감마공정

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2021년 10월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

수학 및 확률 이론의 감마 공정은 독립 감마 분포 증분을 갖는 랜덤 공정이다. Often written as ${\displaystyle \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$, it is a pure-jump increasing Lévy process with intensity measure ${\displaystyle \nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x),}$ for positive ${\displaystyle x}$. 따라서 크기가${\displaystyle }$[${\displaystyle x,}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ x$){\displaystyle [x,x+dx]$인 점프는 강도 $\nu {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle d}$. ${\displaystyle \nu (x)\,dx.}$의 포아송 프로세스로서 발생한다$$.$$ 매개 변수 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$은(는) 점프 도착 속도를 제어하고$$ 스케일링 매개 $변수{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \lambda }$은(는) 점프 크기를 반대로$$ 제어한다. 공정이 t = 0의 값에서 시작된다고 가정한다.

감마 프로세스는 μ${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle v}$ ${\$$displaystyle \mu$$$$\}$ 및 $\mu {\displaystyle }$ = μ = μ = μ 2 / v {\$displaystyle$ v$\}$ 및 $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$/ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda =\mu /v}$에 해당하는 단위 시간 당 증가의 평균 단위로 파라미터화되기도 한다$.$

특성.

이러한 속성에서 감마 함수를 사용하기 때문에, 시간에 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$을(를) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ≡${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ (${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle \gamma }$ ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle X_{t}\equiv \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$로 작성하여$$ 모호성을 제거할 수 있다.

감마 프로세스의 몇 가지 기본 특성은 다음과 같다.^{[citation needed]}

한계분포

시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에서 감마 프로세스의 한계 분포는 평균 ${\displaystyle \gamma }$ t /${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \gamma$ t$/\$$lambda$ $}$과(와) 분산 ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ t /${\displaystyle \lambda {}^{}}$2${\displaystyle {}^{}}$. {\$displaysty \gamma$t/\lambda $^{2$}을 갖는 감마 분포이다$.$$}$

즉, 그 밀도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 다음에 의해 주어진다$$.

스케일링

스칼라 상수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 의한 감마 공정의 곱셈은 다시 평균 증가율이 다른 감마 공정이다$$.

$\displaystyle \alpha \감마(t;\gamma ,\lambda )\simeq \감마(t;\gamma ,\lambda /\alpha )}$

독립적 프로세스 추가

두 개의 독립적인 감마 공정의 합은 다시 감마 공정이다.

${\displaystyle \감마 \{1},\lambda )+\감마(t;\gamma _{2},\lambda )\simeq \감마(t;\gamma _{1}+\gamma _{2},\lambda )}}$

순간

$displaystyle \operatorname {E}(X_{t}^{n}}}})=\lambda$$$$감마(\gamma t)}},\ \quad n\geq$ 0$,}$ 여기서 where$$${\displaystyle (z}$ $){\displaystyle \Gamma(z)}$는 감마 함수다.

모멘트생성함수

${\displaystyle \operatorname {E} {\exp(\theta X_{t}{\Big )}=\좌측(1-{\fracta{\ta}{\lambda }}}^{-\\quad \ta <\lambda }}}}$

상관 관계

s, t)= t, < t <>, s$.$ {$Corr}(X_{s},X_{t})={\sqrt {\frac$ {$s}{t}}}},$ 모든 감마 $공정{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$) .$${\$displaysty$X($t)$에 $대해$$}$

감마 공정은 분산 감마 공정의 랜덤 시간 변화에 대한 분포로 사용된다.

참조

• Lévy Processes and Stochastic Miculus by David Applebaum, CUP 2004, ISBN0-521-83263-2.