정류 행렬

수학, 특히 선형대수와 행렬 이론에서, 정류행렬은 행렬의 벡터화된 형태를 전치행렬의 벡터화된 형태로 변환하는데 사용된다.구체적으로, 정류행렬^(m,n) K는 임의의 m × n 행렬 A에 대해 vec(A)를 vec^T(A)로 변환하는 nm × mn 행렬이다.

K^(m,n) vec(A) = vec(A^T).

다음 vec(A)는 A의 열을 서로 겹쳐 쌓음으로써 얻을 수 있는 mn × 1 열 벡터입니다.

$\displaystyle \operatorname {vec}(\mathbf {A} _{1,1},\ldots,\mathbf {A} _{m,1},\mathbf {A} _{1,2},\ldots,\mathbf {A},\mathbf {A}$

여기서 A = [A_i,j].즉, vec(A)는 A를 줄자 순서로 벡터화한 벡터이다.마찬가지로 vec(A^T)는 A를 줄자 순서로 벡터화하여 얻는 벡터이다.

양자 정보 이론의 맥락에서, 정류 행렬은 때때로 스왑 행렬 또는 스왑 연산자로 언급됩니다.

특성.

• 정류 행렬은 특수한 유형의 치환 행렬이므로 직교입니다.특히 K는^(m,n) P ${\$ { \ $displaystyle$$$\ $mathbf${ $P$} $_${ \ $pi$$$}$$${\displaystyle {}_{}}$ $。$${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 { $displaystyle$ \ ${ 1$ , \ $dots$ ,$$mn$$ \${\displaystyle }$}$\{{\displaystyle }$ { { { { in in ${\displaystyle \mathrm{in}}$ ${\displaystyle 。}$

$\displaystyle \pi(i+ni),\display i=1,\displays,m,\display j=1,\displays,n.}$

• 정류 행렬의 정의에서 A를 A로^T 대체하면 K = (K^(n,m))^T임을 나타냅니다^(m,n).따라서 m = n의 특수한 경우, 변환 행렬은 회전 행렬이며 대칭 행렬이다.

• 변환행렬의 주요 용도와 그 이름의 출처는 크로네커 곱을 이동하는 것이다: 모든 m × n 행렬 A 및 모든 r × q 행렬 B에 대해,

$\displaystyle \mathbf {K}^{(r,m)}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B})\mathbf {K} =\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} }$

이 속성은 Wishart 공분산 ^[2]행렬의 고차 통계량을 개발하는 데 자주 사용됩니다.

• 위의 방정식에 대해 n=q=1의 경우 m,r 크기의 열 벡터 v,w에 대해 각각 다음과 같이 기술한다.

$\displaystyle \mathbf {K}^{(r,m)}(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w})=\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} .}$

이 성질은 양자 정보 이론의 맥락에서 이 행렬을 "스왑 연산자"라고 부르는 이유입니다.

• 변환 행렬에 대한 명시적 형식은 다음과 같다: 만약_r,j e가 차원 r의 j번째 정규 벡터 (즉, j번째 좌표에 1이 있고 다른 곳에 0이 있는 벡터)를 나타낸다면,

${\displaystyle \mathbf {K} ^{(r,m)}=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {e}_{r,i}{\mathbf {e}_{m,j}^{\otsmathbf}}\left(\mathbf}_e)}$

• 정류 행렬은 다음과 같은 블록 행렬로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {K} ^{(m,n)}=mathbf {K} _{1,1} &\cdots &\dots &\vdots &\mathbf {K} _{m,1\cdots} &\mathbf {K} &\cdots$

여기서 n x m 블록 매트릭스_i,j K의 p,q 항목은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {K} _{ij}(p,q)={case}1&i=q(텍스트{및}}}j=p,\0&{\text{text}}}}}.\end {case}}$

예를들면,

${\displaystyle \mathbf{K}^{(3,4)}=\left는 경우에는{\begin{배열}{ccc ccc ccc 개인}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\\.hline 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0\\\hline 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&0&0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&end {array}\right]}$

코드

제곱 행렬과 직사각형 행렬 모두에 대해m행과n열, 아래 코드로 변환 행렬을 생성할 수 있습니다.

파이썬

수입품 수치 ~하듯이 np  방어하다 통신매트(m,n):     # K에 의해 적용되는 치환 결정     A = np.모양을 바꾸다(np.오렌지색(m*n),(m,n),주문 = 'F')     w = np.모양을 바꾸다(A.T,m*n, 주문 = 'F')      # 아이덴티티 매트릭스의 행(즉, 각 열에)에 이 순열을 적용합니다.     M = np.눈동자(m*n)     M = M[w,:]     돌아가다 M 

또는 Import가 없는 버전:

# 크로네커 델타 방어하다 델타(i,j):      돌아가다 인트(i==j)  방어하다 통신매트(m,n):     # K에 의해 적용되는 치환 결정     v = [m*j + i 위해서 i 에 범위(m) 위해서 j 에 범위(n)]      # 아이덴티티 매트릭스의 행(즉, 각 열에)에 이 순열을 적용합니다.     M = [[델타(i,j) 위해서 j 에 범위(m*n)] 위해서 i 에 범위(m*n)]     M = [M[i] 위해서 i 에 v]     돌아가다 M 

매트랩

함수 P = com_mat(m,n) %는 K A = rephape(1:m*n,m,n), v = rephape(A',1,[])에 의해 적용된 치환을 결정한다. 이 치환을 동일성 행렬 P = eye(m*n)의 행(즉, 각 열에 적용)에 적용한다.

예

$(\displaystyle$ A$)$는 $다음{\displaystyle \mathrm{}}$ 2${\displaystyle }$×$$(\$displaystyle$ 2$\times$ 3$)$ 매트릭스를$$ 나타냅니다.

$({displaystyle A=bmatrix}1&4\2&5\3&6\end{bmatrix}).}$

$\displaystyle$A에는$$ 다음과 같은 줄자 벡터화 및 줄자 벡터화(각각)가 ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}$.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{col}=\operatorname {v} =\operatorname {v} 1 \ \ \ \ \ 2 \ \ \ 3 \ \ 4 \ \ 5 \ 6 \ \ \ \ \ \ \ \ end { bmatrix } , \ quad \ mathbf { v } _ { v } _ { { { { { C } }}$

연관된 정류 행렬은 다음과 같습니다.

${\displaystyle K=\mathbf{K}^{(3,2)}={\begin{bmatrix}1&,\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot \\\cdot&\cdot&\cdot&1&,\cdot&\cdot \\\cdot&1&,\cdot&\cdot&\cdot&\cdot \\\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&1&,\cdot \\\cdot&\cdot&1&,\cdot&\cdot&\cdot \\\cdot. &\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&1\\\end{bmatrix}},}.$

(여기서 각 $"\displaystyle\cdot"$은 0을 나타냅니다).예상대로 다음이 유지됩니다.

$\displaystyle K^{\mathrm {T}}K=KK^{\mathrm {T}=\mathbf {I}_{6}$

${\displaystyle K\mathbf {v} _{\text{col}}=\mathbf {v} _{\text{row}}}$

레퍼런스

• Jan R. Magnus and Heinz Neudcker(1988), Wiley, 통계 및 계량경제학의 응용을 포함한 행렬 미분학.