범주 이론 용어집

이것은 수학의 범주 이론 속성과 개념의 용어집이다.('카테고리 이론의 개요'도 참조).

• 기초에 관한 주의사항:많은 박람회(예: Vistoli)에서 설정 이론 문제는 무시된다. 예를 들어, 이는 작은 범주와 큰 범주를 구분하지 않고 범주의 ^[1]현지화를 임의로 구성할 수 있음을 의미한다.이러한 설명과 같이, 이 용어집도 관련성이 있는 경우를 제외하고(예: 접근성에 대한 논의) 일반적으로 설정론적 논제를 무시한다.

특히 상위 범주의 경우, 대수적 위상으로부터의 개념은 범주 이론에서도 사용된다.이에 대해서는 대수위상의 용어집도 참조한다.

이 문서에서 사용되는 표기법 및 표기법은 다음과 같습니다.

• [n] = {0, 1, 2, …, n}. (i ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle )}$ i${\displaystyle j}$j { $display$ i$\to$ j$\leq$ j$}$로 표기하여) 범주로 간주됩니다.$$
• Cat, (작은) 카테고리의 카테고리입니다.여기서 오브젝트는 카테고리(일부 우주에 대해 작은)와 형태 함수입니다.
• Fct(C, D), 펑터 카테고리: 카테고리 C에서 카테고리 D까지의 펑터 카테고리.
• 세트, (작은) 세트의 카테고리입니다.
• sSet, 단순 집합의 범주입니다.
• "default" 대신 "weak"가 기본 상태로 지정됩니다. 예를 들어, "n-category"는 기본적으로 엄격한 것이 아니라 "weak n-category"를 의미합니다.
• -카테고리란 다른 모델이 거론되지 않는 한 가장 인기 있는 준카테고리 모델을 말한다.
• 숫자 0 0은 자연수입니다.

A

abelian

카테고리에 0 객체가 있고 모든 풀백과 푸시아웃이 있으며 모든 단형 및 에피몰피즘이 정규인 경우 범주는 아벨리안입니다.

accessible

1. 기수 ${\displaystyle ,}$가 주어지면 카테고리 내의 객체 X는 Hom in (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- $)\style \operatorname {Hom}(X$ ,$$- )이 필터된 콜리밋과 일치할 경우$$ "${\displaystyle \mathrm{접근}}$ 가능(또는 "-콤팩트 또는 "-표현 가능)"이 됩니다.

(2) 정규 기수 ,가 주어졌을 때, 카테고리에는 -필터링된 콜리밋이 있고, 콜리밋 아래에 카테고리를 생성하는 -콤팩트 오브젝트의 작은 세트 S가 존재하면, 「액세스 가능」이 되어, 모든 오브젝트를 S의 오브젝트 다이어그램의 콜리밋으로서 쓸 수 있다.

additive

범주는 사전 가법적(정확히 말하면 사전 가법적 구조를 가지며)이며 모든 유한한 공동연산을 허용하는 경우 가법적이다."사전 부가적"은 추가 구조이지만, "추가적"은 범주의 속성임을 보여줄 수 있습니다. 즉, 주어진 범주가 가법적인지 여부를 ^[2]물을 수 있습니다.

adjunction

인접 쌍(adjoint pair라고도 함)은 "자연적" 쌍이 존재하도록 함수 F: C → D, G: D → C의 쌍이다.

${\displaystyle {홈}_{}}$ D ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle F}$ (${\displaystyle X}$) ,${\displaystyle Y}$ )${\displaystyle {hom홈}_{}}$ C ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle G}$ (${\displaystyle Y}$) $){$ $displaystyle \operatorname {Hom } _$ {$D$（ $F ( X$ , $Y$)\$simeq \operatorname {Hom$} $_{C$$X$ ,$Y$) ;

F는 G에 왼쪽 인접, G는 F에 오른쪽 인접이라고 합니다.여기서 "자연"은 자연 동형 ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ D ${\displaystyle d_{}}$ ( F${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle -}$ ) ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle (}$ ( -${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$( - $){ displaystyle \operatorname${Hom}$_{D(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom$} _{$C}(G$) -$)$가 있음을 의미합니다.

algebra for a monad

범주 X의 모나드 T가 주어졌을 때, T 또는 T-대수의 대수는 T의 모노이드 작용이 있는 X의 객체이다. ("대수"는 오해의 소지가 있고 "T-object"는 아마도 더 나은 용어이다.)예를 들어 표준 방법으로 집합의 모나드 T를 결정하는 그룹 G가 주어지면 T-대수는 G의 작용이 있는 집합입니다.

amnestic

함수는 특성이 있는 경우 강제적입니다.k가 동형사상이고 F(k)가 항등사상이라면 k는 항등사상입니다.

B

balanced

모든 이형성이 동형인 경우 범주는 균형을 이룹니다.

Beck's theorem

벡의 정리는 주어진 모나드에 대한 대수의 범주를 특징짓는다.

bicategory

바이카테고리는 약한 2-카테고리의 모형입니다.

bifunctor

카테고리 C와 D의 쌍에서 카테고리E로의 바이펀터는 펑터 C × D → E입니다.예를 들어 카테고리 C에 대해 Hom${\displaystyle }$δ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- $)\displaystyle \operatorname {Hom}(-)$은 C와 C에서 Set까지의^op 바이펀터입니다.

bimonoidal

바이모노이드 범주는 두 개의 모노이드 구조를 가진 범주로, 하나는 다른 하나에 분포합니다.

bimorphism

바이몰피즘은 에피몰피즘이자 단형인 형태론이다.

Bousfield localization

Bousfield 현지화를 참조해 주세요.

C

calculus of functors

함수의 미적분은 함수를 테일러 급수 확장을 통해 연구하는 방법과 유사한 방식으로 함수를 연구하는 기술이다. 즉, "계산기"라는 용어이다.

cartesian closed

카테고리에 터미널 객체가 있고 임의의 두 객체에 곱과 지수가 있는 경우 카테고리는 데카르트 닫힙니다.

cartesian functor

상대 $범주{\displaystyle }$p : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle C,q}$ : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ p$:$$F$${\displaystyle \backslash }$$to$ C$,q:G\to$ C, $펑터{\displaystyle }$ f$:$${\displaystyle \mathrm{F<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p:F\backslash to\; C,q:G\backslash to\; C\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/314cafcf4d6d17fbb197dbfb88bc89c86443d04c"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:21.565ex;\; height:2.509ex;">}}$ ${\displaystyle \to }$(\$style$f:)의 동일 베이스 카테고리 C 위의 F\to C,q:G\to C.$C$ 위의 F$\to$G는 데카르트 형태소를 데카르트 형태소로 보내는 경우 데카르트이다.

cartesian morphism

(1) 함수 θ: C → D(예를 들어 스킴 위의 프리팩)가 주어졌을 때, C의 각 객체 z에 대해 각 형태소 g: z → C의 y 및 D의 각 형태소 v: θ(z) → θ(x)의 각 형태소 f: x → y가 다음과 같은 경우, C의 형태소 f: x → y는 θ(g).

(2) 함수 θ: C → D(예를 들어 링 위 프리팩)가 주어졌을 때, C의 각 형태소 f: x → y는 C의 각 물체 z에 대해 다음과 같은 각 형태소 g: x → z 및 각 형태소 v: θ(y) → θ(z)일 경우, C의 형태소 f: x → y는 θ-코카르트이다.

Cartesian square

섬유제품으로서 주어진 다이어그램과 동형인 교환도.

categorical logic

범주논리는 범주이론을 사용하는 수리논리에 대한 접근법이다.

categorification

분류는 집합과 집합이론 개념을 범주 및 범주이론 개념으로 대체하여 범주 맛을 포착하는 과정이다.분류해제는 분류의 반대이다.

category

카테고리는 다음 데이터로 구성됩니다.

1. 오브젝트 클래스,
2. 오브젝트 X, Y의 각 쌍에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 홈$,$ Y$)$을 설정합니다.\$displaystyle$ \$operatorname {Hom}(X, Y$의 요소는 X에서 Y로의 형태라고 불립니다.
3. 오브젝트 X, Y, Z의 각 트리플에 대해 지도(구성이라고 함)

   ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle 홈}$ (${\displaystyle Y}$ ,${\displaystyle }$Z ) × ${\displaystyle 홈(}$ (${\displaystyle }$X ,${\displaystyle }$Y${\displaystyle }$) → ${\displaystyle 홈}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle }$Z${\displaystyle }$) , (${\displaystyle g}$, f )${\displaystyle gg}$ {\ $f${\ f {$displaystyle$ \ displaystyle : $\operatorname$ {Hom$}(Y , Z$ ) \ $times$ \$operatorname$ {Hom$}(X$, \$ToM)$

4. 각 오브젝트 X에 대해 ID 형태 ID X ${\displaystyle \mathrm{hom}}$ ${\displaystyle {Hom}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X${\displaystyle }$、 X$$） { $style$ \$operatorname {id} _{X}$ \$in \operatorname {Hom}(X,X)$

조건: 모든 형태 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\to$Y$\},$${\displaystyle }g{\displaystyle }$ : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ g$:$$Y\to$ Z$}$ $및$ h : Z ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle$ h$:Z\to$ W$),$

• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle hg}$g ) ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f=}$ $h$（ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ $）$ \ $displaystyle ( h$ \ $display$ g ) \ $displaystyle$ ( h \ $display$ style ) $=$ ${\displaystyle f_{}}$$$${\displaystyle =}$ $f$$f$ \ $displaystyle${ } _ { Y$$} \ $circ$ f$=$ \$operoname$ { $x }$

예를 들어, 부분적으로 순서가 매겨진 집합은 범주로 볼 수 있습니다. 개체는 집합의 요소이며 각 ${\displaystyle \mathrm{개체}}$ 쌍 x, y에 대해 고유한 $형태론{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \to }$$$ {\$displaystyle$$$x$\leq$y$\}$가 있는 경우, 즉 구성 평균 전달의 연관성인 $경우$에만 존재합니다.

category of categories

(작은) 범주의 범주(Cat)는 개체가 고정된 우주와 관련하여 작은 모든 범주이고 형태론이 모든 함수인 범주입니다.

classifying space

범주 C의 분류 공간은 C의 신경의 기하학적 실체이다.

co-

종종 op-와 동의어로 사용됩니다. 예를 들어, 콜리밋은 반대 범주의 한계라는 의미에서 op-limit을 나타냅니다.그러나 차이가 있을 수 있습니다. 예를 들어 op-calibration은 cobibration과 동일하지 않습니다.

coend

$펑터{\displaystyle }$ F${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {\text{C}}^{}}$op × ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ F$:$$C^{\text{op}}\times$ C$\to$ X$}$는 F 끝의 쌍대이며 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle c^{}}$c${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle CF}$ ( c ,$$c ) { $displaystyle$ \int$^{c\in C}F$( c ,$c$ )$$}${\displaystyle {}^{}}$。

예를 들어, R이 고리이고 M이 오른쪽 R-모듈이고 N이 왼쪽 R-모듈이라면, M과 N의 텐서곱은 다음과 같다.

${\displaystyle M\otimes_{R}N=\int^{R}M\otimes_{\mathbb {Z}}N}$

여기서 R은 형태론이 R의 요소인 하나의 객체가 있는 범주로 간주된다.

coequalizer

$형태소{\displaystyle }$ 쌍 f${\displaystyle }$,${\displaystyle g}$ : A ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle B}$(\$displaystyle$ f$,g):$$A\to$ B$}$는 쌍의 콜리밋입니다.이퀄라이저의 듀얼입니다.

coherence theorem

일관성 정리는 약한 구조가 엄격한 구조와 동등하다는 형태의 정리이다.

coimage

형태론 f: X → Y의 코이미지는${\displaystyle {}_{}}$X × ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ { $displaystyle$ X \ $times$_ {$Y$ }$X$ \ $rightarrows$X $\}$의 등화소이다.

colored operad

형태론이 여러 개의 도메인을 가질 수 있는 일반화된 범주인 다중 카테고리의 다른 용어입니다."colored operad"의 개념은 operad보다 더 원시적입니다. 실제로 operad는 단일 객체를 가진 컬러 오퍼라드로 정의할 수 있습니다.

comma

주어진 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle B,g}$ : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ f$:$$C\to B, 예:$$D\to$ B$\},$ 콤마 카테고리 ($f$ $)$ {$displaystyle$ $(f\downarrow$$$g)}은$$ (1) 오브젝트가 $형태소{\displaystyle }$f (${\displaystyle c}$$)$$g$ ($d)$ 및$$ (2)${\displaystyle }$α :$f$ ($c$) ${\displaystyle \to g}$ ($d)로부터의 형태소이다.$$)$는 c ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ { ${\displaystyle \mathrm{displaystyle}{}^{}}$ \ $to$ c$$' } 및$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \to }$ $d$′ { $displaystyle d$ \ $to$ d$'$ 로 ${\displaystyle 구성}$됩니다${\displaystyle .}f{\displaystyle }$ ( c${\displaystyle {\prime }^{}}$ )$$g ( $displaystyle$f ($c$ )\$to$ f ( c ' $){$displaystyle f ( c ){\$to$} {\$to$} $g'$ ${\displaystyle \to }$ f ( d$'$ ) ${\displaystyle \mathrm{\alpha <img\; alt="f(c)\backslash to\; f(c\text{'})\{\backslash overset\; \{\backslash beta\; \}\{\backslash to\; \}\}g(d\text{'})"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e3ca06473f47ea5fcd8cd9eca3081d01b11931c4"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:19.64ex;\; height:4.176ex;">}}$ ( ${\displaystyle c}$ ) ） ） 。f가 아이덴티티 펑터이고 g가 값이 b인 상수 펑터일 경우 객체 b에 대한 B의 슬라이스 카테고리입니다.

comonad

카테고리 X의 코모나드는 X의 엔도퍼넥터의 모노이드 카테고리의 코모노이드이다.

compact

#accessible과 같은 의미일 수 있습니다.

complete

작은 제한이 모두 존재하는 경우 범주는 완전합니다.

composition

(1) 범주의 형태소 구성은 범주를 정의하는 기준의 일부이다.

2.${\displaystyle }$f : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to D이면}$g : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle$f :$C\to$ D,$g:D\$$to$ E$}$는 펑터이며, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$f { $display style$ g$\$display f} ${\displaystyle \mathrm{또는}}$ g$$f {\display $style$${\displaystyle }$gf$$${\displaystyle \}}$는 C의 객체 x 및 ${\displaystyle \mathrm{형태론}}$ ${\displaystyle u}$에 대해 정의되는 펑터입니다$.{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle =g}$ (${\displaystyle x}$) , g ( ${\displaystyle f}$ )${\displaystyle =f}$)

3. 자연변환은 점 $단위$로 구성된다. ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \to g}$ , ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \to }$ { $style \ varphi : f$ \ $to$ g , \$psi$ :$f$ \ to $h$}가 자연변환일 경우$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \backslash }$ $displaystyle \psi$ \ psi \ $varphi$}는 x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 로 주어지는 자연변환이다.$irc \varphi$ _${x$

concrete

콘크리트 범주 C는 C에서 세트까지의 충실한 기능자(예: Vec, Grp 및 Top)가 존재하는 범주이다.

cone

원뿔은 콜리밋(또는 최종적으로는 한계)의 보편적 특성을 표현하는 방법입니다.${\displaystyle \underset{}{\mathrm{colimit}}}$ lim $→$ {\$displaystyle \varinjlim}$이(가) 대각 펑터${\displaystyle \delta }$ : C ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathrm{Fct}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle I}$ ,${\displaystyle C}$ )$$\$displaystyle \Delta$:에 대한 왼쪽 인접임을 알 수 있습니다^[3].C$\to \operatorname {Fct}(I,C$ : ${\displaystyle X}$ 및 임의의 펑터${\displaystyle }f{\displaystyle }$ : I ${\displaystyle \to }$ \$displaystyle$ f$:$$I\to$ C$\},$

$\displaystyle \operatorname {Hom}(\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom}(f,\Delta _{X}),}$

해당 콜리밋이 존재할 경우오른쪽은 정점 ^[4]X가 있는 원뿔 집합입니다.

connected

만약 개체의 각), y, 개체의 유한 수열 zi은 z0=-1, znxy{\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}, Hom ⁡(z, zi1+){\displaystyle \operatorname{Hom}(z_{나는},z_{i+1})}또는 Hom⁡(zi1+ zi)그런{\displaystyle \operatorna가 존재하는 범주 연결되어 있다.me ${Hom}(z_{i+1},z_{i})$이(가) i에 대해 비어 있지 않습니다.

conservative functor

보수적인 펑터는 동형사상을 반영하는 펑터입니다.건망증이 심한 펑터는 보수적이지만 탑에서 세트까지 건망증이 심한 펑터는 보수적이지 않습니다.

constant

범주의 모든 개체를 동일한 개체 A에 매핑하고 모든 형태를 A의 ID에 매핑하는 경우 펑터는 일정합니다.바꿔 말하면 펑터${\displaystyle f}$ : C ${\displaystyle \to }$ { $displaystyle$ f$:$C$\to$ D$}$는 D의 일부 객체 A에 대해 다음과 $같이{\displaystyle }$ 인수할 경우 상수입니다. 여기서 ${\displaystyle i}$는 이산 범주 {$A }을$$($를) ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{포함}}}$합니다$.$

contravariant functor

카테고리 C에서 카테고리 D로의 역변함수 F는 C에서^op D까지의 (공변함수)이다.특히 D가 Set 또는 Variant인 경우에는 Pre-heaf라고도 합니다.예를 들어, 각 세트 S에 대해 P$)$ {$displaystyle$(\displaystyle$\mathfrak {P}}(S)})$를 S의 멱집합으로 $하고{\displaystyle \mathfrak{}}$ 각 기능 $f{\displaystyle :S}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$:$$S\to$T$\},$ 정의

$(\displaystyle\mathfrak {P}}}(f):{\mathfrak {P}}(T)에서 {\mathfrak {P}}(S)로$

T의 부분 집합 A를 사전 $이미지{\displaystyle {}^{}}$f -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle A}$) { $displaystyle$ f^ { -$1$ ($$A )$$。이 경우${\displaystyle ,}$ P : ${\displaystyle \mathbf{S}}$ e ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathbf{S}}$ e$$ { \ $displaystyle${ P$}$ : \ $mathbf${ $Set$} \$to$ \$mathbf {Set$}는 역함수이다.

coproduct

집합 I에 의해 색인화된 범주 C의 개체_i X 패밀리의 공동 생산물은 함수 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to C}$ , i${\displaystyle {}_{}}$ X$$ \ $displaystyle$ I $\to$ C $, i$ , i \ $mapsto$ X _ {$i$}의 유도 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{한계}}}$ 제한 $→$ { $displaystyle$\$varinjlim$}입니다$$. 여기서 나는 개별 범주로 간주됩니다.패밀리 제품의 듀얼입니다.예를 들어, Grp의 공동 생산물은 무료 제품이다.

core

범주의 핵심은 범주의 최대 그룹로이드입니다.

D

Day convolution

군 또는 모노이드 M이 주어졌을 때, Day convolution은 ${\displaystyle \mathbf{F}}$ ${\displaystyle \mathbf{c}}$t (${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle S\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{e}\mathbf{t}}$) \$displaystyle \mathbf {Fct}$ ($M,\mathbf$ {Set$}$ )의 텐서 곱이다$.$^[5]

density theorem

밀도 정리는 모든 프리히프(세트값 역변함수)가 대표 가능한 프리히브의 콜로밋임을 나타냅니다.요네다의 레마는 카테고리 C를 C의 프리히브 카테고리에 포함시킨다.밀도의 정리에서는, 예를 들면 「밀도의」라고 하는 이미지가 「밀도」라고 하는 것입니다."밀도"라는 이름은 추상 대수학에서 제이콥슨 밀도 정리(또는 다른 변형)와 유사하기 때문에 붙여진 이름이다.

diagonal functor

범주 I, C에서 대각 함수는 함수가 됩니다.

$\displaystyle \Delta:C\to \mathbf {Fct}(I,C),A\mapsto \Delta _{A}}$

각 객체 A를 값 A와 각 $형태론{\displaystyle }$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to }$(\$style$ f$:$$A\to$ B$}$에서 자연 변환 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ f${\displaystyle {,}_{}{i}_{}}$ : ${\displaystyle \delta {}_{}}$A (${\displaystyle i}$ ) ${\displaystyle =}$ A ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {\delta }_{}}$B (${\displaystyle i}$ ) ${\displaystyle =}$ ( \ $display$ style \$Delta$_ {$f$ ,$$$i$ :$\Delta _{A}(i)=$각 i에서 f인$$A\$to$\Delta _{$B}($i$$$)=B}.$

diagram

카테고리 C에서 C의 다이어그램은 ${\displaystyle \mathrm{펑터}}$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle I}$ $→$ C {$displaystyle$ f$:$$작은$ 카테고리 $I에서 C로$$.$

differential graded category

미분 등급 범주는 Hom 세트가 미분 등급 모듈의 구조를 갖춘 범주입니다.특히 범주의 객체가 1개뿐이라면 차등 등급 모듈과 동일합니다.

direct limit

직접 제한은 직접 시스템의 콜리밋입니다.

discrete

각 모피즘이 (일부 객체의) 동일 모피즘인 경우 범주는 분리된다.예를 들어, 세트는 개별 카테고리로 볼 수 있습니다.

distributor

"profunctor"의 다른 용어입니다.

Dwyer–Kan equivalence

드와이어-칸 등가성은 범주의 등가성과 단순 ^[6]문맥의 일반화이다.

E

Eilenberg–Moore category

주어진 모나드에 대한 대수의 범주에 대한 다른 이름입니다.

empty

빈 범주는 개체가 없는 범주입니다.빈 집합이 개별 범주로 표시되는 경우 빈 집합과 동일합니다.

end

$펑터$의 끝 F${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {\text{C}}^{}}$op × ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ F$:$$C^{\text{op}}\times$ C$\to$ X$}$가 제한입니다.

$\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X}$

$여기$서${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$C$$#(\$displaystyle$ C$^{\#})$는 C의 모든 객체 c와 모든 형태 $u$에 대한 기호${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{}^{}{}^{}}$#,${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$u$$#(\$displaystyle$ c$^{\#},$ u$^{\#})$이며, $형태{\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ $#(\$ b$^{\#},$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$^{\#})$ #display$$ #이다$$.$e$ u$^{\#}\to$ c$^{\#}:$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \to }$$$ {\$displaystyle$u${\displaystyle {:\mathrm{}}^{}b}$$\to$c}이고 F$$#(\$displaystyle$ F$^{\#})$는${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$F$c$ $c)$ $및{\displaystyle {}^{}}$#$display$로 ${\displaystyle \mathrm{이동}}$한다${\displaystyle {.\mathrm{}}^{}}$$\}.$ ${\displaystyle 예}$를 들어, $Functor{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$: C${\displaystyle }$→$X$ { $displaystyle F , G$ :$C$ \ $to$ X$$} 의 경우$,$

$_ Cdisplaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom}(F(c),G(c)}}}$

는 F에서 G로의 자연 변환 세트입니다.자세한 예는 이 mathoverflow 스레드를 참조하십시오.종말의 이중은 코엔드이다.

endofunctor

같은 카테고리간의 함수.

enriched category

모노이드 범주(C, θ, 1)가 주어졌을 때, C를 넘어 농축된 범주는 비공식적으로 C에 Hom 집합이 있는 범주이다.보다 정확하게는 C에 대해 농축된 카테고리 D는 다음과 같이 구성된 데이터입니다.

1. 오브젝트 클래스,
2. 오브젝트 X, Y의 각 쌍에 대해 C의 ${\displaystyle {\mathrm{오브젝트}}_{}}$ 맵 ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle Y}$) \ $displaystyle \operatorname { Map$ } $_${ $D （ X$ , $Y$） 。X , Y ） 。
3. D의 객체 X, Y, Z의 각 트리플에 대해, C의 형태론,

   ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle {맵}_{}}$ ${\displaystyle D_{}{}_{}}$ ( ${\displaystyle Y}$ ,${\displaystyle Z}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathrm{map}}_{}}$ D${\displaystyle x}$ (${\displaystyle }$X ,${\displaystyle }$Y${\displaystyle }$) → $맵$ ${\displaystyle D_{}}$ (${\displaystyle X}$ , Z $){ displaystyle \operatorname$ { $Map }$_ { D$（ Y$ , Z ） \$otimes \operatorname$ {$Map$}$$_ { $Map$} _ { D $（$ $X$ , Y ）

   '구도'라고 불리고

4. D의 각 물체 X에 대해 X의 단위 형태소라고 하는 $형태소{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$X : $1$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {지도}_{}}$ D ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle X}$) \ $displaystyle 1$_ {$X$ : 1 \ $to \operatorname { Map$ } $_$$${ $D$（ X , $X ）$ 。

구성들이 연관성이 있고 단위 형태들이 곱셈적 동일성으로 작용한다는 조건에 따라.예를 들어 집합에 걸쳐 농축된 범주는 일반 범주입니다.

epimorphism

$g{\displaystyle }$$is$ f ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle h}$$$${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}${\ f = h ${\displaystyle f}$ f$display$ f = $h$$$f f h f = h$f$ f h f = h . f$.$ g f h g f h f ${\displaystyle h}$ 、 f는 단형법의 쌍대이다.

equalizer

$형태소{\displaystyle }$ 쌍${\displaystyle }$f ,${\displaystyle g}$ : A ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle B}$(\$displaystyle$ f$,g):$$A\to$ B$}$는 쌍의 제한입니다.그것은 균등화기의 듀얼이다.

equivalence

1. 기능자는 충실하고 완전하며 본질적으로 내성적인 경우 동등하다.

(2) γ-카테고리 C의 형태소는 C의 호모토피 카테고리에 동형성을 부여하면 동등성이 된다.

equivalent

범주가 동등할 경우 범주는 다른 범주와 동일합니다.

essentially surjective

함수 F는 모든 물체 B에 대해 F(A)가 B와 동형인 물체 A가 존재한다면 본질적으로 섭사적(또는 동형 밀도)이라고 불린다.

evaluation

카테고리 C, D 및 C의 객체 A가 주어졌을 때 A에서의 평가는 함수이다.

$\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,,,F\mapto F(A).}$

예를 들어, Eilenberg-Steenrod 공리는 함수가 동등할 때 예를 제시합니다.

F

faithful

펑터는 각 홈 세트로 제한될 때 주입되는 경우 충실합니다.

fundamental category

기본 범주 함수 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$1 : ${\displaystyle s\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{S}}$ e ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle C\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{a}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$\ $displaystyle$ \ $s$ $\ mathbf${$Set }$ \$to$ \ $mathbf {$ Cat $}$는 신경 함수 N에 대한 왼쪽 인접이다.카테고리 C마다 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N}$ C ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ \$displaystyle$ _ ${ 1$ }$NC$=$C$ 。

fundamental groupoid

Kan 복소수 X의 기본 그룹로이드 ${\displaystyle {}_{}}$X$(\displaystyle$ \$Pi _{1}$X$$)는 객체가 0-199x(표준) ${\displaystyle \mathrm{\delta 0}}$ ${\displaystyle {}^{}}$X(\$displaystyle \Delta$^{$0}\to$X$)$인 범주이며, 형태론은 1-X 경로 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$의 호모토피 클래스이다.퍼티

fibered category

함수자 θ: C → D는 D의 각 형태소 g: x → θ(y)에 대해 C에 θ(f) = g. 만약 D가 아핀 스킴의 범주(예를 들어 유한형 →)라면 C를 나타내는 것으로 한다.주의: is는 건망증이 심한 펑터이며, 사실 그로텐디크 구조에서는 모든 파이버 카테고리가 (적절한 의미에서 등가까지) 그러한 형태로 간주될 수 있다는 것을 의미합니다.

fiber product

카테고리 C와 세트 I가 주어졌을 때, I에 의해 색인화된 C 내의_i 객체 X 패밀리의 객체 S 위의 섬유제품은 C ${\displaystyle \mathrm{over}}$ S의 슬라이스 $카테고리{\displaystyle {}_{}}$C /$$ (${\displaystyle {Xi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$S \ $display style X_{/S})에$ 속하는 $$패밀리 $제품$이다.물체 S 위의 2개의 물체 X와 Y의 섬유곱은 X${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle S_{}}$ $(\style$ X$\times$ _${S}Y})$로 나타내며 데카르트 정사각형이라고도 합니다.

filtered

(1) 필터된 카테고리(여과 카테고리라고도 함)는 (1) 주어진 오브젝트 i 및 j의 성질을 가진 비어 있지 않은 카테고리이며, (1) 주어진 오브젝트 k 및 형태소 i → k 및 형태소 i → k, (2) 주어진 형태소 u, v: i → j, 객체 k 및 형태소 w: j → k가 존재하며, w u u = k가 V이다.ory J 및 functor f: J → I, ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{set}}}$ lim ${\displaystyle \underset{}{\leftarrow }}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$ ${\displaystyle (}$( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$j ) ,${\displaystyle i}$){ $display$ style \ $varprojlim \operatorname {Hom}(f(j,i)}$이(가) I의 일부 객체 i에 대해 비어 있지 않습니다.

(2) 기수 θ가 주어졌을 때, 형태소 집합이 기수 θ보다 엄밀하게 작은 각 카테고리 J에 대해서, i의 오브젝트 중 일부 오브젝트에서는 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{세트}}}$ lim ${\displaystyle \underset{}{\leftarrow }\mathrm{\theta Hom}（f}$ (${\displaystyle j}$) , i$$} {$displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom}(f(ji)}$ (f (ji)} (f (i)})가 비어$$ 있지 않은 경우, i)의 카테고리는 δ-필터런트라고 한다.

finitary monad

피니터리 모나드 또는 대수 모나드는 기초가 되는 endofunctor가 필터링된 콜리밋과 일치하는 집합의 모나드이다.

finite

범주는 형태소가 매우 많으면 유한하다.

forgetful functor

건망증 펑터는 대략적으로 객체의 데이터 일부를 손실하는 펑터입니다.예를 들어 그룹을 기본 세트로 보내고 그룹 동형성을 그 자체로 보내는 $펑터{\displaystyle \mathbf{}}$ G ${\displaystyle \mathbf{r}}$ p ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle S\mathbf{}}$ \ \ $displaystyle \mathbf {Grp$} \$to \mathbf${Set}$}$는 건망증 펑터입니다.

free functor

프리 펑터는 건망증이 심한 펑터의 좌측 인접관계입니다.예를 들어, 링 R의 경우 X에 의해 생성된 프리 R 모듈에 세트 X를 송신하는 펑터는 프리 펑터(여기서 이름)입니다.

Frobenius category

프로베니우스 범주는 충분한 주입과 충분한 투영을 가진 정확한 범주이며, 주입 객체의 클래스가 투영 객체의 클래스와 일치합니다.

Fukaya category

후카야 카테고리를 참조해 주세요.

full

1. 함수는 각 홈셋에 한정되어 있을 때 돌출적인 경우에는 가득 차 있습니다.

(2) A부터 B까지의 포함함수가 가득 찬 경우, A 카테고리는 B 카테고리의 완전한 서브 카테고리이다.

functor

범주 C, D가 주어졌을 때, C에서 D까지의 펑터F는 C에서 D까지의 구조 보존 맵이다. 즉, C의 각 객체 x에 대한 D의 객체 F(x)와 조건을 충족하는 C의 각 형태론 F에 대한 D의 형태론 F(f)로 구성된다. ($1{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle F=}$ F )$le$ f$\display$ g$}$가 정의되어 (2) $F{\displaystyle ({id}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {id}_{}}$F$)$ {$displaystyle$ F$(\operatorname {id} _{$x})=\$operatorname {id} _{F(x$ 예를 들어,

${\displaystyle \mathfrak{P}}$: ${\displaystyle \mathbf{S}}$ e ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle S\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{e}\mathbf{t}}$ , ${\displaystyle Sp}$P ( ${\displaystyle S}$) : \ $mathbf${ $Set }$、 \ $mathbf${ $Set }$ $、 S$ \ mapsto \$mathfrak { P$} $、$

$여기$서 P${\displaystyle (}$ $)$ {{$displaystyle\mathfrak$ {P$$$}}(S)}$는 각 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :S}$ ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$f:}를 정의하는 경우 S는 펑터입니다.$S\to$ T$\}$ ,${\displaystyle }P{\displaystyle \mathfrak{}}$ (${\displaystyle f}$) :${\displaystyle P\mathfrak{}}$ (${\displaystyle S}$ ) ${\displaystyle \to P\mathfrak{}}$ (${\displaystyle T}$ $)\style {Mathfrak {P}}$ ($f)$ :${\displaystyle (A)}$$$${\displaystyle =f}$($)$ \ $displaystyle$\ $mathfrak { P}$ ($f$) = f (A) (A) = f (A) } (A) = f (A) = f ($A)$= f (A)} (A)

functor category

범주 C에서 범주 D로의 펑터 범주 Fct(C, D) $또는{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle D^{}}$ C$${\$displaystyle D^{C$}}는 객체가 C에서 D까지의 모든 펑터이며, 모피즘이 함수 간의 모든 자연스러운 변환인 범주입니다.

G

Gabriel–Popescu theorem

가브리엘-포페스쿠 정리는 아벨 범주가 모듈 범주의 몫이라고 말한다.

Galois category

(1) SGA 1, Exposé V(정의 5.1)에서 범주는 일부 불특정 그룹 G의 유한 G 집합의 범주와 동등할 경우 갈로아 범주라고 한다.

2. 기술적인 이유로 일부 저자(Stacks^[7] project 등)는 약간 다른 정의를 사용합니다.

generator

카테고리 C에서 ${\displaystyle {오브젝트}_{}\mathrm{Gi}}$, $,$ i,$i$의 패밀리는 $펑터{\displaystyle }$ ${\displaystyle \underset{}{X}}$가${\displaystyle }$i${\displaystyle \underset{}{,}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$, ${\displaystyle i}$ 홈${\displaystyle }$(${\displaystyle {Gi}_{}}$ $)$ \$displaystyle$$X\$$mapsto \prod_i\in$ I$\Opername$인 경우 C의 제너레이터 시스템이다$.$그것의 이중성은 공동 발전기 시스템이라고 불린다.

Grothendieck's Galois theory

갈로아 이론의 범주이론 일반화; 그로텐디크의 갈로아 이론을 참조하십시오.

Grothendieck category

그로텐디크 범주는 잘 동작하는 아벨 범주이다.

Grothendieck construction

함수${\displaystyle }U{\displaystyle }$ : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathbf{C}}$,$$ {\$displaystyle U:C\$to\$mathbf${Cat$\}\}$가 주어졌을 때, D는 C의 객체 x와 카테고리 U(x)의 객체 u로 이루어진 쌍(x, u)이며, (x, u)에서 (y, vism)까지의 형태소가 쌍으로 이루어진 범주라고 하자_U.U에서 D로의_U 통로는 그로텐디크 구조라고 불립니다.

Grothendieck fibration

파이버 카테고리.

groupoid

1. 범주의 모든 형태가 동형사상일 경우, 범주는 그룹상이라고 불린다.

(2) γ카테고리는 그 안의 모든 형태가 등가(또는 Kan복합체인 경우에는 등가)인 경우에는 γ-그룹로이드라고 한다.

H

Hall algebra of a category

Ringel-Hall 대수를 참조하십시오.

heart

삼각 카테고리상의 t구조(${\displaystyle {}^0}$ 0$($ D$^{\geq 0$ D $d{\displaystyle {}^{}}$ $($ D$^{\leq$0$\})$의 중심은 D${\displaystyle {}^{}{0}^{}}$ 0$($ D$^{\geq$0})\$cap$ D$^{\leq$입니다.그것은 아벨의 범주이다.

Higher category theory

상위 범주 이론은 n-범주와 γ-범주의 연구와 관련된 범주 이론의 하위 분야이다.

homological dimension

충분한 주사가 있는 아벨 범주의 상동학적 차원은 범주의 모든 물체가 최대 n개의 길이의 주사 분해능을 허용하도록 최소 비부정수 n이다.그러한 정수가 존재하지 않는 경우 치수는 if 입니다.예를 들어, 주 이상 영역 R을 갖는 Mod의_R 호몰로지 차원은 최대 1이다.

homotopy category

호모토피 카테고리를 참조해 주세요.이것은 카테고리의 현지화와 밀접하게 관련되어 있습니다.

homotopy hypothesis

호모토피 가설은 γ-groupoid가 공간임을 나타낸다(덜 모호하게는 n-groupoid를 호모토피 n-타입으로 사용할 수 있다).

I

identity

1. 물체 A의 항등 형태소 f는 도메인 A와 코도메인 A를 갖는 형태소 g에 $대해{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$${\displaystyle f}$ f ${\displaystyle =}$g \ $displaystyle$ g$\display$ f $=$$h$$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle =}$ h \ $displaystyle$ f$\display$ h =$h$ $\}$이다.

2. 카테고리 C의 아이덴티티 펑터는 C에서 C로 오브젝트 및 모르피즘을 송신하는 펑터입니다.

3. 함수 F: C → D일 때, F에서 F로의 항등 자연 변환은 C의 물체 X에 대한 D의 F(X)의 항등 형태에 의해 이루어진 자연 변환이다.

image

형태론 f: X → Y의 이미지는 Y${\displaystyle {}_{}y}$ Y ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$Y \ $displaystyle$Y \ $rightarrows$Y \ $sqcup$_ {$X$ }$$$Y$의 이퀄라이저입니다.

ind-limit

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf{c}}$t ( ${\displaystyle {\text{C}}^{}}$op , ${\displaystyle S\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{e}\mathbf{t}}$) { $displaystyle \mathbf {Fct$} ($C^{\text{op}},\mathbf {Set$의 콜리밋(또는 유도 한계).

inductive limit

colimit의 다른 이름.

∞-category

γ-categoryC는 다음 조건을 만족시키는 단순한 집합입니다.각 0 < i < n에 대해서,

• 단순 $집합{\displaystyle }$f : ${\displaystyle {\lambda }_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ {\$displaystyle$ f$:\Lambda$ _${i}^{n}\to$ C$}$의 모든 맵은 $n-displayx{\displaystyle }$f : ${\displaystyle {\delta }^{}}$ n ${\displaystyle {}^{}}$ {$displaystyle$f:$\Delta ^{n}\to C}$

여기서 δ는ⁿ 표준 n-simplex이며 ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$ $\$은 δ에서ⁿ i번째 면과 내부를 제거하여 얻습니다(Kan fibration #Definitions 참조).예를 들어 카테고리의 신경이 조건을 충족하므로 γ카테고리로 간주할 수 있다.

initial

1. 오브젝트 A는 A에서 각 오브젝트로의 몰피즘이 정확히1개일 경우(예를 들어 Set의 빈 세트)에 초기화됩니다.

2. C의 객체 B마다 ${\displaystyle {맵}_{}}$ C b ( A , B$$)${\displaystyle }${ $displaystyle \operatorname { Map$ }$_$ {$C$} ($A$, $B$) } 의$$ 축소가 ${\displaystyle {\mathrm{가능}}_{}}$한 경우, ${\displaystyle \mathrm{map}}$ 카테고리 C 의 객체 A 는 이니셜이다.

injective

(1) 아벨 범주 내의 객체 A는 ${\displaystyle \mathrm{함수자}}$ Hom ${\displaystyle (}$(${\displaystyle }$- ,${\displaystyle A}$ $){$ $display$style \$operatorname {Hom}($ - , $A)}$이 정확하면 주입된다.그것은 투영 물체의 쌍대이다.

(2) '주입한계'란 직접한계의 다른 명칭이다.

internal Hom

모노이드 범주(C, θ)가 주어졌을 때, ${\displaystyle {}^{}}$ Hom은${\displaystyle }$펑터${\displaystyle }$[ - , -${\displaystyle }$]${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathrm{op}}$ × C $→$ C {\$displaystyle$ [ - -$$} :$C^{\text{op}}\times$ C$\to$ C$$$\}([{\displaystyle Y,}$-$]\displaystyle [Y,-])$는 C의 각 오브젝트 Y에 대해 $(\displaystyle -\otimes$Y)에${\displaystyle }$대한 올바른 인접관계입니다.예를 들어, 교환 링 R 위의 모듈 범주에는 R-선형 맵 집합인 [${\displaystyle M,N]}$ $=$ ${\displaystyle {Hom}_{}}$ R ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle N}$) \ $displaystyle [ M$ , N ]= \$operatorname {Hom$} $_ {R （ M$ , $N$${\displaystyle }$。

inverse

(1) $형태소$ f는 g의 코도메인상의 항등$형태소 f$와 같으며, ${\$ $g$의 항등 $형태소 f$가 g의 영역상의 항등 형태소$$g와 $같다면{\displaystyle }$ 형태소 f는 형태소 g와 반대이다.g의 역수는 고유하며 g로 표시됩니다⁻¹.$f$는 f${\displaystyle g}$g { $displaystyle$ f$\circ$ g$}$가 정의되어 있고 g의 영역에서의 동일성 형태론과 동일하며, 오른쪽 역의 경우도 마찬가지로 g의 왼쪽 역수입니다.

2. 역한계란 역계통의 한계이다.

isomorphic

(1) 물체와 다른 물체의 사이에 동형이 존재하는 경우, 그 물체는 다른 물체와 동형이다.

(이) 범주는 다른 범주와 동형이다.

isomorphism

형태론 f는 f의 역수가 존재한다면 동형사상이다.

K

Kan complex

Kan 콤플렉스는 단순 집합 범주에 속하는 섬유 객체입니다.

Kan extension

1. 범주 C가 주어졌을 때, 함수${\displaystyle }f{\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ \ $display style$f: 를 따라 왼쪽 Kan 확장 함수자.$I\to$J는$$ f ${\displaystyle =}$ -${\displaystyle }$f${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{Fct}}$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle J}$,${\displaystyle C}$ ) ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathrm{Fct}}$ （ ${\displaystyle I}$,${\displaystyle C}$ ) → Fct ${\displaystyle （}$ I , C )$$→ f:\$displaystyle$ f$^{*}=$ -\$display$ f$:\operatorname {Fct}(J,C)\operatorname$ {$F}$\operatorname(존재하는 경우)의 왼쪽 인접관계입니다.$\}.$ 임의의${\displaystyle \alpha }$의 $경우{\displaystyle }$ : I${\displaystyle }$→$C$ \$displaystyle$\ alpha :$I\to$ C$,$ 펑터 $f{\displaystyle {}_{}!\alpha }$ : ${\displaystyle J}$ $→$ C {\$displaystyle$ f_${!$$}\$$alpha:$$J\to$ C$}$는 ^[9]f를 따라 α의 왼쪽 칸 확장이라고 한다.다음과 같은 것이 있습니다.

$(f_{!) 스타일(f_{!}\alpha (j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

여기서 콜리밋은 콤마 카테고리의 모든 $객체{\displaystyle }$f (${\displaystyle i}$ ) ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ f$(i)\to$ j$}$ 위에 표시됩니다$$.

2. 오른쪽 Kan 확장 펑터는 f$$존재하는 경우)에 대한 오른쪽 인접입니다({ $displaystyle$ f$^$ { * }$$。

Ken Brown's lemma

켄 브라운의 보조정리는 모델 범주 이론의 보조정어이다.

Kleisli category

모나드 T가 주어졌을 때, T의 클라이슬리 범주는 유리 T-알제브라로 구성된 T-알제브라 범주(Eilenberg-Moore 범주라고 함)의 완전한 하위 범주이다.

L

lax

"락스 펑터"라는 용어는 기본적으로 "의사 펑터"와 동의어입니다.

length

아벨 범주 내의 물체는 구성 계열이 있으면 유한한 길이를 갖는다고 한다.이러한 구성 계열에서 적절한 하위 객체의 최대 수를 ^[10]A의 길이라고 합니다.

limit

1. $펑터{\displaystyle {}^{}}$의 한계(또는 투영 한계): I ${\displaystyle op\mathbf{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ S ${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$\ $displaystyle$ f$:$$I^{\text{op}}\to \mathbf {Set}}$은$($는)

$\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}i)\in \display_{i}f(i) f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{임의}s:i\to j\}입니다.}$

2. 펑터${\displaystyle }$${\displaystyle \underset{}{\underset{}{f}}}$의 $제한{\displaystyle }$ lim ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\leftarrow }}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ I${\displaystyle \underset{}{}f}$f (${\displaystyle i}$) { $displaystyle$\$varprojlim$_ {$i$ \ $in I }$ f$$ ($i$ ) : ${\displaystyle {\text{I}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{op}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ C {$displaystyle$f :$I^{\text{op}}\to$ C$}$는 C 내의 객체 ${\displaystyle X}$에 대해 다음을 만족하는 객체입니다.$Hom$ ${\displaystyle }$( X , ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\leftarrow }}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{i}}\underset{}{}}$( ${\displaystyle I\underset{}{}(}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ ) ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\leftarrow }}}$ ${\displaystyle i\underset{}{}\underset{}{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f}$( i )$${ $display \operx }$=\$varprojlim _{i\in$I}\$operatorname${Hom$}(X,f($i$))\}\}\}.$ 즉, $펑터X{\displaystyle \underset{}{\underset{}{\lim }}}$ lim${\displaystyle \underset{}{\underset{}{}}}$$←$ ${\displaystyle \underset{}{i}\mathrm{hom}}$ Home${\displaystyle （}$ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$i$$) . \ $displaystyle X$ \$mapsto$ \ $varprojlim {$ i \ } {$hom}}}}}}}}$를 나타내는 객체입니다$.$$}$

3. colimit(또는 유도 ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\mathrm{한계}}}}$) lim ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\to }}}$ ${\displaystyle \underset{i}{i}}$ I${\displaystyle \underset{}{}f}$f (${\displaystyle i}$) { $displaystyle$\ $varinjlim$_ {$i\in$I }$f(i)}$는 한계의 쌍이다. 즉, $펑터{\displaystyle }$f : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ { $displaystyle$f:$I\to$ C$\}$는 다음을 만족합니다. X, ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$( ( ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ ${\displaystyle \underset{}{\to }}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle i}$) ,${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ ${\displaystyle \underset{}{\leftarrow }}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$ ${\displaystyle （f}$ (${\displaystyle i}$) ,${\displaystyle X}$){ $displaystyle \operatorname {Hom}(\varinjlim f(i),$ X$$$)$=$\varprojim$ \$operatorname${Hom$(i$}, hom$(i}).$$$$i{\displaystyle }$ $j$ {\$displaystyle$ i\$to$ j$}$$→$ ${\displaystyle X}${\$displaystyle$f$($$i)\to$ X}에 대해 f$($i$$$)$ →${\displaystyle f(}$j) ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$(i)\to$ f$(j)\to$X$}$가 $되도록{\displaystyle }$ 합니다$.$아마도 가장 간단한 코리마이저는 다음과 같습니다.예를 들어 f를 C의 아이덴티티 펑터로 하고 L $=$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\lim }}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \underset{}{X}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ C${\displaystyle \mathrm{display}}$ f (${\displaystyle X}$ ) {$displaystyle$ L →\$varinjlim$ _${X\in$ C$}f(X)}$가 존재한다고 $가정$하면 L의 아이덴티티티티즘은 $α$ X $: display_style$의 호환$$패밀리에 해당합니다.${\displaystyle {\alpha }_{}}$L$(\displaystyle$ \$alpha _{L$})이 아이덴티티인 X$\to$ L$.$$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ f$:X\to$ L$}$ 이면$$ f $=$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$X _ {$style$ f=\$alpha$ _${L}\circ$ f=\$alpha$ _${X$ ; 즉, L은 C의 최종 객체이다.

localization of a category

카테고리의 현지화를 참조해 주세요.

M

Mittag-Leffler condition

역계 ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 0 $（$ \ $displaystyle$\$cdots$\ $to$ X_{$2$} \ $to X_{0$$\}$ ） $inverse$ 0 ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$≥ 0 ≥ m $q$ m q m q m q m q m q m${\displaystyle }$q m q for for for （ \ $displaystyle$ $n$$$） ） 。${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle X_{}}$ m ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ n$$($xisplay style$ X_{$m}$에서$$X_$${n}) ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle l_{}}$ $→$ X n ($xisplay style$ X_{$l}$에서 $X_{n$})는 동일합니다.

monad

카테고리 X의 모나드는 조성물에 의해 주어지는 모노이드 구조의 X의 엔도퍼넥터의 모노이드 카테고리에 속하는 모노이드 오브젝트이다.예를 들어 그룹 G가 주어졌을 때 Set $by{\displaystyle }$ T${\displaystyle (X)}$ $=$ ${\displaystyle G}$× $(\displaystyle$ T$(X$)=$G\times$ X$)$에서 endofunctor T를 정의하고 T 위의 곱셈μ를 ${\displaystyle \mathrm{자연변환\mu }}$ : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \circ }$ T $→$ ${\displaystyle T}$ \$displaystyle \mu$로 정의한다$.$$지정$T\$circ T\to$$$T

$\displaystyle \mu _{X:G\times (G\times X)\times X, (g, (h,x)\mapsto (gh,x)}$

또, 같은 방법으로 아이덴티티 맵을 정의합니다.Set에서 (T, μ, δ)가 모나드를 구성한다.보다 실질적으로 F${\displaystyle }$: ${\displaystyle Xa}$ A${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$\ $displaystyle$F :$X$ \ right $left arrows$A :$G}$는 X의 모나드를 구한다.즉, 1은 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle G}$on$$ { $displaystyle$ T$=G\circ$F$\},$ 즉 T 위의 아이덴티티 맵 θ를 교락의 단위로 하고, 교락을 이용해 μ를 정의한다.

monadic

(1) 아일렌버그-무어 범주(모나드에 대한 대수 범주)에 의해 결정되는 모나드에서 유래한 경우에는 부가사가 모나드라고 한다.

(이) 함수자가 단수부속사의 구성 요소인 경우에는 단수라고 한다.

monoidal category

텐서 카테고리라고도 불리는 모노이드 카테고리는 (1) 쌍분자${\displaystyle }$θ :$C$ × ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle \otimes :$C\$to$C$\},$ (2) 항등물체 및 항등물체를 일정한 조건 하에서 항등화시키는 (3) 자연이형사상을 갖춘 카테고리 C이다.

monoid object

모노이드 카테고리 내의 모노이드 오브젝트는 곱셈 맵 및 아이덴티티 맵과 함께 연상성 등의 기대 조건을 만족시키는 오브젝트이다.예를 들어 Set의 모노이드 객체는 통상적인 모노이드(단순반군)이며, R-mod의 모노이드 객체는 교환환 R 위의 연상대수이다.

monomorphism

형태론 f는 f ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle fh}$h { $displaystyle$ f$\displaystyle$ g$=f\display$ h$\}$일 때 g ${\displaystyle =}$ 때 단형사상(모닉이라고도 함)이다(예를 들어 세트 내 주입).즉, f는 에피모피즘의 쌍대이다.

multicategory

다중 카테고리는 형태론이 둘 이상의 도메인을 가질 수 있는 범주의 일반화이다.그것은 유색 오퍼라드와 ^[11]같은 것이다.

N

n-category

[T] 약한 n-카테고리의 정의를 비교하는 문제는 미끄러운 것으로, 그러한 두 정의가 동일하다고는 말할 수 없다.[...] 약한 n-카테고리와 그 함수, 변환…에 의해 형성되는 구조가 약한 (n+1)카테고리가 되어야 한다는 것이 널리 알려져 있다.uestion은 당신의 약한(n + 1) 카테고리가 나와 동등한지 여부입니다.그러나 약한(n + 1) 카테고리의 정의는 여기서 사용되고 있습니까?

Tom Leinster, A survey of definitions of n-category

(1) 엄밀한 n카테고리는 유도적으로 정의된다.엄격한 0카테고리는 세트이고, 엄밀한 n카테고리는 Hom카테고리가 엄밀한 (n-1)카테고리를 가진 카테고리이다.정확히 말하면, 엄밀한 n-카테고리는 엄밀한 (n-1)-카테고리에 걸쳐 풍부한 카테고리이다.예를 들어, 엄격한 1-카테고리는 일반 카테고리입니다.

(2) 조성의 연관성 등의 조건을 약화시켜 약한 의미의 일관성 있는 동형사상만을 유지함으로써 엄격한 것으로부터 약한 n카테고리의 개념을 얻을 수 있다.

3. γ카테고리는 n카테고리의 콜림이라고 정의할 수 있다.반대로 처음에 (약) δ-카테고리(준카테고리라고 함)의 개념을 가지고 있다면 약한 n-카테고리는 잘린 δ-카테고리의 한 유형으로 정의할 수 있다.

natural

1. 자연 변환은 대략 함수 간의 지도입니다.정확히는 카테고리 C에서 카테고리 D로 한 쌍의 펑터 F, G가 주어졌을 때, F에서 G로의 자연 변환 θ는 D의 형태소 집합이다.

${\displaystyle\{\phi_{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}$

조건 충족: C의 각 형태소 f: x → y에 대하여, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle y{}_{}(}$ ${\displaystyle F}$( f ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle G}$( f )${\$ ${\displaystyle x_{}}$ \ $display style$ \$phi _$ { $y$}\ $display$F ( f ) =$$G ( f ) \$circ$ \ $phi _${ x $\}$ 。 예를 ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle G_{}}$L${\displaystyle }$($$ ) _ r$sty$ ( r ) GL$$ ( r ) sty _ { $display$ sty ( f ) GL ( f ) （ f ) } sty _ r )\$displaystyle GL_{n$$}:$ 치환환의 카테고리 CRing에서 그룹의 카테고리 Grp까지 펑터로 사용됩니다$.$마찬가지로 R${\displaystyle {}^{}}$ R$display$ （ { $displaystyle$R \ $mapsto$ R$^$ { * } ）는 CRing에서 Grp로의 펑터입니다.그리고 결정자 det는 G ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$ GL_${n})$에서 ^*-로 자연 변환됩니다.

2. 자연동형이란 동형인 자연변환이다(즉, 그 반대의 것을 인정한다).

구성은 2-simplex로 인코딩됩니다.

nerve

Neurve${\displaystyle \mathrm{Functor}{}_N}$은 N ( ${\displaystyle C_{}}$ )${\displaystyle {\mathbf{n}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Hom\mathbf{}}_{}}$ C a ${\displaystyle {\mathbf{t}}_{}{(}_{}}$( [ ${\displaystyle n}$]${\displaystyle }$,$$C ) { $displaystyle$N ($C$ )$_$ { n }$=$ \$operatorname${ $Hom$} _ { \$mathbf$ { $Cat$} } ( n )$$（ C )$$}$$$for$ for for for for for for $for{\displaystyle }$ for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for 。${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2}$ { $display$ style $x$_ {$i$ } = \ $varphi$($i$ ) , 0 \ $leq$i \ $leq$2${\displaystyle }$${\displaystyle 。<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x\_\{i\}=\backslash varphi\; (i),\backslash ,0\backslash leq\; i\backslash leq\; 2\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/938e78f4b1fb03bb1f6be4b3ec6a9d54d8b722cb"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:20.105ex;\; height:2.843ex;">}$그러면 0$$${\displaystyle \to }$$$$1{\displaystyle }$ (\$to 1$)은 $형태론{\displaystyle }$f : ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle$ f$:x_0}\to$ x ${1})$ 입니다.$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \to }$ $({displaystyle$ 0$\to$2)는 0 ${\displaystyle \to }$$$({$displaystyle$$$0$\to$$$1)이고$,$ $그{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{뒤}}$에 1${\displaystyle }$→ 2({$displaystyle$ 1$\to$ 2)가 펑터이므로${\displaystyle }$= $g{\displaystyle }$ $f$ （$displaystyle \varphi$ (0$\to$ 2) $= g$）$$$in$ in in in in $in{\displaystyle }$$$、 。

normal

어떤 형태소의 알맹이일 경우 단형성은 정상이고, 어떤 형태소의 알맹이일 경우 에피모르피즘은 정상이다.범주는 모든 단일 동형이 정규일 경우 정규입니다.

O

object

1. 오브젝트는 카테고리를 정의하는 데이터의 일부입니다.

(이) 카테고리 C의 [주사] 물체는 C에 대응하는 고정 카테고리로부터의 역변함수(또는 프리히프)이다.예를 들어 C 내의 간이 객체는 단순 범주에서 C로의 반변함수이고, δ 객체는 C를 가리킨다면 δ(대략 뾰족 유한 집합의 뾰족 범주)에서 C로의 반변함수이다.

op-fibration

함수 δ:C → D는 C 내의 각 물체 x 및 D 내의 각 형태소 g : δ(x) → y에 대해 C 내의 적어도 1개의 δ-코카르트 모르피즘 f: x → y'가 존재하여 즉, θ(f) = grondie의 이중홈이 되는 경우의 연산 보정이다.

opposite

카테고리의 반대 카테고리는 화살표를 반대로 하면 얻을 수 있습니다.예를 들어, 부분적으로 순서가 매겨진 집합이 범주로 간주되는 경우, 그 반대의 양이 순서를 뒤집는 것과 같습니다.

P

perfect

때로는 "compact"와 동의어가 되기도 합니다.완벽한 콤플렉스를 확인하세요.

pointed

카테고리(또는 「카테고리」)는 오브젝트가 제로인 경우 포인트라고 불립니다.

polynomial

유한 차원 벡터 공간의 범주에서 그 자체로 가는 함수는 벡터 공간 V, W, F: Hom(V, W) → Hom(F(V, F(W))가 벡터 공간 사이의 다항식 맵이라면 다항식 함수라고 불린다.Schur 펑터가 기본적인 예입니다.

preadditive

범주는 아벨 그룹의 모노이드 범주에 걸쳐 농축된 경우 전가법적이다.보다 일반적으로, R-모듈의 모노이드 범주에서 R이 교환환인 경우 R-선형이다.

presentable

정규 기수 「」를 지정하면, 모든 작은 콜리밋을 받아들여 액세스 할 수 있는 경우, 카테고리는 「표시 가능」입니다.범주는 '일부 정규 기수에 대해 제시 가능'(따라서 더 큰 기수에 대해서도 제시 가능)할 경우 표시할 수 있다.주의: 일부 저자는 표시 가능한 카테고리를 로컬 표시 가능한 카테고리라고 부릅니다.

presheaf

역변함수의 다른 용어: 카테고리^op C에서 세트까지의 펑터는 C의 세트 프리히프, C에서^op set까지의 펑터는 단순 세트 또는 단순 프리히프 등의 프리히프입니다.C의 토폴로지가 있는 경우 어떤 프리시프가 시프인지(그 토폴로지에 대해) 알 수 있습니다.

product

1. 집합 I에 의해 색인화된 범주 C의 객체_i X 계열의 곱은 개별 범주로 간주되는 함수 I ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle i{}_{}}$ X$$ \ $display I\to$ C,$i\mapsto$ X_${i$의 투영 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{한계}}}$ 한계 $←$ { $displaystyle$\$varprojlim}$이다.${\displaystyle \underset{}{이것}}$은${\displaystyle \underset{}{}}$§ ${\displaystyle i_{}}$ X$$i (\ $displaystyle$\$prod$_ {$i$ } X $_${ i$$ } )로 나타나며 패밀리의 공동 생산물 중 하나입니다.

2. 범주 사의 1세트로 인덱싱 된 가족의 제품은 범주 나는 C나는} 사의 개체의 클래스의 개체의 클래스는 제품과 hom-sets 있∏{\displaystyle \prod_{나는}C_{나는}나는 Hom C나는 ⁡(X, Y나는){\displaystyle \prod_{나는}\operatorname{Hom}∏에 의해 표시된_{\op.음.정말$atorname {C_{i}}}(X_{i})$$입니다.$$Y_{i$ ; 형태론은 구성요소별로 구성됩니다.그것은 분열된 조합의 이중성이다.

profunctor

카테고리 C와 D에서 디스트리뷰터(또는 디스트리뷰터)는 ${\displaystyle {\text{D}}^{}}$op × ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathbf{S}}$ e ${\displaystyle \mathbf{t}}$\ $displaystyle$ D^ { \ $text${ op } \ $times$C \ $to$\ $mathbf${ $Set$ $형식$의 펑터입니다.

projective

(1) 아벨 범주 내의 물체 A는 ${\displaystyle \mathrm{함수자}}$ Hom${\displaystyle }$θ (${\displaystyle A,}$- $){표시$ 스타일 $\operatorname {Hom}(A,-)$이 정확하면 투영한다.그것은 주사 물체의 쌍대이다.

(2) 사영한계란 역한계의 다른 명칭이다.

PROP

PROP는 개체가 자연수이고 텐서 곱이 자연수인 대칭 엄밀한 모노이드 범주입니다.

pseudoalgebra

의사 대수는 모나드에 대한 대수의 2-카테고리 버전입니다(모나드는 2-모나드로 대체됨).

Q

Quillen

퀼런의 정리 A는 함수가 약한 등가성이라는 기준을 제공한다.

R

reflect

(1) 함수는 특성이 있는 경우 동일성을 반영한다고 한다.F(k)가 동일성일 경우 k도 동일성이다.

(2) 함수는 F(k)는 동형사상, k는 동형사상이라는 성질을 가지면 동형사상을 반영한다고 한다.

representable

카테고리 C상의 설정값 반변함수 F는 C${\displaystyle \to \mathbf{F}}$ ${\displaystyle \mathbf{c}}$ t${\displaystyle ({\text{Cop}}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf{S}}$ e$)\displaystyle$ C$\to\mathbf {Fct}(C^{\text{op},\mathbf {Set}$$i$$\}$$e{\displaystyle }$)의 필수 화상에 속하면 나타낼 수 있다고 한다.어떤 오브젝트 Z.오브젝트 Z는 F를 나타내는 오브젝트라고 한다.

retraction

f는 g의 후퇴이다. g는 f의 단면이다.

형태론은 만약 그것이 오른쪽 역수를 가지고 있다면 후퇴이다.

rig

리그 카테고리는 2개의 모노이드 구조를 가진 카테고리이며, 1개는 다른 1개로 분산되어 있습니다.

S

section

모르피즘은 왼쪽 역방향의 단면이다.예를 들어, 선택 공리에서는 어떤 주관적 함수도 단면을 허용한다고 합니다.

Segal space

시걸 공간은 (,, 1) 범주의 모델로 도입된 특정 단순 공간이었다.

semisimple

모든 짧은 정확한 시퀀스가 분할되면 아벨 범주는 반단순이다.예를 들어 링은 모듈 범주가 반단일 경우에만 반단순입니다.

Serre functor

필드 k에 대한 k-선형 범주 C가 주어지면 Serre $펑터{\displaystyle f}$ : C ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$f:C$\to$ C$}$는 자동 등가성으로, ${\displaystyle B}$, B의 오브젝트에 대해 Hom${\displaystyle }$"${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ,${\displaystyle B}$ )${\displaystyle }$、 ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$" (${\displaystyle B}$ ,${\displaystyle f}$)$、$ \ $displaystyle \operatorname {Hom$} ($A$ , $B$) \ $simeq \operatorname {Hom$} ($B$ ,$f$ ( A $)^{*}$ ) 。

simple object

아벨 범주에서 단순 객체는 0 객체와 동형이 아니며 모든 서브 객체가 0 또는 A와 동형인 객체 A입니다.예를 들어, 단순 모듈은 정확히 (왼쪽) 모듈의 범주에 있는 단순 객체입니다.

simplex category

심플렉스 범주 δ는 개체가 집합 [n] = { 0, 1, …, n }, n 0 0인 범주로, 표준 방식으로 완전히 순서가 매겨지고 형태론이 순서 보존 함수이다.

simplicial category

단순 집합보다 강화된 범주입니다.

Simplicial localization

단순 현지화는 카테고리를 현지화하는 방법입니다.

simplicial object

카테고리 C의 심플 오브젝트는 대략적으로 심플 세트를 구성하는 $오브젝트{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X2\mathrm{}}_{}}$C의 ...{$displaystyle$ X_${0}, X_{1}, X_{2},\dots}$의 시퀀스입니다.즉, 공변량 또는 반변량 함수 δ → C입니다.예를 들어 단순 프리시브는 프리시브의 범주에 속하는 단순 객체입니다.

simplicial set

단순 집합은 δ에서 Set까지의 역변함수이며, 여기서 δ는 simplex 범주이며, 개체는 집합 [n] = { 0, 1, …, n}이며, 형태론은 순서 보존 함수이다.${\displaystyle X_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}X}$ (${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n]}$ )$${ $displaystyle$ X _ { n } =$$X ( [ $n$] )라고 쓰고, X$$ \ $displaystyle X_{n}$ $집합$의 요소를 n-displayx라고 한다.예를 들어, ${\displaystyle {\mathrm{\delta n}}_{}}$ $=$ Home ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}_{}（}$- , [ n${\displaystyle }$]$）$ { $displaystyle \Delta ^{n$}=\$operatorname {Hom} _{\Delta$}(-[$n])$은 표준 n-deltax라고 하는 단순 집합입니다.Yoneda의 $lema$에 따르면 ${\displaystyle \mathrm{Xn}{}_{}}$Nat${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\delta }^{}}$n ,${\displaystyle X}$ $){$ $displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat}(\Delta$^{$n},X$

site

A category equipped with a Grothendieck topology.

skeletal

1. A category is skeletal if isomorphic objects are necessarily identical.

2. A (not unique) skeleton of a category is a full subcategory that is skeletal.

slice

Given a category C and an object A in it, the slice category C_/A of C over A is the category whose objects are all the morphisms in C with codomain A, whose morphisms are morphisms in C such that if f is a morphism from ${\displaystyle p_{X}:X\to A}$ to ${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$, then ${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$ in C and whose composition is that of C.

small

1. A small category is a category in which the class of all morphisms is a set (i.e., not a proper class); otherwise large. A category is locally small if the morphisms between every pair of objects A and B form a set. Some authors assume a foundation in which the collection of all classes forms a "conglomerate", in which case a quasicategory is a category whose objects and morphisms merely form a conglomerate.^[12] (NB: some authors use the term "quasicategory" with a different meaning.^[13])

2. An object in a category is said to be small if it is κ-compact for some regular cardinal κ. The notion prominently appears in Quiilen's small object argument (cf. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument)

species

A (combinatorial) species is an endofunctor on the groupoid of finite sets with bijections. It is categorically equivalent to a symmetric sequence.

stable

An ∞-category is stable if (1) it has a zero object, (2) every morphism in it admits a fiber and a cofiber and (3) a triangle in it is a fiber sequence if and only if it is a cofiber sequence.

strict

A morphism f in a category admitting finite limits and finite colimits is strict if the natural morphism ${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$ is an isomorphism.

strict n-category

A strict 0-category is a set and for any integer n > 0, a strict n-category is a category enriched over strict (n-1)-categories. For example, a strict 1-category is an ordinary category. Note: the term "n-category" typically refers to "weak n-category"; not strict one.

subcanonical

A topology on a category is subcanonical if every representable contravariant functor on C is a sheaf with respect to that topology.^[14] Generally speaking, some flat topology may fail to be subcanonical; but flat topologies appearing in practice tend to be subcanonical.

subcategory

A category A is a subcategory of a category B if there is an inclusion functor from A to B.

subobject

Given an object A in a category, a subobject of A is an equivalence class of monomorphisms to A; two monomorphisms f, g are considered equivalent if f factors through g and g factors through f.

subquotient

A subquotient is a quotient of a subobject.

subterminal object

A subterminal object is an object X such that every object has at most one morphism into X.

symmetric monoidal category

A symmetric monoidal category is a monoidal category (i.e., a category with ⊗) that has maximally symmetric braiding.

symmetric sequence

A symmetric sequence is a sequence of objects with actions of symmetric groups. It is categorically equivalent to a (combinatorial) species.

T

t-structure

A t-structure is an additional structure on a triangulated category (more generally stable ∞-category) that axiomatizes the notions of complexes whose cohomology concentrated in non-negative degrees or non-positive degrees.

Tannakian duality

The Tannakian duality states that, in an appropriate setup, to give a morphism ${\displaystyle f:X\to Y}$ is to give a pullback functor ${\displaystyle f^{*}}$ along it. In other words, the Hom set ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ can be identified with the functor category ${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$, perhaps in the derived sense, where ${\displaystyle D(X)}$ is the category associated to X (e.g., the derived category).^[15][16]

tensor category

Usually synonymous with monoidal category (though some authors distinguish between the two concepts.)

tensor triangulated category

A tensor triangulated category is a category that carries the structure of a symmetric monoidal category and that of a triangulated category in a compatible way.

tensor product

Given a monoidal category B, the tensor product of functors${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$ and ${\displaystyle G:C\to B}$ is the coend:

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

terminal

1. An object A is terminal (also called final) if there is exactly one morphism from each object to A; e.g., singletons in Set. It is the dual of an initial object.

2. An object A in an ∞-category C is terminal if ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$ is contractible for every object B in C.

thick subcategory

A full subcategory of an abelian category is thick if it is closed under extensions.

thin

A thin is a category where there is at most one morphism between any pair of objects.

triangulated category

A triangulated category is a category where one can talk about distinguished triangles, generalization of exact sequences. An abelian category is a prototypical example of a triangulated category. A derived category is a triangulated category that is not necessary an abelian category.

U

universal

1. Given a functor ${\displaystyle f:C\to D}$ and an object X in D, a universal morphism from X to f is an initial object in the comma category ${\displaystyle (X\downarrow f)}$. (Its dual is also called a universal morphism.) For example, take f to be the forgetful functor ${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$ and X a set. An initial object of ${\displaystyle (X\downarrow f)}$ is a function ${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$. That it is initial means that if ${\displaystyle k:X\to f(W)}$ is another morphism, then there is a unique morphism from j to k, which consists of a linear map ${\displaystyle V_{X}\to W}$ that extends k via j; that is to say, ${\displaystyle V_{X}}$ is the free vector space generated by X.

2. Stated more explicitly, given f as above, a morphism ${\displaystyle X\to f(u_{X})}$ in D is universal if and only if the natural map

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

is bijective. In particular, if ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$, then taking c to be u_X one gets a universal morphism by sending the identity morphism. In other words, having a universal morphism is equivalent to the representability of the functor ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$.

W

Waldhausen category

A Waldhausen category is, roughly, a category with families of cofibrations and weak equivalences.

wellpowered

A category is wellpowered if for each object there is only a set of pairwise non-isomorphic subobjects.

Y

Yoneda

1.

Yoneda’s Lemma asserts ... in more evocative terms, a mathematical object X is best thought of in the context of a category surrounding it, and is determined by the network of relations it enjoys with all the objects of that category. Moreover, to understand X it might be more germane to deal directly with the functor representing it. This is reminiscent of Wittgenstein’s ’language game’; i.e., that the meaning of a word is—in essence—determined by, in fact is nothing more than, its relations to all the utterances in a language.

Barry Mazur, Thinking about Grothendieck

The Yoneda lemma says: for each set-valued contravariant functor F on C and an object X in C, there is a natural bijection

${\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}$

where Nat means the set of natural transformations. In particular, the functor

${\displaystyle y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)}$

is fully faithful and is called the Yoneda embedding.^[17]

2. If ${\displaystyle F:C\to D}$ is a functor and y is the Yoneda embedding of C, then the Yoneda extension of F is the left Kan extension of F along y.

Z

zero

A zero object is an object that is both initial and terminal, such as a trivial group in Grp.

Notes

References

• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.
• Grothendieck, Alexandre (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Lecture notes in mathematics 224). Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 224. Berlin; New York: Springer-Verlag. xxii+447. doi:10.1007/BFb0058656. ISBN 978-3-540-05614-0. MR 0354651.
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Categories and sheaves.
• A. Joyal, The theory of quasi-categories II (Volume I is missing??)
• Lurie, J., Higher Algebra
• Lurie, J., Higher Topos Theory
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
• Vistoli, Angelo (2004-12-28). "Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory". arXiv:math/0412512.

Further reading

• Groth, M., A Short Course on ∞-categories
• Cisinski's notes
• History of topos theory
• http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 143. Cambridge University Press. arXiv:1612.09375. Bibcode:2016arXiv161209375L.
• Emily Riehl, A leisurely introduction to simplicial sets
• Categorical Logic lecture notes by Steve Awodey
• Street, Ross (20 Mar 2003). "Categorical and combinatorial aspects of descent theory". arXiv:math/0303175. (a detailed discussion of a 2-category)