스큐 대칭 행렬

수학에서 특히 선형대수학에서, 스큐 대칭 행렬(또는 비대칭 또는 반측위^[1] 행렬)은 전이가 음의 행렬과 같은 정사각형 행렬이다. 즉, 조건을^[2]^{: p. 38} 만족시킨다.

$A{\text}{sign-symmetric}\quad \iff \qad A^{\textsf{T}}=-A.$

행렬의 ${\textstyle a_{ij}}$ 으로 볼 때 ${\textstyle a_{ij}}$ j ${\$ 이( ${\textstyle i}$ ) i ${\textstyle i}$ -th ${\textstyle i}$ ${\textstyle j}$ 과 j ${\textstyle$ j $}$ -th ${\textstyle j}$ 열에 있는 항목을 나타내는 ${\textstyle a_{ij}}$ 경우 skew-대칭 조건은 다음과 같다.

$A{\text}{sque-symmetric}\quad \iff a_{ji}=-a_{ij}.$

예

행렬

A={\begin{bmatrix}0&#2&-45\\-2&0-4\\45&4&0\end{bmatrix}}

때문에 꼬치꼬치 캐묻는다.

-A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&04\\-45&-4&0\end{bmatrix}=A^{\textsf {T}.

특성.

전체적으로 모든 매트릭스 항목은 특성이 2와 같지 않은 ${\textstyle \mathbb {F} }$ ${\textstyle \mathbb {F} }$ ${\$ 필드에 속한다고 가정한다. 즉, 1 + 1 ≠ 0을 가정하며, 여기서 1은 승법적 정체성을 나타내고 0은 주어진 필드의 부가적 정체성을 나타낸다. 만약 그 분야의 특성이 2라면, 스큐 대칭 행렬은 대칭 행렬과 같은 것이다.

두 개의 스큐 대칭 행렬의 합은 스큐 대칭이다.
스칼라 배수의 스큐 대칭 행렬은 스큐 대칭이다.
스큐 대칭 행렬의 대각선 원소는 0이므로 그 추적이 0과 같다.
${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ 이 ${\textstyle A}$ (가) 실제 스큐 대칭 행렬이고 ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$ 이(가) 실제 ${\textstyle \lambda }$ 고유값인 ${\textstyle \lambda =0}$ , ${\textstyle \lambda =0}$ = ${\textstyle \lambda =0}$ ${\textstyle \lambda =0$ 즉, 스큐 대칭 행렬의 비제로 고유값은 비현실적이다.
${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ 이 ${\textstyle A}$ (가) 실제 스큐 대칭 행렬인 경우 ${\textstyle I+A}$ + A ${\textstyle$ I $+A}$ 을(를) 변환할 수 없으며 ${\textstyle I+A}$ ${\textstyle I}$ 서 I ${\textstyle I}$ 은 ${\textstyle I}$ (는) ID 행렬이다.
${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ 이 ${\textstyle A}$ (가) 스큐 대칭 행렬인 경우 A ${\textstyle A^{2}}$ ${\$ 은 대칭 음의 반확정 행렬이다 ${\textstyle A^{2}}$ .

벡터 공간 구조

위의 처음 두 특성의 결과로 고정된 크기의 모든 스큐 대칭 행렬이 벡터 공간을 형성한다. ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\time n}$ 스큐 대칭 ${\textstyle n\times n}$ 행렬의 공간에는 차원 ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$ ( ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$ - 1 ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$ ) ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$ . ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1$ )이 있다 $.$ $}$

${\mbox{Mat}}_{n}$ ${\mbox{Mat}}_{n}$ ${\$ _{ $n}}}$ 은(는) 매트릭스 ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle$ n $\times n}$ 의 공간을 나타낸다 ${\mbox{Mat}}_{n}$ . A skew-symmetric matrix is determined by ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ scalars (the number of entries above the main diagonal); a symmetric matrix is determined by ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ scalars (the number of entries on or above the main diagonal). ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ n ${\$ ${n$ $}}$ 은(는) ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle$ n $\times n}$ scimm ${\textstyle n\times n}$ $}$ 의 공간을 나타내며 ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\$ $textstyle{\$ $textstyle$ ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ n $}의$ 행렬을 ${\textstyle n\times n}$ 나타낸다. ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\$ 인 경우 ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$

A={\frac{1}{1}{2}}\왼쪽(A-A^{\mathsf{T}\오른쪽)+{\frac{1}{1}2}}\왼쪽(A+A^{\mathsf{T}\오른쪽)+{\frac.

Notice that ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ and ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.$ $}$ 특성 2와 다른 모든 필드의 항목이 있는 ${\textstyle A}$ 모든 사각 행렬 ${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ 에 대해 해당된다 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$ . Then, since ${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$ and ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=0,}$

{\mbox{Mat}_{n}={\mbox{Skew}_{n}\nplus{\mbox{Sym}}}}

여기서

\oplus

\oplus

은(는) 직접 합을 나타낸다

\oplus

.

${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ , , ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $\$ {\ $textstyle \langle \cdot ,\cdot \angle }$ 에 $\mathbb {R} ^{n}.$ 표준 ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ 내측 제품. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}}}}.$ $\mathbb {R} ^{n}.$ ${\textstyle A}$ $n\times n$ $n\times n$ $n\times n$ $n\times n$ 행렬 $n\times n$ A ${\textstyle A}$ 은(는) 다음과 같은 경우에만 스큐 대칭이다 ${\textstyle A}$ .

\langle Ax,y\langle =-\langle x,Aay\angle \quad {\text{ 모든 }x,y\in \mathb {R}^{n}.

This is also equivalent to ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$ for all $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (one implication being obvious, the other a plain consequence of ${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$ for all $x$ and ${\di$ $splaystyle y}$ $y$ )

이 정의는 기준의 선택과 무관하므로, 스큐 대칭은 선형 $연산자$ A $A$ 과 $A$ 내부 제품의 선택에만 의존하는 속성이다.

$3\times 3$ $3\times 3$ $3\times 3$ $[\displaystyle 3\properties 3}$ 꼬치 $3\times 3$ 대칭 행렬을 사용하여 교차 제품을 행렬 곱으로 나타낼 수 있다.

결정인자

$A$ $A$ 을(를) $n\times n$ $n\times n$ $n\times n$ ${\displaystyle n\times$ n $}$ 스큐 대칭 $n\times n$ 행렬로 한다 $A$ . $A$ $A$ 의 결정 요인이 충족됨 $A$

\det \left(A^{\textsf {T}\오른쪽)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)

특히 $n$ $n$ 이 $n$ (가) 홀수이고, 기본 필드가 특성 2가 아니기 때문에 결정요소가 소멸된다. 따라서 모든 홀수 치수 치우침 대칭 행렬은 결정 요인이 항상 0이기 때문에 단수적이다. 이 결과를 칼 구스타프 자코비(Eves, 1980)의 뒤를 이어 자코비의 정리라고 한다.

이븐 차원 케이스가 더 흥미롭다. Cayley에 $의해$ 처음 증명된 $A$ $n$ 에 대한 $A$ $A$ $A$ 의 결정요인은 심지어 $n$ A {\ $displaystyle A}$ 의 항목에서 다항식의 제곱으로 기록될 수 있다는 것이 밝혀졌다 $A$ ^[3]

{\displaystyle \det {(A)}=\operatorname {Pf}(A)^{2}.

이 다항식은 $A$ $A$ 의 Pfaffian이라 불리며 $A$ $\operatorname {Pf} (A)$ $\operatorname {Pf} (A)$ ( $\operatorname {Pf} (A)$ $\operatorname {Pf} (A)$ 로 표시된다 $\operatorname {Pf} (A)$ 따라서 실제 스큐 대칭 행렬의 결정 인자는 항상 음이 아니다. 그러나 이 마지막 사실은 다음과 같은 기본적인 방법으로 증명할 수 있다: 실제 스큐-대칭 행렬의 고유값은 순전히 가상이며(아래 참조), 거기 있는 모든 고유값에 동일한 다중의 결합 고유값에 상응한다. 따라서 결정요소가 고유값의 산물인 만큼, 각각의 고유값을 그 멀에 따라 반복한다.tiplicity는 결정 요인이 0이 아닐 경우 양수라는 것을 동시에 따른다.

순서 $n$ $n$ 의 스큐 대칭 행렬 결정인자 확장에 있어서 $s(n)$ ( $s(n)$ ) $s(n)$ 의 개수는 이미 Cayley, Sylvester 및 Pafe에 의해 고려되었다 $n$ . 취소로 인해 이 숫자는 주문 $n$ ${\displaystyle n$ 의 일반 매트릭스( $n$ !)의 항 수는 n $!$ ${\displaystyle$ n $!}$ 이다 $n!$ 시퀀스 $s(n)$ ( $s(n)$ ) ${\displaystyle s(n)}($ OEIS의 시퀀스 A002370)는

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

그리고 그것은 지수 생성 함수로 인코딩된다.

\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {s(n)}{n!}}}x^{n}=\좌측(1-x^{2}\우측)^{-{-{\frac {1}{4}}\exp \좌측\frac{x^{2}}:{4}\우측).

후자는 점근법( $n$ $n$ 의 $n$ 경우 짝수)에 도달한다.

s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).

$n$ ${\displaystylen}$ 이 $n$ (가) 증가함에 따라 양수 및 음수 값이 점점 더 커지지만(OEIS에서 연속 A167029) 양수 및 음수 항의 수는 대략 절반에 가깝다.

크로스 제품

3x3의 스큐 대칭 행렬을 사용하여 교차 제품을 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다. Consider vectors ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$ and ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$ Then, defining the matrix

[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},

교차 제품은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\mathbf {a} \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\mathbf {b} .

이는 이전 방정식의 양쪽을 계산하고 결과의 각 해당 요소를 비교함으로써 즉시 검증할 수 있다.

한 사람이 실제로 가지고 있다.

[\mathbf {a\b} ]{\mathbf {a}=[\mathbf {b}{\mathbf {b}-[\mathbf {b}-]_{\mathbf {a}[\mathbf {a} ]_{\mathb};};

즉, 3-벡터의 교차 생산물로 꼬치-삼각형 행렬의 정류자를 식별할 수 있다. 스큐 대칭 3 대 3 행렬은 회전 그룹 ${\textstyle SO(3)}$ ${\textstyle SO(3)}$ ( 3 ${\textstyle SO(3)}$ ) ${\textstyle SO(3)}$ 의 Lie 대수이므로, 이는 ${\textstyle SO(3)}$ 3-공간 ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\$ 교차 제품과 3차원 회전 사이의 관계를 설명한다. 극소수의 회전에 대한 자세한 내용은 아래에서 확인할 수 있다.

스펙트럼 이론

행렬은 자신의 전치물과 비슷하므로 동일한 고유값을 가져야 한다. 따라서 스큐 대칭 행렬의 고유값은 항상 쌍 ± λ으로 나타난다(추가적으로 손상되지 않은 0 고유값이 있는 홀수차원 경우는 제외). From the spectral theorem, for a real skew-symmetric matrix the nonzero eigenvalues are all pure imaginary and thus are of the form $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ where each of the $\lambda _{k}$ are real.

실제 스큐 대칭 행렬은 정상 행렬이며(그 행렬은 조정 행렬로 통근한다) 따라서 스펙트럼 정리에 따르며, 이는 모든 실제 스큐 대칭 행렬은 단일 행렬에 의해 대각화될 수 있다는 것을 명시한다. 실제 스큐 대칭 행렬의 고유값은 상상이므로 실제 행렬에 의해 하나씩 대각선화하는 것은 불가능하다. 그러나 특별한 직교 변환에 의해 모든 스큐 대칭 행렬을 블록 대각선 형태로 가져올 수 있다.^[4]^[5] 구체적으로 매 $2n\times 2n$ $2n\times 2n$ $2n\times 2n$ $2n\times 2n$ 실제 $2n\times 2n$ 스큐 대칭 $A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ 은 Q ${\$ A $=Q\Sigma$ Q $^{\textsf{T}$ 형식으로 작성할 수 있다 $A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ $Q$ 서 $A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ Q $Q$ 는 $Q$ 직교이고

\Sigma){\begin{bmatrix}{\begin{행렬}0&, \lambda _{1}\\-\lambda _{1}&, 0\end{매트릭스}}&0&, \cdots &, 0\\0&,{\begin{행렬}0&, \lambda _{2}\\-\lambda _{2}&, 0\end{매트릭스}}&&0\\\vdots &,&\ddots &, \vdots \\0&, 0&, \cdots &,{\begin{행렬}0&, \lambda _{r}\\-\lambda _{r}&, 0\end{매트릭스}}\\&.앰프,&&&{\begin{행렬}0\\&, \ddots \\&,&0\end{매트릭스}}\end{bmatrix}}

진짜 양성 반응 $\lambda _{k}$ $\lambda _{k}$ ${\$ 에 대해 $\lambda _{k}$ 이 행렬의 0이 아닌 고유값은 ±102_k i이다. 홀수차원 사례에서 σ은 항상 적어도 하나의 행과 0 열을 가진다.

More generally, every complex skew-symmetric matrix can be written in the form $A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }$ where $U$ is unitary and $\Sigma$ has the block-diagonal form given above with $\lambda _{k}$ still real positive-definite복잡한 정사각형 행렬의 율라 분해의 예다.^[6]

스큐 대칭 및 교대형

임의 특성의 $K$ $필드$ K{\ $displaystyle K}$ 위에 $V$ 있는 벡터 공간 $V$ {\ $displaystyle V}$ 의 $\varphi$ 스큐 대칭 형식 $\varphi$ $\varphi$ 은 이선형 형식으로 정의된다.

V\time V\mapsto K}

$예$ 를 $v,w$ 들어 $모든$ v, $w$ {\ $displaystyle v,w}$ , ${\displaystyle$ V $,}$

\displaystyle \varphi(v,w)=-\varphi(w,v)}

이것은 2와 같지 않은 특성의 필드 위에 벡터 공간에 대해 바람직한 특성을 갖는 형태를 정의하지만, 특성 2의 필드 위에 있는 벡터 공간에서는 모든 원소가 그 자체의 첨가물 역이므로 그 정의는 대칭 형태의 그것과 동등하다.

벡터 공간 $V$ $V$ 이(가) 특성 2를 포함한 임의 특성 필드 위에 있는 $V$ 경우, $V$ $V$ 의 $v$ 모든 $벡터$ v $V$ 에 $\phi$ 대해 이선형 $\phi}$ 로 교차 형식을 정의할 수 있다.

\displaystyle \varphi(v,v)=0.}

이는 필드가 특성 2가 아닌 경우 에서 볼 수 있는 스큐 대칭 형태에 해당한다.

0=\varphi(v+w,v+w)=\varphi(v,v)+\varphi(v,w)+\varphi(w,w)=\varphi(v,v),

언제

\displaystyle \varphi(v,w)=-\varphi(w,v)}

A bilinear form $\varphi$ will be represented by a matrix $A$ such that $\varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw$ , once a basis of $V$ is chosen, and conversely an $n\times n$ matrix ${\displaystyle A$ $}}$ $K^{n}$ ${\$ 에 $A$ $K^{n}$ $(v,w)$ $v^{\textsf {T}}Aw.$ 전송 $($ , $(v,w)$ ) ${\$ $displaystyle$ $v$ ^{\ $displaystyle$ v $^{\textsf{T}Aw.}$ 각 대칭, 대칭, 대칭 및 교대칭 형식에 대해 $v^{\textsf {T}}Aw.$ 대표 행렬은 각각 대칭, 대칭, 대칭 및 교대칭 및 교대칭이다 $v^{\textsf {T}}Aw.$

무한 회전

실수의 필드 위에 있는 스큐 대칭 행렬은 ID 매트릭스에서 $O(n)$ 실제 직교 $O(n)$ O $O(n)$ ( $O(n)$ n ) ${\displaystyle$ O $(n)}$ 에 대한 접선 공간을 형성하며, 형식적으로는 특수 직교 Lie 대수학이다. 이런 의미에서, 그렇다면, 스큐 대칭 행렬은 극소수 회전이라고 생각할 수 있다.

$또$ 다른 방법은 $O(n).$ 스큐 $대칭 행렬$ 의 $O(n).$ 이 리 그룹 $O(n).$ ( $O(n).$ ) $O(n).$ . $O(n).$ . $o(n)$ . . . . . $O(n).$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $.$ . . . . . . . . . . . . . . . ${}$ 이 공간의 눕는 $O(n).$ 괄호는 정류자가 다음과 같이 지정한다.

[A,B]=AB-BA.\,}

두 개의 스큐 대칭 행렬의 정류자가 다시 스큐 대칭임을 쉽게 확인할 수 있다.

{\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}

스큐 대칭 행렬 $A$ 의 행렬 지수 {\ $displaystyle$ A}은 $($ matrix)가직교 $행렬$ R {\displaystyle $R}$ 이 $A$ (가) 된다 $R$

R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{A^{n}}{n!}}.

리 대수 기하급수적 지도의 이미지는 항상 아이덴티티 요소를 포함하는 리 그룹의 연결된 요소에 놓여 있다. Lie 그룹 $O(n),$ ( n $O(n),$ ) $O(n),$ , ${\displaystyle O(n$ )의 경우 $,$ 이 연결된 $O(n),$ 구성 요소는 결정 인자 1이 있는 모든 직교 행렬로 구성된 $SO(n),$ 특수 직교 그룹 $SO(n),$ $SO(n),$ ( $SO(n),$ ) $SO(n),$ , ${\displaystyle SO(n)$ 이다. 따라서 $R=\exp(A)$ = $R=\exp(A)$ $R=\exp(A)$ ( A $R=\exp(A)$ ) ${\displaystyle$ R $=\exp(A)}$ 은(는) 결정 요인 +1을 가질 것이다 $R=\exp(A)$ . 더욱이, 연결된 콤팩트 리 그룹의 지수적 지도가 항상 굴절적이므로, 단위 결정 인자를 가진 모든 직교 행렬은 어떤 스큐 대칭 행렬의 지수로서 기록될 수 있다는 것이 밝혀졌다. 차원 $n=2,$ = $n=2,$ , $n=2,$ 의 특정한 중요한 경우 직교 행렬에 대한 지수 $n=2,$ 표현은 복잡한 단위 계수의 잘 알려진 극성 형태로 감소한다. $n=2,$ $n=2,$ = 2 $n=2,$ , $n=2,$ 특수 직교 행렬의 형식이 있음

{\bmatrix}a&-b\b&\a\end{bmatrix},

$a^{2}+b^{2}=1$ + $a^{2}+b^{2}=1$ $a^{2}+b^{2}=1$ = $a^{2}+b^{2}=1$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1$ $b=\sin \theta ,$ $a=\cos \theta$ = $a=\cos \theta$ $a=\cos \theta$ ${\displaystyle a=\cos \$ $b=\sin \theta ,$ $}$ 과 b $a=\cos \theta$ $b=\sin \theta ,$ = $b=\sin \theta ,$ $b=\sin \theta ,$ $b=\sin \theta ,$ ${\displaystyle b=\sin$ \theta}을 $($ 를 $b=\sin \theta ,$ ) 넣으면 된다.

{\displaystyle{bmatrix}\cos \\theta &-\sin \,\theta \\sin \,\theta \end{bmatrix}}}=\exp \eft(\tata{bmatrix}0&1\,0\end{bmatrix}오른쪽)}

이것은 복합 단위 계수의 극성 형태 $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ + $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ = $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ i $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ ${\$ 에 $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ 정확히 해당한다.

$치수$ $n$ ${\$ $displaystyle$ $n}$ 에서 특수 직교 행렬 $R$ $R$ 을 $n$ (를) $R=QSQ^{\textsf {T}},$ = $R=QSQ^{\textsf {T}},$ $R=QSQ^{\textsf {T}},$ Q $R=QSQ^{\textsf {T}},$ ${\displaystyle$ R $=Q$ 로 작성할 수 있다는 $R$ 사실에서 출발하여 순서 n의 직교 행렬의 지수적 표현도 얻을 $n$ 수 있다. $SQ^{\textsf {T}},}$ where $Q$ is orthogonal and S is a block diagonal matrix with ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ blocks of order 2, plus one of order 1 if $n$ is odd; since each single block of order 2 is also an orthogonal matrix, it admits an exponential form. Correspondingly, the matrix S writes as exponential of a skew-symmetric block matrix $\Sigma$ of the form above, $S=\exp(\Sigma ),$ so that $R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),$ e스큐-대칭 $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.$ Q $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.$ Q $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.$ {\ $displaystyle$ Q $\Sigma$ Q $^{\textsf {T}}}$ 반대로 $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.$ , 지수 지도의 과부하율은 위에서 언급한 스큐-대칭 행렬에 대한 블록-대각화와 함께 직교 행렬에 대한 블록-대칭화를 의미한다.

좌표가 없는

보다 본질적으로(즉, 좌표를 사용하지 않고) 내부 제품이 있는 $V$ 벡터 $공간$ V $V$ 의 스큐 대칭 선형 변환은 공간의 바이버터로서 정의될 수 있으며, 이는 단순한 바이버터(2-blied) ${\textstyle v\wedge w.}$ v ${\textstyle v\wedge w.}$ ${\textstyle v\wedge$ w $.}$ 의 합이다. ${\textstyle v\wedge w.}$ The correspondence is given by the map ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$ where ${\textstyle v^{*}}$ is the covector dual to the vector ${\textstyle v}$ ; in orthonormal coordinates these are exactly the elementary skew-symmetric matrices. 이 특성화는 벡터 필드(자연적으로 2벡터)의 컬을 최소 회전 또는 "curl"로 해석할 때 사용되며, 따라서 이름이 사용된다.

스큐 대칭 매트릭스

$n$ $n\times n$ $n\times n$ ${\displaystyle n\times$ n $}$ 행렬 $n\times n$ A ${\displaystyle A$ $}$ 은(는) $D$ $DA$ 이 $D$ $DA$ (가) 스큐 대칭인 경우 스큐 대칭이 가능하다고 한다 $A$ . 실제 $n\times n$ $n\times n$ $n\times n$ ${\displaystyle n\times$ n $}$ 행렬의 $n\times n$ 경우 $D$ $D$ 에 양의 항목이 추가되는 $D$ 경우가 있다.^[7]

참고 항목

참조

^ Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7.
^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005). Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.
^ Cayley, Arthur (1847). "Sur les determinants gauches" [On skew determinants]. Crelle's Journal. 38: 93–96. 다시 인쇄됨
^ 보로노프, 테오도르 Pafeian, in: 수학 및 물리학에서 초대칭 구조와 비확정 구조의 간결한 백과사전, Eds. S. Duplij, W. Sigel, J. Bagger (Berlin, New York: Springer 2005), 페이지 298.
^ Zumino, Bruno (1962). "Normal Forms of Complex Matrices". Journal of Mathematical Physics. 3 (5): 1055–1057. Bibcode:1962JMP.....3.1055Z. doi:10.1063/1.1724294.
^ Youla, D. C. (1961). "A normal form for a matrix under the unitary congruence group". Can. J. Math. 13: 694–704. doi:10.4153/CJM-1961-059-8.
^ Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2001). "Cluster algebras I: Foundations". arXiv:math/0104151v1.

추가 읽기

Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
Suprunenko, D. A. (2001) [1994], "Skew-symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.

외부 링크

"Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. S2CID 8575785. 포트란 포트란90

[1] Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7.

[LipschutzLipson-2] Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005). Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.

[3] Cayley, Arthur (1847). "Sur les determinants gauches" [On skew determinants]. Crelle's Journal. 38: 93–96. 다시 인쇄됨

[4] 보로노프, 테오도르 Pafeian, in: 수학 및 물리학에서 초대칭 구조와 비확정 구조의 간결한 백과사전, Eds. S. Duplij, W. Sigel, J. Bagger (Berlin, New York: Springer 2005), 페이지 298.

[5] Zumino, Bruno (1962). "Normal Forms of Complex Matrices". Journal of Mathematical Physics. 3 (5): 1055–1057. Bibcode:1962JMP.....3.1055Z. doi:10.1063/1.1724294.

[6] Youla, D. C. (1961). "A normal form for a matrix under the unitary congruence group". Can. J. Math. 13: 694–704. doi:10.4153/CJM-1961-059-8.

[7] Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2001). "Cluster algebras I: Foundations". arXiv:math/0104151v1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

show v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	(0,1) 교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이진수 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 싱글 엔트 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 쿼터니온 행렬 행 에슐론 양식 룬스키안
행렬 목록 범주:행렬

show 권한통제
일반	통합 권한 파일(독일)
기타	마이크로소프트 어학

Search