패널 데이터에 대한 부분우도 방법

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패널 데이터에 대한 부분(풀링)우도 추정은 패널 분석을 위한 준최대우도법으로서, 각 기간 동안 y의_it 밀도가_it 정확하게 지정된다고 가정하지만 x that(x_i1, ...,x_iT)의_i 조건부_i 밀도에서 오특정을_i1 가능하게 한다_iT.

묘사

구체적으로는 부분우도 추정은 결합 조건부 분포의 밀도로서 조건부 밀도의 곱을 이용한다.이 일반성은 y의 조건부_i 분포를 완전히 지정하는 것이 계산적으로 ^[1]어려울 수 있기 때문에 패널 데이터 설정에서 최대우도 방법을 용이하게 합니다.한편, 오특정을 허용하면 일반적으로 정보평등을 위반하게 되므로 추론을 위해 강력한 표준 오차 추정기가 필요하다.

다음 설명에서는 ^[1]Woldridge에서의 치료법을 따릅니다.특히 점근유도법은 고정T, 성장N 설정 하에서 이루어진다.

주어진_it x의 조건부 밀도를 f(y_itit x;θ_it)로 쓰면 부분 최대우도 추정기는_t 다음을 해결합니다.

$\displaystyle \max \{\theta \in \theta }\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}\log f_{t}(y_{it}\mid x_{it};\theta)}$

이 식에서 주어진_i x의 y의 결합_i 조건부 밀도는 δ_tt f(y_itit x ; δ)로 모델링된다.f_t(y_itit x ; ))가 각 t = 1, ..., T에 대해 올바르게 지정되고 E[f_t (y_itit ;x ; ))]를 고유하게 최대화하는 θ₀ θ that가 존재한다고 가정합니다. 단, 접합 조건부 밀도는 올바르게 규정되어 있지 않다고 가정한다.일부 규칙성 조건에서는 부분 MLE가 일관되고 점근적으로 정규적입니다.

M-추정자(Wooldridge에 포함)의 일반적인 인수에 따르면, δN(θ-θ_MLE0)의 점근 분산은 A⁻¹ BA이며⁻¹, 여기서⁻¹ A = E [ ²_θδX_t ; ⁻¹δX logf_tt (yx_itititit ; δX_t ; ） ] （ _θδX ; ） _θ（ ） LOGF_ttitit （ ） 。주어진_i x의 결합_i 조건 밀도를 정확하게 지정하면, 정보 등식이 B=A라고 하기 때문에 점근 분산에 대한 위의 공식은 간단해진다.그러나 특별한 상황을 제외하고 부분 MLE로 모델링된 접합 밀도는 정확하지 않다.따라서, 유효한 추론을 위해 점근 분산에 대한 위의 공식을 사용해야 한다.정보의 평등을 유지하기 위해, 한 가지 충분한 조건은 각 기간의 밀도 점수가 상관관계가 없다는 것이다.동적 완전 모형에서는 조건이 유지되므로 단순화된 점근 분산이 ^[1]유효합니다.

포아송 모형에 대한 합동 QMLE

합동 QMLE는 패널 데이터를 포아송 결과와 함께 사용할 수 있는 경우 모수를 추정할 수 있는 기법입니다.예를 들어, 시간이 지남에 따라 여러 회사의 특허 파일 수에 대한 정보를 얻을 수 있습니다.합동 QMLE는 관찰되지 않은 효과(랜덤 효과 또는 고정 효과일 수 있음)를 반드시 포함할 필요는 없으며, 추정 방법은 주로 이러한 목적을 위해 제안된다.계산 요건은 특히 고정 효과 포아송 모델에 비해 덜 엄격하지만, 트레이드오프는 관찰되지 않은 이질성이 없다는 강력한 가정일 수 있다.합동은 서로 다른 기간 T에 걸쳐 데이터를 합동하는 것을 의미하며 QMLE는 준최대우도 기법을 나타냅니다.

${\displaystyle {xi}_{}}${\$displaystyle x_{i$$}$의 $포아송{\displaystyle {}_{}}$ 분포는 다음과 ^[2]같이 지정됩니다.

${\displaystyle f(y_{i}\mid x_{i}=black {e^{-\mu _{i}\mu _{i}}{y_{i}}!}}}$

포아송 합동 QMLE의 시작점은 조건부 평균 가정입니다.구체적으로 콤팩트 파라미터 공간 B의 일부 ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$에 대해 조건 평균은 다음과 같이 주어지는^[2] 것으로 가정합니다.

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{t}\mid x_{t}]=m(x_{t},b_{0})=\mu _{t}{\text{ for }}t=1,\ldots,T}}}$

M-추정 기법을 사용할 수 있도록 소형 모수 공간 조건이 적용되는 반면, 조건부 평균은 포아송 공정의 모집단 평균이 관심 모수라는 사실을 반영합니다.이 경우 포아송 프로세스를 제어하는 파라미터는 $벡터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ t ${\$ {\$style x_{t}\centerdot$^[2]에 대해 변화할 수 있습니다.m 함수는 시간 ^[3]경과에 따라 정적으로 지정되는 경우가 많지만 원칙적으로 시간에 따라 변화할 수 있습니다.조건부 평균 함수만 지정되며, 이 평균 조건이 올바르게 지정되어 있는 한 ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$의 일관된 추정치를 얻을 수 있습니다.따라서 합동 포아송 ^[2]추정에 대한 준로그 우도를 나타내는 다음과 같은 1차 조건이 발생합니다.

$\displaystyle \ell _{i}(b)=\sum [y_{it}\log(m(x_{it,b))-m(x_{it,b)]=0}$

포아송 프로세스가 양의 ^[3]실선 위에 정의되므로 일반적으로 ${\displaystyle {}_{}=}$ (${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{b\mathrm{}}_{}}$ 0 ) ${\displaystyle =}$ exp${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ t$$0 ) { $displaystyle$ m = ($x$ _ { t ,$b$ _ { 0 ) =$$\$exp$ ( x $_${ t } b _ { 0 $}$ 입니다$.$그러면 조건부 모멘트가 지수 지수 함수(${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ b$$ {\$displaystyle x_{t}b_{0$})로 감소합니다.$x{\displaystyle {}_{}}$ t b_{0$}$는 선형 인덱스이고 exp는 링크 ^[4]함수입니다.

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