 산술 평균입니다.

기타 속성

$displaystyle Avg ( c$ $c*a_{n}}$ = $Avg(c*a_{1},c*a_{2}...c*a_{n})$ $c*Avg(a_{1},a_{2}...a_{n})$ A $c*Avg(a_{1},a_{2}...a_{n})$ $c*Avg(a_{1},a_{2}...a_{n})$ $c*Avg(a_{1},a_{2}...a_{n})$ 1, $c*Avg(a_{1},a_{2}...a_{n})$ . $c*Avg(a_{1},a_{2}...a_{n})$ . a $c*Avg(a_{1},a_{2}...a_{n})$ $){$ $display style$ c $*Avg$ ( $a_{1$ } , $a_{2}...$ $a_{n}}$
크기가 같은 모든 그룹의 산술 평균은 각 그룹의 산술 평균의 산술 평균입니다.

중위수와의 대비

산술 평균은 중위수와 대조될 수 있습니다.중위수는 값의 절반 이하가 중위수보다 크고 절반 이하가 되도록 정의됩니다.데이터의 요소가 산술적으로 증가하면, 어떤 순서로 배치되었을 때, 중위수와 산술 평균은 같아집니다.예를 들어 데이터 ${1,2,3,4}$ 1, ${1,2,3,4}$ , ${1,2,3,4}$ , $({$ 3, $4$ 를 생각해 $평균$ 은 2.5({ $displaystyle$ 2.5 $2.5$ 이고 중앙값도 마찬가지입니다.그러나 1, ${1,2,4,8,16}$ , ${1,2,4,8,16}$ , $,$ $({displaystyle {1, 2, 4,$ 8, 16 ${1,2,4,8,16}$ 과 같이 산술적으로 증가하도록 배열할 수 없는 샘플은 중앙값과 산술 평균이 크게 다를 수 있다.이 경우 산술 평균은 6.2이고 중위수는 4입니다.일반적으로 평균 값은 표본의 대부분의 값과 크게 다를 수 있으며 대부분의 값보다 크거나 작을 수 있습니다.

이 현상은 여러 분야에서 응용되고 있다.예를 들어 1980년대 이후 미국의 중위소득은 소득의 ^[4]산술 평균보다 더 느리게 증가했다.

일반화

가중평균

가중평균 또는 가중평균은 일부 데이터 포인트가 계산에서 ^[5]더 많은 가중치를 부여받기 때문에 다른 데이터 포인트보다 더 많이 카운트되는 평균입니다. $3$ 를 들어 3 $(displaystyle$ 3)과 $3$ $5$ 5({ $displaystyle$ 5})의 산술 평균은 ${\frac {(3+5)}{2}}=4$ ( $\left({\frac {1}{2}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{2}}\cdot 5\right)=4$ ${\frac {(3+5)}{2}}=4$ + ${\frac {(3+5)}{2}}=4$ ) $\left({\frac {1}{2}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{2}}\cdot 5\right)=4$ $=$ 4({ $displaystyle$ {( $3$ $\left({\frac {1}{2}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{2}}\cdot 5\right)=4$ $5)}$ { $2$ $(\displaystyle$ \displaystyle \ $frac {2}$ { $2$ 3 $})입니다.$ 예를 들어 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자보다 두 배의 무게를 받는 평균(이러한 숫자가 샘플링된 일반 모집단에서 두 배 더 자주 나타나는 것으로 가정되기 때문에)은 ( $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ 3) $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ + ( $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ 3 $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ 5 $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ $\left({\frac {2}{3}}\cdot 3\right)+\left({\frac {1}{3}}\cdot 5\right)={\frac {11}{3}}$ 3 ({ $displaystyle \ frac {2}{3}}\cdot$ 3 $\right)+$ 로 계산됩니다.\ $frac {1}{3}}}\cdot 5$ \right $)=param$ frac ${11}{3$ 여기서 반드시 합계가 1이 되는 무게는 $/$ ) { $display$ style ( $2/3)}$ $(1/3)$ 및 $(2/3)$ ( $(1/3)$ 3) $(1/3)$ { $display$ style ( $1/$ 3 $(1/3)$ 이며 $(2/3)$ 전자는 후자의 2배입니다 $.$ 산술 평균("가중치 평균" 또는 "균등가중치 평균"이라고도 함)은 모든 가중치가 서로 동일하고(위 예에서는 ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{n}}$ $(\$ n}) 앉은 상태에서 $1n$ (\displaystyle $\frac{1}{n})$ 과 ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {1}{n}}$ ) 가중 평균의 특수한 경우로 해석할 수 있다.n개 $(\displaystyle$ n $)$ 의 $n$ 숫자가 평균화되어 $있습니다$ .

연속 확률 분포

중위수는 같지만 왜도가 달라 평균과 모드가 서로 다른 두 로그 정규 분포 비교

숫자 속성과 그 데이터 샘플이 예를 들어 단순한 정수 대신 연속적인 범위의 값을 취할 수 있는 경우, s에 대한 순진한 확률이 있더라도 이 범위에 걸쳐 연속적인 확률 분포를 통합함으로써 가능한 값의 어떤 범위에 속하는 숫자의 확률을 설명할 수 있다.무한히 많은 수에서 하나의 특정 값을 취하는 충분한 수는 0입니다.각 범위에서 변수의 정확한 값에 대한 무한한 가능성이 있는 이 문맥에서의 가중평균의 아날로그를 확률분포의 평균이라고 합니다.가장 많이 발생하는 확률 분포는 정규 분포라고 불리며, 평균뿐만 아니라 앞서 언급한 중위수 및 모드(세 개의 M)를^[6] 포함한 중심 경향의 모든 측정값이 서로 동일하다는 특성이 있습니다.여기 로그 정규 분포에서 볼 수 있듯이 다른 확률 분포에서는 이 동일성이 유지되지 않습니다.

각도

위상 또는 각도와 같은 주기적 데이터를 사용할 때는 특히 주의해야 합니다.순수하게 1°와 359°의 산술 평균을 취하면 180°의 결과가 된다.이는 다음 두 가지 이유로 올바르지 않습니다.

첫째, 각도 측정은 360°(라디안 단위의 경우 2º)의 가산 상수까지만 정의됩니다.따라서 1°와 -1° 또는 361°와 719°라고 부르기도 쉽다. 왜냐하면 각각은 서로 다른 평균을 제공하기 때문이다.
둘째, 이 상황에서는 0°(등가 360°)는 기하학적으로 더 나은 평균값입니다.: 그에 대한 분산이 낮습니다(점들은 둘 다 추정 평균인 180°에서 179°).

일반적으로 이러한 과시는 수치 범위의 중간을 향해 인위적으로 이동하는 평균값으로 이어진다.이 문제에 대한 해결책은 최적화 공식(viz: 평균을 중심점으로 정의: 분산이 가장 낮은 점)을 사용하고 차이를 모듈러 거리(즉, 원상의 거리: 따라서 1°와 359° 사이의 모듈러 거리는 358°가 아니라 2°이다)로 재정의하는 것입니다.

산술 평균과 기하 평균의 부등식에 대한 단어가 없는 증명:
PR은 O를 중심으로 하는 원의 지름이며 반지름 AO는 a와 b의 산술 평균입니다.기하평균정리에 따르면 삼각 PGR의 염도 GQ는 기하평균이다.임의의 비율 a:b에 대해서AO † GQ

기호 및 부호화

산술 평균은 종종 막대(예: 빈큘럼 또는 마크롱)로 표시됩니다. 예를 들어 x $(\$ $\displaystyle$ x $}$ bar $x$ ^[2]읽기)와 같습니다.

일부 소프트웨어(텍스트프로세서, 웹 브라우저)에서는 x' 기호가 올바르게 표시되지 않을 수 있습니다.예를 들어 HTML의 x̄ 기호는 실제로는 두 개의 코드(기본 문자 x와 위 행의 코드(̄ 또는 ^[7]¯)의 조합입니다.

pdfs 등의 일부 텍스트에서는 Microsoft Word 등의 텍스트 프로세서에 복사하면 x̄ 기호가 cent 기호(유니코드 &#162)로 대체될 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

두 개의 서로 다른 양수 a와^[8] b의 최대(a, b) > 평균 제곱근(RMS) 또는 2차 평균(QM) > 산술 평균(AM) > 기하 평균(GM) > 조화 평균(HM) > 최소(a, b)라는 단어가 없는 기하학적 증명

레퍼런스

^ Jacobs, Harold R. (1994). Mathematics: A Human Endeavor (Third ed.). W. H. Freeman. p. 547. ISBN 0-7167-2426-X.
^ ^a ^b ^c Medhi, Jyotiprasad (1992). Statistical Methods: An Introductory Text. New Age International. pp. 53–58. ISBN 9788122404197.
^ Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean". mathworld.wolfram.com. Retrieved 21 August 2020.
^ Krugman, Paul (4 June 2014) [Fall 1992]. "The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate". The American Prospect.
^ {{Cite web title=Mean {{!}tannica.com/science/mean 접속일=102-08-21 웹사이트=영국어 사전=en}
^ Thinkmap Visual Thesaurus (30 June 2010). "The Three M's of Statistics: Mode, Median, Mean June 30, 2010". www.visualthesaurus.com. Retrieved 3 December 2018.
^ "Notes on Unicode for Stat Symbols". www.personal.psu.edu. Retrieved 14 October 2018.
^ AC = a 및 BC = b. OC = a 및 b의 AM이고 반지름 r = QO = OG인 경우.
피타고라스의 정리를 사용하여 QC² = QO² + OC² qc QC = q QO² + OC² = QM.
피타고라스의 정리를 사용하여 OC² = OG² + GC² gc GC = √OC² - OG² = GM.
비슷한 삼각형을 사용해서HC/GC = GC/OC h HC = GC²/OC = HM.

추가 정보

Huff, Darrell (1993). How to Lie with Statistics. W. W. Norton. ISBN 978-0-393-31072-6.

외부 링크

[1] Jacobs, Harold R. (1994). Mathematics: A Human Endeavor (Third ed.). W. H. Freeman. p. 547. ISBN 0-7167-2426-X.

[JM-2] Medhi, Jyotiprasad (1992). Statistical Methods: An Introductory Text. New Age International. pp. 53–58. ISBN 9788122404197.

[3] Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean". mathworld.wolfram.com. Retrieved 21 August 2020.

[4] Krugman, Paul (4 June 2014) [Fall 1992]. "The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate". The American Prospect.

[5] {{Cite web title=Mean {{!}tannica.com/science/mean 접속일=102-08-21 웹사이트=영국어 사전=en}

[ThreeMs-6] Thinkmap Visual Thesaurus (30 June 2010). "The Three M's of Statistics: Mode, Median, Mean June 30, 2010". www.visualthesaurus.com. Retrieved 3 December 2018.

[7] "Notes on Unicode for Stat Symbols". www.personal.psu.edu. Retrieved 14 October 2018.

[8] AC = a 및 BC = b. OC = a 및 b의 AM이고 반지름 r = QO = OG인 경우.
피타고라스의 정리를 사용하여 QC² = QO² + OC² qc QC = q QO² + OC² = QM.
피타고라스의 정리를 사용하여 OC² = OG² + GC² gc GC = √OC² - OG² = GM.
비슷한 삼각형을 사용해서HC/GC = GC/OC h HC = GC²/OC = HM.

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정의.

동기 부여 속성

기타 속성

중위수와의 대비

일반화

가중평균

연속 확률 분포

각도

기호 및 부호화

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