고전장론

고전적인 장 이론은 양자화의 효과를 고려하지 않고, 하나 이상의 물리장이 장 방정식을 통해 물질과 어떻게 상호작용하는지 예측하는 물리 이론이다. 양자역학을 포함하는 이론은 양자장 이론이라고 불린다.대부분의 맥락에서 '고전장 이론'은 특히 자연의 두 가지 기본 힘인 전자기력과 중력을 설명하는 것을 의미한다.

물리장은 공간과 시간의 각 지점에서 물리량을 할당하는 것으로 생각할 수 있습니다.예를 들어 일기예보에서 국가 상공의 낮 동안의 풍속은 공간의 각 지점에 벡터를 할당하여 기술한다.각 벡터는 그 시점에서 공기의 이동 방향을 나타내므로 특정 시점에서의 영역 내의 모든 바람 벡터 세트가 벡터장을 구성한다.하루가 지나면서 바람의 방향이 변함에 따라 벡터가 가리키는 방향이 변합니다.

최초의 필드 이론인 뉴턴 중력과 맥스웰의 전자기장 방정식은 1905년 상대성 이론이 등장하기 전에 고전 물리학에서 개발되었고, 그 이론과 일치하도록 수정되어야 했다.결과적으로, 고전적인 필드 이론은 보통 상대론과 상대론으로 분류된다.현대의 필드 이론은 보통 텐서 미적분의 수학을 사용하여 표현된다.보다 최근의 대안적인 수학적 형식주의는 고전적인 필드를 섬유다발이라고 불리는 수학적 객체의 섹션으로 묘사한다.

비상대론적 필드 이론

가장 단순한 물리장 중 일부는 벡터 힘장입니다.역사적으로, 전기장이 심각하게 받아들여진 첫 번째 시기는 패러데이의 전기장을 설명할 때 힘의 선이었습니다.그리고 중력장도 비슷하게 설명되었다.

뉴턴 중력

첫 번째 중력장은 두 질량 사이의 상호작용이 역제곱 법칙을 따르는 뉴턴의 중력 이론이었다.이것은 태양 주위를 도는 행성들의 움직임을 예측하는 데 매우 유용했다.

어떤 거대한 물체 M은 다른 거대한 물체에 미치는 영향을 설명하는 중력장 g를 가지고 있다.공간의 지점 r에서의 M의 중력장은 M이 r에 위치한 작은 시험 질량 m에 가하는 힘 F를 구한 다음 ^[1]m으로 나누어 구한다.

\mathbf {g}(\mathbf {r})=blac {mathbf {F}(\mathbf {r})}{m}.

m이 M보다 훨씬 작다고 규정하면 m의 존재는 M의 동작에 거의 영향을 미치지 않습니다.

뉴턴의 만유인력의 법칙에 따르면 F(r)는 다음과 같이 주어진다^[1].

\mathbf {r}(\mathbf {r})=-{\frac {GM}{r^{2}}{\hat {\mathbf {r}}

{\hat {\mathbf {r} }}

서

{\hat {\mathbf {r} }}

r

^(\

{r

}})

은 M에서

{\hat {\mathbf {r} }}

m까지의 선을 가리키는 단위 벡터이고 G는 뉴턴의 중력 상수입니다.그러므로, M의^[1] 중력장은

{\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})={m}=-{\frac {GM}{r^{2}}{\hat {mathbf {r}}}.

관성 질량과 중력 질량이 전례 없는 정확도 수준이라는 실험적인 관찰은 입자가 경험하는 가속도와 동일한 중력장 강도를 확인하게 한다.이것이 일반 상대성 이론으로 이어지는 등가 원리의 출발점이다.

질량의 이산 집합인_i M의 경우, 점 r에_i 위치하는 질량에 의한 점 r의 중력장은 다음과 같다.

\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r} - \mathbf {r} {r} _{i},}) {\mathbf {rf {r}

연속질량분포θ를 갖는다면, 합계는 적분으로 대체된다.

\mathbf {g}(\mathbf {r})=-G\iint _{V}{\frac {rho (\mathbf {x})d^{3}\mathbf {x}}{\mathbf {r} - \mathbf {x}, {x} ^3

필드의 방향은 위치 r에서 질량_i r을 가리킵니다. 이는 마이너스 부호로 보증됩니다.한마디로 모든 대중이 끌어당긴다는 뜻이다.

적분 형태에서 중력에 대한 가우스의 법칙은

\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}

차동형이지만

\displaystyle \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}

따라서 중력장 g는 중력 전위 $θ ($ r)의 구배를 기준으로 쓸 수 있다.

\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})=-\displayla \phi(\mathbf {r}).}

이것은 중력 F가 보수적인 결과입니다.

전자기학

정전학

전하q를 가진 하전시험입자는 그 하전만으로 힘 F를 받는다.마찬가지로 전기장 $E$ 를 F = qE로 $설명$ 할 수 있습니다.이것과 쿨롱의 법칙을 사용하여 하나의 하전 입자에 의한 전장은

\mathbf {E} = pi \varepsilon _{0}} {\frac {q} {r^{2}} {\hat {\mathbf {r}},

전장은 보수적이며, 따라서 스칼라 $전위$ 의 기울기, $V ($ r)에 의해 주어진다.

\displaystyle \mathbf {E}(\mathbf {r})=-\displayla V(\mathbf {r}),}

가우스의 전기 법칙은 적분 형태이다

\iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} = scdfrac {q_{e}} {\varepsilon _{0}}

차분하게

\displaystyle \cdot \mathbf {E} = frac {rho _{e}}{\varepsilon _{0}},}

자기 정전기

경로 θ를 따라 흐르는 정상전류 I는 상기 전계력과는 양적으로 다른 근방 하전입자에 힘을 가한다.속도 v와 함께 가까운 전하 q에 대해 I에 의해 가해지는 힘은 다음과 같다.

\displaystyle \mathbf {F}(\mathbf {r})=q\mathbf {v} \times \mathbf {B}(\mathbf {r}),}

여기서 B(r)는 Biot-Savart 법칙에 의해 I에서 결정되는 자기장이다.

\mathbf {B} (\mathbf {r}) = frac {0} (\mathbf {r})}I}{4\pi }}\int {frac {d{\boldsymbol {ell}}\times d{\hat {\mathbf {r}}{r^{2}}.

자기장은 일반적으로 보수적이지 않기 때문에 일반적으로 스칼라 전위의 관점에서 쓸 수 없습니다.단, 벡터 퍼텐셜 A(r)로 쓸 수 있다.

\displaystyle \mathbf {B}(\mathbf {r})=\displayla \times \mathbf {A}(\mathbf {r})

적분 형태의 자기장에 대한 가우스의 법칙은

\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} = 0,}

차동형이지만

\displaystyle \cdot \mathbf {B} = 0 . }

물리적 해석은 자기 단극이 없다는 것이다.

전기역학

일반적으로 전하밀도θ(r, t)와 전류밀도 J(r, t)의 양쪽에서 전기장과 자기장이 모두 존재하며 둘 다 시간이 변한다.이들은 맥스웰 방정식, 즉 E와 B를 전하 밀도(단위 용량당 전하) δ 및 전류 밀도(단위 면적당 전류) ^[2]J와 직접 관련짓는 미분 방정식에 의해 결정됩니다.

또는 스칼라 및 벡터 퍼텐셜 V 및 A의 관점에서 시스템을 설명할 수 있다.지각 전위로 알려진 일련의 적분 방정식을 통해 δ 및 ^{[note 1]}J로부터 V 및 A를 계산할 수 있으며, 여기서부터 전기장과 자기장은 관계를^[3] 통해 결정됩니다.

\mathbf {E} =-\displayla V-{\frac \mathbf {A} {\display t}

\displaystyle \mathbf {B} =\displayla \times \mathbf {A} .}

연속체 역학

유체 역학

유체역학에는 에너지와 운동량의 보존 법칙에 의해 연결된 압력, 밀도 및 유속 필드가 있습니다.질량 연속성 방정식은 질량의 보존을 나타내는 연속성 방정식이다.

(\displaystyle\frac\rho}{\displayt}+\displayla\cdot(\rho\mathbf {u})=0}

그리고 나비에–스토크스 방정식은 유체에 적용된 뉴턴의 법칙에서 찾을 수 있는 유체의 운동량 보존을 나타냅니다.

(\displaystyle {\frac t}(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\displayla \cdot \boldsymbol {\}+rho \mathbf {u})

유체의 밀도

θ

,

압력

p, 편차 응력

텐서" 및 외부 체력 b가 모두 주어질 경우.속도 필드u는 풀어야 할 벡터 필드입니다.

기타 예

1839년, 제임스 맥컬러는 "결정성 반사와 굴절의 역동적인 이론을 향한 에세이"^[4]에서 반사와 굴절을 설명하는 필드 방정식을 제시했습니다.

전위 이론

"잠재적 이론"이라는 용어는 19세기 물리학에서 자연의 기본 힘은 라플라스 방정식을 만족시키는 스칼라 전위로부터 파생된다고 믿었던 사실에서 비롯되었습니다.푸아송은 이미 라그랑주에 의해 섭동력으로부터 1차 근사치까지 정착된 행성 궤도의 안정성에 대한 질문을 다루었고, 그의 이름을 딴 푸아송 방정식을 도출했다.이 방정식의 일반적인 형태는

\displaystyle \displayla ^{2}\phi =\displays }

여기서 θ는 소스 함수(밀도, 단위 부피당 수량)이며 θ는 해결할 스칼라 전위입니다.

뉴턴의 중력에서 질량은 자기장의 근원이며, 따라서 자기장 선은 질량을 가진 물체에서 끝납니다.마찬가지로 전하가 정전장의 소스 및 싱크입니다.정전하는 전계선을 방출하고, 전계선은 음전하로 끝납니다.이러한 장 개념은 일반 발산 정리, 특히 중력과 전기에 대한 가우스의 법칙에도 설명되어 있습니다.시간에 의존하지 않는 중력과 전자기기의 경우, 자기장은 대응하는 전위의 구배이다.

\displaystyle \mathbf {g} =-\displayla \phi _{g},\display\mathbf {E} =-\displaystyle \phi _{e}

그래서 각각의 경우에 이것들을 가우스의 법칙에 대입하면

\displaystyle \varecla ^{2}\phi = 4\pi G\rho _{g},\display \varecla ^{2}\phi = - {\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}

여기서 θ는_g 질량 밀도이고 θ는_e 전하 밀도입니다.

덧붙여서, 이러한 유사성은 뉴턴의 만유인력의 법칙과 쿨롱의 법칙 사이의 유사성에서 비롯된다.

소스 항(예: 진공 또는 쌍체 전하)이 없는 경우, 이러한 전위는 라플라스 방정식을 따릅니다.

\displaystyle \displayla ^{2}\phi = 0.}

질량 분포(또는 전하)에 대해서는 일련의 구면 고조파에서 전위를 확장할 수 있으며, 시리즈의 n번째 항은 2-모멘트에서ⁿ 발생하는 전위로 볼 수 있다(다극 팽창 참조).계산에는 단극자, 쌍극자 및 사극자 항만 필요합니다.

상대론적 장 이론

고전적인 장 이론의 현대적인 공식은 일반적으로 로렌츠 공분산을 필요로 하는데, 이것은 이제 자연의 기본적인 측면으로 인식되기 때문이다.현장 이론은 라그랑지안을 사용하여 수학적으로 표현되는 경향이 있다.이것은 작용 원리를 적용하면 이론의 필드 방정식과 보존 법칙을 발생시키는 함수이다.작용은 로렌츠 스칼라이며, 여기서 필드 방정식과 대칭을 쉽게 도출할 수 있습니다.

전체적으로 진공 상태에서의 빛의 속도가 1인 단위(예: c =^{[note 2]} 1)를 사용합니다.

라그랑주 역학

라그랑지안 밀도라고 하는 스칼라 $\phi$ ${\$ { $displaystyle \phi$ 가 주어졌을 때

{L}}(phi,\partial \phi,\partial \phi,\ldots,x)

§(\displaystyle\phi)

\phi

그 파생 모델로 구성할 수 있습니다.이 밀도로부터 작용 함수는 시공간에서 적분함으로써 구성될 수 있다.

{\mathcal {S}=\int {\mathcal {L}}{\sqrt {-g}},\mathrm {d}^{4}x}.

${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ 서 ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ - ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ x {\ $displaystyle$ {\ $sqrt$ {- $g}},\mathrm {d}$ ^{ $4}x}$ 는 ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ 곡면 시공간에서의 볼륨 형태입니다. $(g\equiv \det(g_{\mu \nu }))$

그러므로, 라그랑지안 자체는 모든 공간에 걸친 라그랑지안 밀도의 적분과 같다.

그런 다음 작용 원리를 적용함으로써 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

\displaystyle \frac {\delta \phi } = frac {\partial \phi } } - \ partial _ { \ mu } \ frac { \ partial ( \ mathcal { L } ) + phi } cdots ( \ partial )}{\cdots_{\mu_{1}}\cdots\cdots_{\mu_{m-1}}\cdots_{\mu_{m}\phi}}}\right)= 0.}

상대론적 분야

가장 잘 알려진 로렌츠-공변 고전장 이론 중 두 가지가 지금 설명된다.

전자기학

역사적으로 첫 번째 (고전적) 자기장 이론은 전기장과 자기장을 (개별적으로) 기술하는 이론이었다.수많은 실험 후, 이 두 분야가 관련이 있다는 것이 밝혀졌고, 사실, 같은 분야의 두 가지 측면, 즉 전자기장이라는 것이 밝혀졌습니다.맥스웰의 전자기 이론은 하전 물질과 전자기장의 상호작용을 설명한다.이 장 이론의 첫 번째 공식은 전기장과 자기장을 설명하기 위해 벡터장을 사용했습니다.특수상대성이론의 등장으로 텐서장을 이용한 보다 완전한 공식화가 발견되었다.전기장과 자기장을 기술하는 2개의 벡터장을 사용하는 대신 이 2개의 필드를 함께 나타내는 텐서장을 사용한다.

전자파 4극자는 A =(- $극성,$ $A),$ 전자파 $4전류 a$ j =(- $극성,$ $j)$ 로_a 정의됩니다.시공간에서 임의의 지점의 전자기장은 반대칭(0,2)-랭크 전자기장 텐서로 설명됩니다.

F_{ab}=\partial_{a}A_{b}-\partial_{b}A_{a}

라그랑지안

이 분야의 역학을 얻기 위해 현장에서 스칼라를 구축하려고 합니다.진공상태에서 우리는

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}F^{ab}F_{ab},

게이지 장 이론을 사용하여 상호작용 항을 얻을 수 있습니다. 그러면

{\mathcal {L}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a},

방정식

필드 방정식을 얻기 위해서는 라그랑지안 밀도의 전자기 텐서가 4전위 A의 정의로 대체되어야 하며, 오일러-라그랑지 방정식에 들어가는 것은 이 전위입니다.EL 방정식에서 EM 필드 F는 변경되지 않습니다.그러므로,

\displaystyle \partial _{b}\left(\frac {\mathcal {L}}{\partial \left(\partial _{b})A_{a}}}}\right)=parial frac(부분 A_{a}},}

현장성분에 대한 라그랑지안 밀도의 도함수 평가

{\frac {\mathcal {L}} {\partial A_{a}} = \mu _{0}j^{a},

필드 구성요소의 파생 요소

\displaystyle\frac\partial\mathcal{L}\partial(\partial_b)A_{a}}}=F^{ab},}

진공상태에서 맥스웰 방정식을 얻습니다.근원 방정식(전기에 대한 가우스의 법칙과 맥스웰-암페르의 법칙)은 다음과 같다.

\displaystyle _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a},}

반면 나머지 두 가지(자기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙)는 F가 A의 4컬이라는 사실 또는 다시 말해 전자장 ^[5]텐서에 대해 비앙치 항등식이 유지된다는 사실에서 구한다.

\displaystyle 6F_{[ab,c]},=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}

여기서 쉼표는 부분 도함수를 나타냅니다.

중력

뉴턴의 중력이 특수 상대성 이론과 일치하지 않는 것으로 밝혀진 후, 알버트 아인슈타인은 일반 상대성 이론이라고 불리는 새로운 중력 이론을 공식화했다.이것은 중력을 질량에 의해 야기된 기하학적 현상('곡선 시공간')으로 취급하고 수학적으로 미터법 텐서라고 불리는 텐서장에 의해 중력장을 나타낸다.아인슈타인 장 방정식은 이 곡률이 어떻게 생성되는지를 설명한다.뉴턴 중력은 이제 아인슈타인의 일반 상대성 이론으로 대체되는데, 아인슈타인은 중력이 질량에 의해 야기되는 곡면 시공간 때문이라고 생각한다.아인슈타인 장 방정식은

G_{ab}=\kappa T_{ab}

이 곡률이 물질과 방사선에 의해 어떻게 생성되는지를 기술한다. 여기서_ab G는 아인슈타인 텐서이다.

G_{ab},=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab

Ricci 텐서R_ab 및 Ricci 스칼라R

=

Rg

로_ab^ab

표기

되며_ab, T는 응력-에너지 텐서이고

θ

=

8µG / c

는⁴ 상수이다.물질과 방사선(선원 포함)이 없는 경우 '진공 자기장 방정식'

G_{ab}=0

아인슈타인을 변화시킴으로써 도출할 수 있다-힐버트 액션

\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}},d^{4}x}

측정지표와 관련하여, 여기서 g는 측정지표^ab 텐서g의 결정 요인이다.진공장 방정식의 해는 진공해라고 불립니다.Arthur Eddington에 의한 대체 해석은

R은

T

이고

R

T

는

T

R

의

한

측면일 뿐이며

,

유닛

의

\kappa

선택에 의해

강제

된다는

R

입니다

.

기타 예

로렌츠-공변 고전장 이론의 또 다른 예는 다음과 같다.

실제 또는 복소 스칼라장에 대한 클라인-고든 이론
디랙 스피너장에 대한 디랙 이론
비벨 게이지장에 대한 Yang-Mills 이론

통일 시도

고전물리학을 기반으로 한 통일장론을 만드는 시도는 고전적인 통일장론이다.두 개의 세계 대전 사이의 몇 년 동안, 전자기기로 중력을 통일한다는 생각은 알버트 아인슈타인, 테오도르 칼루자,^[6]^[10] 헤르만 바일,^[7] 아서 에딩턴,^[8] 구스타프 미에^[9], 그리고 에른스트 라이첸바허와 같은 몇몇 수학자들과 물리학자들에 의해 활발하게 추구되었다.

그러한 이론을 만들기 위한 초기 시도는 일반 상대성 이론의 기하학에 전자기장을 통합하는 것에 기초했다.1918년 헤르만 ^[11]바일이 전자기장의 첫 기하학적 형성을 제안했다.1919년, 5차원 접근의 아이디어는 테오도르 칼루자에 ^[11]의해 제안되었다.거기서 Kaluza-Klein 이론이라고 불리는 이론이 개발되었습니다.그것은 중력과 전자기력을 5차원 시공간으로 통합하려고 한다.아인슈타인과 다른 연구자들에 의해 고려된 통일된 장 이론의 표현 체계를 확장하는 몇 가지 방법이 있다.일반적으로 이러한 확장 기능은 두 가지 ^[11]옵션을 기반으로 합니다.첫 번째 옵션은 원래 공식에 부과된 조건을 완화하는 데 기초하고, 두 번째 옵션은 다른 수학적 대상을 ^[11]이론에 도입하는 데 기초합니다.첫 번째 옵션의 예는 고차원 ^[11]표현을 고려하여 4차원 시공간 제한을 완화하는 것이다.그것은 Kaluza-Klein 이론에서 사용된다.두 번째로, 가장 두드러진 예는 주로 툴리오 리바이 시비타와 헤르만 ^[11]바일의 작업을 통해 일반 상대성 이론으로 도입된 아핀 연결의 개념에서 비롯된다.

양자장론의 발전으로 통일장론을 찾는 초점이 고전적인 것에서 양자기술로 바뀌었다.그 때문에 많은 이론 물리학자들은 고전적인 통일장 ^[11]이론을 찾는 것을 포기했다.양자장론은 아원자 수준에서 작용하는 ^[12]^[13]두 가지 자연의 기본 힘, 강한 핵력과 약한 핵력의 통합을 포함할 것이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 이것은 게이지의 올바른 선택에 달려 있습니다.θ와 A는 θ와 J에 의해 고유하게 결정되는 것이 아니라 게이지로 알려진 일부 스칼라 함수 f(r, t)까지만 결정된다.지연된 전위 형식주의에서는 로렌츠 게이지를 선택해야 합니다.
^ 이것은 거리와 시간의 단위를 광초와 초 또는 광년과 년으로 선택하는 것과 같다.c = 1을 선택하면 방정식을 단순화할 수 있습니다.예를 들어, E = mc는² E = m으로 감소합니다(단위² 추적 없이 c = 1이므로).이를 통해 기본 원칙에 초점을 맞추면서 표현의 복잡성을 줄일 수 있습니다.실제 수치 계산을 수행할 때 이 "꼼수"를 고려해야 합니다.

레퍼런스

인용문

^ ^a ^b ^c Kleppner, David; Kolenkow, Robert. An Introduction to Mechanics. p. 85.
^ Griffiths, David. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). p. 326.
^ Wangsness, Roald. Electromagnetic Fields (2nd ed.). p. 469.
^ 제임스 맥컬러(1839) 결정반사와 굴절의 역동적인 이론을 향한 에세이, 트랜잭션, 로열 아일랜드 아카데미 21
^ "Bianchi Identities".
^ Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.): 966–972. Bibcode:1921SPAW.......966K.
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^ Reichenbächer, E. (1917). "Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und der Gravitation". Ann. Phys. 52 (2): 134–173. Bibcode:1917AnP...357..134R. doi:10.1002/andp.19173570203.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Sauer, Tilman (May 2014), "Einstein's Unified Field Theory Program", in Janssen, Michel; Lehner, Christoph (eds.), The Cambridge Companion to Einstein, Cambridge University Press, ISBN 9781139024525
^ Gadzirayi Nyambuya, Golden (October 2007). "Unified Field Theory – Paper I, Gravitational, Electromagnetic, Weak & the Strong Force" (PDF). Apeiron. 14 (4): 321. Retrieved 30 December 2017.
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원천

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외부 링크

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[3] 이것은 게이지의 올바른 선택에 달려 있습니다.θ와 A는 θ와 J에 의해 고유하게 결정되는 것이 아니라 게이지로 알려진 일부 스칼라 함수 f(r, t)까지만 결정된다.지연된 전위 형식주의에서는 로렌츠 게이지를 선택해야 합니다.

[6] 이것은 거리와 시간의 단위를 광초와 초 또는 광년과 년으로 선택하는 것과 같다.c = 1을 선택하면 방정식을 단순화할 수 있습니다.예를 들어, E = mc는² E = m으로 감소합니다(단위² 추적 없이 c = 1이므로).이를 통해 기본 원칙에 초점을 맞추면서 표현의 복잡성을 줄일 수 있습니다.실제 수치 계산을 수행할 때 이 "꼼수"를 고려해야 합니다.

[kleppner85-1] Kleppner, David; Kolenkow, Robert. An Introduction to Mechanics. p. 85.

[griffiths326-2] Griffiths, David. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). p. 326.

[wangsness469-4] Wangsness, Roald. Electromagnetic Fields (2nd ed.). p. 469.

[5] 제임스 맥컬러(1839) 결정반사와 굴절의 역동적인 이론을 향한 에세이, 트랜잭션, 로열 아일랜드 아카데미 21

[7] "Bianchi Identities".

[kal-8] Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.): 966–972. Bibcode:1921SPAW.......966K.

[9] Weyl, H. (1918). "Gravitation und Elektrizität". Sitz. Preuss. Akad. Wiss.: 465.

[10] Eddington, A. S. (1924). The Mathematical Theory of Relativity, 2nd ed. Cambridge Univ. Press.

[11] Mie, G. (1912). "Grundlagen einer Theorie der Materie". Ann. Phys. 37 (3): 511–534. Bibcode:1912AnP...342..511M. doi:10.1002/andp.19123420306.

[12] Reichenbächer, E. (1917). "Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und der Gravitation". Ann. Phys. 52 (2): 134–173. Bibcode:1917AnP...357..134R. doi:10.1002/andp.19173570203.

[Tilman-13] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Sauer, Tilman (May 2014), "Einstein's Unified Field Theory Program", in Janssen, Michel; Lehner, Christoph (eds.), The Cambridge Companion to Einstein, Cambridge University Press, ISBN 9781139024525

[14] Gadzirayi Nyambuya, Golden (October 2007). "Unified Field Theory – Paper I, Gravitational, Electromagnetic, Weak & the Strong Force" (PDF). Apeiron. 14 (4): 321. Retrieved 30 December 2017.

[15] De Boer, W. (1994). "Grand unified theories and supersymmetry in particle physics and cosmology" (PDF). Progress in Particle and Nuclear Physics. 33: 201–301. arXiv:hep-ph/9402266. Bibcode:1994PrPNP..33..201D. doi:10.1016/0146-6410(94)90045-0. S2CID 119353300. Retrieved 30 December 2017.

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