재생공정

적용 확률에서 재생 프로세스는 공정의 특정 부분이 통계적으로 서로 독립된 것으로 취급될 수 있는 특성을 가진 확률적 공정의 한 종류다.^[2] 이 속성은 그러한 과정의 이론적 속성의 도출에 사용될 수 있다.

역사

재생 과정은 1955년 왕립학회 A의 진행에서 Walter L. Smith에 의해 처음 정의되었다.^[3][4]

정의

재생 프로세스는 확률론적 관점에서 프로세스가 스스로 재시작되는 시점을 갖는 확률적 프로세스다.^[5] 이러한 시점 자체가 프로세스의 진화에 의해 결정될 수도 있다. 즉, 공정 {X(t), t ≥ 0}이₀(가) 0 ≤ T < T₁ > ...의_k 시점이 존재하여 사후 T 공정₂ {X(T_k + t) : t ≥ 0}이(가) 있다면 재생 공정이다.

• 사후₀ T 프로세스 {X(T₀ + t)와 동일한 분포: t ≥ 0}
• 사전_k T 프로세스 {X(t)와 독립적임: 0 ≤ t < T_k}

k ≥ 1. 직관적으로 이것은 재생 프로세스가 i.i.d 사이클로 분할될 수 있다는 것을 의미한다.^[6][7]

T₀ = 0일 때 X(t)는 비노출 재생 과정이라고 한다. 그렇지 않으면 그 과정을 지연 재생 과정이라고 한다.^[6]

예

• 리뉴얼 프로세스는 재생 프로세스로서 T가₁ 첫 번째 리뉴얼이 된다.^[5]
• 시스템이 'ON' 상태와 'OFF' 상태 사이에서 교대로 작동하는 교체 프로세스.^[5]
• 재발 마르코프 체인은 재생 과정으로, T는₁ 첫 번째 재발의 시기다.^[5] 여기에는 해리스 체인점도 포함된다.
• 반사된 브라운 운동은 재생 과정이다(입자가 나갔다가 돌아오는 시간을 측정한다).^[7]

특성.

• 갱신 보상 정리에 의해 확률 1과 함께,^[8]

${\displaystyle \lim _{t\to \flac {1}{t}\int_{0}^{0}Xds={\frac {\mathb {E}{R]}{\mathb {E}{\mathb {E}[\tau ]}}}.}$

여기서 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$은(는) 첫 번째 사이클의 길이이고, R${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}^{}}$∫ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ X (${\displaystyle s)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R=\int _{0}^{\tau }Xds}$은(는$)$ 첫 번째 사이클의 값이다$$.

• 재생 프로세스의 측정 가능한 기능은 재생 시간이^[8] 동일한 재생 프로세스다.

참조