중심 행렬

수학 및 다변량 통계에서 중심행렬은^[1] 대칭 및 공전위 행렬이며, 벡터로 곱하면 그 벡터의 모든 성분에서 벡터 성분의 평균을 빼는 것과 같은 효과가 있다.

정의

n 크기의 중심 행렬은 n-by-n 행렬로 정의된다.

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}J_{n}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $I{\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle I_{n}\,}$은(는) n 크기의 ID 매트릭스, ${\displaystyle {Jn}_{}}${\$displaystyle J_{$n}}은(는) 1의 모든 매트릭스인 n-by-n 매트릭스다.

예를 들어,

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \begin{array}{c}0\mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ${\$

C 2)[1001]− 12[1111])[12− 12− 1212]{\displaystyle C_{2}[{\begin{배열}{}rrr 1&, 0\\0&, 1\end{배열}}\right]-{\frac{1}{2}}\left[{\begin{배열}{}rrr 1&, 1\\1&, 1\end{배열}}\right]=\left는 경우에는{\begin{배열}{rrr}{\frac{1}{2}}&-{\frac. {1}{2}}\\-{\fra$c {1}{1$}{2$}}&{\frac {1}{$1}:{$2}}:\end{array}\오른쪽]},$

${\displaystyle C_{3}[{\begin{배열}{}rrr 1&, 0&, 0\\0&, 1&, 0\\0&, 0&, 1\end{배열}}\right]-{\frac{1}{3}}\left[{\begin{배열}{}rrr 1&, 1&, 1\\1&, 1&, 1\\1&, 1&, 1\end{배열}}\right]=\left는 경우에는{\begin{배열}{rrr}{\frac{2}{3}}&-{\frac{1}{3}}&-{\frac{1}{3}}\\-{\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}&-{\frac{1}{3}}\\-{.\frac{1}{3}}&-{\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\end{배열}}\right]}$

특성.

$column-vctor{\displaystyle \mathbf{}}$, v${\displaystyle$\mathbf {v}$\,}$ 크기$$ n을 지정하면 C ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle C_{n}\,}$의 중심 속성은 다음과 같이 표현할 수 있다$$${\displaystyle .}$

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n1}^{\textrm {T}\mathbf {v})J_{n,1}:{n,1}:{\mathbf {v}}J_{n,1}:{n,1}$

여기서 ${\displaystyle {Jn}_{}}$, ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은(는) 1의 열 벡터 및 ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}}$ ${\displaystyle {Jn,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1T}_{}^{}\mathbf{}}$ v ${\$ {$1}{n}J_{n,1}^{$T}{$text}}\mathbf${$v$$}}}$은(는) $v{\displaystyle \mathbf{}}$ $displaystyle \mathb$ {v$,$$.}$의 성분 평균이다.

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle C_{n}\,}$은(는) 대칭 양의 반확정이다.

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle C_{n}\,}$은(는) idempotent이므로 ${\displaystyle \mathrm{k}}$= 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$에 ${\displaystyle {대해}_{}^{}}$ C ${\displaystyle {}_{}^{}}$k = ${\displaystyle C_{}}$= C = {\displaysty $C_{n$ 평균이 제거되면 다시 0이 되고 제거되는 것은 아무런 효과도 없다$.$

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle C_{n}\,}$은(는) 단수형이다. 변환 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle v{}_{}\mathbf{}}$ ${\$을(를) 적용하는 효과는 되돌릴 수 없다$$.

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle C_{n}\,}$에는 다중성 n - 1의 고유값 1과 다중성 1의 고유값 0이 있다.

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle C_{n}\,}$은(는) 벡터 ${\displaystyle {Jn}_{}}$, 1 ${\$을 따라 치수 1의 nullspace를 가진다$$$.$

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle C_{n}\,}$은(는) 직교 투영 행렬이다. That is, ${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$ is a projection of ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ onto the (n − 1)-dimensional subspace that is orthogonal to the nullspace ${\displaystyle J_{n,1}}$. (This is the subspace of all n-vectors whose components sum to zero.)

${\displaystyle {Cn}_{}}$ ${\$의 추적은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ n$**(n-1)/n=n-1}$ 입니다$.$

적용

중심행렬에 의한 곱셈은 벡터에서 평균을 제거하는 계산적으로 효율적인 방법은 아니지만, 편리한 분석 도구다. 단일 벡터의 평균뿐만 아니라 m-by-n 매트릭스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 행이나 열에 저장된 여러 벡터의 평균을 제거하는 데 사용할 수 있다$.$

$왼쪽{\displaystyle {}_{}}$ 곱하기 C$$ {\$displaystyle$ C_${m}}$는 각 n열에서 해당 평균값을 빼서$$ 제품 ${\displaystyle {Cm}_{}}$ ${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle C_{m}\,X}$의 각 열에 0 평균이$$ 표시되도록 한다. 마찬가지로 오른쪽의$$ $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 의한 곱셈은 각 m 행에서 해당 평균값을 빼며, $제품{\displaystyle }$ X ${\displaystyle C{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle$ X$\,C_{n}$의 각 행은 평균이 0이다$$. 양쪽의 곱셈은 행과 열 평균이 0인 이중 중심 행렬 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ X ${\displaystyle C_{}}$ n ${\$을 만든다$.$

The centering matrix provides in particular a succinct way to express the scatter matrix, ${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$ of a data sample ${\displaystyle X\,}$, where ${$$\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}XJ_{n,1}$는 표본 평균이다. 중심 매트릭스는 산점 매트릭스를 보다 콤팩트하게 표현할 수 있게 해준다.

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$ is the covariance matrix of the multinomial distribution, in the special case where the parameters of that distribution are ${\displaystyle k=n}$, and ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$.

참조