프로베니우스 행렬

프로베니우스 행렬은 숫자 수학에서 나온 특별한 종류의 사각 행렬이다. 매트릭스는 프로베니우스 매트릭스(Probenius matrix)로, 다음과 같은 세 가지 특성을 가지고 있다.

• 주 대각선의 모든 항목이 하나임
• 한 열의 주 대각선 아래에 있는 항목은 임의적이다.
• 다른 모든 항목은 0이다.

다음의 행렬이 예다.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

프로베니우스 행렬은 돌이킬 수 없다. 프로베니우스 행렬의 역행렬은 다시 프로베니우스 행렬로, 주 대각선 밖에서 기호가 변경된 원래의 행렬과 같다. 따라서 위의 예제의 역행은 다음과 같다.

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

프로베니우스 행렬은 페르디난드 게오르크 프로베니우스의 이름을 따서 지어졌다.

또한 프로베니우스 행렬이라는 용어는 (대각선 아래의 단일 열에서 ID 행렬과 다른 행렬을 갖는 위의 정의와는 반대로) 해당 행의 대각선 입력에 앞선 단일 행의 요소에서만 ID 행렬과 다른 대체 행렬 형식에 사용될 수 있다. 다음의 매트릭스는 3번째 행이 ID 매트릭스와 다른 4x4 매트릭스를 보여주는 대안 형식의 예다.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\0&0&0\\\0&0&0\\nd{pmatrix}}}}$

이 후자의 프로베니우스 행렬의 대체 이름은 칼 프리드리히 가우스의 이름을 따서 가우스 변환 행렬이다.^[1] 그것들은 가우스 변환을 나타내기 위해 가우스 제거 과정에 사용된다.

가우스 변환 매트릭스와 함께 왼쪽(왼쪽 곱하기)에서 행렬을 곱하면 앞의 행의 선형 결합이 매트릭스의 주어진 행에 추가된다(위 예에서 1행과 2행의 선형 결합이 3행에 추가된다). 역행렬이 있는 곱셈은 주어진 행에서 해당하는 선형 조합을 뺀다. 이는 가우스 제거의 기본 연산 중 하나에 해당한다(행 전치 및 스칼라 배수로 행을 곱하는 연산 제외).

참고 항목

• 기본 매트릭스, 비대각형 비제로 하나만 있는 프로베니우스 매트릭스의 특별한 경우

메모들

참조

• Gene H. Golub와 Charles F. 밴 론(1996년). 매트릭스 컴퓨터, 제3판 존스홉킨스 대학 출판부. ISBN0-8018-5413-X(하드백), ISBN0-8018-5414-8(종이백)