피셔 변환

통계에서 Fisher 변환(Fisher z-변환이라고도 함)을 사용하여 변수 X와 Y 사이의 모집단 상관 계수 ρ의 값에 대한 가설을 검정할 수 있다.^[1][2] 이는 변환을 표본 상관 계수에 적용할 때 결과 변수의 표본 분포가 근사적으로 정규 분포를 따르고, 분산이 기초적인 참 상관 계수의 다른 값에 비해 안정적이기 때문이다.

정의

일련의 N 이변량 검체 쌍(X_i, Y_i, i = 1, …, N)에 대해, 표본 상관 계수 r은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle r={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}}}.}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{cov}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X , ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \operatorname {cov}(X,Y)}$은 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Y}$과 σ {\$displaysty \sigma}$ 사이의 공분산을 나타내는$$$$ 말이다. 피셔의 r의 z 변환은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle z={1 \over 2}\ln \left1+r \over 1-r}\right)=\displayname {artanh}(r),}$

여기서 "ln"은 자연 로그 함수, "artanh"는 역 쌍곡 탄젠트 함수다.

(X, Y) 상관 관계가 b인 이변 정규 분포를 가지고 있고 (X_ii, Y) 쌍이 독립적이고 동일한 분포인 경우, z는 평균과 함께 근사적으로 정규 분포를 따른다.

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \lefted{1+\rho } \over {1-\rho }\오른쪽),}$

표준 오차

${\displaystyle {1\over {\sqrt{N-3}},}$

여기서 N은 표본 크기, ρ은 참 상관 계수다.

이 변환과 그 역변환

${\displaystyle r={\frac {\exp(2z)-1}{\exp(2z)+1}:{\exp(2z)+1}=\chname {tanh}(z),}$

표준 정상 이론과 파생을 사용하여 r에 대한 대-변수 신뢰 구간을 구성하는 데 사용할 수 있다. 부분 상관 관계에 대한 적용도 참조하십시오.

파생

이 기사는 위키피디아의 품질 기준을 충족시키기 위해 정리가 필요할 수 있다. 구체적인 문제는 파생의 단계가 완전히 배치되지 않고, 등호 없는 관계는 별로 알 수 없다는 점이다. 가능하다면 이 기사를 개선하는 것을 도와줘. (2021년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

Hoteling은 피셔 변환을 간결하게 유도한다.^[3]

Fisher 변환을 이끌어내기 위해, $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$\},$ say $G{\displaystyle }$($){\displaystyle$ $G($$r)}$의 임의 증가함수를 고려하는 것으로 시작한다$.$ 해당 왜도 $\kappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\$의^[4] ${\displaystyle }$ N ${\displaysty$} 확장에서$$ 첫 번째 용어를 찾는다.

${\displaystyle \kappa _{3}={\frac {6\rho -3(1-\rho ^{2})G^{\premy \premy \rho )/G^{\premy }}{\sqrt{N}}+O(N^{-3/2})}$

$\kappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$을(를) 설정하고$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle \mathrm{artanh}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) {\$displaystyle G(\rho )=\operatorname {artanh}(\rho$) 함수를$$ 계산한다$$.

${\displaystyle \mathrm{artanh}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \operatorname {artanh} (r)}$의 평균과 분산을 비슷하게 확장하면 attanh를 얻게 된다$.$

${\displaystyle \operatorname {artanh}(\rho )+{\frac {\rho }{2N}+O(N^{-2})}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {1}{N}+{\frac {6-\rho ^{2}}:{2}N^{2}}}+O(N^{-3}})}$

각각

추가 용어는 일반적인 피셔 변환의 일부가 아니다. $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$의 큰 값과$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 작은 값의 경우$$, 역의 계산을 크게 복잡하게 하지만 최소 비용으로 큰 정확도 향상을 나타낸다. - 폐쇄형 표현식은 사용할 수 없다. 변형의 거의 일정한 분산은 그 왜도를 제거한 결과인데, 실제 개선은 추가 조건이 아니라 후자에 의해 달성된다. 추가 조건 포함:

${\displaystyle {\frac {z-\bename {artanh}(\rho )-{\frac {\rho}{2}N}}{{\sqrt {{\frac {1}{N}+{\frac {6-\rho ^{2}}:{2}}N^{2}}}}}}$

표준 정규 분포를 가진 훌륭한 근사치를 가지고 있다.^[5]

토론

Fisher 변환은 X와 Y가 이변량 정규 분포를 따를 때 r에 대한 대략적인 분산 안정화 변환이다. 이는 z의 분산이 모집단 상관 계수 ρ의 모든 값에 대해 근사적으로 일정하다는 것을 의미한다. 피셔 변환이 없으면 ρ이 1에 가까워질수록 r의 분산이 작아진다. 피셔 변환은 r < 1/2일 때 대략적으로 식별함수이므로, ρ이 너무 크지 않고 N이 너무 작지 않은 한 r의 분산이 1/N만큼 충분히 근사하다는 것을 기억하는 것이 유용할 때가 있다. 이는 이변량 정규 데이터에 대해 r의 점근 분산이 1이라는 사실과 관련이 있다.

이 변형의 행동은 피셔가 1915년에 그것을 도입한 이후 광범위하게 연구되어 왔다. 피셔 자신은 1921년 이바리테 정규 분포에서 데이터에 대한 z의 정확한 분포를 발견했고, 1951년^[6] 가옌은 이바리테이트 타입 A Edgeworth 분포에서 데이터에 대한 z의 정확한 분포를 결정했다. 1953년 Hoteling은 z의 순간과 몇몇^[7] 관련 통계에 대한 Taylor 시리즈 식을 계산했고 1989년 Hawkins는 한계된 네 번째 순간을 가진 분포에서 데이터에 대한 z의 점근 분포를 발견했다.^[8]

Fisher 변환의 대안은 다음과^[9][10] 같은 ρ에 대해 정확한 신뢰 분포 밀도를 사용하는 것이다.

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은 가우스 초지하계 함수와 = N- > 1 ${\displaystyle \nu$= $N-1>1}.$

기타 용도

피셔 변환은 주로 이변량 정규 관측을 위한 피어슨 제품-순간 상관 계수와 연관되지만, 더 일반적인 경우 스피어맨의 순위 상관 계수에도 적용될 수 있다.^[11] 점근 분포에도 유사한 결과가 적용되지만 사소한 조정 요인이 있는 경우: 자세한 내용은 후자를 참조하십시오^{[clarification needed]}.

참고 항목

• 데이터 변환(통계)
• 메타분석(이 변환은 분산을 안정화하기 위한 메타분석에 사용된다)
• 편상관
• R 실행

참조