월시 행렬

수학에서 월시 행렬은 차원 2의ⁿ 특정한 제곱 행렬이며, 여기서 n은 어떤 특정한 자연수다. 행렬의 항목은 +1 또는 -1이며 행과 열은 직교, 즉 도트 곱은 0이다. 월시 매트릭스는 1923년 조셉 월시에 의해 제안되었다.^[1] 월시 행렬의 각 행은 월시 함수에 해당한다.

월시 행렬은 하다마르 행렬의 특별한 경우다. 자연적으로 순서가 정해진 하다마드 행렬은 아래의 재귀 공식에 의해 정의되며, 연속 순서가 정해진 하다마드 행렬은 행을 재정렬하여 행의 변화 횟수가 증가하도록 형성된다.^[1] 헷갈리게, 서로 다른 출처는 두 행렬을 월시 행렬이라고 부른다.

월시 매트릭스(및 월시 함수)는 월시 변환을 계산하는 데 사용되며 특정 신호 처리 작업의 효율적인 구현에 응용 프로그램이 있다.

공식

k ∈ N에 대한 치수 2의^k Hadamard 행렬은 재귀 공식에 의해 주어진다(Hadamard 행렬의 최저 순서는 2).

${\displaystyle {\reasoned}H\left(2^{1}\right)&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\\H\left(2^{2}\right)&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

그리고 일반적으로

${\displaystyle H\왼쪽(2^{k}\오른쪽)={\begin{bmatrix}H\왼쪽(2^{k-1}\오른쪽)&H\왼쪽(2^{k-1}\오른쪽)\\\H\왼쪽(2^{k-1}\오른쪽)&-H\왼쪽(2^{k-1}\오른쪽)\end{bmatrix}=H(2)\time H\left(2^{k-1}오른쪽),}$

2 ≤ k ∈ N에 대하여, 여기서 ⊗은 Kronecker 제품을 나타낸다.

순열

각 행의 기호 변경 수에 따라 행렬의 행을 재정렬하십시오. 예를 들면,

${\displaystyle H(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1-1\\1&1&-1\\1&1&1&1\end{bmatrix}}}}}}$

연속된 행은 0, 3, 1, 2 부호가 바뀐다. 시퀀스 순서로 행을 재정렬하는 경우:

${\displaystyle W(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&-1-1\\1&1&1-1\\1&1&1\\end{bmatrix},}$

그러면 연속된 행은 0, 1, 2, 3개의 부호가 바뀐다.

월시 행렬의 대체 형태

시퀀스 오더

월시 행렬의 행 순서 순서는 먼저 비트 역순열을 적용한 다음 그레이 코드 순열을 적용하여 Hadamard 행렬의 순서에서 도출할 수 있다.^[2]

${\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\1&, 1&, 1&, 1&, -1&, -1&, -1&, -1\\1&, 1&, -1&, -1&, -1&, -1&, 1&, 1\\1&, 1&, -1&, -1&, 1&, 1&, -1&, -1\\1&, -1&, -1&, 1&, 1&, -1&, -1&, 1\\1&, -1&, -1&, 1&, -1&, 1&, 1&, -1\\1&, -1&, 1&, -1&/&-1&, 1&, -1&, 1\\1&, -1&, 1&, -1&, 1&, -1&, 1&, -1\\\end{bmatrix}},}$

여기서 연속된 행에 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 및 7 기호가 변경된다.

디아디치 오더

${\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\1&, 1&, 1&, 1&, -1&, -1&, -1&, -1\\1&, 1&, -1&, -1&, 1&, 1&, -1&, -1\\1&, 1&, -1&, -1&, -1&, -1&, 1&, 1\\1&, -1&, 1&, -1&, 1&, -1&, 1&, -1\\1&, -1&, 1&, -1&, -1&, 1&, -1&, 1\\1&, -1&, -1&, 1&/&1&, -1&, -1&, 1\\1&, -1&, -1&, 1&, -1&, 1&, 1&, -1\\\end{bmatrix}},}$

여기서 연속된 행에 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4, 5 기호가 변경된다.

자연순서

${\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\1&, -1&, 1&, -1&, 1&, -1&, 1&, -1\\1&, 1&, -1&, -1&, 1&, 1&, -1&, -1\\1&, -1&, -1&, 1&, 1&, -1&, -1&, 1\\1&, 1&, 1&, 1&, -1&, -1&, -1&, -1\\1&, -1&, 1&, -1&, -1&, 1&, -1&, 1\\1&, 1&, -1&, -1&/&-1&, -1&, 1&, 1\\1&, -1&, -1&, 1&, -1&, 1&, 1&, -1\\\end{bmatrix}},}$

여기서 연속된 행에 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2, 5 기호가 변경된다.

참고 항목

위키미디어 커먼즈에는 월시 매트릭스와 관련된 미디어가 있다.

• 하르 웨이블렛
• Quincunx 행렬
• 하다마드 변형
• 코드 분할 다중 액세스
• OEIS: A228539(OEIS: A228540) – (부정) 이항 월시 행렬의 행은 역이항 번호로 읽힌다.
• OEIS: A197818 – 이진수로 읽히는 부정 이항 월시 행렬의 반지관성

참조