헐-화이트 모델

금융 수학에서 선체-화이트 모델은 미래 금리의 모델입니다. 가장 일반적인 공식에서는 오늘날의 이자율 기간 구조에 맞는 무차익 거래 모델 클래스에 속합니다. 미래 이자율의 진화에 대한 수학적 설명을 나무나 격자로 변환하는 것은 비교적 간단하므로 버뮤단 스왑과 같은 이자율 파생상품을 모델에서 평가할 수 있습니다.

첫번째 선체-흰색 모델은 존 C가 설명했습니다. 1990년 헐과 앨런 화이트. 이 모델은 오늘날에도 여전히 시장에서 인기가 있습니다.

모델이

일인자모델

그 모델은 단기 모델입니다. 일반적으로 다음과 같은 역학 관계를 갖습니다.

dr(t)=\left[\theta(t)-\alpha(t)r(t)\right]\,dt+\sigma(t)\,dW(t)

모델의 어떤 매개변수가 정확하게 시간 의존적인지 또는 각 경우에 모델에 적용할 이름이 무엇인지에 대해 실무자들 사이에 모호성이 어느 정도 존재합니다. 가장 일반적으로 사용되는 명명 규칙은 다음과 같습니다.

$θ$ {\ $displaystyle$ \theta}에 t(시간) 종속성이 있습니다. 선체 –화이트 모델.
$θ {\$ displaystyle $\alpha$ \theta} 및 α {\displaystyle \alpha}은(는) 모두 시간에 따라 달라집니다. 확장된 Vasicek 모델입니다.

이인자 모형

2인자 헐-화이트 모델(Hull 2006:657–658)은 평균이 0으로 되돌아가는 교란항을 추가로 포함하고 있으며, 다음과 같은 형태를 갖습니다.

d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),

여기서 $\displaystyle f$ ${\$ 는 $\displaystyle f$ 결정론적 함수이며, 일반적으로 항등식 함수(원 팩터 버전의 확장, 분석적으로 다루기 쉽고 잠재적으로 음의 비율), 자연 로그(Black-Karasinksi의 확장, 분석적으로 다루기 어렵고 양의 비율), 또는 조합(작은 비율의 경우 자연 로그에 proport, 큰 비율의 경우 아이덴티티 함수에 비례 $),$ u ${\displaystyle$ \ $displaystyle$ u}는 초기 값이 0이고 프로세스를 따릅니다.

du=-bu\,dt+\ sigma _{2}\,dW_{2}(t)

1요인 모형 분석

이 기사의 나머지 부분에서는 $\theta$ θ {\displaystyle $\theta$ \theta}만 t-의존성을 갖는다고 가정합니다. $\alpha >0$ 항을 잠시 무시하고 $\alpha >0$ > 0 ${\displaystyle \alpha$ > 0 $}$ 의 경우 r이 현재 " $\theta (t)/\alpha )$ θ( $t)$ / $α$ 보다 큰 $)$ 이면 r의 변화가 음수이고 현재 값이 작으면 양수임을 유의하십시오. 즉, 확률적 과정은 평균 회귀 오른슈타인-울렌벡 과정.

θ는 이자율의 현재 기간 구조를 설명하는 초기 수익률 곡선에서 계산됩니다. 일반적으로 α는 사용자 입력으로 남겨집니다(예: 과거 데이터에서 추정될 수 있음). σ는 시장에서 쉽게 거래할 수 있는 캐플릿 및 스왑 세트에 대한 보정을 통해 결정됩니다.

$\alpha$ ${\displaystyle \alpha$ $\theta$ θ {\displaystyle $\theta$ \ $\sigma$ $},$ σ {\displaystyle \sigma }가 일정할 때 It it의 보조정리를 사용하여 다음을 증명할 수 있습니다.

r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta}{\alpha}}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),

분포가 있는

r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta}{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }\left(1-e^{-2\alpha t}\right),

여기서 ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ σ 2) ${\displaystyle {\mathcal$ { $N}}(\mu,\sigma$ ^{2})}은 $평균$ μ ${\displaystyle$ \mu } 및 $\sigma ^{2}$ σ 2 {\displaystyle \sigma $\sigma ^{2}$ ^{2}}인 정규 분포입니다.

θ $(t)$ {\displaystyle \theta(t)}이(가) 시간 의존적인 경우,

r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),

분포가 있는

r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha(s-t)}\theta(s)ds, {\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right)

선체를 이용한 채권가격결정-화이트모델

T-만기 할인채권의 시간-S 값이 분포를 가지는 것으로 밝혀졌습니다(여기서 아핀항 구조를 참고하세요!).

P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),

어디에

B(S,T)={\frac {1-\exp (-\alpha(T-S)}}{\alpha}

{\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp (-\alpha T)-\exp(-\alpha S)^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}\right}.

$P(S,T)$ $P(S,T)$ $P(S, T)$ 에 대한 터미널 분포는 로그 정규 분포입니다 $P(S,T)$ .

파생가격

시간-S 채권(S-forward measure로의 전환에 해당하는)을 숫자로 선택함으로써 무차익 가격의 기본 정리로부터 시간 S에서 성과가 있는 파생상품의 시간 t에서의 가치를 얻게 됩니다.

V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].

$\mathbb {E} _{S}$ 서 ES ${\$ _ ${S}}$ 는 $\mathbb {E} _{S}$ 전진 측도와 관련하여 취한 기대치입니다. 또한 표준 차익거래 인수는 V(T)에 의해 주어진 시점 T에서의 보수에 대한 시점 T $F_{V}(t,T)$ $F_{V}(t,T)$ $F_{V}(t,T)$ {\ $displaystyle F_{V}(t, T)}$ 가 $F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)$ T $F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)$ = V $F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)$ / P $F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)$ T $F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)$ ${\displaystyle$ F_{V}( $t,$ T) = V(t)/P(t, T)}를 만족해야 함을 보여줍니다.

F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t).

따라서 선체에서 작업할 때 $P(S,T)$ 결합 P $P(S,T)$ T $)$ {\ $displaystyle$ P $(S$ , T $)}$ 에만 의존하는 많은 도함수 V의 값을 해석적으로 $P(S,T)$ 매길 수 있습니다.화이트 모델. 예를 들어 채권 풋의 경우

V(S)=(K-P(S,T))^{+}.

P( $P(S,T)$ $P(S,T)$ ${\displaystyle P(S,$ T $)}$ 는 $P(S,T)$ 로그 정규 분포이므로 Black-Scholes 모형에 사용되는 일반적인 계산은

{E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),

어디에

d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}

그리고.

{\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.

따라서 오늘의 값(P(0,S)를 다시 곱하고 t를 0으로 설정한 경우)은 다음과 같습니다.

P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).

여기서 $\sigma _{P}$ σ P ${\displaystyle \sigma_$ {P}는 $P(S,T)$ (S $,$ T) ${\displaystyle$ P $P(S,T)$ S, T)}에 $P(S,T)$ 대한 로그 정규 $P(S,T)$ 의 표준 편차(상대 변동성)입니다. 상당히 많은 대수는 다음을 통해 원래 매개 변수와 관련이 있음을 보여줍니다.

{\sqrt {S}}\sigma_{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp (-\alpha(T-S)){\sqrt {\frac {1-\exp (-2\alpha S)}{2\alpha }}

이 예상은 S-bond 조치에서 이루어졌지만, 우리는 원래 Hull에 대한 조치를 전혀 명시하지 않았습니다.화이트 프로세스. 이것은 중요하지 않습니다. 변동성이 중요하고 측정에 독립적입니다.

금리 상한/바닥은 각각 채권 풋과 콜에 해당하기 때문에, 위의 분석에 따르면, 상한과 바닥은 헐에서 분석적으로 가격이 책정될 수 있습니다.화이트 모델. 잠시디언의 속임수는 헐에게 적용됩니다.흰색(오늘날 선체 교환의 가치로 볼 때)화이트 모델은 오늘날의 숏 레이트(short rate)의 모노톤 함수입니다. 따라서 가격 상한 방법을 아는 것도 스왑 가격을 책정하는 데 충분합니다. Turfus(2020)는 기본이 (전방) LIBOR 기간 비율이 아닌 복합 후방 비율인 경우 추가 볼록성을 고려하기 위해 이 공식을 직접 수정할 수 있는 방법을 보여줍니다.

또한 Henrard(2003)에서 설명한 대로 직접 가격을 책정할 수도 있습니다. 일반적으로 직접 구현하는 것이 더 효율적입니다.

몬테카를로 시뮬레이션, 나무 및 격자

그러나 캡과 스왑과 같은 바닐라 악기의 가치를 평가하는 것은 주로 교정에 유용합니다. 이 모델의 실제 용도는 Brigo와 Mercurio(2001)에서 설명한 바와 같이 격자 위의 버뮤단 스왑과 같은 다소 이국적인 파생상품 또는 Quanto Constant Matiform Swap과 같은 다중 통화 맥락에서 다른 파생상품의 가치를 평가하는 것입니다. 선체의 효율적이고 정확한 몬테카를로 시뮬레이션-Ostrovski(2013) 및 (2016)을 참조하면, 시간 종속 파라미터를 갖는 백색 모델을 쉽게 수행할 수 있습니다. Fries(2016)^[1]에 이어 정확한 몬테카를로 시뮬레이션의 오픈 소스 구현은 finmathlib에서 찾을 수 있습니다.^[2]

예보

Vasicek, CIR 및 Hull과 같은 단일 인자 모델이 있더라도-화이트 모델은 가격 책정을 위해 고안되었으며 최근 연구에 따르면 예측과 관련된 잠재력이 있습니다. Orlando et al. (2018,^[3] 2019)^[4]^[5]에서는 CIR#이라는 미래 이자율을 예측하는 새로운 방법론을 제공했습니다. 가격결정에 사용되는 단률 모델을 예측 도구로 전환하는 것 외에도 데이터셋을 주어진 분포에 따라 하위 그룹으로 적절히 분할하는 것이 아이디어입니다. 거기에서는 이러한 분할이 어떻게 금리의 변동성에서 통계적으로 유의미한 시간 변화를 포착할 수 있는지 보여주었습니다. 위와 같은 접근 방식에 따라, Orlando et al. (2021)은 선체를 비교합니다.금리 방향성 예측 및 예측 측면에서 CIR 모델을 적용한 화이트 모델.

참고 항목

참고문헌

^ Fries, Christian (2016). "A Short Note on the Exact Stochastic Simulation Scheme of the Hull-White Model and Its Implementation". SSRN. doi:10.2139/ssrn.2737091. Retrieved October 15, 2023.
^ "HullWhiteModel.java". finmath lib. finmath.net. Retrieved October 15, 2023.
^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2018). "A New Approach to CIR Short-Term Rates Modelling". New Methods in Fixed Income Modeling. Contributions to Management Science. Springer International Publishing: 35–43. doi:10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.
^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (1 January 2019). "A new approach to forecast market interest rates through the CIR model". Studies in Economics and Finance. 37 (2): 267–292. doi:10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN 1086-7376. S2CID 204424299.
^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (19 August 2019). "Interest rates calibration with a CIR model". The Journal of Risk Finance. 20 (4): 370–387. doi:10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN 1526-5943. S2CID 204435499.
^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (July 2020). "Forecasting interest rates through Vasicek and CIR models: A partitioning approach". Journal of Forecasting. 39 (4): 569–579. arXiv:1901.02246. doi:10.1002/for.2642. ISSN 0277-6693. S2CID 126507446.
^ Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (2021-05-26). "Interest rates forecasting: Between Hull and White and the CIR#—How to make a single‐factor model work". Journal of Forecasting. 40 (8): 1566–1580. doi:10.1002/for.2783. ISSN 0277-6693.

주참조사항

존 헐과 앨런 화이트, "헐을 사용해서-"백색금리나무", 파생상품저널, 제3권, 제3호(1996년 봄), 26-36쪽
John Hull and Alan White, "기간 구조 모델 I을 구현하기 위한 수치적 절차", 파생상품 저널, 1994년 가을, 7-16쪽.
John Hull and Alan White, "기간 구조 모델 II를 구현하기 위한 수치적 절차", 파생상품 저널, Winter 1994, pp. 37–48.
John Hull and Alan White, "Hull을 이용한 이자율 상한 및 바닥의 옵션 가격 결정-"화이트 모델"은 금융 리스크 관리의 고급 전략, 4장 59-67쪽.
John Hull and Alan White, "하나의 요소 이자율 모델과 이자율 파생증권의 평가", 재무 및 정량 분석 저널, 제28권, 제2호, (1993년 6월) 235-254쪽.
John Hull and Alan White, "금리 파생증권의 가격결정", The Review of Financial Studies, 3권, No. 4 (1990) pp. 573–592

기타참고문헌

Hull, John C. (2006). "Interest Rate Derivatives: Models of the Short Rate". Options, Futures, and Other Derivatives (6th ed.). Upper Saddle River, N.J: Prentice Hall. pp. 657–658. ISBN 0-13-149908-4. LCCN 2005047692. OCLC 60321487.
Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Interest Rate Models — Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2nd ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
Henrard, Marc (2003). "Heath–Jarrow–Morton One Factor Model의 명시적 채권 옵션 및 스왑션 공식", 국제 이론 및 응용 금융 저널, 6(1), 57–72. SSRN을 미리 인쇄합니다.
Henrard, Marc (2009). 헐의 효율적인 스왑 가격 –화이트 원 팩터 모델, arXiv, 0901.1776v1. 사전 인쇄 arXiv.
Ostrovski, Vladimir (2013). 효율적이고 정확한 선체 시뮬레이션 –흰색 모델, 사전 인쇄 SSRN.
Ostrovski, Vladimir (2016). 가우시안 어파인 이자율 모델의 효율적이고 정확한 시뮬레이션. 국제 금융 공학 저널, Vol. 3, No. 02, Preprint SSRN.
Puschkarski, Eugen. 선체의 구현–화이트의 무차익 거래 기간 구조 모델, 디플로마 논문, 중앙 유럽 금융 시장 센터
터퍼스, 콜린 (2020). 역방향 요금을 통한 캐플릿 가격 책정, 사전 인쇄 SSRN.
레티안 왕, 헐-화이트 모델, 고정 수입 퀀트 그룹, DTCC(자세한 숫자 예제 및 파생)

[1] Fries, Christian (2016). "A Short Note on the Exact Stochastic Simulation Scheme of the Hull-White Model and Its Implementation". SSRN. doi:10.2139/ssrn.2737091. Retrieved October 15, 2023.

[2] "HullWhiteModel.java". finmath lib. finmath.net. Retrieved October 15, 2023.

[3] Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2018). "A New Approach to CIR Short-Term Rates Modelling". New Methods in Fixed Income Modeling. Contributions to Management Science. Springer International Publishing: 35–43. doi:10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.

[4] Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (1 January 2019). "A new approach to forecast market interest rates through the CIR model". Studies in Economics and Finance. 37 (2): 267–292. doi:10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN 1086-7376. S2CID 204424299.

[5] Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (19 August 2019). "Interest rates calibration with a CIR model". The Journal of Risk Finance. 20 (4): 370–387. doi:10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN 1526-5943. S2CID 204435499.

[6] Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (July 2020). "Forecasting interest rates through Vasicek and CIR models: A partitioning approach". Journal of Forecasting. 39 (4): 569–579. arXiv:1901.02246. doi:10.1002/for.2642. ISSN 0277-6693. S2CID 126507446.

[7] Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (2021-05-26). "Interest rates forecasting: Between Hull and White and the CIR#—How to make a single‐factor model work". Journal of Forecasting. 40 (8): 1566–1580. doi:10.1002/for.2783. ISSN 0277-6693.

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[5]

v t 채권시장
유대 사채 고정수입
발행자별채권종류	대리채권 회사채 선순위채무 후순위채무 부실채권 국채 인프라채권 지방채 글로벌본드
지급채권의 종류	발생채권 경매요율담보 콜가능채권 상업용지 콘솔 조건부전환사채 전환사채 교환사채 신축채권 고정금리채권 변동금리어음 고수익채무 인플레이션지수채권 역변동금리주 복권채권 영구채 풋가능채권 역전환증권 제로쿠폰본드
채권평가	청정가격 볼록성 쿠폰 신용 스프레드 현재수익률 더티프라이스 지속 아이 스프레드 주택담보대출수익률 명목수익률 옵션조정스프레드 무위험채권 가중평균수명 수익률곡선 수익률스프레드 만기수익률 Z스프레드
증권화상품	자산담보부증권 담보부채무 담보부저당채무 상업용 근저당증권 저당담보부증권
채권옵션	콜가능채권 전환사채 내장옵션 교환사채 신축채권 풋가능채권
기관	상업용 모기지 증권 협회 국제자본시장협회 증권산업금융시장협회

v t 확률적 과정
이산시간	베르누이 과정 분기공정 중식당과정 갈턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분산 랜덤 변수 마르코프 체인 모란과정 임의 보행 루프가 지워진 자기기피 편향된 최대 엔트로피
연속시간	덧셈공정 베셀과정 출생-사망과정 순산 브라운 운동 다리 익스포크 분수 기하학적 미앤더 코시공정 연락과정 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산과정 다이슨 브라운 운동 경험적 과정 펠러공정 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크 공정 헌트과정 상호작용하는 입자계 Itô 확산 Itô process 점프 확산 점프 과정 레비 과정 현지시간 마르코프 덧셈 과정 맥킨-블라소프 과정 오른슈타인-울렌벡 과정 포아송 과정 컴파운드 비균질적 슈람-로너 진화 세미마팅게일 시그마마팅게일 안정공정 수퍼프로세스 전신과정 분산 감마 과정 위너공정 위너 소시지
둘다요.	분기공정 갤브스–뢰처바흐 모형 가우스 과정 은닉 마르코프 모형(HMM) 마르코프 과정 마르팅게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 임의동역학계 재생과정 갱신과정 가변 길이의 메모리를 갖는 확률적 사슬 백색소음
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모형 아이싱모델 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트먼-요르프로세스 점공정 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤그래프
시계열 모형	자기회귀 조건부 이분산성(ARCH) 모형 자기회귀식 통합이동평균(ARIMA) 모형 자기회귀모형 자기회귀-이동평균(ARMA) 모형 일반화 자기회귀 조건부 이분산성(GARCH) 모형 이동평균(MA)모델
재무모형	이항옵션가격결정모형 블랙-더만–토이 블랙-카라신스키 블랙-스쿨즈 찬-카롤리-롱스태프-샌더스(CKLS) 첸 등분산탄력성(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) Garman–Kohlhagen 히스-재로우-모턴(HJM) 헤스턴 호이-리 헐-화이트 리보 시장 렌들맨 – 바터 SABR 변동성 바시체크 윌키
보험수리모형	ü만 크라머-룬드베르크 리스크프로세스 스페어-앤더슨
대기열 모델	벌크 유동적 일반화 대기열망 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	까들랑길 계속되는 연속경로 에르고딕 교환가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 조각적 결정론적 예측가능 점진적으로 측정 가능 셀프시밀러 정지된 시간 가역
리미트 정리	중심 극한 정리 돈스커 정리 두브의 마팅게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-그네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프 정리 0-1 법칙 (블루멘탈 , 보렐-칸텔리, 엥겔베르트-슈미트, 휴이트-새비지, 콜모고로프, 레비)
부등식	부르크홀더-다비스-건디 두브마팅게일 두브 업크로스 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	캐머런-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌레앙-데이드 지수 두브분해정리 두브마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 딘킨 공식 파인만-카크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 Itô 적분 Itmma's 보조개 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로코로프 계량 맬리아빈 미적분학 마르팅게일 표현정리 선택적 정지 정리 프로호로프 정리 이차 변동 반사원리 스코로호드 적분 스코로호드의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률미분방정식 다나카 정지시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 일반적인 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
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