함수의 범위

수학에서 함수의 범위는 밀접하게 관련된 두 가지 개념 중 하나를 의미할 수 있습니다.

• 함수의 코드 도메인, 또는
• 함수의 상

경우에 따라 코드 도메인과 함수의 이미지가 동일한 집합입니다. 이러한 함수를 surjective 또는 on이라고 합니다. 비투시적 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y,}${\$displaystyle$ $f:$X\to Y,} 코드 도메인 Y {\displaystyle Y}와 이미지 Y ~ {\displaystyle {\tilde {Y}}는 다르지만 원래 함수의 이미지를 코드 도메인으로 사용하여 새 함수를 정의할 수 있습니다. f ~ : X → Y ~ {\displaystyle {\tilde {f}:$X\to {\tilde {Y}}$ 여기서 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$$=$ ${\displaystyle f}$ )$$. {\displaystyle {\tilde {f}}(x) $=$ f(x)입니다.$}$이$$ 새로운 기능은 객관적입니다.

정의들

두 집합 X와 Y가 주어졌을 때, X와 Y 사이의 이항 관계 f는 만약 X에 있는 모든 원소 x에 대하여 f가 x와 y 사이의 관계가 있는 y가 정확히 하나라면 (X에서 Y까지의) 함수입니다. 집합 X와 Y를 각각 f의 정의역과 공역이라고 합니다. 함수 f의 영상은 x에 적어도 하나의 x가 f(x) = y인 Y의 원소 y로만 구성된 Y의 부분 집합입니다.

사용.

'범위'라는 용어가 다른 의미를 가질 수 있는 만큼 교과서나 기사에서 처음 사용될 때 이를 정의하는 것이 좋은 사례로 여겨집니다. 오래된 책들은 "범위"라는 단어를 사용할 때, 그것을 현재 코도메인이라고 불리는 것을 의미하는 데 사용하는 경향이 있습니다.^[1] 좀 더 현대적인 책들은, 만일 그것들이 "범위"라는 단어를 전혀 사용한다면, 그것은 일반적으로 지금 이미지라고 불리는 것을 의미하기 위해 사용됩니다.^[2] 혼란을 피하기 위해, 많은 현대 책들은 "범위"라는 단어를 전혀 사용하지 않습니다.^[3]

정교화 및 예시

주어진 함수

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

with domain ${\displaystyle X}$, the range of ${\displaystyle f}$, sometimes denoted ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$ or ${\displaystyle \operatorname {Range} (f)}$,^[4] may refer to the codomain or target set ${\displaystyle Y}$ (i.e., the set into which all of the output of ${\displaystyle f}$ is constrained to fall), or to ${\displaystyle f(X)}$, the image of the domain of ${\displaystyle f}$ under ${\displaystyle f}$ (i.e., the subset of ${\displaystyle Y}$ consisting of all actual outputs of ${\displaystyle f}$). 함수의 영상은 항상 함수의 코드 도메인의 하위 집합입니다.^[5]

두 가지 다른 용도의 예로, $함수$ f${\displaystyle (x)}$ = ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\displaystyle f(x) = x^{2}}가 실해석(즉, 실수를 입력하고 제곱을 출력하는 함수)에서 사용된다고 생각합니다. 이 경우 코드 도메인은 실수 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$집합이지만 이미지는 음수가 아닌 실수 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$ 집합입니다$.$ 왜냐하면 $x{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ x$^{2}$가 실수일$$ 경우 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ x$}$가 음수가 아니기$$ 때문입니다. 이 함수의 경우${\displaystyle {\displaystyle {}^{}}}$"range"를 코도메인을 의미하는 데 $사용$하면 R ${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb$ {R$}$^{}}, "range"를 이미지를 의미하는 데 사용하면 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$를 나타냅니다$.$

일부 함수의 경우 영상과 코드 도메인이 일치합니다. 이러한 함수를 surjective 또는 on이라고 합니다. 예를 들어 실수를 입력하고 이중으로 출력하는 함수 $f$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 2 $,$ {\displaystyle f(x) = 2x}를 생각해 보십시오. 이 함수의 경우 코드 도메인과 이미지 모두 모든 실수의 집합이므로 단어 범위가 모호하지 않습니다.

함수의 이미지와 코도메인이 다른 경우에도 새로운 함수는 원래 함수의 이미지로 코도메인을 사용하여 고유하게 정의될 수 있습니다. 예를 들어, 정수에서 정수로의 함수로서 짝수 정수만이 영상의 일부이므로 배가 $함수{\displaystyle }$f${\displaystyle (n}$) = ${\displaystyle 2}$n {\displaystyle f(n) = 2 n}은 타의적이지 않습니다. 그러나 도메인이 정수이고 코드 도메인이 짝수 정수인 새로운 함수 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$(${\displaystyle n)}$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}${\displaystyle {\tilde {f}}(n) = 2 n은 사변적입니다. $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\tilde {f}}$의 경우 단어$$ 범위가 명확하지 않습니다.

참고 항목

• 바이젝션, 인젝션, 스젝션
• 필수범위

참고사항 및 참고사항

서지학

• Childs, Lindsay N. (2009). Childs, Lindsay N. (ed.). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. doi:10.1007/978-0-387-74725-5. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 73. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8.