분산의 동일성에 대한 F-검정

통계에서 분산의 동일성에 대한 F-검정은 두 정규 모집단의 분산이 같다는 귀무 가설에 대한 검정이다. 개념적으로 모든 F-검정은 두 표본 분산의 비교로 간주될 수 있지만, 이 문서에서 논의되고 있는 구체적인 사례는 두 모집단의 표본 분산의 비율이다.^[1] 이러한 특별한 상황은 F-분포를 도출할 수 있는 기본적인 예시를 제공하기 때문에 수학 통계에서 중요하다.^[2] 적용된 통계량에 적용하는 경우, 검정이 정규성의 가정에 너무 민감하여 분산의 평등을 위한 일상적 검정으로 사용하는 것은 바람직하지 않을 것이라는^{[citation needed]} 우려가 있다. 즉, 이는 "대략적인 정규성"(중점 한계 정리를 사용하여 유사한 맥락에서 정당화되는 경우가 많음)이 시험 절차를 허용 가능한 정도까지 근사적으로 유효하게 만들기에 충분하지 않은 경우다.

시험

X₁, ..., X_n, Y₁, Y는_m 각각 정규 분포를 갖는 두 모집단에서 독립적이고 동일한 분포를 따르도록 한다. 두 모집단의 기대값은 다를 수 있으며, 시험할 가설은 분산이 동일하다는 것이다. 내버려두다

${\displaystyle {\coverline{X}={\frac {1}{n}\sum _{i=1}{n}X_{i}{\text}{\}}{{\coverline{Y}}}}{\frac {1}}}}}{i=1}^{m}}Y_{i}}$

표본이 되다 내버려두다

${\displaystyle S_{X}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}{\text{ and }}S_{Y}^{2}={\frac {1}{m-1}}\sum _{i=1}^{m}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}$

표본 분산이다 그런 다음 검정 통계량

${\displaystyle F={\frac {S_{X}^{2}}:{S_{Y}^{2}}:$

분산의 동일성에 대한 귀무 가설이 참일 경우 자유도가 n - 1인 F-분포를 가진다. 그렇지 않으면 실제 분산의 비율에 따라 F-분포를 따른다. 원하는 알파 수준(즉, 통계적 유의성)에 기초하여 F가 너무 크거나 작을 경우 귀무 가설은 기각된다.

특성.

이 F-검정은 비정규성에 극도로 민감한 것으로 알려져 있으므로,^[3][4] 레베네 검정, 바틀렛 검정 또는 브라운-포르시테 검정은 두 분산의 동일성을 검정하는 데 더 좋은 검정이다. (단, 이러한 모든 테스트는 효과 테스트에 앞서 균질성을 가정하는 테스트로 수행될 때 실험적으로 Ⅰ유형 오차 부풀리기를 생성한다.^[5] 분산의 동일성에 대한 F-검정은 특히 빠른 검사가 필요한 경우 주의를 기울여 실무에서 사용할 수 있으며, 관련 진단 검사의 대상이 된다: 실제 텍스트북은^[6] 가정에 대한 그래픽 및 공식 검사를 모두 제안한다.

F-검정은 세 개 이상의 그룹의 평균 차이 또는 요인 레이아웃에 대한 검정과 같은 가설의 다른 통계 검정에 사용된다. 이러한 F-검정은 특히 작은 알파 수준과 불균형 레이아웃에 대해 각 모집단이 정규 분포를 따른다는 가정에 위반되는 경우 일반적으로 강력하지 않다.^[7] 그러나 큰 알파 수준(예: 최소 0.05)과 균형 잡힌 레이아웃의 경우, F-검정은 비모수적 상대와 비교했을 때 비교 통계적 힘의 상실을 겪지만(정규성 가정이 유지되지 않는 경우) 상대적으로 강력하다.

일반화

위에서 설명한 문제의 즉각적인 일반화는 세 개 이상의 집단이나 모집단이 있는 상황에 대한 것으로, 모든 분산이 동일하다는 가설이다. 이것은 하틀리의 시험과 바틀렛의 시험으로 처리된 문제다.

참고 항목

• 골드펠트-퀀트 테스트
• 레베네 시험
• 바틀렛의 시험
• 브라운-포시테 시험

참조