반데르몽드 행렬

선형 대수학에서, 반데르몽드 행렬은 각 행에 기하 급수 항이 있는 행렬이다: m × n 행렬

${{displaystyle V=bgin{bmatrix}1&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\x_{2}^{2}&\x_{2}^{n-1}\x_1&x_{3}^{2}&x_{2}&x_{2}^{n-1}^{\displaystylass}^{1}&x_{1}^{1}^{n-1}^{{{1}^{n-1}}^{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}$

또는

${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j-1},}$

모든 지수 i와 ^[1]j에 대해.일부 저자들은 방데르몽드 행렬을 ^[2]위의 행렬의 전치라고 정의한다.

정사각형 방데르몽드 행렬의 행렬식을 방데르몽드 다항식 또는 방데르몽드 행렬식이라고 합니다.그 값은 다항식이다.

$\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$

$모든{\displaystyle {}_{}}$ $($})가$$ 다른 경우에만 0이 아닙니다.

현재 다항식의 판별식은 다항식의 근에 대한 반데르몽드 행렬식의 제곱이지만, 반데르몽드 행렬식은 때때로 판별식으로 불렸다.Vandermonde 행렬식은 $(\$의 대체 형식입니다.즉, $2개$의 $(\$})를$$ 교환해도 부호가 변경되지만 $(\$})는 균등하게 치환되어도 변경되지 않습니다.${\displaystyle {따라서}_{}}$ 이는 x$i$의 순서 선택에 따라 달라지지만, 그 제곱인 판별식은 어떤 순서에도 의존하지 않으며, 이는 갈로아 이론에 따르면 판별식이 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$ style $x_{i$$\}$를 근으로 하는 다항식 계수의 다항식 함수임을 의미한다.

증명서

정사각형 반데르몽드 행렬의 주요 특성

${{displaystyle V=bgin{bmatrix}1&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\x_{2}^{2}&\x_{2}^{n-1}\x_1&x_{3}^{2}&x_{2}&x_{2}^{n-1}^{\displaystylass}^{1}&x_{1}^{1}^{n-1}^{{{1}^{n-1}}^{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}$

그 결정요인이 단순한 형태를 가지고 있다는 것이다.

$\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

이 동등성에 대한 세 가지 증거를 아래에 제시합니다.첫 번째는 다항식 특성, 특히 다변량 다항식의 고유한 인수분해 특성을 사용합니다.개념적으로는 간단하지만 추상대수의 비초급 개념을 포함한다.두 번째 증거는 명시적 연산을 요구하지 않지만 선형 지도의 결정인자와 기저의 변화를 포함한다.또한 Vandermonde 행렬의 LU 분해 구조도 제공합니다.세 번째는 기본 행과 열 연산만 사용하여 더 기본적이고 더 복잡합니다.

다항식 속성 사용

라이프니츠 공식에 따르면 det(V)는 정수 계수를 갖는 ${\displaystyle x_{}}$i ,$${$displaystyle x_{i}$의 다항식입니다.ith 열의 모든 엔트리는 도수 i – 1입니다.따라서, 라이프니츠 공식에 의해, 결정식의 모든 항은 총 차수를 갖는다.

$({displaystyle 0+1+2+\cdots +(n-1)=black {n(n-1)}{2};}$

(즉, 행렬식이 이 정도의 균질 다항식이다.)

i j j의 경우 x $(\$를 $x{\displaystyle {}_{}}$ i$(\$j})로 $대체$하면 행이 같은 행렬을 얻을 수 있으므로 행렬식은 0이 됩니다.따라서 인자 정리에 따르면 ${\displaystyle x_{}{}_{}}$ - ${\displaystyle x_{}}$i(\$displaystyle x_{j}-x_{i$})는 det(V)의 약수이다.다변량 다항식의 고유한 인수분해 특성에 따라, ${\displaystyle {모든}_{}}$x ${\displaystyle {}_{}}$ -$$ i \ $displaystyle x_{j}-x_{i}$의 곱은 det(V)를 나눈다.

${\displaystyle \det(V)=Q\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

여기서 Q는 다항식입니다.$모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}{}_{}}$ - x$$(\$displaystyle x_{j}-x_{i$})와 det(V)의 곱은 n${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$-${\displaystyle }$1)${\displaystyle }$/${\displaystyle 2\mathrm{}}$,$$(\$displaystyle$n ($n-1)$ / $2,}$의 $차수$가 같으므로 다항식 Q는 사실상 상수이다.이 상수는 것이었는데, V의 대각선 항목의 제품은 x2x32⋯)nn− 1,{\displaystyle x_{2}x_{3}^{2}\cdots x_{n}^{n-1},}그것은 또한 그 monomial은 얻은 섭취하는 것은 첫 임기의 모든 요인들에 ∏ 1≤ 나는 <, j≤ n()j− x나는).{\displaystyle\textstyle \prod_{1.\l$eq i <j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$$}$ 이는

$\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

선형 맵 사용

F는 계수가 F인 n 미만인 다항식의 F 벡터 공간인 $,$ {\$displaystyle x_{i}$ $및$ ${\displaystyle {Pn}_{}}${\$displaystyle P_{n}$을 모두 $포함$하는 필드이다.허락하다

$\displaystyle \varphi :P_{n}\to F^{n}$

정의되어 있는 선형 지도이다

$\displaystyle p(x)\mapsto(p(x_{1}),\ldots,p(x_{n}).}$

Vandermonde 매트릭스는 $(\$ $및$ $.(\displaystyle F^{$$n$$})$의 표준 베이스에 관한 $매트릭스입니다.$$}$

$(\$의 기저를 변경하면 Vandermonde 행렬에 기저변화 행렬 M(오른쪽부터)을 곱하는 것입니다.M의 행렬식이 1인 경우, 이것은 행렬식을 변경하지 않습니다.

$다항식{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$($$x{\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1), x -$$$x$ 1$({\displaystyle }$$x$${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1$)$${\displaystyle <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x-x\_\{1\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7318ba0102e95fbb78f996f1df282a6d04a98d02"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:6.554ex;\; height:2.343ex;">}$(${\displaystyle x}$ - ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2)$$($x$- x${\displaystyle {}_{}}$ {2$}$ $...,{\displaystyle }$ ($x$${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$) (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -}$ x 2)$$ (${\displaystyle }$x - ${\displaystyle n_{}}$-${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ ) (${\displaystyle x}$ - 1 ) (x - 1 ) ($x$- x $_$ x _ { x _ { x )단항 기준 행렬은 모든 대각선 항목이 1인 상위 삼각행렬 U(단일체가 오름차순으로 정렬된 경우)입니다.따라서 이 행렬은 결정식 1의 기저 변화 행렬이다.$이{\displaystyle }$ 새로운 기준으로 $§$ (\$displaystyle \varphi)$의 매트릭스는 다음과 같습니다.

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, \ldots, 0\\1&, x_{2}-x_{1}&, 0&, \ldots &, 0\\1&, x_{3}-x_{1}&,(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})&, \ldots &, 0\\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\1&, x_{n}-x_{1}&,(x_{n}-x_{1})(x_{n}{2-x_})&, \ldots &,(x_{n}-x_{1})(x_{n}{2-x_})\cdots(x_{n}-x_{n-1})\en &.d{bmatrix}}.}$

따라서 Vandermonde 행렬식은 대각선 엔트리의 곱인 이 행렬의 행렬식과 같습니다.

이것은 원하는 평등을 증명한다.또한 V의 LU 분해는 다음과 같이 구한다.

$(\displaystyle V=LU^{-1}).}$

행별 및 열별 작업

이 세 번째 증거는 행렬의 열에 다른 열의 스칼라로 곱을 더하면 행렬식이 변경되지 않는다는 사실에 기초합니다.

따라서 첫 번째 열을 제외한 각 열에 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,$$\$displaystyle x_{1}$를 $곱한{\displaystyle {}_{}}$ 값을 빼도 행렬식은 변경되지 않습니다.(아직 변경되지 않은 열을 빼려면 마지막 열부터 시작해야 합니다.)이것은 매트릭스를 제공한다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, \cdots, 0\\1& &, x_{2}-x_{1}&, x_ᆱ(x_{2}-x_{1})&, x_ᆲ^ᆳ(x_{2}-x_{1})&, \cdots &, x_ᆴ^ᆵ(x_{2}-x_{1})\\1&, x_{3}-x_{1}&, x_ᆸ(x_{3}-x_{1})&, x_ᆹ^ᆺ(x_{3}-x_{1})&, \cdots, x_ᆻ^ᆼ(x_{3}-x_{1})\\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \ddots & &amp을 말한다.\vdots, x_{n}-x_{1}&, x_ᆬ(x_{n}-x_{1})&, x_ᆭ^ᆮ(x_{n}-x_{1})&, \cdots &, x_{n}^ \\1&{n-2(x_{n}-x_{1})\\end{bmatrix}.}$

첫 번째 행을 따라 Laplace 확장식을 적용하면${\displaystyle }$det (${\displaystyle V)}$ $=$ ${\displaystyle \det }$ (B$)$ \$displaystyle$\det ($V) =\det$ (B$)\}$을 ${\displaystyle 얻을}$ 수 있습니다.

$n}-x_{1})&\cdots &, x_ᆪ^ᆫ(x_{n}-x_{1})\\\end{bmatrix}}.}$

$B의$$$$($$style$i$)-$번째$$ 행(style B$)$의 $모든 엔트리는 xi$+$1$- $1$의 계수를 가지므로$,$ $이러한$ 계수를 꺼내 얻을 수 있습니다$.$

${\displaystyle \det(V)=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\cdots{{\begin(x_{n}-x_{1})vmatrix}1&, x_{2}&, x_{2}^{2}&, \cdots &, x_{2}^{n-2}\\1&, x_{3}&, x_{3}^{2}&, \cdots, x_{3}^{n-2}\\\vdots, \vdots & &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\1& &, x_{n}&, x_{n}^{2}&, \cdots &, x_{n}^{n-2}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<,j\leq n}(x_{j}-.x_{1})\det(V'),}$

$여기$서 V ${\$ { $displaystyle$ V$$}는$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$n$$. { $displaystyle x_{2},\ldots,x_{n}$의 Vandermonde 매트릭스입니다.} 이 작은 Vandermonde 매트릭스에서 이 과정을 반복하면$$ 결국 i< j }와 같이 ${\displaystyle {모든}_{}}$x ${\displaystyle {}_{}}$ -$x$ i { $style x_{$j}-$x_{$i$$}의 곱으로 원하는 det(V)를 얻을 수 있다$.$

결과 속성

m_i † n이 모든 x가 구별되는 경우에만 최대 순위 m을 갖는 m × n 직사각형 Vandermonde 행렬.

m_i † n이 최대 순위 n을 가지는 m × n 직사각형 Vandermonde 행렬. x 중 구별되는 n이 존재하는 경우에만.

정사각형 Vandermonde 행렬은 x가_i 구별되는 경우에만 반전할 수 있습니다.역의 명시적 공식이 ^[3][2][4]알려져 있다.

적용들

Vandermonde 행렬은 일련의 점에서 다항식을 평가하며, 형식적으로는 다항식의 계수 벡터를 Vandermonde 행렬에 나타나는 값에서 다항식의 값 벡터에 매핑하는 선형 지도 행렬이다.$다른$ $점$에 대한 Vandermonde$행렬식$의 소멸 ${\displaystyle {불능}_{}}$은 다른 점에 대해 계수에서 $해당$ 지점의 값에 대한 지도가 일대일 대응이므로, 다항식 보간 문제는 고유한 솔루션으로 해결할 수 있음을 보여준다. 이 결과를 유니솔이라고 한다.밴스 정리, 다항식에 대한 중국어 나머지 정리의 특별한 경우입니다.

이후 방데 르 몽드 행렬을 거꾸로 나는{\displaystyle \alpha_{나는}은 α의 관점에서}은 다항식의 계수[5]과 다항식의 나는}{\displaystyle \alpha_{나는}은 α에서 가치를 표현하는 것을 허용할 경우 이 다항식 보간법에,. 하지만, 보간 다항식 일반적으로 c.는 게 더 쉽다 유용할 것ompLagrange 보간 ^[6]공식을 사용하는 ute는 또한 Vandermonde ^{[7][better source needed]}행렬의 역식에 대한 공식을 도출하는 데 사용될 수 있습니다.

반데르몽드 행렬식은 대칭군의 ^[8]표현 이론에 사용된다.

$값{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ k$(\$ _${k})$가 유한 필드에 속할 경우 반데르몽드 행렬식은 무어 행렬식이라고도 하며 BCH 코드 및 리드-솔로몬 오류 수정 코드 이론에서 사용되는 특정 특성을 가집니다.

이산 푸리에 변환은 특정 반데르몽드 행렬, 즉 DFT 행렬에 의해 정의되며, 여기서 숫자_i α는 단일성의 루트로 선택됩니다.

(양자 홀 효과에서 나타나는) 충진 계수 1을 갖는 러플린 파동 함수는 반데르몽드 행렬식의 공식에 의해 슬레이터 행렬식으로 볼 수 있다.즉, 부분 양자 홀 효과에서 다른 채우기 인자에 대해서는 더 이상 해당되지 않습니다.

이것은 다항식 회귀 분석의 설계 행렬입니다.

이것은 임의의 $\displaystyle$k-cyclic$$ polytopes 면의 정규화된 부피이다.특히, 만약 F=Cd({\displaystyle F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots{i_{k+1}},t_)}순환 다면체의 k{k\displaystyle}-face Cd(T)⊂ Rd{\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb(^{d}}(이 T={t1,…, 터 N}<>⊂ Z{\displaystyle.t$=\{t_{1},\subset,t_${N$}\}_{<}\subset$ \$mathbb$ {Z$}$ }} ,

합류 반데르몽드 행렬

앞에서 설명한 바와 같이, Vandermonde 행렬은${\displaystyle }$값${\displaystyle }p{\displaystyle }$ ($α$1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ${\displaystyle p_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$α n$$) , . , p ( \ $displaystyle$ $p ($$x$ ) , p ($$\ displaystyle n -$$)의 $다항식{\displaystyle }$p ( $x$)의 계수를 구하는 선형 대수 보간 문제를 기술합니다. 여기서 p $($ $1$) , . , . , . , p ( p ( n ) , , , , , , p ( \ $displaystyl$ ) , p ( n ) , p ( n ) , p ( n ) , n ) , p ( n ) , p ( n ) , n )$$$}$ ,${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ,${\displaystyle {\alpha }_{}}$n \$style \alpha$ _${1$}, $...,$ \$alpha$_{$n}$ 은$$ 구별되는 포인트입니다.${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i$$\$displaystyle \alpha$ _${i}$가 구별되지 $않으면{\displaystyle {}_{}}$ 이 문제는 고유한 솔루션이 없습니다(이것은 대응하는 Vandermonde 행렬이 특이하다는 사실에 의해 반영됩니다).그러나 반복된 지점에서 파생물의 값을 지정하면 문제는 고유한 해결책을 가질 수 있습니다.예를 들어, 문제

${\displaystyle {case}p(0)=a\p'(0)=b\p(1)=c\end{case}}$

$여기$서$$p {\$displaystyle$ p$}$는 차수 δ2의 다항식이며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$a${\displaystyle ,}$ $b, c$에 대해 고유한 솔루션을 가지고 있습니다.일반적으로 ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\alpha \mathrm{}}_{}}$2,${\displaystyle .,}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$n { $displaystyle \alpha$ _ ${1},$ \$alpha _{2},$ ..., \$alpha _{$n$$$\}\}$는 (꼭 동일하지 않은) 숫자라고 가정합니다.는 목록의 연속된 순서로 표시됩니다.그것은

$\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{m_{1}=\cdots =\alpha _{m_{2},\ldots,\alpha _{m_1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{k}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 m k $=$, {\$displaystyle m_{k$}=$n,}$ 1 < > <⋯⋯$、$ \ cdots <$m$_ { k } $<\ cdots$ < $m$_ { $k$} $\alpha$ α α α 、 、 ${\displaystyle {m{}_{}}_{}}$ m$$ 、 ${\displaystyle ...}$ , $m$ m k \ $displaystyle$ \ $alpha$_ { m _ { m _ { n } $}$、 \ $ldots 。$그러면 해당 보간 문제는

${\displaystyle{\begin{경우}(\alpha_{1})=\beta _{1},&, p'(\alpha_{1})=\beta _{2},&, \ldots ,&, p^ᆴ(\alpha_{1})=\beta _{m_{1}}\\p(\alpha_{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+1},&, p'(\alpha_{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+2},&, \ldots ,&, p^ᆸ(\alpha_{{2}m_})=\beta _{m_{2}}\\\qquad \vdots \\p(\alpha_{m_{k-1}+1})=\beta_{m_.{k-1}+1},&, p'(\alpha_{m_{k-1}+2}=\dots _{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1})}(\alpha _{m_{k}})=\data _{m_{k}\end{cases}})$

그리고 이 문제에 대응하는 행렬을 합류하는 반데르몽드 행렬이라고 합니다.그것을 위해 주어진 것이다에서는, 우리의 사건은 공식(는 일반적인 경우, 매트릭스의 행 permuting까지):1≤ 나는, j≤ n{1\leqi,j\leq n\displaystyle}− 1{\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}(우리는 con,;나는 ℓ+m1{\displaystyle m_{\ell}< ≤고 일부는(독특한)에 i\leq m_{\ell+1}}0≤ℓ ≤ kℓ<>m 따른다.sider${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 0 $=$ ({$displaystyle m_{0$}=$0})$그러면 저희가

${\displaystyle V_{i,j}={\text{if}}j<i-m_{\ell};\[6pt]{(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell})!}}\alpha _{i}^{j-(i-m_{\ell}),&{\text{if}}j\geq i-m_{\ell}.\end {case}}$

이러한 반데르몽드 행렬의 일반화는 반데르몽드 행렬의 대부분의 속성을 유지하면서 (방정식 시스템에 대한 고유한 해법이 존재하는 것과 같은) 비단수 행렬이 됩니다.이 행은 원래 Vandermonde 행의 파생물입니다(일부 순서).

이 공식을 받는 또 다른 $방법$은 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$i \ $displaystyle$ \$alpha _$ {i$\}$ 의 일부를 임의로 서로 근접시키는 것입니다.$예$를 들어, ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$2 ${\displaystyle$ \$alpha _{$1} → \$alpha$_$\{$2} } ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 、 α ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$1 ${\displaystyle$ \$alpha _{2}\to$ \$alpha _1}$ α α α 、 α α α α α α α α α 、 α α α α α α α for for α α α α α α α α α α 、 Vandermand이를 통해 일반화된 보간 문제(특정 값 및 점상의 도함수)를 $모든{\displaystyle }$ 점이 구별되는 원래 케이스에 연결할 수 있습니다${\displaystyle .}$ p (${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle )}$ , ${\displaystyle {}^{}(}$ ($α )$ , ${\displaystyle p}$ ( \ $alpha$ ) , p ' ( \ $displaystyle$p ( \ alpha ) , p ' ( \ $alpha$$$) }는$$$$ $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle ）}$ ,${\displaystyle }$p ($、$ ${\displaystyle p}$ ) , p ) , p ) , ${\displaystyle p}$ ' ( \ （ \ （ \ ${\displaystyle ）}$） ） ） （ \ $display stylon$） ） ） 。$§(\$displaystyle\$varepsilon)$은 매우 작습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 슈어 다항식 - 일반화
• 교류행렬
• 라그랑주 다항식
• 브롱스키안
• 행렬 목록
• 유한 필드에 대한 무어 행렬식
• 비에타 공식

레퍼런스

추가 정보

• 를 클릭합니다Ycart, Bernard (2013), "A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant", Revue d'Histoire des Mathématiques, 13, arXiv:1204.4716, Bibcode:2012arXiv1204.4716Y.

외부 링크

• ProofWiki의 Vandermonde 매트릭스