포아송 점 과정

확률, 통계 및 관련 필드에서 포아송 점 프로세스는 수학적 ^[1]공간에 랜덤하게 위치한 점으로 구성된 랜덤 수학적 개체의 한 유형입니다.포아송 점 공정은 종종 단순히 포아송 공정이라고 하지만 포아송 랜덤 측도, 포아송 랜덤 점 필드 또는 포아송 점 필드라고도 합니다.이런 점을 과정은 자주 유클리드 공간에서 수학적 모델로 astronomy,[3]biology,[4]ecology,[5]geology,[6]seismology,[7]physics,[8]economics,[9]이미지 processing,[10][11]과 SK텔레콤 같은 수많은 분야에서 무작위로 보이는 과정에 사용되는 정의되고 있편리한 수학적 properties,[2]다.mmunications.[12][13]

이 과정은 푸아송이 이 과정을 연구한 적이 없음에도 불구하고 프랑스 수학자 시메옹 드니 푸아송의 이름을 따서 명명되었다.이 이름은 공간의 랜덤 점 집합이 포아송 공정을 형성하는 경우 크기가 유한한 영역의 점 수는 포아송 분포를 갖는 랜덤 변수라는 사실에서 유래했습니다.이 과정은 방사성 붕괴 실험, 전화 착신 및 보험 ^[14][15]수학 등 여러 환경에서 독립적으로 반복적으로 발견되었다.

포아송 점 공정은 종종 실제 선에 정의되며 확률적 공정으로 간주될 수 있습니다.이 설정에서는, 예를 들면, 큐잉^[16] 이론에서는, 고객이 점포에 도착하거나 교환시에 전화를 하거나 지진이 일어나거나 하는 랜덤한 이벤트를 시간내에 분산시키기 위해서 사용됩니다.평면에서는 공간 포아송 ^[17]프로세스라고도 하는 점 프로세스는 무선 네트워크의 ^{[12][18][19][20]}송신기, 검출기에 충돌하는 입자, ^[21]포레스트의 나무와 같은 산란 물체의 위치를 나타낼 수 있습니다.이 설정에서 프로세스는 종종 수학적 모델과 공간 점 과정,^[22] 확률 기하학,^[1] 공간 통계학^[22][23] 및 연속체 침투 ^[24]이론의 관련 분야에서 사용됩니다.포아송 점 프로세스는 더 추상적인 공간에서 정의할 수 있습니다.응용 프로그램 외에도 포아송 점 프로세스는 그 ^[2]자체로 수학적 연구의 대상입니다.모든 설정에서 포아송 점 공정은 각 점이 공정의 다른 모든 점들과 확률적으로 독립적이라는 특성을 가지므로 순수 또는 완전히 랜덤 ^[25]공정이라고 부르기도 합니다.점으로 표현될 수 있는 현상의 확률적 모델로서 널리 사용됨에도 불구하고, 프로세스의 본질은 점들 사이에 충분히 강한 상호작용이 있는 현상을 적절하게 기술하지 못한다는 것을 암시한다.이는 이러한 ^[26]교호작용을 포착하려는 포아송 점 공정으로 구성된 다른 점 공정의 제안에 영감을 주었습니다.

점 프로세스는 단일 수학적 객체에 의존하며, 맥락에 따라 상수, 국소 적분 가능 함수 또는 보다 일반적인 설정에서는 라돈 ^[27]측정이 될 수 있다.첫 번째 경우 속도 또는 강도라고 하는 상수는 공간의 일부 영역에 위치한 포아송 공정에서 점의 평균 밀도입니다.결과 점 공정을 동종 또는 고정 포아송 점 ^[28]공정이라고 합니다.두 번째 경우 점 공정을 비균질 또는 비균질 포아송 점 공정이라고 하며 점의 평균 밀도는 포아송 점 공정의 ^[29]기본 공간의 위치에 따라 달라집니다.단어점은 종종 ^[2]생략되지만, 점 대신 선이나 다각형과 같은 더 복잡한 수학적 개체로 구성된 객체의 포아송 프로세스는 포아송 포인트 ^[30]프로세스에 기반할 수 있습니다.동종 및 비동종 포아송 점 공정은 모두 일반화 갱신 공정의 특별한 경우입니다.

정의의 개요

설정에 따라 프로세스에는 다양한 응용 프로그램 및 특성화로 ^[32]인해 다양한 일반성의 정의뿐만 아니라 여러 동등한^[31] 정의가 있습니다.그 푸아송 포인트 과정이고, 사용되는 일차원이 연구되고, 예를 들어, 그것은 계산 프로세스, 또는 queueing 모델의 일환으로 해석될 수 있는 실수 직선, 정의될 수 있[33][34]이 확률 geometry[1]과 공간 통계학에서 역할을 하는 비행기;[35]나 더 많은 일반 수학적 공간 마련에처럼 높은 차원에서.[36]결과적으로, 포아송 포인트 프로세스와 포인트 프로세스를 정의 및 연구하는 데 사용되는 수학적 엄격성의 표기법, 용어 및 수준은 일반적으로 상황에 ^[37]따라 달라집니다.

그럼에도 불구하고 포아송 점 공정에는 포아송 점 공정이 ^[27][38]사용되는 모든 설정에서 중요한 역할을 하는 포아송 속성과 독립성이라는 두 가지 핵심 속성이 있습니다.두 속성은 논리적으로 독립적이지 않습니다. 독립성은 포인트 카운트의 포아송 분포를 의미하지만 ^[a]그 반대는 아닙니다.

포인트 카운트의 포아송 분포

포아송 점 공정은 포아송 분포를 통해 특성화됩니다.포아송 분포는 랜덤 $변수{\displaystyle }$ N$($포아송 랜덤 변수라고 함)의 확률 분포로$,$ N(\$displaystyle \textstyle$ N$)$이 n$(\$ N$)$과 $같을{\displaystyle }$ 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbb {P} \{N=n\}=\frac {Lambda ^{n}}{n!}e^{-\Lambda}}$

$여기$서 n$!$ {\$displaystyle \textstyle$ n$!}$은$n개$의 \displaystyle \$textstyle$ n$!$을 $나타내고{\displaystyle }$ 파라미터 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \textstyle \Lambda }$은 분포의 모양을 결정합니다$$.($실제로{\displaystyle \mathrm{}}$ $)$ { $display style$\$textstyle$ \ Lambda $}$는 N$${ $displaystyle$\$textstyle$ N$}$의 기대치와 동일합니다).$$

정의상 포아송 점 공정은 공정의 기본 공간의 경계 영역에 있는 점의 수가 포아송 분포 랜덤 ^[38]변수라는 특성을 가집니다.

완전한 독립성

기본 공간의 분리 및 경계 하위 영역의 집합을 고려합니다.정의에 따라 각 경계 부분 영역에서 포아송 점 공정의 점 수는 다른 모든 점과는 완전히 독립적입니다.

이 속성은 완전 랜덤성, 완전 ^[39]독립성 또는 독립 산란과^[40][41] 같은 여러 이름으로 알려져 있으며 모든 포아송 점 공정에 공통적입니다.즉, 서로 다른 영역과 ^[42]점 사이의 교호작용이 부족하여 포아송 공정을 순수하게 또는 완전히 랜덤 ^[39]공정이라고 부르기도 합니다.

균질 포아송 점 공정

포아송 포인트프로세스의 파라미터가 $=$ \$Lambda$ =\$nu \nu$ \lambda$\})$인 경우, $여기$서 ${\(\$}은$$$$ 르베그 측정값(즉, 세트에 길이, 면적 또는 볼륨을 할당함)이며$,$ \$displaystyle \textstyle$ \textstyle \textstyle \$da$는 상수 프로세스입니다$.$균질하거나 고정된 포아송 점 공정입니다.속도 또는 강도라고 하는 매개변수는 일부 경계 ^[43][44]영역에 존재하는 포아송 점의 예상(또는 평균) 수와 관련이 있습니다. 여기서 속도는 일반적으로 기본 공간에 ^[43]1차원이 있을 때 사용됩니다.$파라미터{\displaystyle }$ ${\(\$는 기초 수학공간에 따라 길이, 면적, 볼륨, 시간 등의 익스텐트 단위당 평균 포인트 수로 해석할 수 있으며 평균 밀도 또는 평균 ^[45]속도라고도 합니다. 용어집을 참조하십시오.

계수 프로세스로 해석됩니다.

는 긍정적인 half-line에서 고려된 균질 푸아송 지점 과정,{N(t), 터 ≥ 0}{\displaystyle\textstyle\와 같이{N(t),t\geq 0\}로}표시될 수 있는 계산 과정, 확률 과정의 같은 일종 .[31일][34] 계산 과정을 겪었던 사건들, 사건들의 총 수를 나타내는 정의될 수 있다.,$time{\displaystyle }$ t$\$$textstyle$t를 포함합니다.계수 프로세스는 다음 3가지 ^[31][34]속성이 있는 경우 가 $0인$ 균일한 포아송 카운트 프로세스입니다$.$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• 독립된 증분을 가진다.
• 임의의 $길이$의 간격$$t {$textstyle$ t$}$의 이벤트 수(또는 포인트)는 매개변수(또는 평균) $t$t {$textstyle \lambda$ t$\}$인 포아송 랜덤 변수입니다.

마지막 속성은 다음을 의미합니다.

$\displaystyle \mathbb {E} [N(t)]=\lambda t}$

즉, 랜덤 $변수$ N$($ $)$ {$textstyle$ N$(t)}$이 n$${$textstyle$ n$}$과 같을 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(t)=n\}=flac {(\displayda t)^{n}}{n!}}e^{-\nothda t}.}$

포아송 계수 프로세스는 계수 프로세스의 이벤트 간 시간 차이가 $평균{\displaystyle \mathrm{}}$1/ ${\$ { $displaystyle \textstyle$ 1$/\lambda$^[46]인 지수 변수임을 명시함으로써 정의할 수도 있습니다. 이벤트 또는 도착 간의 시간 차이는 도착 간 또는 발생 ^[46]간 시간으로 알려져 있습니다.

실선상의 포인트 프로세스로 해석됩니다.

점 과정으로 Interpreted, 푸아송 포인트 과정은 실수 직선에서 그 과정의 간격(a, b]{\displaystyle \textstyle(의]}에 수를 고려하여 정의할 수 있는 매개 변수 λ 을의 진짜 라인 0{\displaystyle\textstyle \lambda>0}, pr에 균질 푸아송 점 절차를 위해.obabil여기에 N${\displaystyle (a}$, $]$ \$displaystyle$ \$textstyle N(a$, b$)$로 표기된 이 랜덤 포인트 수는 카운트 $번호{\displaystyle }$ n$\$ \$textstyle$ n$}$과 같다.^[48]

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(a,b]=n\}=frac {[\displayda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\capda(b-a)},$

일부 양의 $정수{\displaystyle }$k(\$displaystyle\textstyle$ k$)$의 경우, 동종 포아송 점 프로세스는 다음과 ^[48]같이 주어진 유한 차원 분포를 가집니다.

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(a_{i},b_{i})=n_{i},i=1,\dots,k\}=\display_{i}{\frac {[\frac (b_{i}-a_{i}}}}}}^{n_{i}!}}e^{-\sqda(b_{i}-a_{i})},$

여기서 실수 < i + < $displaystyle$\ $textstyle$ a _ { $i$} < $b$_ { i} \ $leq a$ _ { i +$1$} 。

즉, $)\$ N$(a, b)\$displaystyle$\lambda(b-a$은 $평균$이 b$($ -$)\$displaystyle \$textstyle a\leq$ b$)$인 포아송 랜덤 변수입니다.$또한{\displaystyle }$ 2개의 분리된 간격에 있는 점의 수는${\displaystyle {}_{}}$이라고 ${\displaystyle {합니다\mathrm{}}_{}}.{\displaystyle }$$extstyle(a_{1$}, $b_{1}})$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$2$)\$은 서로 독립적이며, 이는 한정된 수의 분리된 ^[48]간격까지 확장됩니다.큐잉 이론의 맥락에서, 사람들은 (간격에) 존재하는 점을 하나의 사건으로 간주할 수 있지만, 이것은 확률 이론의 ^[b]의미에서 사건이라는 단어와는 다르다.$따라서{\displaystyle }$ $§(\$는 시간 ^[34]단위당 예상되는 도착 횟수입니다.

주요 속성

이전 정의에는 일반적으로 ^[48][27]포아송 점 공정이 공유하는 두 가지 중요한 특징이 있습니다.

• 각 유한 구간에서의 도착 횟수는 포아송 분포를 가진다.
• 불연속 구간에서의 도착 횟수는 독립적인 랜덤 변수입니다.

또한 동종 포아송 점 ^[49]공정과 관련된 세 번째 특징이 있습니다.

• 각 구간$({\displaystyle a}$ ${\displaystyle +t}$ ,${\displaystyle b}$ +${\displaystyle t}$)의 도착 횟수에 $대한$포아송 $분포$({displaystyle \textstyle $(a+t, b+t])$는 구간 $길이{\displaystyle }$b - ${\displaystyle a}$\$displaystyle \textstyle b-a$에만 의존합니다.

즉, 유한 > {\$displaystyle \textstyle$ t > $0$의 경우 랜덤 $변수{\displaystyle }$ N${\displaystyle (a}$+${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle b}$ + $]$ {$displaystyle$\$textstyle$ N$(a$+ $t, b$ + $t)}$은 t$${\$displaystyle$t$\}$와 독립적이므로 고정 포아송 ^[48]프로세스라고도 합니다.

대수의 법칙

$수량{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- ${\displaystyle a_{}}$) { $displaystyle$\ $textstyle \ lambda$ ($b$_ { i } - $a$_ {$i$ $}$ }${\displaystyle }$can$$ 、${\displaystyle {}_{}}$\ $displaystyle$\ $textstyle$( a$_$ {$i$ , $_$ { $i$ $\}$ )는 다음과 같이 해석할 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbb {E} [N(a_{i},b_{i})]=\lambda(b_{i}-a_{i}),}$

$여기$서 E$(\$는 기대 연산자를 나타냅니다.즉, Poisson 공정의 파라미터$\delta {\displaystyle }$(\$style\textstyle\lambda)$는 점의 밀도와 일치합니다.또한 동종 포아송 점 공정은 고유 형태의 (강력한)^[50] 대수의 법칙을 고수합니다.구체적으로는 확률 1의 경우:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty}{\frac {N(t)}{t}}=\lambda,}$

${\displaystyle 여기}$서 lim$$\$displaystyle \textstyle \lim$$}$은 함수의 한계를 나타내고 ${\$ \$displaystyle \displayda$는 시간 단위당 발생한 예상 도착 수입니다.

메모리리스 속성

실제 라인상의 포인트프로세스의 연속된2개의 포인트 사이의 거리는 $파라미터$가${\displaystyle\lambda}($또는 ${\displaystyle 이}$에 상당하는 $평균1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle /}$ ${\$ { $displaystyle \textstyle$ 1$/\lambda})$인 지수 랜덤 변수가 됩니다.이는 점들이 메모리리스 속성을 가지고 있음을 의미합니다. 유한 구간 내에 존재하는 ^[51][52]한 점의 존재는 존재하는 다른 점의 확률(분포)에 영향을 주지 않지만, 포아송 프로세스가 더 높은 ^[53]치수의 공간에 정의되어 있는 경우 이 속성은 자연적 동등성을 가지지 않습니다.

질서정연하고 심플함

다음과 같은 ^[55]경우 정상 증분을 갖는 점 프로세스를 순서^[54] 또는 규칙이라고 할 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbb {P} \{N(t,t+\delta ]> 1\}=o(\displaystyle)}$

여기서 little-o 표기가 사용됩니다.점 프로세스는 기본 공간에서 동일한 위치에서 두 점 중 하나가 일치할 확률이 0일 때 단순 점 공정이라고 합니다.일반적으로 실선상의 점 공정의 경우 순서성 속성은 공정이 ^[56]단순하다는 것을 의미하며, 이는 동종 포아송 점 ^[57]공정의 경우입니다.

마티게일 특성화

실제 선에서, 동종 포아송 점 프로세스는 다음과 같은 특성화를 통해 마르팅갈레스 이론과 관련이 있다: 점 프로세스는 동종 포아송 점 과정이다.

$\displaystyle N(-\infty,t)-t,}$

마티게일입니다.^[58][59]

다른 프로세스와의 관계

실제로, 포아송 과정은 출생 과정으로 알려진 연속 시간 마르코프 과정의 한 종류이며,^[60][61] 출생-사망 과정의 특별한 경우이다.마르코프 도착 과정과 같은 마르코프 성질을 가진 더 복잡한 과정들이 포아송 과정이 특별한 ^[46]경우로 정의되었다.

하프라인으로 제한됨

동종 Poisson 프로세스를${\displaystyle }$반행${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle )}$ $]($displaystyle \$textstyle [0$ , \$infty$만으로 간주하는 경우(t$\$$$t$}$가 시간을 나타내는^[31] $경우{\displaystyle }$) 결과 프로세스는 변환 ^[53]시 실제로 불변하지 않습니다.이 경우 포아송 공정이 ^[28]더 이상 정지 상태가 아닙니다.

적용들

발생하는 것처럼 보이는 랜덤하고 독립적인 사건을 모형화하기 위해 실제 라인에 동종 포아송 프로세스를 많이 적용했습니다.이것은 큐잉 이론에서 기본적인 역할을 하는데, 큐잉 이론은 특정 ^[16][46]현상의 무작위 도착과 출발을 나타내는 적절한 확률 모델을 개발하는 확률 필드입니다.예를 들어, 고객의 착신 및 서비스 제공이나 전화 교환기의 착신 콜은 모두 큐잉 이론의 기법을 사용하여 학습할 수 있습니다.

일반화

실선상의 균질 포아송 공정은 ^[62][63]점의 난수를 세는 가장 단순한 확률적 공정 중 하나로 간주됩니다.이 프로세스는 여러 가지 방법으로 일반화할 수 있습니다.하나의 가능한 일반화는 도착간 시간의 분포를 지수 분포에서 다른 분포로 확장하는 것이며, 이는 갱신 과정으로 알려진 확률적 과정을 도입한다.또 다른 일반화는 ^[64]평면과 같은 고차원 공간에서 포아송 점 프로세스를 정의하는 것입니다.

공간 포아송 점 공정

공간 포아송 프로세스는 $평면{\displaystyle {}^{}}$ R $(\$^[58][65]textbf {R}^2})에 정의된 포아송 포인트 프로세스입니다. 수학적 정의에서는 먼저 평면의 경계 $영역{\displaystyle }$ B$($또는 보다 정확하게는 보렐 측정 가능 영역 B(\$displaystyle\textstyle$ B$)$를 고려합니다.점 과정의 지점에 대한 번호 N{\textstyle N\displaystyle}기존에 이 지역 B⊂ R2{\displaystyle\textstyle B\subset{\textbf{R}}^{2}}은 확률 변수, 이 가리키N(B){\textstyle N(B)\displaystyle}. 만약 이 지점들의 자리로 단일 민족 포아송 과정과 매개 변수 λ. 0 $\displaystyle \lambda >0$ B에$n개$의$$\$displaystyle$$\$$textstyle$n개의 포인트가$$ 존재할 $확률$은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(B)=n\}=flac {(\displayda B)^{n}}{n!}}e^{-\lambda B }}$

${\displaystyle 여기}$서 B$displaystyle \textstyle$ B$)$는 B$(\$ B$)$의 $영역$을 나타냅니다.

일부 유한 $정수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}(\backslash$$displaystyle$ \$textstyle$ k$\geq$1)의 경우 먼저 ${\displaystyle {}_{}}$된 경계 보렐(측정 가능) $집합{\displaystyle {}_{}}$ B${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ B$$ \$displaystyle B_{1}, B_{k$의 컬렉션을 고려함으로써 동종 포아송 포인트 프로세스의 유한 차원 분포를 제공할 수 있습니다.$(\$i$$})에 존재하는 포인트 프로세스${\displaystyle }$N(\$displaystyle$$\textstyle$ N$)$의 포인트 수는 N$)\$ N$(B_{i$으로 쓸 수 있습니다.그런 다음 가 $0인$ 균질 포아송 점 프로세스는 유한 차원 ^[66]$분포$를 갖습니다$.$

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(B_{i})=n_{i} =\display_{i}(\frac {frac B_{i}) {n_{i}!}}e^{-\lambda B_{i}}}}.$

프로그램

공간 포아송 점 프로세스는 공간 통계학,^[22][23] 확률 기하학 및 연속체 침투 ^[24]이론에서 두드러지게 특징지어집니다.검출되는 알파 입자를 위해 개발된 모델 등 다양한 물리과학 분야에 적용되고 있다.최근에는 특정 무선 통신 네트워크의 ^[18][19][20]무질서한 공간 구성을 모델링하기 위해 자주 사용되고 있습니다.예를 들어, 휴대 전화 또는 휴대 전화 네트워크의 모델은, 기지국으로 알려진 전화 네트워크 송신기가, 동종의 포아송 포인트 프로세스에 따라서 배치된다고 가정하는 경우에 개발되고 있습니다.

고차원으로 정의

이전의 동종 포아송 점 프로세스는 면적 개념을 (고차원) 부피로 대체하여 즉시 고차원으로 확장됩니다.유클리드 공간 Rd{\displaystyle \textstyle{\textbf{R}}^{d}의 한정적 B지역{\textstyle B\displaystyle} 들어},, 매개 변수 λ 을과 단일 민족 포아송 과정을 형성하는 0{\displaystyle\textstyle \lambda>0}, n{\textstyle n\displaystyle}지점의 확률 e.xisti$B{\displaystyle {}^{}}$ R ${\displaystyle d^{}}$\$display$ \ $textstyle$B \ $subset$\ $textbf {R}$ ^{$d}$의 ng는 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(B)=n\}=flac {(\displayda B)^{n}}{n!}}e^{-\lambda B }}$

${\displaystyle 여기}$서 B$displaystyle \textstyle$ B$)$는$$B$(\$ d$)$의 치수 볼륨을 나타냅니다.${\displaystyle {또한}_{}}$ B(\$displaystyle$\$textstyle$ $B_1}\$의 분리 $집합에서는 B(\$displaystyle \$textstyle$ \$textstyle$ B_set)의 경계에 대해 B$deset)$를 지정합니다.{$d$ $N{\displaystyle }$( ${\displaystyle B_{}}$ )$$( \ $displaystyle$\$textstyle$N ( $B$_ { $i$} )은$,$ ${\displaystyle {Bi}_{}}$ $($ \ $displaystyle$ \ $textstyle$ B _ {$i$} )에 존재하는$$N ( \ $displaystyle \$ $textstyle$N )의 포인트 수를 나타냅니다.그런 다음 가 $0인$ 대응하는 균질 포아송 포인트프로세스의 유한 차원 ^[68]분포는 다음과 같습니다$.$

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(B_{i})=n_{i} =\display_{i}(\frac {frac B_{i}) {n_{i}!}}e^{-\lambda B_{i}}}}.$

균질 포아송 포인트 프로세스는 파라미터$$δ(\$displaystyle \textstyle \lambda$})를 통해 기본 공간의 위치에 의존하지 않으며, 이는 정지 프로세스(변환과 무관)와 등방성(^[28]회전과 무관) 확률 프로세스임을 의미합니다.1차원의 경우와 마찬가지로 균질점 프로세스는 R $\$의 경계 서브셋으로 제한되며, 정지성의 정의에 따라 프로세스는 더 이상 ^[28][53]정지하지 않습니다.

가 하게 분포되어

균질한 점 프로세스가 실제 선상에 일부 현상의 발생에 대한 수학적 모델로 정의되면, 실제 선상(종종 시간으로 해석됨)에서 이러한 발생 또는 사건의 위치가 균일하게 분포되는 특성이 있습니다.구체적으로는 이벤트가${\displaystyle }$(a , b$$)${\displaystyle }$\ $displaystyle$ \$textstyle$($a$ , $b$) interval ( a , b ) (${\displaystyle a}$ , b$$)에서 발생하는 경우, 그 위치는 그 ^[66]인터벌에 정의되어 있는 균일한 랜덤 변수가 됩니다.또한 균일한 점 공정을 균일한 포아송 점 공정이라고 부르기도 합니다(용어 참조).이 균일성 특성은 데카르트 좌표에서 더 높은 차원으로 확장되지만 ^[69][70]극좌표에서는 확장되지 않습니다.

한 포인트

비균질 또는 비균질 포아송 점 공정(용어 참조)은 포아송 모수가 포아송 공정이 정의되는 기본 공간에서 위치 종속 함수로 설정된 포아송 점 공정입니다.유클리드 $공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$d \$displaystyle$ $\textbf {R}^{$$d$$\}\}$의 경우, 이는 로컬 적분 가능한 양의 $함수{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}{}^{}}$[ 0 ,${\displaystyle }$display$$](\$displaystyle$$\da \textb$ {$R} ^{d}$~ [$0$ , \$infty$$$])를 도입함으로써 $실현됩니다.$$isplaystyle \textstyle$ d$}$ -dimensional$$$$) 영역 $B$의$$${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$\ $textstyle$\ $lambda ($x )볼륨$$ 적분은 유한합니다.즉, 이 적분이${\displaystyle b}$ (${\displaystyle }$B$$) \ $displaystyle$\ $textstyle$\$Lambda$ B$)$로 표시되는 경우:^[44]

$\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x),\mathrm {d}x <\infty ,}$

지리멸렬하게 하다 이 평면은 어디서 xd){\displaystyle \textstyle{\mathrm{d}}}은(d{\displaystyle \textstyle d}-dimensional)볼륨 element,[c] 다음 보렐 측정 가능한 세트 B1,…, Bk{\displaystyle\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}, 불균일 포아송 과정과(강도)기능이다. ${\displaystyle (}$ ($x$ ) {$displaystyle$ \$textstyle$ \$textda$ ($$x$$ ) } 에는 다음과 같은 ^[68]유한 차원 분포가 있습니다.

$\displaystyle \mathbb {P} \{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots,k\}=\display_{i=1}^{k}{\frac {\Lambda(B_{i})^{n_{i}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda(B_{i})}.}$

또한${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ($B)$(\displaystyle \$textstyle \Lambda$ (B$))$는 경계 $영역{\displaystyle }$B (\$displaystyle \textstyle$$$B$)$에 위치한 포아송 프로세스의 예상 포인트 수로 해석됩니다.

$\displaystyle \Lambda (B)=\mathbb {E} [N(B)]}$

실선상에 정의되어 있다

실제 선에서 비균질 또는 비균질 포아송 점 공정에는 1차원 적분이 제공하는 평균 측정값이 있습니다.2개의 $실수$에 대해 a${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle \textstyle$ a$)$ 및$$$b{\displaystyle }$(\$displaystyle$\$textstyle$ b$)$는 N$)$으로 나타냅니다${\displaystyle .}$$여기$서${\displaystyle a}$$(\$$displaystyle$$$$\textstyle$$a$,$b)$는 $명암함수$를 가진 불균일한$$ 포아송 프로세스의 $포인트$입니다.$le \lambda$( $t$)는$$ 간격${\displaystyle }$$({\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$){ $displaystyle \textstyle ( a$${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$$$$)}{$ $displaystyle \textstyle$( a , b${\displaystyle }$$)}{$ $displaystyle$( a , b )}}}{$$ \$textstyle ($a , b )}}에$$$$ 존재할 $확률$은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbb {P} \{N(a,b)=n\}=frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda(a,b)}.}$

여기서 평균 또는 강도 측정은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t),\mathrm {d} t,}$

즉, 랜덤 $변수{\displaystyle }$ N${\displaystyle (a,}$ $)$ {$displaystyle \textstyle$ N$(a, b)}$은 평균 $E{\displaystyle \mathbb{}[N}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ] $=$ (${\displaystyle a,}$ b$)$ {$displaystyle \textstyle \mathbb {E}$ [$N(a,$ b])=$Lamb(a, b$인 포아송 랜덤 변수입니다.

1차원 설정의 특징은 불균일한 포아송 프로세스를 단조 변환 또는 매핑에 의해 균질하게 변환할 수 있다는 것입니다. 단조 변환 또는 매핑은$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ \$displaystyle \textstyle \Lambda$^[71][72]의 역수를 사용하여 이루어집니다.

계수 공정 해석

양의 반직선에서 고려될 때 불균일한 포아송 점 공정이 계수 공정으로 정의되기도 합니다.이 해석에서는 프로세스({${\displaystyle N}$ (${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle t0}$ 0$}({$\{$N(t), t\geq$ 0$\backslash \})$로${\displaystyle }$표기되기도 함)는 시간 t$(\$ t$)$까지 발생한 발생 또는 이벤트의 총수를 나타냅니다.계수 프로세스는 비균질적인 포아송 카운트 프로세스라고 합니다.다음 4가지 ^[34][73]속성을 가진 경우 프로세스합니다.

• $\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• 독립된 증분을 가진다.
• ${\displaystyle P}${${\displaystyle N}$ (${\displaystyle t}$ +${\displaystyle h}$) -${\displaystyle N}$ (${\displaystyle }$t ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle h}$ +${\displaystyle }$o (${\displaystyle h}$)$$; { $display$ style \$textstyle$\$mathbb${$P }$ \ {$N$ ($t$ +$h$ ) - $N$( t ) $= 1$ \ $lambda$ ( $t$ ) + （ h ;$$}
• $\displaystyle \mathbb {P} \{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

$여기$서${\displaystyle o}$ (${\displaystyle }$${\displaystyle h}$$$) \ ${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$o$ ($h$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \to }$$$0$${ $displaystyle$ \ $textstyle$$o$ ( h ) / $h$\ $rightarrow$$$$0$}에 $대한{\displaystyle }$ 점근 또는 little-o 표기법입니다. 굴절성이 있는 포인트 프로세스의 경우(예: spike apperty)는 4보다 강력합니다.${\displaystyle s}$:^[74]${\displaystyle }P{\displaystyle \mathbb{}}$ {${\displaystyle N}$ (${\displaystyle t}$ +${\displaystyle h}$) -${\displaystyle }$N (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$} ${\displaystyle ={}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}{h\mathrm{}}^{}}$2 ) \ $displaystyle$\$mathbb${$P }$ \ {$N$ ($t$ + h ) \ { N ( $t$) \$geq$ 2 \ } $= o$ ( $h$^ {2}$$}

위의 속성은 N${\displaystyle }$(${\displaystyle }$t +${\displaystyle h}$) -${\displaystyle N}$ (${\displaystyle t}$ $){$ $displaystyle \textstyle$ N$(t+h)-N(t)}$이 파라미터(또는 평균)를 가진 포아송 랜덤 변수임을 $의미$합니다.

${\displaystyle \mathbb {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\tda(s),ds,}$

그 의미는

${\displaystyle \mathbb {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\displayda(s),ds}$

공간 포아송 과정

평면 $(\$에 정의된 불균일한 포아송 프로세스를 공간 포아송^[17] 프로세스라고 하며, 강도 함수로 정의하며 강도 측정치를 구하여 ^[21][75]일부 영역에 대한 강도 함수의 표면 적분을 수행합니다.예를 들어 강도 함수(직교좌표 $(\textstyle$$$x$$$)$$및{\displaystyle }$ y(\$displaystyle$ \$textstyle$ y$)$의 함수로서)는 다음과 같을 수 있습니다.

$\displaystyle \displayda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2}}},$

따라서 해당 강도 측정치는 표면 적분에 의해 주어진다.

$\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2}}}},\mathrm {d} x,\mathrm {d} y,}$

$여기$서 B$(\$ B$)$는 $평면{\mathbb{}}^{}$ $(\$ 내의 경계 영역입니다.

고차원으로

평면에서는 $B)$ {\textstyle \$Lambda($B)}는 표면 적분에 ${}^{}$하고$,$ R d${\textstyle \mathbb {R}$ ^{d}}에서는 $$이 a(\$textstyle$ d$}$ -차원적분이$$ 된다.

적용들

실제 선이 시간으로 해석될 때, 불균일한 프로세스는 계수 프로세스 분야와 큐잉 ^[73][76]이론에서 사용됩니다.불균일한 포아송 점 공정에 의해 표현되거나 나타나는 현상의 예는 다음과 같습니다.

• 축구 경기에서 ^[77]골을 넣는 것.
• 회로^[78] 기판의 결함

평면에서 포아송 점 프로세스는 확률적 기하학과^{[1][35] [22][23]}공간 통계의 관련 분야에서 중요하다.이 점 프로세스의 강도 측정은 기본 공간의 위치에 따라 달라지며, 이는 일부 영역에 걸쳐 다른 밀도로 현상을 모형화하는 데 사용할 수 있음을 의미합니다.즉, 이러한 현상은 위치 의존 ^[21]밀도를 갖는 점으로 표현될 수 있습니다.이 과정은 해양,^[79] 임업,^[5][80] 수색 문제에서 연어와 이 연구를 포함한 다양한 분야에서 사용되어 왔다.

강도 함수의 해석

λ()){\textstyle \lambda())}해석을 가진 프와송 강도 함수, 무한소 감각의 볼륨 요소 d){\textstyle \mathrm{d}x}:λ())d){\textstyle\lambda())\,\mathrm{d}x}는 푸아송 포인트 과정의 점의 극미한 가능성 전 남편과 intuitive,[21]으로 여겨진다.isting, $볼륨$d x {\$textstyle \mathrm {d$$}$ x$}$가 x {\$textstyle$x$\}$^[21]에 있는 공간 영역.

예를 들어, 실선상에 균일한 포아송 점 프로세스가 주어졌을 때, 폭의 작은 간격$\theta$(\$textstyle\delta)$에서 프로세스의 단일 점을 찾을 확률은 약$$(\$textstyle\lambda\delta$입니다. 실제로 이러한 직관은 포아송 점 프로세스가 도입되는 방법과 분포입니다.파생된^[81][42][82]

심플한 포인트 처리

포아송 점 공정에 국소적으로 유한하고 확산(또는 비원자)된 강도 측정값이 있으면 단순 점 공정입니다.단순 점 공정의 경우 기본(상태) 공간의 단일 점 또는 위치에 점이 존재할 확률은 0 또는 1입니다.즉, 확률이 1인 경우 포아송 점 공정의 두 개 이상의 점이 기본 ^[83][19][84]공간의 위치에서 일치하지 않습니다.

시뮬레이션

컴퓨터에서 포아송 점 프로세스를 시뮬레이션하는 것은 보통 시뮬레이션 창으로 알려진 공간의 경계 영역에서 이루어지며, 두 가지 단계가 필요합니다. 즉, 점의 수를 적절히 작성하고, 그 다음 점을 랜덤하게 배치하는 것입니다.이 두 단계는 모두 시뮬레이션 ^[85][86]중인 특정 포아송 점 공정에 따라 달라집니다.

스텝 1: 포인트 수

W$${$textstyle$ W$\}$로 표시된 창의 $포인트$수 N {$textstyle$ N$}$은(는) Poisson 랜덤 변수를 시뮬레이션할 수 있는 (의사) 난수 생성 함수를 사용하여 시뮬레이션해야 합니다.

균질 케이스

$상수$ ${\$ { $textstyle \lambda$ $\}$인 균일한 경우, 포아송 $랜덤$ 변수$$N { $textstyle N$ $\}$의 평균은 $w$W { $textstyle \lambda$ W$$$}$로 설정됩니다. $여기$서$$W { $textstyle$ W$$}는$W$의 길이, 면적 또는 ($$ { $textstyle$ d$}$차원) 볼륨입니다$$.

불균일한 케이스

불균일한 경우 § $textstyle \lambda$ W$)$는 ($\textstyle$ d$}$ -dimensional$$) 볼륨 적분으로 대체됩니다.

$\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x),\mathrm {d} x}$

2단계: 점의 위치 설정

두 번째 스테이지에서는 창$W$에 N개의 포인트$(\$$displaystyle\textstyle$$$W$)$를 랜덤으로 배치해야 합니다.

균질 케이스

1차원 동종의 경우 모든 점은 창 또는 $간격{\displaystyle }$W(\$displaystyle \textstyle$ W$)$에 균일하고 독립적으로 배치됩니다. 데카르트 좌표계의 고차원의 경우 각 좌표는 창 W$(\$ W$)$에 균일하고 독립적으로 배치됩니다.창이 아닌 경우데카르트 공간의 부분 공간(예: 단위 구 내부 또는 단위 구면의 표면)에서 점이 균일하게$$W(\$displaystyle \textstyle$ W$)$에 배치되지 않으므로 적절한 좌표 변경(^[85]데카르트로부터)이 필요합니다.

불균일한 케이스

불균일한 경우에는 강도함수${\displaystyle \delta }$ (${\displaystyle }$x $)\$^[85]의 성질에 따라 몇 가지 다른 방법을 사용할 수 있으며 강도함수가 충분히 단순할 경우 점의 독립적이고 랜덤한 비균일 좌표(카르트 또는 기타)를 생성할 수 있다.예를 들어, 원형 창에서 포아송 포인트 프로세스를 ($극좌표{\displaystyle }$ r$\$$textstyle$ r$}$ 및$$ $style\displaystyle$\$）$에 대해 시뮬레이션할 수 있습니다. 즉, 포아송 포인트는 회전변형이거나 ${\\$와 독립적이지만 $o$에 의존합니다.$n{\displaystyle }$ r$$r \ $displaystyle$\ $textstyle$ r$,$ 강도$$ 함수가 충분히 ^[85]단순할 경우$$r \ $displaystyle$\$textstyle$r의 $변수{\displaystyle }$ 변경에 의해.

보다 복잡한 강도 함수의 경우 비율에 ^[87]따라 특정 랜덤 포인트만 사용하고(또는 '승인'), 다른 포인트를 사용하지 않는(또는 '거부') 것으로 구성된 합격-거부 방법을 사용할 수 있다.

$displaystyle(x_{i})}{\Lambda(W)}}=440frac(x_{i})}{\int _{W}\lambda (x),\mathrm {d} x.}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 x i$\$는 승인 또는 거부를 고려 중인 포인트입니다.

일반 포아송 점 공정

포아송 포인트 프로세스는 로컬 유한 측도인 라돈 측도$(\displaystyle \textstyle$ \$Lambda$ $\})$를 사용하여 일반 포아송 포인트^[21][88] 프로세스 또는 일반 포아송^[75] 프로세스로 알려져 있는 프로세스로 더욱 일반화할 수 있습니다.일반적으로 이 라돈 측도$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \textstyle \Lambda$})는$$ 원자일 수 있으며, 이는 포아송 점 프로세스의 여러 점이 기초 공간의 동일한 위치에 존재할 수 있음을 의미한다.이 경우 x$${\$displaystyle \$$textstyle$ x$}$의 포인트 수는 평균이${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$($x)$ {\displaystyle $\Lambda({x$^[88]인 포아송 랜덤 변수입니다. 단, 그 반대의 경우를 가정할 수 $있으므로{\displaystyle \mathrm{}}$ 라돈 측도 ^[21]δ {\$displaystyle \textstyle \Lambda }$입니다.

포인트 $프로세스{\displaystyle }$N(\$displaystyle \textstyle {N})$은 다음 두 ^[21]가지 속성을 가진 경우 명암$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \textstyle \Lambda)$를 갖는 일반적인 포아송 포인트 프로세스입니다.

• 경계 보렐 $집합{\displaystyle }$B의 포인트 수(\$displaystyle$\$textstyle$ B$)$는 평균이${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$($B)$ {\displaystyle $\Lambda(B$인 포아송 랜덤 변수입니다. 즉, B$(\$ B$)$에 $위치$한 총 포인트 수를 N$B)$style {$textstyle B(B$) style {textstyle}로 나타냅니다.랜덤 $변수{\displaystyle }$ N$)$ {$displaystyle \textstyle {N}(B)}$이$($가) n${displaystyle$ \$textstyle$n$$}과(와) 같을 확률은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbb {P} \{N}(B)=n\}=blac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}e^{-\Lambda(B)}}}$

• n개의$$\$displaystyle \textstyle$n개의 분리된$$ 보렐 집합의 $포인트{\displaystyle }$ 수는 n개의$$\$displaystyle \textstyle$n개의 독립$$ 랜덤 변수를 $형성$합니다.

라돈 측도$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ \$displaystyle \textstyle \Lambda }$는 경계 $영역{\displaystyle }$B $\backslash$$displaystyle \textstyle$B에 위치한 N$$\$displaystyle \textstyle {N}$의 예상 포인트 수라는 기존 해석을 유지한다.

$\displaystyle \Lambda (B)=\mathbb {E} [{N} (B)]}$

또한$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {$displaystyle \textstyle \Lambda}$이(가) 르베게 측정치에 대해 밀도(라돈-니코딤 밀도 또는 유도체)를 가질 정도로 절대적으로 연속적인 경우, 모든 보렐 $집합{\displaystyle }$B {$displaystyle$ \$textstyle B}$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x),\mathrm {d} x,}$

여기서 밀도${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle \textstyle \textda (x)}$는 강도 함수로서 알려져 있습니다.

역사

포아송 분포

그 이름에도 불구하고, 푸아송 점 과정은 프랑스 수학자 시메옹 드니 푸아송에 의해 발견되거나 연구되지 않았다; 그 이름은 스티글러의 ^[14][15]법칙의 예로 인용된다.이 이름은 포아송에서 이항 ^[89]분포의 제한 사례로 파생된 포아송 분포와의 고유한 관계에서 유래되었습니다.이것은 확률$p{\displaystyle }$\displaystyle$\textstyle$ p$\backslash$$displaystyle$ n$\$textstyle n$\$textstyle p\\displaystyle $n\displaystyle$ p\textstyle n\$displaystyle$ p\textstyle n\$tle$ p\disply\displaystyle p\tle의 $시행{\displaystyle }$ 합계를 나타냅니다$.$일부 긍정적인 상수 Λ를 들어Displaystyle \textstyle p}.;0{\displaystyle\textstyle \Lambda>0}, 무한을 향해로 n{\textstyle n\displaystyle}이 증가하고 0은 제품 np)Λ{\textstyle np=\Lambda\displaystyle}고정은 향해 동업-{\textstyle p\displaystyle}이 감소하는 반면,.Poiss분포에 대해 이항 ^[90]분포에 더 가깝습니다.

포아송은 1841년에 발표된 포아송 분포를 p$${\$displaystyle$ \$textstyle p}$ (0까지) 및$n{\displaystyle }$ {\$displaystyle \textstyle$ n$}($무한까지)의 한계에서 이항 분포를 조사하여 도출했다.그것은 푸아송의 모든 ^[91]작품에서 단 한 번만 등장하며, 그 결과는 그의 시대에는 잘 알려지지 않았다.그 후 몇 년 동안 필립 루드비히 폰 자이델과 에른스트 아베를 ^[92]포함한 많은 사람들이 푸아송을 인용하지 않고 이 분배를 사용했다.^[14] 19세기 말, Ladislaus Bortkiewicz는 다른 환경(Poisson 인용)에서 분포를 다시 연구했고, 실제 데이터와 함께 분포를 사용하여 프러시아 ^[89][93]군대의 말차기로 인한 사망 수를 연구했다.

검출

포아송 점 ^[14][15]공정의 조기 사용 또는 발견에 대한 여러 가지 주장이 있습니다.예를 들어, 푸아송이 태어나기 10년 전인 1767년 존 미첼은 별들이 "우연에 의해 산란"된다는 가정 하에 다른 별의 특정 영역 내에 별이 존재할 가능성에 관심이 있었고, 플레이아데스 산맥에서 포아송 분포를 도출하지 않고 가장 밝은 6개의 별들로 구성된 예를 연구했다.이 연구는 Simon Newcomb가 문제를 연구하고 1860년 ^[15]이항 분포에 대한 근사치로 포아송 분포를 계산하도록 영감을 주었습니다.

20세기 초에 포아송 과정은 다른 ^[14][15]상황에서 독립적으로 발생할 것이다.1903년 스웨덴에서 Filip Lundberg는 현재는 기초적이고 선구적인 것으로 간주되는 작업을 포함하는 논문을 발표했으며, 여기에서 그는 동종 포아송 ^[94][95]프로세스로 보험 청구를 모델링할 것을 제안했다.

1909년 덴마크에서 A.K.가 발견되었을 때 또 다른 발견이 있었다. Erlang은, 한정된 시간 간격으로 착신 전화수의 수학적 모델을 개발할 때에, 포아송 분포를 도출했습니다.Erlang은 당시 Poisson의 이전 작업을 알지 못했으며 각 시간 간격에 도착하는 전화 번호가 서로 독립적이라고 가정했습니다.그런 다음 포아송 분포를 이항 ^[14]분포의 한계로 효과적으로 재캐스팅하는 한계 사례를 발견했습니다.

1910년 어니스트 러더포드와 한스 가이거는 알파 입자를 세는 실험 결과를 발표했다.그들의 실험 작업은 해리 베이트먼으로부터 수학적인 기여를 받았는데, 해리 베이트먼은 푸아송 확률을 미분 방정식군에 대한 해로 도출했지만, 해답은 더 일찍 도출되어 포아송 ^[14]과정의 독립적인 발견을 이끌어냈다.이 시기 이후 푸아송 과정에 대한 많은 연구와 응용이 있었지만, 초기 역사는 복잡하다. 이는 생물학자, 생태학자, 엔지니어 및 다양한 물리 ^[14]과학자들에 의해 수많은 분야의 다양한 적용에 의해 설명되었다.

초기 응용 프로그램

1909년 이후 포아송 포인트 프로세스의 많은 연구와 적용으로 이어졌지만, 초기 역사는 복잡하다. 이것은 생물학자, 생태학자, 엔지니어 및 물리과학에 종사하는 다른 사람들에 의해 수많은 분야에서 그 과정의 다양한 적용으로 설명되었다.초기 결과는 표준 용어와 표기법을 ^[14]사용하지 않고 다른 언어와 다른 설정으로 출판되었습니다.예를 들어, 1922년 스웨덴의 화학자이자 노벨상 수상자인 테오도르 스베드베르크는 공간적 포아송 점 과정이 식물 ^[96]군집 내에서 식물이 어떻게 분포하는지를 연구하기 위한 기초 과정인 모델을 제안했다.많은 수학자들이 1930년대 초에 이 과정을 연구하기 시작했고,^[97] 특히 안드레이 콜모고로프, 윌리엄 펠러, 알렉산드르 ^[14]킨친 등에 의해 중요한 기여를 했다.텔레트래픽 공학 분야에서 수학자와 통계학자들은 포아송과 다른 점 과정을 ^[98]연구하고 사용했다.

용어 이력

스웨덴인 코니 팜은 1943년 논문에서 ^[99][98]포아송과 1차원 환경에서의 다른 점 과정들을 시간 사이의 통계적 또는 확률적 의존성의 관점에서 조사함으로써 연구했다.그의 작품에는 독일어로 ^[99][15]Punktprozese라는 용어점 프로세스를 사용한 것으로 알려진 최초의 기록이 존재한다.

윌리엄 펠러는 1940년 논문에서 이것을 포아송 과정이라고 언급한 최초의 인쇄물이었다고 믿어진다^[14].스웨덴인 오베 룬드베르크는 1940년 ^[15]박사학위 논문에서 ^[100]포아송 과정이라는 용어를 사용했지만 펠러가 1940년 ^[90]이전에 이 용어를 만들었다는 주장이 있다.펠러와 룬드버그는 둘 다 이 용어가 잘 알려진 것처럼 사용되었다고 언급되었는데,^[15] 이는 이 용어가 그 때 이미 사용되고 있음을 암시한다.펠러는 1936년부터 1939년까지 스톡홀름 대학에서 하랄드 크라메르와 함께 일했는데, 룬드베리는 크라메르의 박사과정 학생으로 1936년에 끝났지만, 이후 판에서 포아송 과정이라는 용어가 1936년에서 1939년 사이에 만들어졌다는 추측을 낳았다.스톡홀름 ^[15]대학교

용어.

포인트 프로세스 이론의 용어는 일반적으로 너무 ^[15]다양하다는 비판을 받아왔다.동종 포아송(점) 공정은 종종 생략되는 ^[64][2]단어점 외에도 고정 포아송(^[48]점) 공정이라고도 하며 균일한 포아송(^[43]점) 공정이라고도 합니다.비균질 포아송 점 공정은 ^[48]비균질 포아송 ^[73][101]공정이라고도 합니다.

항 점 공정이 시간과 공간에 걸쳐서 랜덤 점 ^[102]필드를 제안할 수 있으므로 포아송 랜덤 점 필드 또는 포아송 점 필드라는 용어도 사용됩니다.^[103]점 공정이 랜덤 카운트 ^[104]측도로 간주되거나 때로는 포아송 점 공정이기도 합니다. 따라서 포아송 점 공정은 ^[105][106]Lévy 공정 연구에 사용되는 용어인 포아송 랜덤 ^[105]측도라고도 합니다. 그러나 일부에서는 두 개의 ^[107]다른 기본 공간에 정의된 포아송 점 공정에 대해 두 개의 항을 사용합니다.

포아송 점 과정의 기초적인 수학적 공간은 캐리어 ^[108][109]공간 또는 상태 공간이라고 불리지만, 후자의 용어는 확률적 과정의 맥락에서 다른 의미를 가집니다.점 프로세스의 맥락에서 "상태 공간"이라는 용어는 확률적 프로세스 용어에서 지수^[112] 세트 또는 파라미터^[113] 세트에 대응하는 ^[110][111]실선과 같이 점 프로세스가 정의되는 공간을 의미할 수 있다.

$(\$^[38]$displaystyle\textstyle\Lambda)$는 표준항이 없기 때문에 강도 측정,^[114] 평균 ^[38]측정 또는 파라미터 ^[68]측정이라고 합니다.$\lambda {\displaystyle }$ { $displaystyle$\$textstyle$\ $Lambda }$ 가$$${\displaystyle \mathrm{if}}$ ( x$$) { $displaystyle$\$textstyle$\ $lambda$ ($x$ )$$} 로 표시되는 도함수 또는 밀도를 갖는 경우 포아송 포인트 ^[21]프로세스의 강도 함수라고 한다.동종 포아송 포인트 프로세스의 경우 강도 측정의 도함수는 단순히 상수 >0(\$displaystyle \textstyle \lambda >0$이며, 이는 일반적으로 기본 공간이 실선 또는 ^[43]강도일 때 비율이라고 할 수 있습니다.이것은 또한 평균 속도 또는 평균^[115] 밀도 또는 ^[34]속도라고도 불립니다.${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle =}$1 {$displaystyle \textstyle \textda =1$의 경우 해당 프로세스를 표준 포아송(^{[44][58][116]}포인트) 프로세스라고 부르기도 합니다.

포아송 점 공정의 범위를 ^[117][118]노출이라고 부르기도 합니다.

표기법

포아송 점 공정의 표기법은 공정의 설정과 적용 중인 필드에 따라 달라집니다.예를 들어, 실제 라인에서 포아송 프로세스는 균질 또는 비균질 모두 카운트 프로세스로 해석될 수 있으며, 포아송 프로세스를 ^[31][34]나타내기 위해 {${\displaystyle N}$(${\displaystyle t}$) , ${\displaystyle t0}$ 0 $}$ ({$displaystyle \textstyle$\{$N(t), t\geq$ 0$\})$ 표기법이$$ 사용됩니다.

표기법을 바꾸는 또 다른 이유는 몇 가지 수학적 해석이 있는 점 과정의 이론 때문이다.예를 들어 단순한 포아송 포인트프로세스를 랜덤세트로 간주할 수 있습니다.이것은 x${\displaystyle n}$N (\$displaystyle \textstyle$x\$in {N$이라는 표기를 제안합니다.이것은$$x \$displaystyle \textstyle$ x$}$가 포아송 $포인트프로세스{\displaystyle }$N (\$displaystyle \textstyle {N$에 속하거나 포아닌 임의의 포인트프로세스의 요소임을 $의미$합니다.r, 보다 일반적으로 해석은 포아송 또는 기타 포인트 프로세스를 랜덤 카운트 척도로 간주하여 포아송 포인트 프로세스 $(\$의 포인트 수를 일부${\displaystyle (}$보렐 측정 가능) $영역{\displaystyle }$B$displaystyle$ $\textstyle$ B$)$에 배치할 수 있습니다.$aystyle \textstyle {N}(B$ 랜덤 변수입니다.이러한 다른 해석은 측정 이론과 집합 ^[119]이론과 같은 수학 분야에서 표기법을 사용하는 결과를 낳습니다.

일반적인 포인트프로세스에서는 포인트기호의 첨자(예를 $들어{\displaystyle }$ x$\$x$)$가 포함되어 있는 경우가 있습니다.이것에 의해, x$\$$x_{i}$ x$\$\textstyle x$\$$in$ {$N$가 아닌$,$ x${\displaystyle {}_{}displaystyle}$ x\$textstyle$ x}에 쓸 수 있습니다$$.랜덤 포인트를 나타내는 대신 캠벨의 ^[19]정리와 같은 적분식에서 더미 변수에 사용됩니다.대문자는 포인트프로세스를 나타내고 소문자는 프로세스로부터의 포인트를 나타냅니다.예를 들어$$x\$displaystyle$$\textstyle$$$$x_${i} $또는{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ i\$displaystyle$ x_{i}는$$ $포인트프로세스{\displaystyle }$X에 속하거나 포인트프로세스 X$\backslash$$displaystyle \textstyle$X에 속하며 set notati로 기술됩니다.$x{\displaystyle }$ $x$X$$、 \ $displaystyle$ \ $textstyle x$ \ $in$ X 、 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\displaystyle x}$X ${\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle$\ $textstyle x$_ { $i$} \ $in$ X$$^[111]。

또, 집합 이론과 적분 또는 측도가론 표기법을 서로 바꾸어 사용할 수 있다.예를$$ 들어, 유클리드 상태 $공간{\displaystyle {}^{}}$ $d$에 정의된 포인트 $프로세스{\displaystyle }$ N ${\displaystyle$ $\textstyle {{\textbf$${R}}^{d}}}$ 및$$ R$d$에 $정의$된 (측정 가능한) $함수{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ \$textstyle$f$}$의 경우, 식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \int _{\textbf {R}^{d}f(x),\mathrm {d} N(x)=\sum \sum _{i}\in N(x_{i}),$

는 포인트 프로세스에 대한 합계를 작성하는 두 가지 방법을 보여 줍니다(Campbell의 정리(확률) 참조).특히 왼쪽의 적분 표기법은 점 공정을 랜덤 카운트 측도로 해석하는 반면 오른쪽의 합계는 랜덤 집합 ^[119]해석을 나타냅니다.

기능 및 모멘트 측정

확률론에서 연산은 다양한 목적을 위해 랜덤 변수에 적용됩니다.때때로 이러한 연산은 랜덤 변수의 평균 또는 분산을 생성하는 정규 기대값입니다.랜덤 변수의 특성 함수(또는 라플라스 변환)와 같은 다른 기능은 랜덤 변수를 고유하게 식별하거나 특성화하고 중심 한계 ^[120]정리처럼 결과를 증명하기 위해 사용될 수 있습니다.포인트 프로세스 이론에는 각각 ^[121][122]모멘트와 함수 대신 측정과 함수 형태로 존재하는 유사한 수학적 도구가 있습니다.

라플라스 기능

강도 측정이$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ \$textstyle$ \$Lambda$인 포아송 포인트 $프로세스{\displaystyle }$N ${\displaystyle$ $\$$textstyle$ ${$$N}}$의 경우, 라플라스 함수는 다음과 ^[19]같이 제공됩니다.

$\displaystyle L_{N}(f)=e^{-\int_{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)})\Lambda(\mathrm {d}x)}},$

${\displaystyle L_{N}(f)=e^{-\lambda \int_{\textbf {R}^{d}}}(1-e^{-f(x)}),\mathrm {d}x}}}.$

캠벨 정리의 한 가지 버전은 포아송 점 과정의 라플라스 함수를 포함한다.

확률 생성 함수

음이 아닌 정수값 랜덤 변수의 확률 생성 함수는 R ${\displaystyle d^{}}$\ $displaystyle$\ $text$style \ $text$ style \ $textbf {R}^{d}}$에서 음이 아닌 경계 $함수{\displaystyle }$ v$${\ $displaystyle$\ $textstyle$ v$}$에 대해 0${\displaystyle v}$ v${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )1}$ 1로 $유사$하게 정의된다.$\displaystyle 0\leq$ v$(x)\leq$1$$. $포인트프로세스{\displaystyle }$N {\displaystyle ^[123]\$textstyle \textstyle {N$$}$

$\displaystyle G(v)=\mathbb {E} \left[\display _{x\in N}v(x)\right]$

N$(\$${N$$\})$의 모든 포인트에 대해 제품이 수행된다$.$ $N(\$displaystyle \$textstyle {$N$$})의 강도 측정치$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle$\textstyle \$Lambda})$가 국소적으로 유한한 경우$,$G(\$displaystyle$ \$tstyle$ \$tstyle$ \tstyle G$)$는 측정 가능한 $기능$에 대해 잘 정의된다$.$${\displaystyle R^{}}$ d$$\$$$displaystyle$\$textstyle$ \ $textstyle$ \$$$textstyle$$u$$$}$$。 강도 $측정$이 ${\$ \ $displaystyle \ Lambda인$포아송$$ 포인트 프로세스의 경우 생성 함수는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\textbf {R}^{d}}[1-v(x)],\Lambda (\mathrm {d} x)},$

균질한 경우로 환산하면

$\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\textbf {R}^{d}}[1-v(x)],\mathrm {d}x}}$

모멘트 측정

강도 측정이$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {$displaystyle \textstyle \Lambda}$인 일반 포아송 포인트 프로세스의 경우 첫 번째 모멘트 측정값은 강도 ^[19][20]측정값입니다.

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda(B),}$

일정한 강도를$갖는{\displaystyle }$ 균일한 포아송 점 프로세스의 경우, \$displaystyle \textstyle \lambda}$는 다음을 의미합니다.

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda B,}$

${\displaystyle 여기}$서 B$displaystyle \textstyle$ B$)$는 B$(\$ B$)$의 길이, 면적 또는 볼륨(또는 일반적으로 르베그 측정)입니다.

메케 방정식

메케 방정식은 포아송 점 공정의 특성을 나타냅니다.$N$ ${\$ ( \ $displaystyle$ \$mathbb${ N$$} _ { \ $sigma$$}$ )$let{\displaystyle }$ let ${\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle \ sigma$$$$}$$$let$$$$$$$$ $let{\displaystyle }$let let $let{\displaystyle }$ $let{\displaystyle \mathcal{}}$ let$$let let$$$let$ let let let $let$ on let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let let $let{\displaystyle \mathcal{}}$ 。모든 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle }$Q × ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ $→$ R + {\$style$ f$:{\mathcal {Q}}\times$\mathbb${N}_{\to$ \$mathbb$ {$R}_{+}}$인 경우에만 포아송 포인트 처리: 다음과 같은 고정

$\displaystyle \mathbb {P} \left [\int f(x,\eta)\right ]=\int \mathbb {P} \left [f(x,\eta +\deta _{x}\right]\da (\mathrm {d}x})$

상세한 것에 대하여는,^[124] 을 참조해 주세요.

요인 모멘트 측도

강도 $측정$이 ${\$ {\$displaystyle \textstyle$ \$Lambda}$인 일반 포아송 포인트 $프로세스$의 경우$$n ${\displaystyle$ \$textstyle$n$$} -번째 요인 모멘트 측정은 ^[125]다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle M^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n}=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i}),}$

여기서$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \textstyle \Lambda)$는 N$(\$의 강도 측정값 또는 첫 번째 모멘트 측정값으로, 일부 보렐 $세트{\displaystyle }$B(\$displaystyle \textstyle$ B$)$는 다음과 같이 지정됩니다.

$displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\mathbb {E} [N(B)]}$

동종 포아송 점 공정의 $경우{\displaystyle }$ n${\displaystyle$ \$textstyle$n} -th$$ 요인 모멘트 측정은 ^[19][20]다음과 같습니다.

$M \^{ M^{n}(B_{1}\times \cdots B_{nda ^{n})$

${\displaystyle 여기}$서 $displaystyle \textstyle B_$${i$$})$는 $(\displaystyle$ \$textstyle$B_$\{$$i{\displaystyle {}_{}}$})의 길이, 면적 또는 부피(또는 일반적으로 르베게 측정)입니다. 또한 $(\$ n$)$ - 요인$$ 모멘트는 다음과 같습니다.^[125]

$\displaystyle \mu ^{n}(x_{1},\display,x_{n})=\displayda ^{n}.}$

★★★★

지점 과정 N{\displaystyle \textstyle{N}}의 회피 기능[70]또는 무효 확률[119]v{\textstyle v\displaystyle}내부 공간 Rd{\displaystyle \textstyle{\textbf{R}}^{d}의 하위 집합 일부 세트 B{\textstyle B\displaystyle},}과 관련하여톤으로 정의된다그는 probabB에$존재$하는 N$(\$$displaystyle\textstyle$ B$)$의 no points(\displaystyle\textstyle {$N})$의 동일성. 보다 ^[126]정확하게는 테스트 $세트{\displaystyle }$B(\$displaystyle\textstyle$ B$)$의 경우 회피 함수는 다음과 같습니다.

$}{\displaystyle v(B)=\mathbb {P} {{N}(B)=0\}$

강도 측정이$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \textstyle \Lambda$인 일반 포아송 포인트 $프로세스{\displaystyle }$ N$(\$의 경우 회피 함수는 다음과 같이 제공됩니다.

$vdisplaystyle v(B)=e^{-\Lambda(B)})})$

단순한 포인트 프로세스는 무효 확률로 ^[127]완전히 특징지어집니다.즉, 단순한 포인트 프로세스의 완전한 정보는 그 보이드 확률에 완전히 포착되며, 두 개의 단순한 포인트 프로세스가 동일한 포인트 프로세스일 경우에만 보이드 확률이 동일합니다.포아송 과정의 경우는 레니 정리라고 불리기도 하는데, 이것은 1차원의 ^[128]균질 점 과정의 경우에 대한 결과를 발견한 Alfréd Rényi의 이름을 딴 것이다.

그 하나로서 form,[128]은 Rényi의 정리는 미만성(또는non-atomic)라돈 측정 Rd{\displaystyle \textstyle{\textbf{R}}^{d}에 Λ{\textstyle \Lambda\displaystyle}}고 설정하는 사각형의 한{\displaystyle\textstyle A}가 유한한 노조( 그렇지 않Borel[d])이 N{\displaystyle \textstyl을 위한 것이라고.e{N}} 는 R$$\$style\textstyle\$textbf {$R}^{d}$의 $카운트{\displaystyle {}^{}}$ 가능한 서브셋입니다.다음은 예를 제시하겠습니다.

$\}=v)=v(A)=v(A)}=e^{-\A)=eLambda(Adisplaystyle \mathbbb {P}\{P}\{P}\{N}={-\{N}=0\}}\Lambda(A)})}}}}}}}}}}}}}$

$그러면{\displaystyle }$N {\$displaystyle \textstyle {N}}$은(는) 강도 측정이$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \textstyle \Lambda$인 포아송 포인트 프로세스입니다.

프로세스

포인트 프로세스에 대해 수학적 연산을 수행하여 새로운 포인트 프로세스를 가져오고 특정 객체의 위치에 대한 새로운 수학적 모델을 개발할 수 있습니다.작업의 한 가지 예는 규칙에 따라 일부 점 프로세스의 점을 삭제하거나 제거하는 것을 수반하는 솎아내기(thinning)라고 하며, 나머지 점으로 새 프로세스를 만듭니다(삭제된 점은 점 ^[130]프로세스를 형성하기도 함).

포아송 공정의 경우 ${\displaystyle \mathrm{독립적}}$인${\displaystyle }$p (${\displaystyle }$x$$) \$displaystyle \textstyle$ p$(x)}$ - Thinning$$ 연산을 수행하면 또 다른 포아송 점 공정이 생성됩니다.$좀{\displaystyle }$ 더 구체적으로 p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) \$displaystyle$ \ $textstyle p$( x ) - 솎아내기$$ 연산은 강도 측정$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ { $displaystyle$ \$textstyle$\$Lambda }$의 포아송 포인트 $프로세스$에 적용되며, 제거된 포인트의 포인트 ${\displaystyle {}_{}}$도 강도 측정 N$$p \ displaystyle \ $textstyle$ {$N}_${p}_${p}$입니다.$λ$p \ $displaystyle$$$\ $textstyle$\ $Lambda$$$_$${ p }. Bounded $Borel{\displaystyle }$set $B$의 경우 $다음$과 같이 ${\displaystyle {\mathrm{표시}}_{}}$됩니다$.$

$__{displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x),\Lambda (\mathrm {d}x)$

포아송 점 과정의 이 솎아내기 결과는 프레코파 ^[131]정리라고도 합니다.또한 포아송 점 공정을 랜덤하게 솎아낸 후, 유지되거나 남은 점들도 강도 측정값을 갖는 포아송 점 공정을 형성합니다.

$\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x)),\Lambda(\mathrm {d}x).}$

제거 및 보관된 점으로부터 각각 형성된 두 개의 개별 포아송 점 프로세스는 확률적으로 서로 ^[130]독립적입니다.즉, 영역에 (원래 포아송 포인트프로세스에서) 보관된 포인트가$$n개(\$displaystyle \textstyle$ n$)$ $포함$되어 있는 것으로 알려진 경우, 이는 동일한 영역에서 제거된 포인트의 랜덤 수에 영향을 미치지 않습니다.한 공정에서 두 개의 독립적인 포아송 점 공정을 랜덤하게 만드는 이 기능을 포아송 점 공정 분할이라고도 합니다^[132][133].

★★

포인트 $프로세스{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$셀 수 있는 집합이 있는 경우$...(\displaystyle$ \$textstyle {N}_{1},{N}_{2$}\dots$\}),$ 그 중첩 또는 집합 이론 언어에서는 그 합집합입니다^[134].

$_displaystyle {N}=\bigcup _{i=1}^{\infty}{N}_{i}$

또한 포인트 프로세스를 형성합니다.즉, $포인트프로세스{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $…,$ {\$displaystyle \textstyle {N}_{1},$ {$N}_{2}\dots}$에 있는 모든 포인트는 이러한 $포인트프로세스{\displaystyle }$ N$\$의 중첩에도 배치됩니다.

포아송 포인트 프로세스의 중첩 정리에 따르면 독립 포아송 포인트 $프로세스{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $…,$ $평균$ $측도{\displaystyle {\mathrm{}}_{}{\delta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}_{}}$ 2,$$$…(\displaystyle$ \$textstyle$$\Lambda _1\dots },$ {$N}_{$2$}\$$dots$$}$의 중첩은 다음과 같습니다.평균^[135][90] 측정값이 있는 ss

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty}\Lambda _{i}.}$

즉, 두 개 이상의 포아송 공정의 결합은 또 다른 포아송 공정입니다.$포인트$x(\$textstyle$ x$)$가 포아송 프로세스의 카운트 $가능$한 결합$(\textstyle$ n$)$에서 샘플링된 경우 $포인트{\displaystyle }$x(\$displaystyle \textstyle$ x$)$가 j$(\$ j$)$th$$ 포아송 $프로세스{}_{}$ ${j$$})$에 속할 확률은 다음과 같습니다.

$({displaystyle \mathbb {P} \{x\in N_{j}\}=sum frac {i=1}^{n}\Lambda _{i}).}$

강도 ${1\mathrm{}}_{}$ 1,${}_{}{2\mathrm{}}_{}$2 …$${ $textstyle \lambda$_ {1} , \$lambda$_ {2} $\dots$의 2개의 동종 포아송 프로세스의 경우 앞의 두 표현은 다음과 같이 감소합니다.

$= \ __{displayda =\sum _{i=1}^{\infty}\displayda _{i}$

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

${\displaystyle \mathbb {P} \{x\in {N}_{j}\}=sum frac {i=1}^{n}\sum frac {i}}.}$

작업 클러스터링은 일부 $포인트프로세스{\displaystyle }$ N$(\$의 각 $포인트{\displaystyle }$x(\$displaystyle\textstyle$ x$)$가 다른(가능성이 있음) 포인트프로세스로 대체될 때 실행됩니다.원래 $프로세스{\displaystyle }$N(\$displaystyle \textstyle {N})$이 포아송 포인트프로세스인 경우 결과 프로세스 N$(\$은 포아송 클러스터 포인트프로세스라고 불립니다.

수학적 모델은 점 프로세스의 포인트를 기본 수학적 공간상의 다른 위치로 랜덤하게 이동해야 할 수 있으며, 이로 인해 변위 또는 ^[137]변환으로 알려진 점 프로세스 연산이 발생합니다.예를 들어 포아송 점 프로세스는 (같은 기본 공간에서) 포아송 점 과정의 점들의 무작위 독립 변위가 또 다른 포아송 점 과정을 형성한다고 느슨하게 말하는 ^[136]변위 정리 때문에 세대 간 식물의 이동을 모형화하는 데 사용되어 왔다.

변위 theorem[136]의 한가지 버전 λ 있다. 그리고}N{\displaystyle \textstyle{N}의 포인트라고 생각은 Rd{\displaystyle \textstyle{\textbf{R}}^{d}에 강도 함수로 푸아송 지점 과정 N{\displaystyle \textstyle{N}}}()){\displaystyle\textstyle \lambda())}을 포함한다.함께e R$$ \ $display$ style $\$ text style \ $textbf${ $R$} ^{ d$$$$} } 에서의 각 점의 변위가 독립적이고 x$$\ $display$style \ $textstyle$ x$$에서의 점의 변위가 확률 밀도${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle )}$) \ $display$style \ $rho ( x$ , $cdot$ )의 랜덤 벡터이다.$)\}.$^[e] 그러면 새로운 포인트 ${\displaystyle {}_{}}$ ND$(\displaystyle$ \$textstyle {N}_{$D$$})도 강도 함수가 있는 포아송 포인트 프로세스입니다.

$_ {R}^{d}\displaystyle \textbf {R}{d}\d}\da(x,)$

포아송 프로세스가 ( ) > { $displaystyle$\ $textstyle$\ $textda$ ( x ) = \ $displayda$> 0}이고 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ )$${ $displaystyle$$\rho ( x$$$, y )$$}가${\displaystyle }$y -$$x 의 $함수$인 경우,

$_displaystyle \dargda _{D}(y)=\lambda.\displaystyle.}$

즉, 각 점의 랜덤하고 독립적인 변위 후에도 원래의 포아송 점 공정이 여전히 존재합니다.

포아송 포인트가 한 유클리드 $공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$d \$displaystyle \textstyle \textbf {R}^{d}}$에서 ${\displaystyle {다른}^{{}^{}}}$ 유클리드 공간 R d ${\displaystyle \{\backslash }$ {\$displaystyle$$\$$textbf$${R}^$$d'}$로 랜덤 이동하도록 변위 정리를 확장할 수 있습니다. $여기$서 d는$$이다$.$$반드시{\displaystyle }$d$\displaystyle$^[19]$textstyled$와 같을 필요는 없습니다.

★★★

포아송 점 공정을 한 기본 공간에서 다른 ^[138]공간으로 매핑할 수 있는 능력도 유용한 것으로 간주됩니다.

매핑(또는 변환)이 일부 조건을 준수하면 결과적으로 매핑된(또는 변환된) 점 집합도 포아송 점 프로세스를 형성하며, 이 결과를 매핑 ^[138][139]정리라고 부르기도 합니다.이 정리에는 일부 기본 공간에서 평균 측도$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$\$displaystyle\textstyle\Lambda}$를 갖는 포아송 포인트 프로세스가 포함됩니다.일부 함수에 따라 점의 위치가 다른 기본 공간에 매핑된 경우(즉, 점 프로세스가 변환된 경우), 결과 점 프로세스도 포아송 점 프로세스이지만 다른 평균 측도 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $′$ { $displaystyle \textstyle \Lambda$ $\text{'}\}$입니다.

구체적으로는 강도 측정 $(\$$displaystyle\textstyle$ S$)$를 사용하여 $포인트{\displaystyle }$ 프로세스$N$(\displaystyle\$textstyle${$N$})을 다른 $공간{\displaystyle }$T(\$displaystyle$\textstyle S$)$에 매핑하는 (보렐 측정 가능) $함수{\displaystyle }$ f$(\$ $f$$)$를 고려할 수 있습니다.$extstyle$$$T$}$는 새로운 포인트 $프로세스{\displaystyle {}^{}}$ N ${\$ {\$displaystyle \textstyle$ {$N}'}$의 강도 측정값을 갖도록 합니다.

${\displaystyle \Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1} (B))}$

no atoms (여기서$B{\displaystyle }$ {\$displaystyle \textstyle$ B$}$는 Borel 세트${\displaystyle {,}^{}}$ f -$$$(\displaystyle$ \$textstyle$f$^{-1$})은 함수$$f의 역수를 나타냅니다.N${\displaystyle$ \$textstyle {N$$}}$이 포아송 포인트프로세스인 경우 새로운 $프로세스{\displaystyle {}^{}}$ N$$′ $then$ then n n with ′ 。$yle {N}'}$은(는) 강도 측정이 $\delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$displaystyle \textstyle \Lambda$ $\text{'}\}$인 포아송 포인트 프로세스이기도 합니다.

포아송 점 공정을 사용한 근사치

포아송 공정의 트랙터빌리티는 때때로 포아송 공정으로 비포아송 점 공정을 근사하는 것이 편리하다는 것을 의미합니다.전체적인 목적은 일부 점 공정의 점 수와 포아송 점 ^[140]공정에 의한 각 점의 위치를 모두 근사하는 것입니다.비공식적 또는 엄격하게 적절한 포아송 점 프로세스를 사용하여 무작위 사건 또는 현상의 발생을 정당화하는 데 사용할 수 있는 많은 방법이 있습니다.보다 엄격한 방법에는 포아송 점 프로세스와 비포아송 점 프로세스 사이의 확률 메트릭에 대한 상한을 도출하는 것이 포함되며, 다른 방법은 덜 형식적인 휴리스틱으로 ^[141]정당화될 수 있습니다.

크럼핑 휴리스틱

포아송 공정을 사용하여 랜덤 사건 또는 현상을 근사하는 한 가지 방법은 크럼핑 ^[142]휴리스틱이라고 합니다.일반적인 휴리스틱 또는 원리는 포아송 점 공정(또는 포아송 분포)을 사용하여 일부 확률적 공정의 희귀하거나 가능성이 낮은 사건들을 근사하는 것을 포함합니다.일부 경우에는 이러한 희귀 사건이 독립에 가깝기 때문에 포아송 점 공정을 사용할 수 있습니다.사건이 독립적이지 않지만 군집 또는 군집 내에서 발생하는 경향이 있는 경우 이러한 군집이 서로 거의 독립적이도록 적절하게 정의되어 있으면 발생하는 군집의 수는 포아송 랜덤 변수에 가깝고 군집의 위치는 포아송 공정에 ^[142]가깝습니다.

스타인법

Stein의 방법은 원래 가우스 및 포아송 변수와 같은 랜덤 변수를 근사하기 위해 개발된 수학적 기술로, 점 과정에도 적용되어 왔다.스타인의 방법은 확률 측정 기준의 상한을 도출하기 위해 사용될 수 있으며, 이것은 두 개의 무작위 수학적 개체가 확률적으로 ^[140][143]얼마나 다른지를 수량화할 수 있게 해준다.총 변동 및 바세르슈타인 거리와 같은 확률 지표에 대한 상한을 ^[140]도출했다.

연구자들은 Palm 미적분 ^[109]사용 등 다양한 방법으로 ^[140]포아송 점 과정에 Stein의 방법을 적용했습니다.Stein의 방법에 기초한 기법은 솎아내기 및 ^[144][145]중첩과 같은 특정 점 공정 연산의 효과를 상한을 고려하기 위해 개발되었습니다.Stein의 방법은 또한 무작위 강도 ^[140]측정이 있는 포아송 공정인 Cox 점 공정과 같은 다른 공정과 포아송의 메트릭에 대한 상한을 도출하는 데 사용되었습니다.

포아송 점 공정에 대한 수렴

일반적으로 일반 점 공정에 연산이 적용되면 결과 공정이 일반적으로 포아송 점 공정이 아닙니다.예를 들어, 포아송이 아닌 점 공정에 점이 랜덤하게 독립적으로 변위되어 있으면 공정이 반드시 포아송 점 공정일 필요는 없습니다.그러나 원래 점 프로세스와 랜덤 변위에 대한 특정 수학적 조건 하에서 점 프로세스의 점이 랜덤하고 독립적인 방식으로 반복적으로 변위되면 점 프로세스의 유한 분포가 포아송 점 p의 분포에 수렴(약하게)된다는 것이 한계 이론을 통해 입증되었다.동작합니다.^[146]

유사한 수렴 결과와 중첩이 포인트 과정에 중복해서 작전, 특정한 조건 하에서, 프로세스는 푸아송 지점 프로세스로 집중의 결과가 될 수 있는 것으로 나타나operations[146]간벌은 강도를 재다 적합한 rescaling톤의 강도 측정( 그렇지 않으면 값을로 개발되어 왔다여기서sulting point process는 0 또는 무한대에 가까워집니다).이러한 수렴 작업은 코니 팜과 알렉산드르 ^[147]킨친의 작업에서 유래한 팜-킨친^[f] 방정식으로 알려진 결과와 직접 관련이 있으며, 왜 푸아송 과정이 다양한 랜덤 ^[146]현상의 수학적 모델로 종종 사용될 수 있는지를 설명하는 데 도움을 준다.

포아송 점 프로세스의 일반화

포아송 점 프로세스는 강도 측정값을 변경하거나 보다 일반적인 수학 공간에서 정의함으로써 일반화할 수 있습니다.이러한 일반화는 수학적으로 연구될 수 있을 뿐만 아니라 물리적 현상을 수학적으로 모델링하거나 표현하는 데 사용될 수 있습니다.

포아송 유형 랜덤 측도

PT(Poisson-type random measures)는 부분 공간에 대한 제한 하에 닫히는 세 가지 랜덤 계수 측정치 제품군입니다. 즉, Point process operation#에서 닫힙니다.얇아지고 있다.이러한 랜덤 측도는 혼합 이항 공정의 예제이며 포아송 랜덤 측도의 분포 자체 유사성 특성을 공유합니다.포아송 분포, 음이항 분포 및 이항 분포를 포함하며 이 속성을 갖는 유일한 비음수 분포 집합입니다.포아송 랜덤 측도는 분리된 부분 공간에서 독립적이며, 다른 PT 랜덤 측도(음수 이항 및 이항)는 양의 공분산 및 음의 공분산을 가집니다.PT 랜덤 측도에 대해 설명하며^[148] 포아송 랜덤 측도, 음이항 랜덤 측도 및 이항 랜덤 측도가 포함됩니다.

더 일반적인 공간에서 포아송 점 공정

수학 모델의 경우, 포아송 점 과정은 종종 유클리드 ^[1][38]공간에서 정의되지만, 더 추상적인 공간으로 일반화되었고 확률론, 측정 이론, ^[151]위상 등의 수학 분야에 대한 이해를 필요로 하는 무작위 ^[149][150]측정의 연구에서 기본적인 역할을 한다.

일반적으로 거리의 개념은 어플리케이션에서 실제로 관심이 있는 반면 Palm 분포에는 위상 구조가 필요합니다. 즉, 점 프로세스는 일반적으로 ^[152]메트릭을 사용하여 수학적 공간에서 정의됩니다.또한 점 프로세스의 실현을 계수 측도로 간주할 수 있으므로 점 프로세스는 랜덤 계수 ^[116]측도로 알려진 랜덤 측도의 일종입니다.이러한 맥락에서, 포아송과 다른 점 프로세스는 국소적으로 콤팩트한 두 번째 카운트 가능 하우스도르프 ^[153]공간에서 연구되었다.

콕스 점법

콕스 포인트 프로세스, 콕스 프로세스 또는 이중 확률 포아송 프로세스는 강도 측정$(\displaystyle\textstyle\Lambda)$도 기본 포아송 프로세스와 무관하도록 함으로써 포아송 포인트 프로세스의 일반화입니다.랜덤 강도를 가진 다른 포아송 과정은 Lucien Le Cam과 Maurice Quenouille에 ^[15]의해 이전에 독립적으로 도입되었지만, 이 과정은 1955년에 이것을 도입한 David Cox의 이름을 따서 명명되었습니다.강도 측정은 랜덤 변수 또는 랜덤 필드의 실현일 수 있습니다.예를 들어 강도 측정의 로그가 가우스 랜덤 필드인 경우 결과 프로세스는 로그 가우스 콕스 ^[154]프로세스로 알려져 있습니다.보다 일반적으로 강도 측정은 음이 아닌 국소 유한 랜덤 측정의 실현이다.Cox 점 공정은 점 군집을 나타내며, 수학적으로 포아송 점 공정보다 큰 것으로 나타날 수 있습니다.Cox 프로세스의 일반성과 추적성은 공간 통계^[155] 및 무선 ^[20]네트워크와 같은 분야에서 Cox 프로세스를 모델로 사용하는 결과를 초래했습니다.

표시된 포아송 점 공정

주어진 점 공정의 경우 점 공정의 각 랜덤 점은 마크라고 하는 랜덤 수학적 객체를 랜덤하게 할당할 수 있습니다.이러한 표시는 정수, 실수, 선, 기하학적 객체 또는 기타 ^[156][157]점 프로세스와 같이 다양할 수 있습니다.점 공정의 점 및 해당 점으로 구성된 쌍을 점이라고 하며, 모든 점들이 점 ^[158]공정을 형성합니다.랜덤 표시는 서로 독립적이고 동일한 분포를 갖는다고 가정하는 경우가 많지만, 점의 표시는 여전히 기본(^[159]상태) 공간에서의 해당 점의 위치에 따라 달라질 수 있다.기본 점 공정이 포아송 점 공정인 경우 결과 점 공정이 표시된 포아송 점 ^[160]공정입니다.

마킹 정리

일반적인 점 프로세스가 일부 수학적 공간에 정의되고 랜덤 마크가 다른 수학적 공간에 정의되는 경우, 표시된 점 프로세스는 이 두 공간의 데카르트 곱에 정의됩니다.독립적이고 동일한 분포의 마크가 있는 마킹 포아송 점 프로세스의 경우, 마킹^[159][161] 정리에 따르면 이 마킹된 점 프로세스는 앞서 언급한 두 수학 공간의 데카르트 곱에 정의된 (표시되지 않은) 포아송 점 프로세스이기도 하지만, 일반 점 프로세스에는 해당되지 않습니다.

복합 포아송 점 공정

복합 포아송 점 공정 또는 복합 포아송 공정은 일부 기본 공간에 정의된 포아송 점 공정의 각 점에 랜덤 값 또는 가중치를 추가하여 형성되므로 표시 포아송 점 공정으로 구성됩니다. 여기서 표시는 독립적이고 동일하게 분포되지 않은 랜덤 변동의 집합을 형성합니다.Bles이다. 즉, 원본 포아송 과정의 각 지점에, 있으면 똑같이 분포되었고 독립적인non-negative 확률 변순 다음 화합물 포아송 과정 모든 확률 변수는 푸아송 과정은 근본적인 수학적 공간의 어떤 지역에 위치해 있지점에 따라의 총액에서 생긴다는 것이다.[162]

포아송 포인트 $프로세스{\displaystyle }$ N$($$예$를 $들어{\displaystyle {}^{}}$ R $\$textstyle\textstyle\textstyle$\$$textbf$$d})$과 독립적이고 동일한 분포의 비음성${\displaystyle }$마크 ${\displaystyle {}_{}}$ {$}($ 스타일$\textstyle\{M_{{d}}})$으로 구성된 포아송 포인트 프로세스가 있는 경우$$ 포아송 $프로세스{\displaystyle }$ N$(\$${\displaystyle {displaystyle}_{}}$$\textstyle$ N$)$의 각 점 xi$(\$$displaystyle\textstyle x_{i$})에$$ 대해 음이 아닌 랜덤 변수 Mi$(\displaystyle\textstyle M_{i$가 존재하도록 복합 포아송 프로세스는 ^[163]다음과 같습니다.

${\displaystyle C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i}$

$여기$서 B${\displaystyle r^{}}$ R$$\ $displaystyle$\ $textstyle$B \ $subset$\ $textbf {R}$ }^{$d}$는 Borel 측정 가능한 세트입니다.

일반 랜덤${\displaystyle }$변수 { ${\displaystyle {Mi}_{}}$ $}$ { $displaystyle$\ $textstyle$$$\ { $M$_ { $i$} \ } } take$$ {\ space ${\displaystyle {space}^{}}$ space$$、 $displaystyle$$\ textstyle$ \$textbf${ $R$}{ d$\}$ $d$ euclidean $euclidean{\displaystyle }$ in , , , , , , , , , , ,, , , in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{}]}$( \ $displaystyle$\ $textstyle$ [ 0 , \ $infty$] $)\$ $displaystyle$ \ $textstyle$[ 0 , \ infty$])$^[164]에 정의되어 있는 균일한 $포인트프로세스{\displaystyle }$N { displaystyle \ $textstyle$ N$$}부터$$ 시작합니다.

강도 함수의 지수 평활을 사용한 고장 프로세스

강도 함수 지수 평활(FP-ESI)을 사용한 고장 프로세스는 비균질 포아송 프로세스의 확장입니다.강도는 기능의 이벤트 발생하게 outperforms 8실제 실패 데이터 집합 위에 있을 때 모델이 모델 AIC(아카 이케 informati의 관점에서 측정된다 datasets,[165]에 맞게 사용되는 다른 9확률 과정의 마지막 시간 포인트에서 FP-ESI의 강도 함수는 지수 smoothing 기능이다.c에기준) 및 BIC(베이지안 정보 기준).

「 」를 참조해 주세요.

• 부울 모형(확률론)
• 연속체 침투 이론
• 복합 포아송 공정
• 콕스 과정
• 포인트 프로세스
• 확률 기하학
• 무선 네트워크의 확률 기하학 모델
• 마르코프 도착 과정

메모들

레퍼런스

특정한

General

Books

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 October 2006). Stochastic Geometry: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004. Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
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• H. C. Tijms (18 April 2003). A First Course in Stochastic Models. John Wiley & Sons. pp. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Articles

• Stirzaker, David (2000). "Advice to hedgehogs, or, constants can vary". The Mathematical Gazette.
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "What happened to discrete chaos, the Quenouille process, and the sharp Markov property? Some history of stochastic point processes". International Statistical Review.