분산 감마 공정

확률의 수학 이론의 일부인 확률적 과정 이론에서, 라플라스 운동으로도 알려진 분산 감마 과정(VG)은 무작위 시간 변화에 의해 결정되는 레비 과정이다. 그 과정은 많은 레비 과정과 구별되는 유한한 순간들을 가지고 있다. VG 공정에는 확산 성분이 없으므로 순수 점프 공정이다. 증가는 독립적이며 라플라스 분포의 일반화인 분산 감마 분포를 따른다.

VG 프로세스를 다른 프로세스와 관련시키는 몇 가지 표현이 있다. It can for example be written as a Brownian motion ${\displaystyle W(t)}$ with drift ${\displaystyle \theta t}$ subjected to a random time change which follows a gamma process ${\displaystyle \Gamma (t;1,\nu )}$ (equivalently one finds in literature the notation ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(t;\gamma =1/\nu ,\lambda =1/\nu )}$${\displaystyle \감마$(t$;\gamma =1/\nu,\lambda =1/\nu )}:$

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma,\nu,\theta )\;:=\\\\theta \,\\\\\\\\\\\\\\\\\cH00\\\\\\\gma \,\W)\W(\Gamma)\quad .}$

이를 설명하는 다른 방법은 분산 감마 과정이 감마 후순위자에 종속된 브라운 운동이라는 것이다.

VG 공정은 유한 변동을 가지므로 다음과 같은 두 개의 독립 감마 공정의 차이로 기록할 수 있다.^[1]

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\감마(t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\감마(t;\mu _{q}}, {q}^{2}\nu )}$

어디에

$\displaystyle \mu _{p:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}+{\frac {\theta }{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad \mu _{q}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}-{\frac {\theta }{2}}\quad .}$

또는 명시적으로 주어진 (독립적인) 점프와 그 위치를 나타내는 복합 포아송 프로세스에 의해 대략적으로 추정할 수 있다. 이 마지막 특성을 통해 점프 위치와 크기를 가진 샘플 경로의 구조를 이해할 수 있다.^[2]

분산 감마 공정의 초기 내역은 세네타(2000년)를 참조한다.^[3]

순간

분산 감마 공정의 평균은 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 및$$ $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$과(와) 무관하며, 다음과$$ 같이 지정된다.

$[\displaystyle E[X(t)]=\theta t}$

분산은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle Var[X(t)]=(\teta ^{2}\nu +\sigma ^{2}t}$

세 번째 중심 순간은

${\displaystyle E[(X(t)-E[X(t)]^{3}=(2\theta ^{3}\nu ^{2}+3\sigma ^{2}\tea \nu )t}$

네 번째 중심 순간은

${\displaystyle E[(X(t)-E[X(t)])^{4}]=(3\sigma ^{4}\nu +12\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu ^{2}+6\theta ^{4}\nu ^{3})t+(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu +3\theta ^{4}\nu ^{2})t^{2}}$

옵션가격결정

VG 프로세스는 브라운 모션보다 왜도와 첨도를 더 넓게 모델링할 수 있기 때문에 옵션 가격 책정 시 사용하는 것이 유리할 수 있다. 이와 같이 분산 감마모형은 단일 매개변수 집합을 사용하여 서로 다른 스트라이크 및 만기를 가진 가격 옵션을 일관되게 제공할 수 있다. Madan과 Seneta는 분산 감마 공정의 대칭 버전을 제시한다.^[4] 마단, 카르, 창은 비대칭 형태를 허용하도록 모델을 확장하고 분산 감마 공정에서 유럽 옵션의 가격을 책정하는 공식을 제시한다.

Hirsa와 Madan은 분산 감마선에 있는 미국 옵션의 가격을 어떻게 책정하는지를 보여준다.^[5] 피오라니는 분산 감마 공정에서 유럽과 미국의 장벽 옵션에 대한 수치 해결책을 제시한다.^[6] 그는 또한 분산 감마 공정에서 바닐라 가격과 유럽과 미국의 장벽 옵션 가격을 책정하기 위한 컴퓨터 프로그래밍 코드를 제공한다.

레멘스 등은 분산 감마모형을 포함한 여러 레비 모델에 대한 산술적 아시아 옵션의 한계를 구성한다.^[7]

신용위험에 대한 애플리케이션 모델링

분산 감마 프로세스는 구조모형의 신용위험 모델링에 성공적으로 적용되었다. 공정의 순수한 점프 특성과 분포의 왜곡과 첨도를 통제할 수 있는 가능성 때문에 모형은 단기 만기를 가지는 유가증권의 채무불이행 위험을 정확하게 가격을 책정할 수 있는데, 이는 기초 자산이 브라운 운동을 따르는 구조 모델에서는 일반적으로 불가능한 것이다. Fiorani, Luciano 및 Semeraro^[8] 모델에서 분산 감마 상태의 신용 디폴트 스왑. 광범위한 경험적 시험에서 문헌에 제시된 대안적 모델과 비교하여 분산 감마하 가격 책정의 과도한 성능을 보여준다.

시뮬레이션

분산 감마 프로세스에 대한 몬테카를로 방법은 Fu(2000)에 의해 설명된다.^[9] 알고리즘은 Korn 외(2010)에 의해 제시된다.^[10]

VG를 감마 시간 변화 브라운 운동으로 시뮬레이션

• Input: VG parameters ${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu }$ and time increments ${\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}$, where ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.$$}$
• 초기화: X(0) = 0을 설정하십시오.
• 루프: i = 1 ~ N의 경우:

1. Generate independent gamma ${\displaystyle \Delta \,G_{i}\,\sim \Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu )}$, and normal ${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ variates, independently of past random variates.
2. Return ${\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\theta \,\Delta G_{i}+\sigma {\sqrt {\Delta G_{i}}}Z_{i}.$$}$

VG를 Gammas의 차이로 시뮬레이션

이 approach[9][10]감마 표현 XVG(t;σ, ν, θ)의 차이점에 Γ(t;μ p, p2μ ν)− Γ(t;μ q,μ q2ν){\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta)\, =\, \Gamma(t;\mu_{p},\mu_{p}^{2}\,\nu)-\Gamma(t;\mu_{q},\mu_{q}^{2}\,\nu)},μ p,μ q, ν{\와 같이 기반을 두고 있다.디스플레이$스타일 \mu _{p},\mu _{q},\nu }$은(는) 위와 같이 정의된다$$.

• Input: VG parameters ${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu ,\mu _{p},\mu _{q}}$] and time increments ${\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}$, where ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.$$}$
• 초기화: X(0) = 0을 설정하십시오.
• 루프: i = 1 ~ N의 경우:

1. Generate independent gamma variates ${\displaystyle \gamma _{i}^{-}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{q}),\quad \gamma _{i}^{+}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{p}),}$ independently of past random variates.
2. 반송 $X{\displaystyle }$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$= X${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$+ + i${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$( t${\displaystyle }$) -${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$-${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle t}$) .${\displaystyle X(t_{i-1$}=$X(t_{i-1})+\감마 _{i}^{i}-}-\감마 _{i}^{-}(t)$$}$

감마 브리지 샘플링 차이에 따른 VG 경로 시뮬레이션

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2-EPT 분포로서의 분산 감마

${\displaystyle \frac{1}{}}$㎛ ${\$이(가) 정수라는$$ 제한 하에서 분산 감마 분포는 2-EPT 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있다. 이러한 가정 하에서 바닐라 옵션 가격과 관련된 그리스 인들의 폐쇄적인 형태를 도출할 수 있다. 포괄적인 설명은 을 참조하십시오.^[11]

참조