레히퍼 행렬

수학에서, 레드헤퍼 행렬(Redheffer matrix)은 종종 $A_{n}$ n(\ $displaystyle A_{n})$ 으로 $A_{n}$ $A_{n}$ 되며, i가 j를 나누면 a가_ij 1이고, j = 1이면_ij a = 0인 정사각형 행렬이다. $n^{th}$ th $n^{th}$ {\ $displaystyle$ n^{ $th$ Redheffer 행렬의 전치 행렬을 포함하는 행렬 곱의 관점에서 디리클레 컨볼루션 또는 컨볼루션드 제수를 표현하는 것은 일부 맥락에서 유용하다.

성분 행렬의 변형 및 정의

Redheffer 행렬의 가역성은 행렬의 첫 번째 열에 의해 복잡해지기 때문에 $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ : $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ n + $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ D $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ \ $displaystyle$ A_ ${n:$ = $C_{$ n}+ $D_{$ n $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ } $C_{n}:=[c_{ij}]$ 서 C $C_{n}:=[c_{ij}]$ : $C_{n}:=[c_{ij}]$ [ $c$ i $C_{n}:=[c_{ij}]$ j ] { displaystyle $C_$ {n} : = [ $c$ _ { ij $}$ }는 $C_{n}:=[c_{ij}]$ j $=$ $j=1$ { $display j =$ $i\neq 1$ 이고 $j=1$ i $i\neq 1$ ≠ $1$ { $style i$ \ $neq$ }인 (0 , 1 )행렬로 정의됩니다 $.$ $D_{n}$ 반전의 적용으로 쉽게 알 수 있는 행렬 $D_{n}$ { $displaystyle D_{$ n $D_{n}$ 에 의해 반사된 행렬 $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ displaystyle $D_{n}^{n$ } $=$ [μ $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ ( $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ / $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ ) $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$ ) $]$ {\ $left[\mu/i]$ $M_{i}(j)\right$ 다음으로 $A_{n}$ A $A_{n}$ 의 $특이점$ 을 $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ det ( $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ n $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ ( $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ - $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ + $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ n $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ )로 $.{$ $display$ $style$ \ $det$ ( $A$ _ { $n$ } \ $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$ ) $=\det \left(D_{n}^{-1}C_{$ $I_{n}\right).$ $}$

함수를 정의하면

M_{j}(i):=param {case}1,&{\text{j가 i; }}\0,&{\text{cases}}\end{cases}}

$n^{th}$ 다음 nxn 정사각형 $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ n $=$ [ M j $n^{th}$ $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ ( $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ ) $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ i $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ \ $displaystyle$ R_ ${n$ }=[ $M_{j}(i)]_{1\leq, ij\leq$ }로 $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ nt $n^{th}$ h { $displaystyle$ n^{th $}$ 행렬을 정의할 수 있습니다.다음 섹션에서 이 표기법을 계속 사용합니다.

예

아래 행렬은 12 × 12 Redheffer 행렬입니다.A $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ : $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ ${$ $displaystyle A$ _ { $12$ }의 $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ 합계 표기: $=C_{$ 12}+ $D_{$ 12 $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$ $C_{n}$ n $C_{n}$ }의 첫 번째 열에 해당하는 아래 항목은 파란색으로 표시됩니다 $.$

{\displaystyle \left({\begin{행렬}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 1&, 0&.;0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 1\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 0&amp을 말한다.0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\{\color{ 푸른}\mathb.F{1}}&0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0\\{\color{ 푸른}\mathbf{1}}&0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1\end{매트릭스}}\right)}.

Mobius 반전 공식의 대응 적용은 n $n^{th}$ {\ $displaystyle$ n $^{th}}$ Redheffer $n^{th}$ 전치 $n^{th}$ 은 항상 반전할 수 있으며 다음과 같은 역엔트리가 있습니다.

R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n}}

$\mu (n)$ 서 $\mu (n)$ μ ( $\mu (n)$ ) $\mu (n)$ \ $displaystyle \ mu$ ( $n$ )는 $\mu (n)$ Moebius 함수를 나타냅니다. $12\times 12$ 경우 $12\times 12$ 우리는 $12\times 12$ × 12 $(디스플레이$ 스타일 12\ $times 12$ ) 역방향 Redheffer 전치 행렬이 다음과 같이 주어집니다.

{\displaystyle R_{12}^{)}=\left({\begin{행렬}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, -1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 0&, 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&a융점, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\-1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0\\0&, 1&, 0&, -1&, 0&, -1&0&0&0&0&1\\end {filename}\right}(오른쪽

주요 속성

Mertens 함수 및 특수 급수와의 특이점 및 관계

결정 요인

nxn 제곱 Redheffer 행렬의 행렬식은 Mertens 함수 M(n)에 의해 주어진다.특히 Mertens 함수가 0(또는 부호변화에 가까운 경우)에는 행렬 $A_{n}$ n $(\$ n $A_{n}$ })이 정확하게 반전되지 않습니다.그 결과 Mertens 함수는 Redheffer $A_{n}$ (\ $displaystyle A_{$ n $A_{n}$ })이 무한대 수의 자연수일 경우에만 부호를 무한히 변경할 수 있다는 흥미로운 특성을 얻을 수 있습니다. 이는 $M(x).$ M $M(x).$ .\ $displaystyle M($ x $)$ 의 진동 거동에 관한 것으로 널리 알려져 있습니다.} RH는 $M(x).$ $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ ( $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ x $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ ) $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ = $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ ( $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ / $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ + $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ ε ) )\ $style M($ x) = 를 $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ 것과 같기 때문에, Redheffer 행렬의 행렬식은 메르텐스 함수와의 밀접한 관계를 통해 리만 가설(RH)에 즉시 연결된다 $.$ $O\left(x^{1/2+\varepsilon}\right)$ 는 $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ $\varepsilon >0$ (충분히 작음)> $(\displaystyle \varepsilon$ > $0$ 입니다.

이러한 행렬에 의해 부호화된 합계의 인수분해

(0,1) 행렬 엔트리를 재해석하여 인덱스 세트의 일부 증가하는 시퀀스에 포함됨을 나타내는 다소 파격적인 구성에서, 우리는 이러한 행렬이 램버트 시리즈의 인수분해와도 관련이 있음을 알 수 있다.이 관찰은 고정 산술 함수 f에 대한 만큼에서 제공되며, f에 대한 다음 램버트 직렬 팽창 계수는 이러한 팽창의 직렬 계수에 도달하기 위해 f를 합한 지수에 대해 소위 포함 마스크를 제공한다.특히 주의할 점은

\displaystyle _{dn}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n})\left(\sum _{n\geq {f(n)q^{n}}\frac {1-q^{n}}}\오른쪽).}

이제 위의 확장에서 볼 수 있는 이러한 제수의 특별한 경우, 자연수 n의 제수의 집합에 부울 값(0-1) 포함으로 코드화되며, 또 다른 행렬 기반 구조를 통해 이러한 합을 열거하는 램버트 급수 생성 함수를 다시 해석할 수 있다.즉, Merca와 Schmidt(2017-2018)는 이러한 생성 함수를 다음과 같은 형태로 확장하는 가역 행렬 인수분해를 입증했다.

\displaystyle \sum _{n\geq1}{\frac {f(n)q^{n}}=param frac {1}{(q;q)_{\infty }}\sum _{n=1}^{n,f}\left(\sum _k=1}{n}{n},{nf},{n},{k},{n},{n},{n},{n},{n},{n}},{n},{n},\f},\f},{n},{n}

$(q;q)_{\infty }$ 서 $(q;q)_{\infty }$ ( $(q;q)_{\infty }$ ; $(q;q)_{\infty }$ q ) $(q;q)_{\infty }$ $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ { { $displaystyle ( q$ ; $q$ ) $_{\$ infty $(q;q)_{\infty }$ }}는 $(q;q)_{\infty }$ 무한 q-Pochhammer 기호를 나타내며, 하부 삼각행렬 시퀀스가 s $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ $k =$ [ $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ n $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ ] $q$ k $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ - $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ k ( $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ ; $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ q )의 계수로 정확히 생성되는 경우 { $displaystyle s_{n$ , k } frac } { $n}$ frac } {n} frac $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ } {q } fr} frac }의 $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$ 는 다음과 같습니다.이 용어들은 특수 짝수(홀수) 색인 분할 함수의 차이로 해석되기도 한다.Merca와 Schmidt(2017)는 또한 암묵적 함수 f가 다음과 같은 형태로 함수를 생성하는 원래 램버트 계열의 함수 $\ell (n)=(f\ast 1)(n)$ ( $\ell (n)=(f\ast 1)(n)$ $\ell (n)=(f\ast 1)(n)$ ( $\ell (n)=(f\ast 1)(n)$ 1) ( $)$ { $displaystyle \ell ($ n) $=$ ( $f\ast$ 1 $)(n)}$ 에 $\ell (n)=(f\ast 1)(n)$ 대한 합으로 표현될 수 있는 단순한 반전 공식도 입증했다.

\displaystyle f(n)=\sum _{dn}\sum _{k=1}^{n(d-k)\mu (n/d)\left[\sum _ {j\geq 0 \sum k-j\geq 0}\ell (k-j)[q^{j}](q;q)_\infty }오른쪽,

여기서 p(n)는 $\mu (n)$ 함수를 나타내고 $\mu (n)$ μ ( $)$ { $displaystyle \mu (n)}$ 는 $\mu (n)$ Moebius 함수이며, ( $(q;q)_{\infty }$ $(q;q)_{\infty }$ q ) ${\$ {\ $displaystyle (q;q)_{\infty$ }}의 $(q;q)_{\infty }$ $(q;q)_{\infty }$ 계수는 오각수 정리를 통해 j에 대한 2차 의존성을 상속합니다.이 반전 공식은 여기서 완성을 위해 Redheffer $A_{n}$ 하는 $A_{n}$ 경우)의 반전 공식과 비교됩니다 $.$

수중의 제수합에 지수를 포함시키는 것을 규정하는 기본 소터 마스크 행렬은 반전할 수 있으며, 이러한 유형의 구조를 이용하여 다른 특수수 이론 합계에 대해 다른 Redheffer 유사 행렬을 확장하여 여기에서 고전적으로 연구되는 형태로 제한될 필요는 없다.예를 들어, 2018년 무사비와 슈미트는 이러한 행렬 기반 인수분해 보조합(Anderson-Apostol 제수합)과 각 n에 대해 상대적으로 소수인 정수(예: 오일러 파이 ^[3]함수에 의해 나타나는 집계를 정의함)의 경우로 확장한다.보다 중요한 것은, 아래의 응용 섹션에서 검토된 예들은 다른 특별한 수의 이론적인 합계를 나타내는 일반화된 Redheffer 행렬로 간주될 수 있는 특성에 대한 연구를 제시한다.

스펙트럼 반지름 및 에이겐스페이스

$A_{n}$ n \ $displaystyle$ A $_$ { $n$ }의 $A_{n}$ 스펙트럼 반지름을 $\rho _{n}$ n \ $displaystyle \rho$ _ { $n$ 으로 나타내면 $A_{n}$ n $A_{n}$ \ $displaystyle A_{n$ 의 스펙트럼에서 지배적인 최대 계수 고유값이다.

\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty}{\frac {rho _{n}}{\frecrt {n}}=1,}

n이 클 때 A $(\$ $A_{n}$ 의 $A_{n}$ 점근 거동을 제한한다.또한 1 $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ + $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ - $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ ≤ $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ < $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ + $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ ( $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ n $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ ) { $display$ 1 + { \ $specrt$ { $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ n - 1 } \ $leq$ \ $rho$ _ { $n$ } < { \ $specrt$ { $n}$ } + $O$ $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ ( \ $log$ n ) $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$ } $\rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)$ $\rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)$ n n $\rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)$ $\rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)$ ⁡)))))) ⁡)) $\rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)$ ⁡ it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it

$A_{n}$ $A_{n}$ n { $A_{n}$ A _ { $n$ } has $A_{n}$ $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$ n $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$ $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$ - $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$ { $displaystyle$ n - $\ left$ \ $lfloor \ log _$ {2} ( $n$ ) \ $right$ \ $rfloor$ - $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$ 1 의 $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$ 1 을 $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$ .
$\lambda :=1$ : : $\lambda :=1$ ( \ $displaystyle$ \ $lambda$ $E_{\lambda }(A_{n})$ : $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1$ $1$ )에 대응하는 $E_{\lambda }(A_{n})$ $E_{\lambda }(A_{n})$ $E_{\lambda }(A_{n})$ $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1$ ( $A$ { $n$ } ) ( \ $displaystyle$ \ lfloor \ frac { n } )의 $치수는 ac$ n $2$ } - 1 $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1$ ( \ $displaystyleft$ \ lflac { n } \ frac { n $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1$ \ $loor$ 1 )인 것으로 알려져 있습니다.n $n\geq 5$ whenever $n\geq 5$ 5 \ $displaystyle$ n \ $geq$ 5 $n\geq 5$ 。
$A$ n의 다른 모든 고유값 $\lambda \neq 1$ 1 $(\displaystyle$ \ $lambda$ \ $neq$ 1 $)$ 의 $\lambda \neq 1$ 경우 대응하는 eigenspace $E_{\lambda }(A_{n})$ ( $E_{\lambda }(A_{n})$ n ) $E_{\lambda }(A_{n})$ \ $displaystyle E_{\lambda }(A_{n})$ 의 $E_{\lambda }(A_{n})$ 치수는 1입니다.

고유 벡터의 특성화

$[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ $[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ 1, $[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ 2, $[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ , $]$ { $displaystyle$ [ a $_$ { $1$ , a $_$ {2 $}$ , \ $ldots$ , a $_$ { $n$ } }는 $[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ $A_{n}^{T}$ n $A_{n}^{T}$ 의 $A_{n}^{T}$ 벡터입니다.{ $displaystyle$ A _ { $n$ }^{T}: A $A_{n}$ 의 $스펙트럼$ 에서 고유값 $\lambda \in \sigma (A_{n})$ ( ( ( $n\geq 2$ $\lambda \in \sigma (A_{n})$ A n $\lambda \in \sigma (A_{n})$ ） \ $displaystyle$ $\lambda \in \sigma (A_{n})$ \ $lambda$ \ $in$ \ $sigma$ $\lambda \in \sigma (A_{n})$ ( A $_$ ${ n$ $\lambda \in \sigma (A_{n})$ )에 $\lambda \in \sigma (A_{n})$ 대응하는 T $}$ 는 $A_{n}^{T}$ $A_{n}$ n $n\geq 2$ 2의 $n\geq 2$ $경우$ 에만 다음 두 가지 조건을 유지합니다.

\displaystyle \displayda a_{n}=\sum _{dn}a_{d}\sum \displayda a_{1}=\sum _{k}{n}a_{k}.}

$\lambda \neq 1$ 1 $\lambda \neq 1$ { $displaystyle$ \ $lambda$ \ $neq$ 1 $a_{1}$ $\lambda \neq 1$ 1 $\lambda \neq 1$ non where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where $a_{1}$ { $displaystyle$ a $_$ { $neq$ $\lambda \neq 1$ } $a_{1}$ any if if if where where where where where where where where where if if where where where where where where where where where where where where1로 한정하면 나머지 n-1 성분을 재귀적으로 계산할 수 있다.

({displaystyle a_{j}=sum frac {1}{\sum d\sum d<j}a_{d}).}

이를 염두에 두고 $\lambda \neq 1$ ${\$ (\ $displaystyle\lambda\neq$ 1)에 $\lambda \neq 1$ 대해 다음 순서를 정의할 수 있습니다.

\displaystyle v_{\displayda}(n):=param {case}1,&n=1;\{\frac {1}{\paramda -1}}\sum _{dn \paramda n}v_{\paramda }(d),&n\geq 2.\end {case}}

이러한 시퀀스의 정의와 관련하여 몇 가지 흥미로운 의미가 있습니다.첫 번째로 $\lambda \in \sigma (A_{n})$ 다음과 같은 경우에 한해, 「 $\lambda \in \sigma (A_{n})$ n $」(\displaystyle\lambda\in\sigma(A_{n})$ 가 $\lambda \in \sigma (A_{n})$ 있습니다.

\displaystyle \sum _{k=1}^{n}v_{\displayda }(k)=\displayda.}

다음으로, $\lambda \neq 1$ ${\$ $\lambda \neq 1$ ( \ $displaystyle$ \ $lambda$ \ $neq$ 1 )의 $\lambda \neq 1$ 시퀀스에 대해 Dirichlet 시리즈 또는 Dirichlet 생성 함수에 대해 확립된 공식이 있습니다.이것은, 다음에 의해서 주어지는 모든 $\Re (s)>1$ $($ )> $\Re (s)>1$ ( \ $displaystyle$ \ $Re$ ( s ) $>$ 1 )에 $\Re (s)>1$ 대해 유지됩니다.

{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {v_{\fracda }(n)}{n^{s}}=param frac {\fracda - 1}{\faramda -\zeta (s)},

$\zeta (s)$ 서 $\zeta (s)$ ( $\zeta (s)$ ) \ $displaystyle \zeta ( s$ )는 $\zeta (s)$ 물론 평소처럼 리만 제타 함수를 나타냅니다.

중요하지 않은 고유값의 한계 및 속성

$특성 다항식의$ 을 평가하고 계수를 $제한$ 하기 $A_{n}$ 위한 그래프 이론적 해석은 의 섹션 5.1에 제시되어 있다.^[4]고유값 A에 $대응$ 하는 A $A_{n}$ n \ $displaystyle A_{$ }의 조던 블록 크기 추정치를 ^[5]에 나타냅니다.특성 다항식 $p_{A_{n}}(x)$ $p_{A_{n}}(x)$ ( $p_{A_{n}}(x)$ $)\display$ style $p_{$ 를 인수분해하기 위한 수정된 접근법의 속성 개요 $이들$ 매트릭스 중 $A_{n}(x$ 는 위에서 인용한 참조로부터의 경계를 정당화하는 다소 기술적인 증명의 전체 범위 없이 여기서 정의된다. $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ , s : $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ 2 $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ ( $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ ) $⌋$ { $displaystyle$ s : = \ $lfloor$ \ $log$ _ ${$ 2 $}$ ( $n$ ) \ loor $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ }로 $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ 하고, 보조 다항식 확장의 시퀀스를 공식에 따라 정의한다.

f_{n}(t):=snfrac {p_{A_{n}(t+1)}{t^{n-s-1}=t^{s+1}-\sum _{k=1}^{s}v_{s}t^{s-k}.

$f_{n}(t)$ 으로 f $f_{n}(t)$ n ( $f_{n}(t)$ $){displaystyle f_{n}(t)}$ 에는 $f_{n}(t)$ $t_{n}^{\pm }$ n $t_{n}^{\pm }$ ± { $displaystyle t_{n}^{\pm$ 로 표시되는2개의 실제 루트가 $f_{n}(t)$ 을 알 수 있습니다.

{\displaystyle t_{n}^{\pm}=\pm {n}+\log {n}+\log - {\frac {3}{2}}+O\left({\frac {n}}(\frac {n})}{\fright},

여기서 $\gamma \approx 0.577216$ 0. $(\displaystyle \gamma \approx$ 0. $577216)$ 은 $\gamma \approx 0.577216$ 오일러의 고전 감마 상수이며, 이 다항식의 나머지 계수는 다음과 같이 제한된다.

v_{display}\leq {frac {n\cdot \log ^{k-1}(n)}{(k-1)!}}.

f $f_{n}(t)$ ( $)\displaystyle f_{n}(t)$ 의 $f_{n}(t)$ 고유값의 크기 제한이 훨씬 큰 성질에 대한 그래프는 아래에 표시된 20개의 복소수 0만 봐도 알 수 있듯이 주목할 만한 것으로 보인다.다음 이미지는 n $({$ n $\sim$ 10 $^{6})$ 을 $n\sim 10^{6}$ 참조할 수 있을 때 $n\sim 10^{6}$ 에서 인용한 무료 문서에서 복제한 것입니다.

응용 프로그램 및 일반화

우리는 (0,1) 행렬로 해석되는 Redheffer 행렬의 효용에 대한 몇 가지 예를 제공한다. 이 행렬의 패리티는 지수 집합의 증가 시퀀스에 포함된다.이러한 예는 이러한 행렬의 역사적 관점에 대한 당시의 일부를 새롭게 하고, 메르텐스 함수 및 리만 가설의 동등한 진술에 대한 고유하고 깊은 관계 덕분에 각주 가치가 있다.이 해석은 특수 Redheffer 행렬 결정 인자의 일반적인 처리보다 구조에서 훨씬 더 조합적이다.그럼에도 불구하고, 특별한 합계 시퀀스를 열거하는 것에 대한 이러한 조합적 반전은 더 최근에 많은 논문에서 탐구되었고 인쇄 전 아카이브에 대한 적극적인 관심의 주제이다.위에서 정의한 Redheffer 매트릭스 $R_{n}$ $(\$ })에 $R_{n}$ 대한 이 스핀의 전체 구성을 조사하기 전에, 이러한 유형의 확장은 기본적으로 매트릭스 엔트리가 계수인 잘린 멱급수식을 나타내기 위해 토플리츠 매트릭스 사용의 또 다른 변형에 불과하다는 것을 관찰하십시오.s를 선택합니다.(0,1) 행렬의 이 특정 관점의 적용에 대해 일부 고정 함수에 대한 유한 합계의 합 지수 포함을 마스킹하는 것을 살펴보자.일반적인 산술 함수 사례의 맥락에서 Redheffer 행렬의 참조 및 기존 일반화에 대한 인용을 참조하십시오.역행렬 항은 에서 이 유형의 합계의 맥락에서 일반화 뫼비우스 함수를 참조합니다.^[8]

디리클레 컨볼루션과 디리클레 인버전을 확장하는 매트릭스

첫째, 동일한 0이 아닌 두 개의 산술 함수 f와 g가 주어지면 $n\geq 1,1\leq n\leq x$ n $n\geq 1,1\leq n\leq x$ 1, 1 $n\geq 1,1\leq n\leq x$ n $n\geq 1,1\leq n\leq x$ x { $displaystyle$ n $\geq$ 1, $1\leq$ n $\leq$ x $n\geq 1,1\leq n\leq x$ 에 의해 색인화된 행에서 디리클레 변환을 인코딩하는 명시적 행렬 표현을 제공할 수 있습니다.

D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(nxf(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq)}={\begin{bmatrix}0&, 0&, \cdots, 0&, g())\\0&, 0&, \cdots &, g(x-1)&, g())\\\ldots &, \ldots &, \ddots &, \ddots &, \cdots \\g(1)&, g(2)&, \cdots &, g(x-1)& &, g())\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&, 0&, \cdots &, 0&, f(1)\\0&, 0&, \cdots;f(1)\ f(2)& &.\\ldots, \ldots &, \ddots &, \ddots &, \cdots \\f())&, f(x-1)&, \cdots &, f(2)&, f(1)\end{bmatrix}}R_{)}^{T}&.

$e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ e $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ : $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ [ $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ , $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ , $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ ](\ $displaystyle$ e^{) $T$ : $= [ 1$ , 1 $,$ $\ldots$ , $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ 1 ]는 $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ 모든 1의 벡터를 나타냅니다.행렬 변환 제품 $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ , $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ ( $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ ) \ $display style$ $n^{th}$ e $^$ { $th}$ 행은 $n^{th}$ $n^{th}$ 알 수 있습니다. $T}\cdot D_{f,g}(x)}$ 는 $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ 컨볼루션 디리클레 합계를 제공한다.

(f\ast g)(n)=\sum _{d n}f(d)g(n/d),

상위 $x\geq 2$ x $(\displaystyle$ x\ $geq$ 2)가 $x\geq 2$ 임의인 모든 $1\leq n\leq x$ n ${\displaystyle$ 1 $\leq$ n $\leq$ x}에 $1\leq n\leq x$ 대해 지정합니다.

임의의 함수 f가 주어졌을 때 특히 부담이 되는 한 가지 작업은, 충분히 지정되지 않은 역함수와 같은 함수 f를 포함하는 또 다른 수렴된 제수 합계를 통해 이 함수의 표준 재귀 정의에 의존하지 않고 디리클레 역함수를 정확히 결정하는 것이다.

f^{-1}(n)\={f(1)}\mathop {{sum_{d,\mid}}_{d}_{d}\right}f^{-1}(d),\n>1text {f(1)}/n})

일반적으로 f에 대한 $f^{-1}(n)$ 역 $f^{-1}(n)$ - $f^{-1}(n)$ ( n $){$ $displaystyle$ f $^{-1}(n$ )} 즉 $f^{-1}(n)$ , ( $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ f $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ ) $=$ $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ n $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ { $displaystyle (f$ ^ {- $1}\ast$ f)=\{ $n}$ 의 n, divor sums, n $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ 과 같은 $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$ 고유하게 정의된 산술함수가 포함됨을 알 수 있다. $ga (n)}$ 여기서 $\omega (n)$ 이 상한이 n의 구별되는 소수 인자의 수를 세는 소수 오메가 함수이다.이 예에서 알 수 있듯이, 우리는 변형된 Redheffer $R_{n}$ R $R_{n}$ \ $displaystyle R_{n$ 을 사용하여 행렬 반전을 통해 Dirichlet 역함수 값을 구성하는 대체 방법을 공식화할 수 있습니다.

Redheffer 행렬 형식의 일반화: GCD 합계 및 입력이 특수 집합에 포함됨을 나타내는 기타 행렬

행렬 표현을 통해 수의 이론적인 제수합, 컨볼루션, 디리클레 급수를 확장하기 위해 싸우는 가치 있는 저널에서 인용된 기사가 몇 개 있다.이들 표현의 진정으로 주목할 만한 중요한 어플리케이션과 관련된 스펙트럼과 에이겐스페이스에 대한 사소한 추정 외에, 매트릭스 곱에 의해 이들 형태의 합계를 나타내는 기본 기계는 0 또는 1의 값 엔트리가 포함된 것을 나타내는 소터화된 마스킹 매트릭스를 효과적으로 정의하는 것이다.자연수 $\{1,2,\ldots ,n\}$ { $\{1,2,\ldots ,n\}$ , $\{1,2,\ldots ,n\}$ n $}({displaystyle \1,2,\ldots,n$ 의 시퀀스를 증가시킵니다.앞의 전문용어가 광범위한 특수 합계를 나타내기 위한 매트릭스 기반 시스템을 설정하는 것이 적절함을 설명하기 위해서는 다음 구조를 고려하십시오. ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ n ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ [ ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ , ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ ] ${\$ ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ { \ $displaystyle$ \ $mathcal { A$ } $_$ { $n$ } \ $subseteq [ 1$ , n ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ ] \ $cap$ \ $mathbb$ { Z $}}$ 를 ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ 인덱스 집합의 시퀀스로 하고, 임의의 고정 산술 $f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C}$ f : $f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C}$ C { \ $displaystyle$ f : \ $mathbbb$ { $n$ } \ $long$ } \ arrow C $}$ \ long } 를 $f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C}$ $정의합니다.$

S_{\mathcal {A}},f}(n)\mapsto S_{f}(n):=\sum _{k\in {mathcal {A}_{n}}f(k)

무사비와 슈미트(2017)가 고려한 합계의 클래스 중 하나는 다음과 같은 마지막 정의에서 지수 세트를 설정함으로써 상대적으로 소수 합계를 정의한다.

{\displaystyle {A}_{n}\map to {\mathcal {G}}_{n}:=\{1\leq d\leq n:\gcd(d,n)=1\}.

이 합계의 클래스는 오일러의 phi 함수(전통적으로 m : $m:=0$ \ $displaystyle$ m : $= 0$ )를 $m:=0$ 하여 수 이론적인 관심의 중요한 특수 산술 함수를 표현하는데 사용될 수 있다.

\varphi (n)=\sum _{d\in {mathcal {G}_{n}}d^{m}

또한 뫼비우스 함수를 이산(유한) 푸리에 변환으로 표현하여 다음과 같이 표현합니다.

\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}e^{2\pi i440frac {k}{n}}}}}.}

전체 논문의 인용문은 사이클로토믹 다항식(및 그 로그)에 대한 응용을 포함하여 이러한 종류의 합계에 대한 다른 예를 제공한다.무사비와 슈미트(2017)가 참조한 논문은 상기 이전 절에서 제시한 램버트 계열 인수분해 결과와 유사한 이들 합계를 확장하기 위한 인수분해 이론과 같은 처리를 개발한다.지수 ${\mathcal {A}}_{n}$ 의 이 정의에 대한 관련 행렬과 그 역행렬 A ${\mathcal {A}}_{n}$ \ $mathcal$ { A $} _$ {n $}$ then eb allow allow allow the the which which 、 eb eb which which which the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the which which which the which which which which which which which the the the the the the the the which which which which the the the the the which which which which which the the the the the the thel 함수는 $\varphi (n)$ 쌍의 예에서 $\mu (n)$ 된 $\varphi (n)$ ( $\varphi (n)$ ) \ $displaystyle$ \ $varphi ( n$ ) 、 $\mu (n)$ ( n $\mu (n)$ ) \ $displaystyle \ mu$ ( $n$ ) 。이러한 역행렬은 많은 호기심 있는 특성(그리고 현재 그것들의 요약을 종합하는 좋은 참조가 결여되어 있음)을 가지고 있으며, 이러한 특성들은 검사를 통해 새로운 독자들에게 가장 잘 암시되고 전달된다.이를 염두에 두고 상위 $x:=21$ x : $= 21$ 의 경우(\ $displaystyle$ x:= $21)$ 와 $x:=21$ 다음과 같이 이 경우에 대해 정의된 관련 행렬을 고려하십시오.

\left({\begin{smallmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&a융점, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&앰프, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 1&, 1&, 0&, 1&, 1&, 0&, 0&, 0&.0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 1&, 0&, 0&, 1&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0\\1&.1&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&/&0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, -1&^&1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, -1&, -1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&a융점, -1&, 0&, -1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 2&, -1&, 0&, 0&, -1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, -1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&0&, -1&, 1&, 0&, -1&, 1&, -1&, -1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, -1&, 0&, 0&.0&, 1&, 0&, 0&, -1&, -1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\3&, 0&, -2&, 0&, -2&, 0&, 2&, 0&, -1&, 0&, -1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-3&, 0&, 1&, 0&, 3&, 0&, -1&, -1&, 1&, 0&, 0&, 0&, -1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 1&.0&, 1&, 0&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, -2&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1&, -1&, 1&, -1&, -1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\-3&, 0&, 2&, 0&, 2&, 0&, -2&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\3&, 0&앰프, -2&, 0&, -2&, 0&, 2&, 0&, -1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, -1&, -1&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, -1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, -1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 1&, 0\\-1&0&0&1&1&1&2&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&1\end{smallmatrix}\right}

그러나 비표준적인 다른 특수 합계를 정의하는 가역 행렬의 예는 완전성을 위해 이 일반화 섹션에 목록화하여 나열해야 한다.반전 관계의 기존 요약, 특히 이러한 형태의 합계가 반전되고 관련될 수 있는 정확한 기준은 직교 다항식에 대한 많은 참조에서 찾을 수 있다.충분히 반전이 가능하거나 충분히 잘 동작한 가중치 계수의 삼각관계를 반전시키는 인수분해 처리의 다른 좋은 예로는 Mobius 반전 공식, 이항 변환, 스털링 변환 등이 있다.

「」를 참조해 주세요.

레히퍼 별 제품

레퍼런스

^ M. Merca; M. D. Schmidt (2018). "Factorization Theorems for Generalized Lambert Series and Applications". The Ramanujan Journal. arXiv:1712.00611. Bibcode:2017arXiv171200611M.
^ M. Merca; M. D. Schmidt (2017). "Generating Special Arithmetic Functions by Lambert Series Factorizations". arXiv:1706.00393 [math.NT].
^ H. Mousavi; M. D. Schmidt (2018). "Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums". arXiv:1810.08373 [math.NT].
^ Dana, Will. "Eigenvalues of the Redheffer matrix and their relation to the Mertens function" (PDF). Retrieved 12 December 2018.
^ D. W. Robinson; W. W. Barret. "The Jordan l-Structure of a Matrix of Redheffer" (PDF). Retrieved 12 December 2018.
^ Gillespie, B. R. "Extending Redheffer's Matrix to Arbitrary Arithmetic Functions". Retrieved 12 December 2018.
^ M. Li; Q. Tan. "Divisibility of matrices associated with multiplicative functions" (PDF). Discrete Mathematics: 2276–2282. Retrieved 12 December 2018.
^ J. Sandor; B. Crstici (2004). Handbook of Number Theory II. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. p. 112. doi:10.1007/1-4020-2547-5. ISBN 978-1-4020-2546-4.

Redheffer, Ray (1977), "Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe", Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben, Band 3 (Tagung, Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1976), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 213–216, MR 0468170
W. Barrett and T. Jarvis (1992). "Spectral properties of a matrix of Redheffer". Linear Algebra and Its Applications: 673–683.
Cardon, David A. (2010). "Matrices related to Dirichlet series" (PDF). Journal of Number Theory: 27–39. arXiv:0809.0076. Bibcode:2008arXiv0809.0076C. Retrieved 12 December 2018.}}

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정규형 선형 독립성 행렬 지수 원뿔 단면 행렬 표현 완전 매트릭스 유사역 행형식 브롱스키안
수학 포털 행렬 목록 카테고리:매트릭스

Search

레히퍼 행렬

네임스페이스

더

목차

성분 행렬의 변형 및 정의

예